This revised page was built from the existing Class 9 Mathematics library chapter (chapter-6-complete-guide-book.html) in the same series. No official Class 9 Mathematics book copy was on disk for a fresh page-by-page check (the books are with the user), so no book page numbers are claimed and the exercise below is carried over from the master chapter as given — selected solved questions plus SLO-based practice MCQs — not newly verified against the book and not presented as the official exercise. Answers follow the master chapter. All section figures on this page are self-made diagrams (no book pictures).
یہ نظرثانی شدہ صفحہ اسی سلسلے کے موجودہ جماعت نہم ریاضی کے باب سے بنایا گیا ہے۔ کتاب کی کوئی مصدقہ نقل ڈسک پر موجود نہیں تھی، اس لیے کتاب کے صفحہ نمبرز کا دعویٰ نہیں کیا گیا، اور ایکسرسائز ماسٹر باب سے جوں کی توں لی گئی ہے (منتخب حل شدہ سوالات اور SLO کی بنیاد پر مشقی MCQs) — یہ سرکاری ایکسرسائز کے طور پر پیش نہیں کی گئی۔
An angle is formed by two rays with a common endpoint (vertex). In standard position, the vertex is at the origin and the initial side lies on the positive x-axis; rotation anticlockwise is positive.
Angles are measured in degrees (360° = full turn) or radians: 180° = π radians, so 1 radian ≈ 57.3°. Convert: radians = degrees × π/180; degrees = radians × 180/π. So 90° = π/2, 60° = π/3, 45° = π/4.
زاویہ دو شعاعوں سے بنتا ہے جن کا مشترکہ سرا (vertex) ہوتا ہے۔ معیاری مقام میں، سرا مبدا پر ہوتا ہے اور ابتدائی ضلع مثبت x-محور پر ہوتا ہے؛ مخالف گھڑی وار گردش مثبت ہوتی ہے۔
زاویوں کی پیمائش درجوں (360° = مکمل چکر) یا ریڈین میں ہوتی ہے: 180° = π ریڈین، اس لیے 1 ریڈین ≈ 57.3°۔ تبدیلی: ریڈین = درجے × π/180؛ درجے = ریڈین × 180/π۔ اس لیے 90° = π/2، 60° = π/3، 45° = π/4۔
In a right triangle with hypotenuse h: Pythagoras: a² + b² = h². For an acute angle θ: sin θ = opposite/hypotenuse, cos θ = adjacent/hypotenuse, tan θ = opposite/adjacent = sin θ / cos θ.
Memorise the special angles: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = 1/√3; sin 45° = cos 45° = 1/√2, tan 45° = 1; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √3.
قائمہ مثلث میں جس کا وتر h ہو: فیثاغورث: a² + b² = h²۔ حاد زاویہ θ کے لیے: sin θ = مقابل/وتر، cos θ = ملحق/وتر، tan θ = مقابل/ملحق = sin θ / cos θ۔
خاص زاویے یاد رکھیں: sin 30° = 1/2، cos 30° = √3/2، tan 30° = 1/√3؛ sin 45° = cos 45° = 1/√2، tan 45° = 1؛ sin 60° = √3/2، cos 60° = 1/2، tan 60° = √3۔
The fundamental identity comes from Pythagoras: dividing a² + b² = h² by h² gives sin²θ + cos²θ = 1. From it: 1 + tan²θ = sec²θ and 1 + cot²θ = cosec²θ, where sec θ = 1/cos θ, cosec θ = 1/sin θ, cot θ = 1/tan θ.
To prove an identity, start from one side (usually the harder one) and use known identities until it matches the other side — never move terms across '=' as if solving an equation. Example: (1 − cos²θ) = sin²θ follows at once from sin²θ + cos²θ = 1.
بنیادی شناخت فیثاغورث سے آتی ہے: a² + b² = h² کو h² سے تقسیم کرنے سے sin²θ + cos²θ = 1 ملتی ہے۔ اس سے: 1 + tan²θ = sec²θ اور 1 + cot²θ = cosec²θ، جہاں sec θ = 1/cos θ، cosec θ = 1/sin θ، cot θ = 1/tan θ۔
ثبوت کے لیے ایک طرف (عام طور پر مشکل طرف) سے شروع کریں اور معلوم شناختوں کا استعمال کرتے ہوئے دوسری طرف تک پہنچیں — کبھی '=' کے پار رقموں کو منتقل نہ کریں جیسے مساوات حل کر رہے ہوں۔ مثال: (1 − cos²θ) = sin²θ براہ راست sin²θ + cos²θ = 1 سے ملتی ہے۔