This revised page was built from the existing Class 10 Mathematics library chapter (chapter-6-complete-guide-book.html) in the same series. No official book copy was on disk for a fresh page-by-page check, so no book page numbers are claimed and exercise references such as “Exercise 1.6 Q2” are carried over from the master chapter as given, not newly verified. Solved answers follow the master chapter; practice MCQs are SLO-based practice, not book questions.
یہ نظرثانی شدہ صفحہ اسی سلسلے کے موجودہ جماعت دہم ریاضی کے باب سے بنایا گیا ہے۔ کتاب کی کوئی مصدقہ نقل ڈسک پر موجود نہیں تھی، اس لیے کتاب کے صفحہ نمبرز کا دعویٰ نہیں کیا گیا۔
Is page ka mawaad PECTAA Class 10 Mathematics (1st edition, May 2026 — Revised National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27) ke Unit 6 — Vectors in Plane پر مبنی ہے. Book میں اسے "Unit" کہا گیا ہے; file کا نام chapter کے مطابق رکھا گیا ہے.
اس صفحے کا مواد پنجاب ایجوکیشن، کریکولم، ٹریننگ اینڈ اسیسمنٹ اتھارٹی (PECTAA) کی جماعت دہم ریاضی (پہلا ایڈیشن، مئی 2026 — نظرثانی شدہ قومی نصاب 2023، سیشن 2026–27) کے یونٹ 6 پر مبنی ہے۔
Book-faithful note: Only selected problems are solved here. The book’s full exercise (including vector proofs and more position-vector problems) is in the book itself.
A vector has both magnitude (size) and direction. We write it as an arrow, or as a column/ordered pair, e.g. a = (3, 4) or 3i + 4j, where i and j are unit vectors along the x- and y-axes.
A scalar (like speed 5 m/s or mass 2 kg) has magnitude only. A vector (like velocity or force) needs direction too. Two vectors are equal if they have the same magnitude and direction, wherever they start.
ویکٹر میں مقدار (سائز) اور سمت دونوں ہوتی ہیں۔ اسے تیر سے، یا کالم/مرتب جوڑے سے لکھتے ہیں، مثلاً a = (3, 4) یا 3i + 4j، جہاں i اور j، x- اور y-محوروں پر اکائی ویکٹر ہیں۔
اسکیلر (جیسے رفتار 5 m/s یا کمیت 2 kg) میں صرف مقدار ہوتی ہے۔ ویکٹر (جیسے سمتار یا قوت) میں سمت بھی چاہیے۔ دو ویکٹر برابر ہوتے ہیں اگر ان کی مقدار اور سمت ایک جیسی ہو، چاہے شروع کہیں سے ہوں۔
The magnitude of a = (x, y) is |a| = √(x² + y²) (Pythagoras). Example: |(3, 4)| = √(9 + 16) = 5.
A unit vector has magnitude 1. The unit vector in the direction of a is â = a/|a|. Example: for (6, 8), |a| = 10, so the unit vector is (3/5, 4/5). Check: √((3/5)² + (4/5)²) = 1 ✓.
مقدار: a = (x, y) کے لیے |a| = √(x² + y²) (فیثاغورث)۔ مثال: |(3, 4)| = √(9 + 16) = 5۔
اکائی ویکٹر کی مقدار 1 ہوتی ہے۔ a کی سمت میں اکائی ویکٹر â = a/|a| ہے۔ مثال: (6, 8) کے لیے |a| = 10، اس لیے اکائی ویکٹر (3/5, 4/5) ہے۔ جانچ: √((3/5)² + (4/5)²) = 1 ✓۔
Add component by component: (a₁, a₂) + (b₁, b₂) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂). Geometrically this is the triangle/parallelogram law: place vectors head-to-tail; the sum goes from the first tail to the last head.
Example: (2, 3) + (−1, 5) = (1, 8). Subtraction: (2, 3) − (−1, 5) = (3, −2). The zero vector (0, 0) has no direction.
جمع جز بہ جز کریں: (a₁, a₂) + (b₁, b₂) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)۔ ہندسی طور پر یہ مثلث/متوازی الاضلاع کا قانون ہے: ویکٹرز کو سر سے دم ملائیں؛ مجموعہ پہلی دم سے آخری سر تک جاتا ہے۔
مثال: (2, 3) + (−1, 5) = (1, 8)۔ تفریق: (2, 3) − (−1, 5) = (3, −2)۔ صفر ویکٹر (0, 0) کی کوئی سمت نہیں۔
Multiplying a vector by a scalar k scales its length by |k| and keeps (k > 0) or reverses (k < 0) its direction: k(x, y) = (kx, ky). Example: 2(2, 3) − (−1, 5) = (4, 6) − (−1, 5) = (5, 1).
Vectors a and b are parallel if one is a scalar multiple of the other, e.g. (2, 4) = 2(1, 2), so (2, 4) ∥ (1, 2).
ویکٹر کو اسکیلر k سے ضرب دینے سے اس کی لمبائی |k| گنا ہو جاتی ہے اور سمت وہی رہتی ہے (k > 0) یا الٹ جاتی ہے (k < 0): k(x, y) = (kx, ky)۔ مثال: 2(2, 3) − (−1, 5) = (4, 6) − (−1, 5) = (5, 1)۔
ویکٹرز a اور b متوازی ہوتے ہیں اگر ایک دوسرے کا اسکیلر ضرب ہو، مثلاً (2, 4) = 2(1, 2)، اس لیے (2, 4) ∥ (1, 2)۔
The position vector of a point P(x, y) is the vector OP from the origin O to P. The vector from A to B is AB = b − a (position of B minus position of A).
Example: A(1, 2), B(4, 6) → AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4), and |AB| = 5 — the distance between A and B. The midpoint of AB has position vector (a + b)/2 = (2.5, 4).
نقطہ P(x, y) کا مقامی ویکٹر وہ ویکٹر ہے جو اصل نقطہ O سے P تک جاتا ہے۔ A سے B تک کا ویکٹر AB = b − a ہے (B کا مقام منفی A کا مقام)۔
مثال: A(1, 2)، B(4, 6) → AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4)، اور |AB| = 5 — یعنی A اور B کا فاصلہ۔ AB کے وسط کا مقامی ویکٹر (a + b)/2 = (2.5, 4) ہے۔
Note: Neeche sirf muntakhab (selected) سوال step-by-step حل کیے گئے ہیں. مکمل exercise کتاب میں موجود ہے — یہ page اسکا متبادل نہیں, صرف guide ہے.
نوٹ: نیچے صرف منتخب سوالات مرحلہ وار حل کیے گئے ہیں۔ مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔
Answer / جواب: |a| = √(3² + 4²) = √25 = 5.
|a| = √(3² + 4²) = √25 = 5۔
Answer / جواب: |a| = √(36 + 64) = 10. Unit vector = a/|a| = (6/10, 8/10) = (3/5, 4/5).
|a| = √(36 + 64) = 10۔ اکائی ویکٹر = a/|a| = (6/10, 8/10) = (3/5, 4/5)۔
Answer / جواب: a + b = (2 − 1, 3 + 5) = (1, 8). 2a − b = (4, 6) − (−1, 5) = (5, 1).
a + b = (2 − 1, 3 + 5) = (1, 8)۔ 2a − b = (4, 6) − (−1, 5) = (5, 1)۔
Answer / جواب: AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4). Distance = |AB| = √(9 + 16) = 5 units.
AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4)۔ فاصلہ = |AB| = √(9 + 16) = 5 اکائی۔
Answer / جواب: (2, 4) = 2(1, 2) — a scalar multiple — so the vectors are parallel (same direction).
(2, 4) = 2(1, 2) — ایک اسکیلر ضرب — اس لیے ویکٹرز متوازی ہیں (ایک ہی سمت)۔
Answer / جواب: In a parallelogram, C = B + D − A (since AB = DC). C = (6 + 2 − 1, 3 + 8 − 2) = (7, 9).
متوازی الاضلاع میں C = B + D − A (کیونکہ AB = DC)۔ C = (6 + 2 − 1, 3 + 8 − 2) = (7, 9)۔
Answer / جواب: AB = (3, 4), |AB| = 5. BC = (3, −4), |BC| = 5. AC = (6, 0), |AC| = 6. Since |AB| = |BC|, the triangle is isosceles.
AB = (3, 4)، |AB| = 5۔ BC = (3, −4)، |BC| = 5۔ AC = (6, 0)، |AC| = 6۔ چونکہ |AB| = |BC|، مثلث متساوی الساقین ہے۔
Answer / جواب: |a| = √(3² + 4²) = √25 = 5.
|a| = √(3² + 4²) = √25 = 5۔
Answer / جواب: |a| = √(36 + 64) = 10. Unit vector = a/|a| = (6/10, 8/10) = (3/5, 4/5).
|a| = √(36 + 64) = 10۔ اکائی ویکٹر = a/|a| = (6/10, 8/10) = (3/5, 4/5)۔
Answer / جواب: a + b = (2 − 1, 3 + 5) = (1, 8). 2a − b = (4, 6) − (−1, 5) = (5, 1).
a + b = (2 − 1, 3 + 5) = (1, 8)۔ 2a − b = (4, 6) − (−1, 5) = (5, 1)۔
Answer / جواب: AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4). Distance = |AB| = √(9 + 16) = 5 units.
AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4)۔ فاصلہ = |AB| = √(9 + 16) = 5 اکائی۔
Answer / جواب: (2, 4) = 2(1, 2) — a scalar multiple — so the vectors are parallel (same direction).
(2, 4) = 2(1, 2) — ایک اسکیلر ضرب — اس لیے ویکٹرز متوازی ہیں (ایک ہی سمت)۔
Answer / جواب: In a parallelogram, C = B + D − A (since AB = DC). C = (6 + 2 − 1, 3 + 8 − 2) = (7, 9).
متوازی الاضلاع میں C = B + D − A (کیونکہ AB = DC)۔ C = (6 + 2 − 1, 3 + 8 − 2) = (7, 9)۔
Answer / جواب: AB = (3, 4), |AB| = 5. BC = (3, −4), |BC| = 5. AC = (6, 0), |AC| = 6. Since |AB| = |BC|, the triangle is isosceles.
AB = (3, 4)، |AB| = 5۔ BC = (3, −4)، |BC| = 5۔ AC = (6, 0)، |AC| = 6۔ چونکہ |AB| = |BC|، مثلث متساوی الساقین ہے۔
یہ MCQs کتاب کی exercise سے نہیں لیے گئے — یہ SLOs پر مبنی mashq کے لیے ہیں.
(a) 7 (b) 5 (c) 25 (d) 1
Answer: (b) 5 — √(9 + 16) = 5.
(a) (1, 8) (b) (3, −2) (c) (1, 2) (d) (3, 8)
Answer: (a) (1, 8) — Add component by component.
(a) 0 (b) 2 (c) 1 (d) 10
Answer: (c) 1 — By definition, a unit vector has magnitude 1.
(a) mass (b) speed (c) force (d) temperature
Answer: (c) force — Force has magnitude and direction; the others are scalars.
Answer: (b) 5 — 5 — √(9 + 16) = 5.
Answer: (a) (1, 8) — (1, 8) — Add component by component.
Answer: (c) 1 — 1 — By definition, a unit vector has magnitude 1.
Answer: (c) force — force — Force has magnitude and direction; the others are scalars.
اس باب میں کیا ہے؟ اس chapter میں plane vectors ہیں: vector کیا ہے, magnitude اور unit vectors, vectors کی جمع/تفریق, scalar multiplication, اور position vectors سے geometry کے مسائل.
Revision guidance: ہر کام component-wise کرو: پہلا component پہلے سے, دوسرا دوسرے سے. Magnitude کے لیے Pythagoras — √(x² + y²) — کبھی مت بھولو.
اس باب میں کیا ہے؟ اس باب میں مستوی ویکٹرز ہیں: ویکٹر کیا ہے، مقدار اور اکائی ویکٹرز، ویکٹرز کی جمع و تفریق، اسکیلر ضرب، اور مقامی ویکٹرز سے جیومیٹری کے مسائل۔
نظرثانی کی رہنمائی: ہر کام جزو وار کریں: پہلا جزو پہلے سے، دوسرا دوسرے سے۔ مقدار کے لیے فیثاغورث — √(x² + y²) — کبھی مت بھولیں۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • Class 10 Mathematics, Chapter 6 (Session 2026–27) • English + Urdu