This revised page was built from the existing Class 9 Mathematics library chapter (chapter-13-complete-guide-book.html) in the same series. No official Class 9 Mathematics book copy was on disk for a fresh page-by-page check (the books are with the user), so no book page numbers are claimed and the exercise below is carried over from the master chapter as given — selected solved questions plus SLO-based practice MCQs — not newly verified against the book and not presented as the official exercise. Answers follow the master chapter. All section figures on this page are self-made diagrams (no book pictures).
یہ نظرثانی شدہ صفحہ اسی سلسلے کے موجودہ جماعت نہم ریاضی کے باب سے بنایا گیا ہے۔ کتاب کی کوئی مصدقہ نقل ڈسک پر موجود نہیں تھی، اس لیے کتاب کے صفحہ نمبرز کا دعویٰ نہیں کیا گیا، اور ایکسرسائز ماسٹر باب سے جوں کی توں لی گئی ہے (منتخب حل شدہ سوالات اور SLO کی بنیاد پر مشقی MCQs) — یہ سرکاری ایکسرسائز کے طور پر پیش نہیں کی گئی۔
Probability is the chance of an event occurring, written as a number between 0 and 1: P(E) = (favourable outcomes) / (total possible outcomes). P = 0 means impossible; P = 1 means certain. The book's word comes from Latin 'probity'; Girolamo Cardano is known as the father of probability.
Examples: P(rolling a 6 on a fair die) = 1/6. P(drawing a red card from a pack) = 26/52 = 1/2. Every probability problem starts the same way: count the total outcomes, count the favourable ones, divide.
احتمال کسی واقعہ کے وقوع کی امکانیت ہے، جو 0 اور 1 کے درمیان عدد کے طور پر لکھی جاتی ہے: P(E) = (موافق نتائج) / (کل ممکنہ نتائج)۔ P = 0 کا مطلب ناممکن؛ P = 1 کا مطلب یقینی۔ کتاب کے مطابق یہ لفظ لاطینی 'probity' سے آیا ہے؛ جیرولامو کارڈانو احتمال کے باپ کہلاتے ہیں۔
مثالیں: P(منصفانہ پاسے پر 6 آنا) = 1/6۔ P(پیک سے سرخ پتہ نکالنا) = 26/52 = 1/2۔ ہر احتمال کا مسئلہ اسی طرح شروع ہوتا ہے: کل نتائج گنیں، موافق نتائج گنیں، تقسیم کریں۔
If E is an event, 'not E' (written E′ or Ē) is its complement: P(not E) = 1 − P(E). This is often the easier route: P(not rolling a 6) = 1 − 1/6 = 5/6.
Use it for warranties and guarantees too: if a company knows 2% of products fail within warranty, then P(a product survives the warranty) = 1 − 0.02 = 0.98. Always check: P(E) + P(not E) must equal 1.
اگر E ایک واقعہ ہے تو 'not E' (E′ یا Ē لکھا جاتا ہے) اس کا متمم ہے: P(not E) = 1 − P(E)۔ یہ اکثر آسان راستہ ہے: P(6 نہ آنا) = 1 − 1/6 = 5/6۔
اسے وارنٹیوں اور ضمانتوں کے لیے بھی استعمال کریں: اگر کمپنی جانتی ہے کہ 2% مصنوعات وارنٹی کے اندر خراب ہو جاتی ہیں تو P(مصنوعات کا وارنٹی سے بچنا) = 1 − 0.02 = 0.98۔ ہمیشہ جانچیں: P(E) + P(not E) کا مجموعہ 1 ہونا چاہیے۔
When outcomes cannot be counted in advance (a cricket team's win, a product's failure), estimate probability from experiments: relative frequency = (times the event happened) / (total trials). The more trials, the better the estimate.
Example: a team won 12 of its last 20 matches → estimated P(win next match) = 12/20 = 0.6 = 3/5. This is how the book's examples judge chances from previous performances — including whether a team will win its next cricket match.
جب نتائج پہلے سے گنے نہ جا سکیں (کرکٹ ٹیم کی جیت، مصنوعات کی خرابی)، تو تجربات سے احتمال کا اندازہ لگائیں: نسبتی تعدد = (واقعہ جتنی بار ہوا) / (کل آزمائشیں)۔ آزمائشیں جتنی زیادہ ہوں اندازہ اتنا ہی بہتر ہوگا۔
مثال: ایک ٹیم نے اپنے آخری 20 میچوں میں سے 12 جیتے → اگلا میچ جیتنے کا اندازہ P(win) = 12/20 = 0.6 = 3/5۔ کتاب کی مثالیں اسی طرح پچھلی کارکردگی سے امکانات کا اندازہ لگاتی ہیں — بشمول یہ کہ آیا کوئی ٹیم اپنا اگلا کرکٹ میچ جیتے گی۔