This revised page was built from the existing Class 9 Mathematics library chapter (chapter-1-complete-guide-book.html) in the same series. No official Class 9 Mathematics book copy was on disk for a fresh page-by-page check (the books are with the user), so no book page numbers are claimed and the exercise below is carried over from the master chapter as given — selected solved questions plus SLO-based practice MCQs — not newly verified against the book and not presented as the official exercise. Answers follow the master chapter. All section figures on this page are self-made diagrams (no book pictures).
یہ نظرثانی شدہ صفحہ اسی سلسلے کے موجودہ جماعت نہم ریاضی کے باب سے بنایا گیا ہے۔ کتاب کی کوئی مصدقہ نقل ڈسک پر موجود نہیں تھی، اس لیے کتاب کے صفحہ نمبرز کا دعویٰ نہیں کیا گیا، اور ایکسرسائز ماسٹر باب سے جوں کی توں لی گئی ہے (منتخب حل شدہ سوالات اور SLO کی بنیاد پر مشقی MCQs) — یہ سرکاری ایکسرسائز کے طور پر پیش نہیں کی گئی۔
People have counted for thousands of years. The Sumerians (1900–4500 BCE) used a sexagesimal (base 60) system; the Egyptians (2000–3000 BCE) used a decimal (base 10) system; the Romans (500 BCE–500 CE) used letters I, V, X, L, C, D, M for 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000.
The Indians (500–1200 CE) gave the world the concept of zero (0) and the decimal place-value system. The Arabs (800–1500 CE) carried these numerals to Europe — so today we call them Indo-Arabic numerals (0–9). Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (9th century) laid the groundwork of algebra.
لوگ ہزاروں سال سے گنتی کرتے آ رہے ہیں۔ سمیریوں (1900–4500 قبل مسیح) نے اساس 60 کا نظام استعمال کیا؛ مصریوں (2000–3000 قبل مسیح) نے اساس 10 کا نظام استعمال کیا؛ رومیوں (500 قبل مسیح تا 500 عیسوی) نے 1، 5، 10، 50، 100، 500، 1000 کے لیے I، V، X، L، C، D، M حروف استعمال کیے۔
ہندوستانیوں (500–1200 عیسوی) نے دنیا کو صفر (0) کا تصور اور اعشاری مقامی قدر کا نظام دیا۔ عربوں (800–1500 عیسوی) نے یہ اعداد یورپ تک پہنچائے — اسی لیے آج ہم انہیں ہند عربی اعداد (0–9) کہتے ہیں۔ محمد بن موسیٰ الخوارزمی (نویں صدی) نے الجبرا کی بنیاد رکھی۔
The set of real numbers (R) is the combination of rational and irrational numbers. A rational number can be written as p/q (q ≠ 0); its decimal is terminating or non-terminating recurring, e.g. 1/2 = 0.5, 1/3 = 0.333…
An irrational number cannot be written as p/q; its decimal is non-terminating and non-recurring, e.g. √2 = 1.414213…, π = 3.141592… Every point on the number line is a real number, and between any two real numbers there is another real number — this is the density property.
حقیقی اعداد (R) کا مجموعہ ناطق اور غیر ناطق اعداد سے مل کر بنتا ہے۔ ناطق عدد کو p/q (q ≠ 0) کی صورت میں لکھا جا سکتا ہے؛ اس کا اعشاریہ ختم ہونے والا یا دہرایا جانے والا ہوتا ہے، مثلاً 1/2 = 0.5، 1/3 = 0.333…
غیر ناطق عدد کو p/q کی صورت میں نہیں لکھا جا سکتا؛ اس کا اعشاریہ نہ ختم ہوتا ہے نہ دہرایا جاتا ہے، مثلاً √2 = 1.414213…، π = 3.141592… عددی خط کا ہر نقطہ ایک حقیقی عدد ہے، اور کسی بھی دو حقیقی اعداد کے درمیان ایک اور حقیقی عدد ہوتا ہے — اسے کثافت کی خاصیت کہتے ہیں۔
For real numbers a, b, c: reflexive a = a; symmetric if a = b then b = a; transitive if a = b and b = c then a = c. The same ideas hold for order: if a < b and b < c then a < c.
Inequality rules: adding or subtracting the same number keeps the sign; multiplying or dividing by a positive number keeps the sign, but multiplying or dividing by a negative number reverses the sign. Example: −2 < 3, multiply by −1 → 2 > −3.
حقیقی اعداد a، b، c کے لیے: انعکاسی a = a؛ تماثلی اگر a = b تو b = a؛ متعدی اگر a = b اور b = c تو a = c۔ ترتیب کے لیے بھی یہی اصول ہیں: اگر a < b اور b < c تو a < c۔
غیر مساوات کے اصول: ایک ہی عدد جمع یا تفریق کرنے سے علامت نہیں بدلتی؛ مثبت عدد سے ضرب یا تقسیم کرنے سے علامت قائم رہتی ہے، لیکن منفی عدد سے ضرب یا تقسیم کرنے سے علامت الٹ جاتی ہے۔ مثال: −2 < 3، −1 سے ضرب دیں → 2 > −3۔
Laws of indices (a ≠ 0): am × an = am+n; am ÷ an = am−n; (am)n = amn; a0 = 1; a−n = 1/an; am/n = n√(am).
A radical expression uses √. Simplify by splitting into squares: √50 = √(25×2) = 5√2. To rationalise a denominator, multiply top and bottom by the conjugate: 1/(√5+√2) = (√5−√2)/(5−2) = (√5−√2)/3.
قوت نما کے قوانین (a ≠ 0): am × an = am+n؛ am ÷ an = am−n؛ (am)n = amn؛ a0 = 1؛ a−n = 1/an؛ am/n = n√(am)۔
جذری اظہار میں √ استعمال ہوتا ہے۔ مربعوں میں تقسیم کر کے سادہ کریں: √50 = √(25×2) = 5√2۔ مخرج کو ناطق بنانے کے لیے صورت و مخرج کو مرافق سے ضرب دیں: 1/(√5+√2) = (√5−√2)/(5−2) = (√5−√2)/3۔