Start from the unit circle, because everything in this chapter grows out of it. For any angle θ, the point where its terminal side meets the unit circle has coordinates (cos θ, sin θ) — that is, cos θ = x and sin θ = y. Now ask two plain questions. First: which angles can you put in? Any real number at all — you can rotate by any amount, positive or negative, so the domain of sin and cos is all real numbers, R. Second: which values can come out? The point stays on the unit circle, so its x- and y-coordinates can never leave the interval [−1, 1]. Hence the range of sin and cos is [−1, 1]. No angle gives you sin θ = 2, and no angle gives cos θ = −1.5. That single fact explains half the max/min problems at the end of the chapter.
A useful habit: whenever a new function appears in this chapter, ask “domain? range?” before anything else. The book does exactly that for all six ratios, and the pattern that emerges — four of them with restricted domains, two with restricted ranges — is worth learning as one picture rather than six separate facts.
واحد دائرے سے شروع کریں: کسی بھی زاویے θ کے لیے اس کی آخری ضلع واحد دائرے کو جس نقطے پر ملتی ہے اس کے مختصات (cos θ, sin θ) ہوتے ہیں، یعنی cos θ = x اور sin θ = y۔ اب دو سادہ سوال: کون سے زاویے ڈال سکتے ہیں؟ کوئی بھی حقیقی عدد — اس لیے sin اور cos کا میدان تمام حقیقی اعداد R ہے۔ کون سی قیمتیں نکل سکتی ہیں؟ نقطہ واحد دائرے پر رہتا ہے، اس لیے x اور y کبھی [−1, 1] سے باہر نہیں جاتے — یعنی sin اور cos کی حدود [−1, 1] ہے۔ کوئی زاویہ sin θ = 2 نہیں دیتا۔
The other four ratios are built from sin and cos, and they inherit restrictions exactly where division breaks down. Tangent, tan θ = sin θ/cos θ, fails when cos θ = 0, i.e. at θ = (2n + 1)π/2. So its domain is R except odd multiples of π/2, and since tan can shoot to any large positive or negative value, its range is all of R. Cotangent, cot θ = cos θ/sin θ, fails when sin θ = 0, i.e. at θ = nπ. So its domain is R except multiples of π, and its range is all of R.
Secant, sec θ = 1/cos θ, has the same domain as tan (cos θ ≠ 0). Its range needs a little thought: since |cos θ| ≤ 1, we have |sec θ| ≥ 1 whenever it exists. So the range of sec is (−∞, −1] ∪ [1, ∞) — everything except the open interval (−1, 1). ⚠️ Book wording note: one line of the book's sec-range argument on printed page 202 prints the inequality garbled; the correct range is the one just stated. Cosecant, cosec θ = 1/sin θ, has the same domain as cot (sin θ ≠ 0) and the same range as sec, (−∞, −1] ∪ [1, ∞).
Summary table to copy into your notes: sin — domain R, range [−1, 1]; cos — domain R, range [−1, 1]; tan — domain R \ {(2n+1)π/2}, range R; cot — domain R \ {nπ}, range R; sec — domain R \ {(2n+1)π/2}, range (−∞, −1] ∪ [1, ∞); cosec — domain R \ {nπ}, range (−∞, −1] ∪ [1, ∞).
باقی چار نسبتیں sin اور cos سے بنتی ہیں، اور جہاں تقسیم ناممکن ہو وہاں ان کا میدان محدود ہو جاتا ہے۔ tan θ = sin θ/cos θ وہاں ناقابل تعریف ہے جہاں cos θ = 0، یعنی θ = (2n + 1)π/2 پر — اس لیے اس کا میدان R مائنس طاق اضعاف π/2 ہے، اور حدود تمام R ہے۔ cot θ وہاں ناقابل تعریف ہے جہاں sin θ = 0، یعنی θ = nπ پر، حدود تمام R ہے۔
sec θ = 1/cos θ کا میدان tan والا ہی ہے، اور چونکہ |cos θ| ≤ 1 اس لیے |sec θ| ≥ 1 — یعنی حدود (−∞, −1] ∪ [1, ∞) ہے، درمیانی وقفہ (−1, 1) اس میں نہیں آتا۔ ⚠️ کتاب کی سطر: صفحہ ۲۰۲ پر sec کی حدود والی دلیل کی ایک سطر میں نامساوات بگڑی ہوئی چھپی ہے؛ درست حدود یہی ہے۔ cosec θ = 1/sin θ کا میدان cot والا اور حدود sec والی ہے۔
A function is even if f(−x) = f(x) for every x in its domain, and odd if f(−x) = −f(x). The names come from powers: x² is even (because (−x)² = x²) and x³ is odd (because (−x)³ = −x³). The payoff is graphical, and the book's Remember boxes say it plainly: the graph of an even function is symmetric about the y-axis (fold it down the middle and the halves match), while the graph of an odd function is symmetric about the origin (rotate it half a turn and it looks the same).
For our ratios: cos is even, cos(−θ) = cos θ, and sin is odd, sin(−θ) = −sin θ. From these two, everything else follows: tan = sin/cos is odd (odd divided by even), cot is odd, sec = 1/cos is even, cosec = 1/sin is odd. 📌 Book note: the definitions only make sense when −x is also in the domain whenever x is — which is why the restricted domains of tan, sec and friends are symmetric sets, with their gaps mirrored on both sides of zero.
کوئی تفاعل جفت (even) ہے اگر f(−x) = f(x) ہو، اور طاق (odd) ہے اگر f(−x) = −f(x) ہو۔ نام قوتوں سے آئے ہیں: x² جفت ہے اور x³ طاق ہے۔ گراف کے لحاظ سے: جفت تفاعل کا گراف y-axis کے گرد ہم آہنگ ہوتا ہے (درمیان سے موڑیں تو دونوں حصے مل جاتے ہیں)، اور طاق تفاعل کا گراف مبدا کے گرد ہم آہنگ ہوتا ہے (آدھا چکر گھمائیں تو وہی نظر آتا ہے)۔
ہماری نسبتوں میں: cos جفت ہے اور sin طاق ہے۔ ان دو سے باقی سب نکلتا ہے: tan طاق، cot طاق، sec جفت، cosec طاق۔ 📌 کتاب کا نوٹ: یہ تعریفیں تبھی معنی رکھتی ہیں جب x کے ساتھ −x بھی میدان میں ہو — اسی لیے tan اور sec وغیرہ کے میدان صفر کے دونوں طرف ہم آہنگ وقفوں والے ہیں۔
A function is periodic with period p if f(x + p) = f(x) for every x — the graph repeats itself exactly after a shift of p, like wallpaper. The smallest such positive p is the period. Theorem 11.1 says the period of sin is 2π. The book's proof is a nice little argument: if sin(x + p) = sin x for all x, then putting x = 0 gives sin p = 0, so p = π or 2π (among candidates under 2π); but p = π fails, because sin(x + π) = −sin x, not sin x. So the period is 2π. The same reasoning gives cos period 2π, cosec period 2π and sec period 2π.
Theorem 11.2 says the period of tan is π — half as long, because tan(x + π) = tan x already. Cot has period π too. 📌 Book note: cos 2π, cosec 2π, sec 2π, cot π — keep this little list together; it is the one students are asked to quote.
Example 1. (i) sin 2x: the 2 squeezes the graph, so it repeats twice as fast — period 2π/2 = π. (ii) 3 + tan(x/3): the x/3 stretches it threefold, so the period is 3π. The general rule hiding here: for sin(bx), cos(bx) the period is 2π/|b|, and for tan(bx), cot(bx) it is π/|b|. Adding a constant (the 3) or multiplying by one never changes the period.
کوئی تفاعل دوری (periodic) ہے اگر f(x + p) = f(x) ہو — یعنی گراف p کے فاصلے پر ہو بہو دہرایا جائے۔ سب سے چھوٹا ایسا مثبت p ہی دورانیہ کہلاتا ہے۔ قضیہ ۱۱.۱ کہتا ہے کہ sin کا دورانیہ 2π ہے: اگر sin(x + p) = sin x ہو تو x = 0 رکھنے سے sin p = 0، یعنی p = π یا 2π؛ لیکن p = π ناکام ہے کیونکہ sin(x + π) = −sin x ہے۔ اس لیے دورانیہ 2π ہے۔ اسی طرح cos، cosec اور sec کا دورانیہ 2π ہے۔
قضیہ ۱۱.۲: tan کا دورانیہ π ہے، اور cot کا بھی π ہے۔ 📌 کتاب کا نوٹ: cos کا 2π، cosec کا 2π، sec کا 2π، cot کا π — یہ فہرست اکٹھی یاد رکھیں۔
مثال ۱: (i) sin 2x کا دورانیہ 2π/2 = π (دوگنا تیز دہراؤ)، (ii) 3 + tan(x/3) کا دورانیہ 3π (تین گنا کھنچاؤ)۔ عام اصول: sin(bx) اور cos(bx) کا دورانیہ 2π/|b|، اور tan(bx) اور cot(bx) کا π/|b| ہوتا ہے؛ مستقل عدد جمع کرنے یا ضرب دینے سے دورانیہ نہیں بدلتا۔
Before drawing anything, the book fixes a five-step routine (11.4.1) that works for every graph in this chapter: (i) find the domain and the period; (ii) find the range (which gives the amplitude); (iii) split one period into four equal parts and make a table of values; (iv) plot those key points; (v) join them with a smooth curve and repeat it for as many periods as the interval asks. Do not join with straight lines — trig graphs are curves, and examiners notice the difference.
For y = sin x from −2π to 2π (11.4.2), the table uses the familiar values 0, 1/2, 0.87 (≈ √3/2) and 1 at 0°, 30°, 60°, 90°, then mirrors them. The curve starts at (0, 0), rises to 1 at π/2, falls back to 0 at π, down to −1 at 3π/2, and back to 0 at 2π — one full cycle, whose height from the middle to the top is the amplitude, here 1. 📌 Book note: the curves are smooth because sin is continuous everywhere, and the pattern repeats every 2π without change.
Sine properties to learn as a list (i)–(xi): maximum value 1 at x = π/2 + 2πn; minimum value −1 at x = 3π/2 + 2πn; x-intercepts at x = πn; y-intercept 0; amplitude 1; the function is odd, continuous everywhere, periodic with period 2π, increasing on [−π/2, π/2] (and every shift of it by 2π), decreasing on [π/2, 3π/2] (and its shifts), and its range is [−1, 1]. If you can sketch from this list alone, you own the graph.
گراف بنانے سے پہلے کتاب ایک پانچ مرحلوں والا طریقہ طے کرتی ہے: (i) میدان اور دورانیہ معلوم کریں، (ii) حدود (جس سے طول موج amplitude ملتا ہے)، (iii) ایک دورانیے کو چار برابر حصوں میں بانٹ کر اقدار کی جدول بنائیں، (iv) اہم نقطے لگائیں، (v) انھیں ہموار منحنی سے ملائیں اور مطلوبہ وقفے تک دہرائیں۔ سیدھی لکیروں سے نہ ملائیں — مثلثیاتی گراف منحنی ہوتے ہیں۔
y = sin x (−2π سے 2π تک) کے لیے جدول میں 0، 1/2، 0.87 اور 1 کی مانوس قدریں آتی ہیں۔ منحنی (0, 0) سے شروع ہو کر π/2 پر 1 تک اٹھتی ہے، π پر 0، 3π/2 پر −1، اور 2π پر واپس 0 — ایک مکمل cycle، جس کی درمیان سے چوٹی تک اونچائی amplitude ہے، یہاں 1۔ 📌 کتاب کا نوٹ: منحنیاں ہموار ہیں کیونکہ sin ہر جگہ متصل (continuous) ہے، اور نقش ہر 2π بعد بغیر تبدیلی دہرایا جاتا ہے۔
Sine کی خصوصیات: زیادہ سے زیادہ قدر 1 (x = π/2 + 2πn پر)، کم سے کم −1 (x = 3π/2 + 2πn پر)، x-intercepts x = πn پر، y-intercept 0، amplitude 1، طاق تفاعل، ہر جگہ متصل، دورانیہ 2π، حدود [−1, 1]۔
The cosine graph is built the same way: same five steps, same table idea, but the values start differently. At x = 0, cos x = 1 — the curve starts at the top, not at the middle. It falls to 0 at π/2, to −1 at π, back to 0 at 3π/2, and up to 1 at 2π. If you already know the sine graph, you can get this one for free: cos x = sin(x + π/2), so the cosine curve is the sine curve shifted left by π/2.
Cosine properties (i)–(xi), mirroring sine's list: maximum value 1 at x = πn with n even (0, ±2π, …); minimum value −1 at x = πn with n odd (±π, ±3π, …); x-intercepts at x = π/2 + πn; y-intercept 1; amplitude 1; the function is even, continuous everywhere, periodic with period 2π, and its range is [−1, 1]. The one fact students mix up is the y-intercept: sine starts at 0, cosine starts at 1. Say it out loud once and the graphs stop swapping in your head.
Cosine کا گراف اسی طریقے سے بنتا ہے، لیکن قدریں مختلف جگہ سے شروع ہوتی ہیں: x = 0 پر cos x = 1 — منحنی چوٹی سے شروع ہوتی ہے، درمیان سے نہیں۔ پھر π/2 پر 0، π پر −1، 3π/2 پر 0، اور 2π پر واپس 1۔ اگر sine کا گراف آتا ہو تو یہ مفت میں مل جاتا ہے: cos x = sin(x + π/2)، یعنی cosine کا منحنی sine کے منحنی کو π/2 بائیں کھسکانے سے بنتا ہے۔
Cosine کی خصوصیات: زیادہ سے زیادہ قدر 1 (x = πn، n جفت پر)، کم سے کم −1 (x = πn، n طاق پر)، x-intercepts x = π/2 + πn پر، y-intercept 1، amplitude 1، جفت تفاعل، ہر جگہ متصل، دورانیہ 2π، حدود [−1, 1]۔ سب سے زیادہ گڈمڈ ہونے والی بات y-intercept ہے: sine 0 سے شروع ہوتی ہے، cosine 1 سے۔
Tangent behaves completely differently, and the graph shows it. From −π to π, the table runs from large negative values up through 0 at x = 0 to large positive values — but it never crosses x = ±π/2, because tan is undefined there. Those vertical lines x = (2n + 1)π/2 are asymptotes: the curve rushes towards them but never touches them. Between two neighbouring asymptotes, one branch of the curve climbs steadily from −∞ to +∞.
⚠️ Book wording flagged: the book's properties (i)–(iv) on printed page 209 describe the approach to ±π/2 in garbled words (at one point saying tan “decreases indefinitely” as x approaches π/2 from the left). The correct behaviour is: as x → (π/2)⁻, tan x → +∞; as x → (π/2)⁺, tan x → −∞ and then increases; as x → (−π/2)⁺, tan x → −∞; as x → (−π/2)⁻, tan x → +∞. In short, tan increases on every branch and jumps down at every asymptote.
Tangent properties (i)–(viii): x-intercepts at x = πn; y-intercept 0; the function is odd and periodic with period π; it is not continuous — it breaks at every (2n + 1)π/2; its range is all of R; and its amplitude is undefined, because there is no top or bottom to measure from. That last point is a favourite short question: sine and cosine have amplitude 1, tangent has none.
Tangent کا رویہ بالکل مختلف ہے۔ −π سے π تک جدول بڑی منفی قیمتوں سے 0 سے گزر کر بڑی مثبت قیمتوں تک جاتا ہے — لیکن x = ±π/2 کو کبھی نہیں چھوتا، کیونکہ وہاں tan ناقابل تعریف ہے۔ یہ عمودی خطوط x = (2n + 1)π/2 اسیمپٹوٹس ہیں: منحنی ان کی طرف دوڑتی ہے مگر انھیں چھوتی نہیں۔ دو پڑوسی اسیمپٹوٹس کے درمیان منحنی کی ایک شاخ −∞ سے +∞ تک مسلسل چڑھتی ہے۔
⚠️ کتاب کی عبارت: صفحہ ۲۰۹ پر خصوصیات (i)–(iv) میں ±π/2 کی طرف بڑھنے کی وضاحت بگڑی ہوئی الفاظ میں ہے (ایک جگہ کہا گیا ہے کہ π/2 کی بائیں طرف سے tan “لامحدود گھٹتا” ہے)۔ درست رویہ یہ ہے: x → (π/2)⁻ پر tan x → +∞، x → (π/2)⁺ پر tan x → −∞ پھر بڑھتا ہے، x → (−π/2)⁺ پر tan x → −∞، x → (−π/2)⁻ پر tan x → +∞۔ خلاصہ: tan ہر شاخ پر بڑھتا ہے اور ہر اسیمپٹوٹ پر نیچے چھلانگ لگاتا ہے۔
Tangent کی خصوصیات: x-intercepts x = πn پر، y-intercept 0، طاق تفاعل، دورانیہ π، متصل نہیں (ہر (2n+1)π/2 پر ٹوٹتا ہے)، حدود تمام R، اور amplitude غیر معین ہے کیونکہ ناپنے کے لیے کوئی چوٹی یا تہ نہیں۔
Real waves are rarely bare sin θ. They look like a + b sin(cθ + d) or with cos, and each letter has a job: a is the vertical shift (the middle line moves up by a); |b| is the amplitude (how far the wave rises above and below that middle line); the period is 2π/c (bigger c, faster repetition); and d is the phase shift (positive d moves the wave left). The maximum and minimum then write themselves: M = a + |b| and m = a − |b|. 📌 Book note: amplitude is also (M − m)/2 — the same number, seen from the other end.
Worked example from the book: f = 1 + 3 sin 2θ has a = 1, amplitude 3, period 2π/2 = π, maximum 4 and minimum −2. For reciprocals the logic flips: if 5 − 2cos 3x ranges between 3 and 7, then 1/(5 − 2cos 3x) ranges between 1/7 and 1/3 — the maximum of the reciprocal sits over the minimum of the original, and students who forget the flip get exactly these questions wrong.
11.5.1 Real world. The book opens with the Ferris wheel — the first one built by George W. Ferris for the 1893 World's Fair. Example 3: h(t) = −45 cos(πt/30) + 50 gives h(40) = −45 cos(4π/3) + 50 = −45(−1/2) + 50 = 72.5 ft. Example 4 (tide): L(t) = 8 + 4 sin(πt/6) gives L(3) = 8 + 4 = 12 and a minimum of 4. Example 5 (cliff peak): from two angles of elevation the book sets tan 15° = (h − 100)/y and tan 30° = (h + 100)/y, and componendo-dividendo gives h ≈ 273 m. Note on rounding: the book prints 273.1179 using rounded tan values (0.5774 and 0.2679); with fuller precision the value is about 273.2 m, so present it as approximately 273 m.
حقیقی لہریں شاذ ہی خالی sin θ ہوتی ہیں۔ وہ عام طور پر a + b sin(cθ + d) کی صورت میں ہوتی ہیں، اور ہر حرف کا اپنا کام ہے: a عمودی منتقلی (درمیانی لکیر اوپر کھسکتی ہے)، |b| طول موج amplitude، دورانیہ 2π/c، اور d فیز شفٹ (مثبت d لہر کو بائیں کھسکاتا ہے)۔ زیادہ سے زیادہ M = a + |b| اور کم سے کم m = a − |b|۔ 📌 کتاب کا نوٹ: amplitude = (M − m)/2 بھی ہے — وہی عدد، دوسری طرف سے۔
کتاب کی مثال: f = 1 + 3 sin 2θ میں a = 1، amplitude 3، دورانیہ π، زیادہ سے زیادہ 4 اور کم سے کم −2۔ معکوس میں منطق الٹ جاتی ہے: اگر 5 − 2cos 3x کی حدود 3 اور 7 کے درمیان ہو تو 1/(5 − 2cos 3x) کی حدود 1/7 اور 1/3 کے درمیان ہو گی — معکوس کی زیادہ سے زیادہ اصل کی کم سے کم پر بیٹھتی ہے۔
حقیقی دنیا: پہلا فیرس وہیل جارج ڈبلیو فیرس نے ۱۸۹۳ کی عالمی نمائش کے لیے بنایا تھا۔ مثال ۳: h(t) = −45 cos(πt/30) + 50 سے h(40) = 72.5 فٹ۔ مثال ۴ (مدوجزر): L(t) = 8 + 4 sin(πt/6) سے L(3) = 12 اور کم سے کم 4۔ مثال ۵ (چٹان کی چوٹی): دو زاویوں سے h ≈ 273 میٹر (کتاب کی 273.1179 گول شدہ tan قیمتوں سے آئی ہے، اس لیے تقریباً 273 میٹر کہنا درست ہے)۔
Below are all questions of Exercises 11.1, 11.2 and 11.3 from Unit 11 of the official book (printed pages 205, 211, 216–217), each solved step by step. The book has no multiple-choice section, no review exercise and no inquisitive/numerical section in this unit, so none is invented here. Exercise 11.2 asks for graphs: a typed page cannot replace a drawn curve, so each part gives the table of key points, intercepts, asymptotes and shape to plot on graph paper, with a note saying exactly that. Two flags are carried inside the answers: the book's garbled tan-approach wording (section 11.4.4) and Exercise 11.3 Q7, where the book gives no starting position and one is assumed and labelled as such.
Counting rule used here: one numbered question = one answer block; its parts (i), (ii), … are solved inside that block. That gives 2 + 3 + 9 = 14 blocks, covering 57 parts in total.
The test is always the same: replace x by −x and see whether you get f(x), −f(x), or neither. Remember sin is odd, cos is even, tan is odd, sec is even, cosec is odd, cot is odd. (i) sin²(−x) = (−sin x)² = sin²x → EVEN. (ii) sin(−x) + cos(−x) = −sin x + cos x, which is neither the original nor its negative → NEITHER. (iii) sin⁴(−x) + cos⁴(−x) = sin⁴x + cos⁴x → EVEN. (iv) tan(−x) + sec(−x) = −tan x + sec x → NEITHER. (v) 1/cosec³x = sin³x, and sin³(−x) = −sin³x → ODD. (vi) Numerator: sin(−x) + sin(−3x) = −(sin x + sin 3x); denominator: cos(−x) + cos(−3x) = cos x + cos 3x. So f(−x) = −f(x) → ODD. (vii) sec is even, so sec(−x) + sec³(−x) = sec x + sec³x, and the reciprocal is unchanged → EVEN. (viii) sec(−x) = sec x and cot²(−x) = (−cot x)² = cot²x, so the whole thing is unchanged → EVEN.
Rule: for sin(bx), cos(bx), sec(bx), cosec(bx) the period is 2π/|b|; for tan(bx), cot(bx) it is π/|b|. Added constants and phase shifts never change the period. (i) 2π/5. (ii) 2π/7. (iii) π/3. (iv) π/(1/2) = 2π. (v) 2π/(π/20) = 40. (vi) 2π/(2/5) = 5π. (vii) 2π/(3/2) = 4π/3. (viii) 2π/(7π) = 2/7. (ix) π/(π/30) = 30. (x) π/(7/4) = 4π/7. (xi) 2π/(1/15) = 30π.
Note on graph questions: Q1–Q3 ask you to draw graphs. A typed answer cannot draw your curve for you, so each part below gives everything a correct drawing needs — period, amplitude, key points, intercepts and asymptotes — in the order to plot them. Draw on graph paper, join the points with a smooth curve (never straight lines), and repeat the pattern over the stated interval.
(i) y = −sin 2x: period 2π/2 = π, amplitude 1, reflected upside down compared with sin 2x. Key points over one period [0, π]: (0, 0), (π/4, −1), (π/2, 0), (3π/4, 1), (π, 0). Repeat this wave four times across [−2π, 2π]. (ii) y = 2 cos 2x: period π, amplitude 2. Key points over [0, π]: (0, 2), (π/4, 0), (π/2, −2), (3π/4, 0), (π, 2). Same cosine shape, twice as tall, twice as fast. (iii) y = tan 2x on [−π, π]: period π/2. Asymptotes where 2x = ±π/2, ±3π/2, …, i.e. x = ±π/4, ±3π/4 (inside the interval). Between asymptotes each branch climbs from −∞ to +∞ through 0 at x = 0, ±π/2, ±π. (iv) y = tan(x/2) on [−2π, 2π]: period 2π. Asymptotes where x/2 = ±π/2, i.e. x = ±π. Branches pass through (0, 0) and (±2π, 0), climbing from −∞ to +∞ on each branch. (v) y = sin(πx/2) on [0, 2π]: period 2π/(π/2) = 4. Key points: x = 0 → 0, 1 → 1, 2 → 0, 3 → −1, 4 → 0, 5 → 1, 6 → 0; at the interval end x = 2π ≈ 6.28 the value is sin(π²) ≈ −0.43, so the curve is cut mid-fall at the right edge. (vi) y = cos(πx/2) on [−π, π]: period 4. Key points: x = 0 → 1, ±1 → 0, ±2 → −1, ±3 → 0; at the endpoints x = ±π ≈ ±3.14 the value is cos(±π²/2) ≈ 0.22, so the curve ends just above the axis on both sides.
(i) sin x has period 2π and amplitude 1; sin 2x has period π and amplitude 1. On [0, 2π], sin x completes one wave while sin 2x completes two — the second curve crosses the axis twice as often and meets the first at x = 0, π/3? No: they meet where sin x = sin 2x, i.e. sin x = 2 sin x cos x, so sin x = 0 or cos x = 1/2, giving x = 0, π/3, π, 5π/3, 2π in [0, 2π]. Between meetings, sin 2x rises above sin x on (0, π/3) and falls below it on (π/3, π). (ii) cos x has period 2π, cos 2x has period π, both amplitude 1. On [0, 2π], cos 2x completes two waves against cos x's one; they meet where cos x = cos 2x, i.e. cos x = 2cos²x − 1, i.e. (2cos x + 1)(cos x − 1) = 0, giving cos x = 1 or cos x = −1/2, so x = 0, 2π/3, 4π/3, 2π in [0, 2π].
(i) Draw y = sin x and y = cos x on [0, π]. They cross where sin x = cos x, i.e. tan x = 1, i.e. x = π/4 — the only crossing in this interval (the next, 5π/4, lies outside). So the graphical solution is x = π/4. (ii) Draw y = sin x and the line y = x on [0, π]. They meet at x = 0. For every x > 0 in the interval, the line y = x lies strictly above the sine curve (sin x < x for x > 0), so there is no further crossing. Solution: x = 0 only.
For a + b sin/cos, maximum = a + |b| and minimum = a − |b|. For reciprocals, find the denominator's range first, then flip: the reciprocal's maximum sits over the denominator's minimum. (i) 3 − sin 3x: max 3 + 1 = 4, min 3 − 1 = 2. (ii) 3 + sin 2x: max 4, min 2. (iii) 1/2 + sin(5x + π): max 3/2, min −1/2. (iv) 3/2 + cos(x − π/4): max 5/2, min 1/2. (v) 1 − 3 cos 2x: max 1 + 3 = 4, min 1 − 3 = −2. (vi) 1 + 2 sin(x + π/6): max 3, min −1. (vii) 10 − 2 sin 3x ranges over [8, 12], so the reciprocal ranges over [1/12, 1/8]: max 1/8, min 1/12. (viii) cos(−2x) = cos 2x, so 7 + 3 cos 2x ranges over [4, 10]: max 1/4, min 1/10. (ix) 5 − 3 cos(3x − 1) ranges over [2, 8]: max 1/2, min 1/8.
This is 15 + (13/2) sin(…), so maximum = 15 + 13/2 = 21.5 °C and minimum = 15 − 13/2 = 8.5 °C. At 9 a.m., t = 9: T(9) = 15 + (13/2) sin(9π/6 − π/9) = 15 + (13/2) sin(3π/2 − π/9). Now sin(3π/2 − π/9) = −sin(7π/18) ≈ −0.9397, so T(9) ≈ 15 − (13/2)(0.9397) ≈ 8.89 °C — a cold morning, near the daily minimum.
Angle of depression equals angle of elevation from the ship, so the nearer ship's distance from the cliff foot is 100/tan 19° and the farther ship's is 100/tan 17°. Compute: 100/tan 17° ≈ 100/0.3057 ≈ 327.1 m; 100/tan 19° ≈ 100/0.3443 ≈ 290.5 m. Distance between the ships ≈ 327.1 − 290.5 ≈ 36.6 m.
Let the tree's height be h and the nearer point's distance from the foot be d. Then h = d tan 15° and h = (d + 30) tan 12°. Equate: d tan 15° = (d + 30) tan 12°, so d = 30 tan 12°/(tan 15° − tan 12°) ≈ 30(0.2126)/(0.2679 − 0.2126) ≈ 115.2 m. Then h = 115.2 × tan 15° ≈ 115.2 × 0.2679 ≈ 30.9 m.
Radius = 30 ft, centre height = 6 + 30 = 36 ft, angular speed = 2π/80 = π/40 rad/s. Starting at the lowest point, the height is h(t) = −30 cos(πt/40) + 36 (the minus sign because the rider starts at the bottom and cosine starts at the top). Maximum height = 36 + 30 = 66 ft. After 35 s: h(35) = −30 cos(35π/40) + 36 = −30 cos(7π/8) + 36 = −30(−0.9239) + 36 ≈ 63.7 ft.
Maximum = 1.5 + 1.2 = 2.7 m; minimum = 1.5 − 1.2 = 0.3 m. Period = 2π/(3π) = 2/3 s. For h = 2.12: 1.5 + 1.2 sin(3πt) = 2.12, so sin(3πt) = 0.62/1.2 ≈ 0.5167. The first positive solution is 3πt ≈ 0.5435 rad, giving t ≈ 0.5435/(3π) ≈ 0.058 s.
⚠️ Assumption flagged (not a book fact): the book gives no starting position for the rider. Following Example 3's setup, we assume the rider starts at the lowest point. Then radius = 20 ft, angular speed = 2π/120 = π/60 rad/s, and h(t) = −20 cos(πt/60) + 28. After 90 s: h(90) = −20 cos(3π/2) + 28 = −20(0) + 28 = 28 ft (the rider is exactly at centre height, moving up). For h = 36: −20 cos(πt/60) = 8, so cos(πt/60) = −0.4, giving πt/60 ≈ 1.9823 or 4.3009 rad, i.e. t ≈ 37.9 s or 82.1 s (then repeating every 120 s). If the rider started elsewhere, the phase — and these times — would shift; the book does not say.
(a) At 9 a.m., t = 9: T = 64 + 8 sin(π/12) ≈ 64 + 8(0.2588) ≈ 66.1 °F. (b) Maximum when sin = 1, i.e. π(t − 8)/12 = π/2, so t − 8 = 6, t = 14 — 2 p.m. (c) Maximum = 64 + 8 = 72 °F.
(a) P(7) = 70000 + 10000 cos(7π/6 − π/2) = 70000 + 10000 cos(2π/3) = 70000 + 10000(−1/2) = 65000. (b) Maximum = 70000 + 10000 = 80000 (reached when cos = 1, i.e. πt/6 − π/2 = 0, t = 3 months).
اس باب میں کیا ہے؟ Trigonometric functions کی پہچان اور ان کے graphs: پہلے domain اور range (unit circle se), پھر even/odd symmetry, پھر period, پھر پانچ steps سے sine, cosine اور tangent کے graphs, اور آخر میں a + b sin(cθ + d) والی sinusoidal شکلیں اور ان کے اصل-دنیا استعمال — Ferris wheel, سمندر کی لہر, درخت کی اونچائی.
Revision guidance: پہلے domain/range table زبانی کرو, پھر پانچ graph steps کو ایک sine graph پر عمل کر کے پکا کرو — باقی graphs اسی کی نقل ہیں. Max/min کے لیے صرف M = a + |b| اور reciprocal والی flip یاد رکھو. Graph والے سوالوں (Exercise 11.2) میں smooth curve اور asymptotes کا خیال رکھو; سیدھی lakeerein number katwati ہیں. Exercise: 📝 Official Exercise Questions — with Answers (14 questions, 57 parts; no MCQs, no review exercise in this unit). Flags: section 11.4.4 کی tan-approach wording garbled (correct version اندر ہے); section 11.1.2 کی sec-range والی line garbled (correct range دی گئی ہے); Exercise 11.3 Q7 میں starting position book میں نہیں — lowest-point assumption label کر کے دی گئی ہے.
اس باب میں مثلثیاتی تفاعل اور ان کے گراف ہیں: میدان و حدود، جفت و طاق تماثل، دورانیہ، سائن، کوسائن اور ٹینجنٹ کے گراف، اور سائنوسائیڈل صورتوں کے حقیقی استعمال۔
امتحان کے لیے تین چیزیں سب سے اہم ہیں: چھوں نسبتوں کی میدان/حدود جدول، گراف بنانے کے پانچ مراحل، اور a + b sin(cθ + d) میں a، |b|، دورانیہ اور فیز شفٹ کا مطلب۔ ان تینوں پر عبور حاصل کر لیں تو اس باب کی مشقیں آسان لگیں گی۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 1 Mathematics, Chapter 11 (New Book, Session 2026–27) • English + Urdu