This revised page was built from the existing Class 9 Mathematics library chapter (chapter-4-complete-guide-book.html) in the same series. No official Class 9 Mathematics book copy was on disk for a fresh page-by-page check (the books are with the user), so no book page numbers are claimed and the exercise below is carried over from the master chapter as given — selected solved questions plus SLO-based practice MCQs — not newly verified against the book and not presented as the official exercise. Answers follow the master chapter. All section figures on this page are self-made diagrams (no book pictures).
یہ نظرثانی شدہ صفحہ اسی سلسلے کے موجودہ جماعت نہم ریاضی کے باب سے بنایا گیا ہے۔ کتاب کی کوئی مصدقہ نقل ڈسک پر موجود نہیں تھی، اس لیے کتاب کے صفحہ نمبرز کا دعویٰ نہیں کیا گیا، اور ایکسرسائز ماسٹر باب سے جوں کی توں لی گئی ہے (منتخب حل شدہ سوالات اور SLO کی بنیاد پر مشقی MCQs) — یہ سرکاری ایکسرسائز کے طور پر پیش نہیں کی گئی۔
Factorization breaks an expression into factors whose product is the original expression — the reverse of expansion. First look for a common factor: in 6x² + 9x, the common factor is 3x, so 6x² + 9x = 3x(2x + 3). Always take out the common factor first.
A trinomial x² + px + q factors by finding two numbers with product q and sum p: x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) because 3 × 4 = 12 and 3 + 4 = 7. The book also shows this concretely and pictorially, with algebra tiles/area models.
تجزی کسی اظہار کو ایسے اجزاء میں توڑنا ہے جن کا حاصل ضرب اصل اظہار ہو — یہ توسیع کا الٹ عمل ہے۔ پہلے مشترک جزو تلاش کریں: 6x² + 9x میں مشترک جزو 3x ہے، اس لیے 6x² + 9x = 3x(2x + 3)۔ ہمیشہ پہلے مشترک جزو نکالیں۔
ثلاثی جملہ x² + px + q اس طرح تجزی ہوتا ہے کہ دو اعداد تلاش کریں جن کا حاصل ضرب q اور مجموعہ p ہو: x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) کیونکہ 3 × 4 = 12 اور 3 + 4 = 7۔ کتاب اسے ٹھوس اور تصویری طریقے سے بھی دکھاتی ہے، الجبرا ٹائلز/رقبہ ماڈل کے ساتھ۔
Three patterns cover most quadratics: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; and a² − b² = (a − b)(a + b). Recognise them by sight: x² + 10x + 25 = (x + 5)²; 9x² − 16 = (3x − 4)(3x + 4).
For x² + px + q with a leading coefficient, e.g. 2x² + 7x + 3, split the middle term: 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3). Always check by expanding back.
تین نمونے زیادہ تر دو درجی جملوں کا احاطہ کرتے ہیں: (a + b)² = a² + 2ab + b²؛ (a − b)² = a² − 2ab + b²؛ اور a² − b² = (a − b)(a + b)۔ انہیں دیکھتے ہی پہچانیں: x² + 10x + 25 = (x + 5)²؛ 9x² − 16 = (3x − 4)(3x + 4)۔
x² + px + q کے لیے جب پہلا ضابطہ 1 نہ ہو، مثلاً 2x² + 7x + 3، درمیانی رقم کو توڑیں: 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)۔ ہمیشہ واپس توسیع کر کے جانچ کریں۔
Cubic patterns: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²); and the full cubes (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
Example: 8x³ − 27 = (2x)³ − 3³ = (2x − 3)(4x² + 6x + 9). Watch the signs: in a³ − b³ the second factor has all plus signs; in a³ + b³ the middle term is minus.
تین درجی نمونے: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)؛ a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)؛ اور مکمل مکعب (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³، (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³۔
مثال: 8x³ − 27 = (2x)³ − 3³ = (2x − 3)(4x² + 6x + 9)۔ علامتوں کا خیال رکھیں: a³ − b³ میں دوسرے جزو کی تمام علامتیں جمع ہوتی ہیں؛ a³ + b³ میں درمیانی رقم منفی ہوتی ہے۔
Factor each expression first, then: HCF = product of the common factors with their lowest powers; LCM = product of all factors with their highest powers. Example: x² − 4 = (x−2)(x+2) and x² + 4x + 4 = (x+2)² give HCF = (x+2) and LCM = (x−2)(x+2)².
Relationship: for two expressions A and B, A × B = HCF × LCM — the same law as for numbers. This is used to simplify algebraic fractions and to solve equations efficiently.
پہلے ہر اظہار کی تجزی کریں، پھر: عاد اعظم (HCF) = مشترک اجزاء کا حاصل ضرب ان کی کم ترین قوتوں کے ساتھ؛ ذواضعاف اقل (LCM) = تمام اجزاء کا حاصل ضرب ان کی بلند ترین قوتوں کے ساتھ۔ مثال: x² − 4 = (x−2)(x+2) اور x² + 4x + 4 = (x+2)² سے HCF = (x+2) اور LCM = (x−2)(x+2)²۔
تعلق: دو اظہاروں A اور B کے لیے، A × B = HCF × LCM — یہی قانون اعداد کے لیے بھی ہے۔ اس سے الجبری کسریں سادہ کی جاتی ہیں اور مساواتیں مؤثر طریقے سے حل ہوتی ہیں۔