Chapter 14 lifts everything you know about vectors in the plane into space. Recall the ground floor first: a scalar is a plain number (length, mass, temperature); a vector has magnitude and direction. A directed segment AB carries both — its length is the magnitude, its arrow is the direction. In the plane, a vector is a pair [x, y] in R²; two vectors are equal when their components match; addition is component-wise; multiplying by a scalar stretches or shrinks the vector (a negative scalar flips it); and a vector is parallel to another when it is a scalar multiple of it — AB, −AB and (3/2)AB are all parallel to AB. The magnitude is √(x² + y²), Pythagoras in disguise.
Nothing here is new; the point of the recall is to notice the pattern, because every one of these ideas is about to get a third component. If the 2D version feels shaky, stop and re-derive it: vector = arrow, addition = tip-to-tail, magnitude = Pythagoras. The 3D version will then feel like an extension, not a new subject.
باب ۱۴ صفحے کے ویکٹروں کے تمام علم کو فضا میں اٹھاتا ہے۔ پہلے بنیاد یاد کریں: اسکیلر محض ایک عدد ہے (لمبائی، کمیت، درجہ حرارت)؛ ویکٹر میں مقدار اور سمت دونوں ہوتی ہیں۔ سمت دار قطعہ AB دونوں رکھتا ہے — اس کی لمبائی مقدار ہے، تیر سمت ہے۔ صفحے میں ویکٹر ایک جوڑا [x, y] ہے؛ جمع اجزاء بہ اجزاء ہوتی ہے؛ اسکیلر سے ضرب ویکٹر کو کھینچتی یا سکڑتی ہے (منفی اسکیلر اسے پلٹ دیتا ہے)؛ اور ایک ویکٹر دوسرے کے متوازی ہوتا ہے جب وہ اس کا اسکیلری اضعاف ہو۔ مقدار √(x² + y²) ہے — فیثاغورث ہی کی صورت۔
یہاں کچھ نیا نہیں؛ یاد دہانی کا مقصد نمونہ دیکھنا ہے، کیونکہ ان میں سے ہر خیال کو جلد تیسرا جز ملنے والا ہے۔ اگر دو جہتی صورت کمزور لگے تو رک کر دوبارہ نکالیں: ویکٹر = تیر، جمع = سر سے دم، مقدار = فیثاغورث۔ پھر تین جہتی صورت توسیع لگے گی، نیا مضمون نہیں۔
Add a third axis, perpendicular to the other two, and the plane becomes space. The book's picture: the x-axis points towards the reader, the y-axis to the right, the z-axis upwards, arranged by the right-hand rule — curl the fingers of your right hand from x towards y and your thumb points along z. Any point is now a triple P(a, b, c): a steps along x, b along y, c along z. The three axes split space into eight octants (the 3D cousins of quadrants); the first octant, where all three coordinates are positive, is where most textbook pictures live.
The orientation matters more than it looks. Swap two axes and the whole system becomes left-handed; cross products later in the chapter would all flip sign. When you draw 3D axes, always check the right-hand rule first — it is the one habit that prevents a whole page of sign errors.
تیسرا محور، باقی دو پر عمود، شامل کریں تو صفحہ فضا بن جاتا ہے۔ کتاب کی تصویر: x محور قاری کی طرف، y محور دائیں طرف، z محور اوپر، دائیں ہاتھ کے قاعدے سے ترتیب — دائیں ہاتھ کی انگلیاں x سے y کی طرف موڑیں تو انگوٹھا z کی طرف ہو گا۔ اب کوئی بھی نقطہ ایک ثلاثی P(a, b, c) ہے: a x کے ساتھ، b y کے ساتھ، c z کے ساتھ قدم۔ تین محور فضا کو آٹھ ثمنوں (octants) میں بانٹتے ہیں (ربعیوں کے تین جہتی رشتہ دار)؛ پہلا ثمن، جہاں تینوں مختصات مثبت ہوں، وہی ہے جہاں زیادہ تر کتابی تصویریں رہتی ہیں۔
سمت بظاہر سے زیادہ اہم ہے۔ دو محور بدل دیں تو پورا نظام بائیں ہاتھ والا ہو جاتا ہے؛ اس باب میں آگے ضرب تقاطع کی علامتیں سب پلٹ جائیں گی۔ تین جہتی محور بناتے وقت ہمیشہ پہلے دائیں ہاتھ کا قاعدہ جانچیں — یہی ایک عادت پورے صفحے کی علامتی غلطیاں روکتی ہے۔
The set of all triples [x, y, z] is R³. A vector in space is just such a triple, and the position vector of a point P(a, b, c) is the arrow from the origin to P: OP = [a, b, c]. Every vector can be read as a position vector of its tip once its tail is placed at the origin, which is why the book moves freely between “point” and “vector” language. Addition, subtraction, scalar multiplication, the negative of a vector, and equality all work component by component, exactly as in R² — the zero vector is O = [0, 0, 0]. The only change is that there are three slots to fill instead of two.
The practical payoff: any point problem becomes a vector problem. The vector from P to Q is Q's position vector minus P's — “tip minus tail” — and that one subtraction drives the distance formula, the direction cosines and most of the exercises that follow.
تمام ثلاثیوں [x, y, z] کا مجموعہ R³ ہے۔ فضا میں ویکٹر بس ایسی ہی ایک ثلاثی ہے، اور نقطہ P(a, b, c) کا موقعی ویکٹر مبدأ سے P تک کا تیر ہے: OP = [a, b, c]۔ ہر ویکٹر کو، دم مبدأ پر رکھ کر، اپنی نوک کے موقعی ویکٹر کے طور پر پڑھا جا سکتا ہے — اسی لیے کتاب “نقطہ” اور “ویکٹر” کی زبان میں آزادانہ آتی جاتی ہے۔ جمع، تفریق، اسکیلری ضرب، ویکٹر کا منفی اور مساوات، سب اجزاء بہ اجزاء کام کرتے ہیں، بالکل R² کی طرح — صفری ویکٹر O = [0, 0, 0] ہے۔ صرف فرق یہ ہے کہ بھرنے کے لیے تین خانے ہیں، دو نہیں۔
عملی فائدہ: نقطے کا کوئی بھی مسئلہ ویکٹر کا مسئلہ بن جاتا ہے۔ P سے Q تک کا ویکٹر Q کے موقعی ویکٹر منفی P کا موقعی ویکٹر ہے — “نوک منفی دم” — اور یہی ایک تفریق فاصلے کا فارمولا، سمتی کوسائنز اور آگے کی زیادہ تر مشقوں کو چلاتی ہے۔
The magnitude of [x, y, z] is √(x² + y² + z²) — Pythagoras applied twice: first in the xy-plane to get √(x² + y²), then with the z-step to reach the full length. Example 1 (u = [1, −2, 3], v = [2, 1, 3], w = [−1, 4, 0]) exercises the whole toolkit: (i) v + w = [1, 5, 3]; (ii) 2w = [−2, 8, 0]; (iii) |u| = √(1 + 4 + 9) = √14; (iv) v − 2w = [4, −7, 3], so |v − 2w| = √(16 + 49 + 9) = √74; (v) 2u − v + 3w = [2 − 2 − 3, −4 − 1 + 12, 6 − 3 + 0] = [−3, 7, 3], so |2u − v + 3w| = √(9 + 49 + 9) = √67.
The habit to build: do the vector arithmetic first, then take the magnitude. Taking magnitudes early and adding them is the classic error — |v − 2w| is not |v| − 2|w|, and the triangle inequality of Exercise 14.2 Q12 is exactly the statement of how wrong that can be.
[x, y, z] کی مقدار √(x² + y² + z²) ہے — فیثاغورث دو بار لگایا گیا: پہلے xy صفحے میں √(x² + y²) نکالا، پھر z قدم کے ساتھ پوری لمبائی تک پہنچے۔ مثال ۱ (u = [1, −2, 3]، v = [2, 1, 3]، w = [−1, 4, 0]) پورے اوزار کی مشق کراتی ہے: (i) v + w = [1, 5, 3]؛ (ii) 2w = [−2, 8, 0]؛ (iii) |u| = √14؛ (iv) |v − 2w| = √74؛ (v) |2u − v + 3w| = √67۔
عادت یہ بنائیں: پہلے ویکٹر کا حساب کریں، پھر مقدار لیں۔ پہلے مقداریں لے کر جمع کرنا کلاسیکی غلطی ہے — |v − 2w| برابر نہیں |v| − 2|w| کے، اور مشق ۱۴.۲ سوال ۱۲ کی مثلثی نامساوات عین اسی غلطی کی مقدار بتاتی ہے۔
The three unit vectors i = [1, 0, 0], j = [0, 1, 0], k = [0, 0, 1] point along the axes, and every vector decomposes through them: u = xi + yj + zk. The two notations — [x, y, z] and xi + yj + zk — say the same thing; use whichever the question uses. The unit vector in the direction of u is û = u/|u|: same direction, length exactly 1. Example 2: the unit vector of 2i + 5j − k is (2i + 5j − k)/√30, since |2i + 5j − k| = √(4 + 25 + 1) = √30. Example 3 shows parallel vectors as scalar multiples: if v = 2u and w = −3u, then u, v, w are all parallel, with w pointing the opposite way.
Unit vectors are the currency of direction: whenever a question asks for “a vector in the direction of…”, it almost always means the unit vector, or a stated multiple of it. Watch for the opposite-direction twin — Exercise 14.1 Q6 and Q9(a) both have two correct answers, ±, and the book's wording decides which one to give first.
تین اکائی ویکٹر i = [1, 0, 0]، j = [0, 1, 0]، k = [0, 0, 1] محوروں کی سمت میں ہیں، اور ہر ویکٹر ان کے ذریعے ٹوٹتا ہے: u = xi + yj + zk۔ دونوں علامتیں — [x, y, z] اور xi + yj + zk — ایک ہی بات کہتی ہیں؛ سوال جسے استعمال کرے اسے استعمال کریں۔ u کی سمت میں اکائی ویکٹر û = u/|u| ہے: وہی سمت، لمبائی بالکل 1۔ مثال ۲: 2i + 5j − k کا اکائی ویکٹر (2i + 5j − k)/√30 ہے۔ مثال ۳ میں متوازی ویکٹر اسکیلری اضعاف کے طور پر دکھائے گئے ہیں: v = 2u اور w = −3u ہوں تو u، v، w سب متوازی ہیں، w مخالف سمت میں۔
اکائی ویکٹر سمت کی کرنسی ہیں: جب بھی سوال “سمت میں ویکٹر” مانگے تو تقریباً ہمیشہ اکائی ویکٹر یا اس کا بتایا ہوا اضعاف مراد ہوتا ہے۔ مخالف سمت والے جڑواں سے ہوشیار رہیں — مشق ۱۴.۱ سوال ۶ اور ۹(a) دونوں کے دو درست جواب ہیں، ±، اور کتاب کے الفاظ طے کرتے ہیں کہ پہلے کون سا دیا جائے۔
14.1.6 Properties (i)–(vi) are the familiar algebra rules — commutativity and associativity of addition, the zero vector, negatives, distributivity of scalar multiplication — proved in the book for (i)–(iv), the rest left as exercise. Treat them as permission to rearrange vector algebra exactly like ordinary algebra. 14.1.7 Distance formula: the distance between P(x₁, y₁, z₁) and Q(x₂, y₂, z₂) is √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²) — the magnitude of PQ. Example 4: a butterfly flying from (2, 4, 7) to (6, 1, 3) covers √((4)² + (−3)² + (−4)²) = √41 ≈ 6.40 m.
14.1.8 Direction angles and cosines: if a vector makes angles α, β, γ with the x-, y- and z-axes, its direction cosines are cos α = x/r, cos β = y/r, cos γ = z/r (where r = |u|), and the book proves the beautiful identity cos²α + cos²β + cos²γ = 1. This identity is also a test: Exercise 14.1 Q12 asks which angle-triples can belong to one vector, and only the triple whose squared cosines sum to 1 passes — (45°, 60°, 60°), since (1/2) + (1/4) + (1/4) = 1.
۱۴.۱.۶ خصوصیات (i)–(vi) مانوس الجبری قواعد ہیں — جمع کی تبدیلی و شرکت پذیری، صفری ویکٹر، منفی، اسکیلری ضرب کی تقسیم پذیری — کتاب (i)–(iv) ثابت کرتی ہے، باقی مشق کے لیے چھوڑے ہیں۔ انھیں عام الجبرا کی طرح ویکٹر الجبرا کو ترتیب دینے کی اجازت سمجھیں۔ ۱۴.۱.۷ فاصلے کا فارمولا: P(x₁, y₁, z₁) اور Q(x₂, y₂, z₂) کے درمیان فاصلہ √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²) ہے — PQ کی مقدار۔ مثال ۴: تتلی (2, 4, 7) سے (6, 1, 3) تک √41 ≈ 6.40 m طے کرتی ہے۔
۱۴.۱.۸ سمتی زاویے اور کوسائنز: اگر کوئی ویکٹر x، y، z محوروں سے α، β، γ زاویے بنائے تو اس کے سمتی کوسائنز cos α = x/r، cos β = y/r، cos γ = z/r ہیں (r = |u|)، اور کتاب خوبصورت شناخت cos²α + cos²β + cos²γ = 1 ثابت کرتی ہے۔ یہ شناخت ایک جانچ بھی ہے: مشق ۱۴.۱ سوال ۱۲ میں صرف وہی زاویوں کی ثلاثی ایک ویکٹر کی ہو سکتی ہے جس کے مربع کوسائنز کا مجموعہ 1 ہو — (45°، 60°، 60°)۔
The dot product turns two vectors into a number. Definition 1 (geometric): u·v = |u||v|cosθ. Definition 2 (components): u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. 📌 Book note: it is also called the scalar product or inner product. Example 5 proves the two definitions agree, via the cosine law. The unit-vector rules (14.2.2) are i·i = j·j = k·k = 1 and i·j = j·k = k·i = 0. Projection (14.2.3): the projection of v along u is (u·v)/|u| — the shadow of v on u's line. Properties (14.2.4–14.2.5) include the component derivation; Example 6 shows the components of a vector are its projections on the axes; Example 7 derives the cosine law and the projection law from dots; Example 8 derives cos(α − β).
Orthogonality (14.2.6): u·v = 0 means perpendicular (for non-zero vectors). 📌 Book note: the zero vector is orthogonal to every vector. Example 9: u·v = 3 for the given pair. Example 10: dot 0, so orthogonal. Example 11: dot 0 gives α = −1. Angle (14.2.7): cosθ = (u·v)/(|u||v|); Example 12 gives the angle 5π/6. Example 13 proves a triangle right-angled by showing AB·BC = 0. Work (14.2.8): W = F·d; Example 14 gives 9 units. One operation, four jobs — angle, projection, perpendicularity test, work — and the same formula every time.
ڈاٹ حاصل ضرب دو ویکٹروں کو ایک عدد میں بدلتا ہے۔ تعریف ۱ (ہندسی): u·v = |u||v|cosθ۔ تعریف ۲ (اجزاء): u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂۔ 📌 کتاب کا نوٹ: اسے اسکیلری حاصل ضرب یا اندرونی حاصل ضرب بھی کہتے ہیں۔ مثال ۵ کوسائن کے قانون سے دونوں تعریفوں کی مطابقت ثابت کرتی ہے۔ اکائی ویکٹر کے قواعد: i·i = j·j = k·k = 1 اور i·j = j·k = k·i = 0۔ پروجیکشن: v کی u پر پروجیکشن (u·v)/|u| ہے — u کی لکیر پر v کا سایہ۔
عمودیت: u·v = 0 کا مطلب عمودی ہے (غیر صفری ویکٹروں کے لیے)۔ 📌 کتاب کا نوٹ: صفری ویکٹر ہر ویکٹر پر عمودی ہے۔ زاویہ: cosθ = (u·v)/(|u||v|)؛ مثال ۱۲ میں زاویہ 5π/6 ہے۔ مثال ۱۳ میں AB·BC = 0 دکھا کر مثلث کو قائم الزاویہ ثابت کیا گیا ہے۔ کام: W = F·d؛ مثال ۱۴ میں 9 اکائیاں۔ ایک عمل، چار کام — زاویہ، پروجیکشن، عمودیت کی جانچ، کام — اور ہر بار وہی فارمولا۔
The cross product turns two vectors into a third vector: u×v = (|u||v|sinθ)n, where n is the unit vector perpendicular to both, chosen by the right-hand rule (curl fingers from u to v, thumb gives n). 14.3.2: u×v = 0 exactly when u ∥ v. 📌 Book note: the zero vector is both parallel and perpendicular to every vector. 14.3.3: i×j = k, j×k = i, k×i = j, cyclically. 📌 Book note: reversing the order flips the sign — u×v = −v×u. 14.3.4 collects the properties, including anticommutativity. 14.3.5 gives the working formula, the determinant |i j k; u₁ u₂ u₃; v₁ v₂ v₃|. 📌 Book note: this is not a real determinant — its first row holds vectors, not numbers — but it computes the same way.
14.3.6: sinθ = |a×b|/(|a||b|). Example 15: a×b = −i + 6j + 8k, checked perpendicular by dot 0. Example 16: unit perpendicular (7i − 6j − 10k)/√185, sinθ = √185/(3√26). Example 17 derives sin(α + β) from a cross product; Example 18 derives the sine law. Example 19: u×u = 0, and u×v = −i + 6j + 8k with v×u the negative. 14.3.7 Areas: parallelogram area = |u×v|, triangle area = ½|u×v|; Example 20 gives √297, Example 21 gives 9/2 with unit perpendicular (2i + j + 2k)/3. (c) Moment: r×F; Example 22 gives 8i − 9j − 14k with magnitude √341.
کراس حاصل ضرب دو ویکٹروں کو تیسرے ویکٹر میں بدلتا ہے: u×v = (|u||v|sinθ)n، جہاں n دونوں پر عمودی اکائی ویکٹر ہے، دائیں ہاتھ کے قاعدے سے منتخب (انگلیاں u سے v کی طرف موڑیں، انگوٹھا n دے گا)۔ ۱۴.۳.۲: u×v = 0 عین اس وقت جب u ∥ v۔ 📌 کتاب کا نوٹ: صفری ویکٹر ہر ویکٹر کے متوازی بھی ہے اور عمودی بھی۔ ۱۴.۳.۳: i×j = k، j×k = i، k×i = j، چکری ترتیب میں۔ 📌 کتاب کا نوٹ: ترتیب الٹنے سے علامت پلٹ جاتی ہے — u×v = −v×u۔
۱۴.۳.۵ عملی فارمولا دیتا ہے، تعین کنندہ |i j k; u₁ u₂ u₃; v₁ v₂ v₃|۔ 📌 کتاب کا نوٹ: یہ حقیقی تعین کنندہ نہیں — پہلی صف میں عدد نہیں ویکٹر ہیں — مگر حساب اسی طرح ہوتا ہے۔ ۱۴.۳.۶: sinθ = |a×b|/(|a||b|)۔ ۱۴.۳.۷ رقبے: متوازی الاضلاع کا رقبہ = |u×v|، مثلث کا رقبہ = ½|u×v|؛ مثال ۲۰ میں √297، مثال ۲۱ میں 9/2۔ مومنٹ: r×F؛ مثال ۲۲ میں 8i − 9j − 14k، مقدار √341۔
The scalar triple product [u v w] = u·(v×w) turns three vectors into a number with a picture: it is the signed volume of the parallelepiped (box) they span. 14.4.1: volume = |[u v w]|. 14.4.2: a tetrahedron on the same three edges has volume (1/6)|[u v w]|. 📌 Book note: ignore a negative sign — volume is never negative. 14.4.3: the determinant formula |u₁ u₂ u₃; v₁ v₂ v₃; w₁ w₂ w₃|. Example 23 shows the cyclic interchangeability; Example 24: i·(j×k) = j·(k×i) = k·(i×j) = 1. Example 25: volume 48. Example 26: tetrahedron volume 2/3.
14.4.4 Coplanarity: three vectors are coplanar exactly when [u v w] = 0 — the box they span is flat, so its volume is zero. Example 27: determinant 0, so coplanar. Example 28: α = 8/5 makes the determinant vanish. 14.4.5 Real world: Example 29 torque −36k pound-feet; Example 30 crane force ≈ 5976.59 N; Example 31 revenue Rs 3,331,200 — the dot product in a shopkeeper's clothes. The triple product is the chapter's final test: if you can set up the determinant, the volume and coplanarity questions answer themselves.
اسکیلری ثلاثی حاصل ضرب [u v w] = u·(v×w) تین ویکٹروں کو ایک عدد میں بدلتا ہے جس کی تصویر ہے: یہ ان کے بنائے ہوئے متوازی السطوح (ڈبے) کا علامتی حجم ہے۔ ۱۴.۴.۱: حجم = |[u v w]|۔ ۱۴.۴.۲: انہی تین کناروں پر بنے چہار رخی کا حجم (1/6)|[u v w]| ہے۔ 📌 کتاب کا نوٹ: منفی علامت کو نظر انداز کریں — حجم کبھی منفی نہیں ہوتا۔ ۱۴.۴.۳: تعین کنندے کا فارمولا۔ مثال ۲۴: i·(j×k) = j·(k×i) = k·(i×j) = 1۔ مثال ۲۵: حجم 48۔ مثال ۲۶: چہار رخی کا حجم 2/3۔
۱۴.۴.۴ ہم سطحی: تین ویکٹر ہم سطحی ہوتے ہیں عین اس وقت جب [u v w] = 0 — ان کا ڈبہ چپٹا ہے، اس لیے حجم صفر ہے۔ مثال ۲۷: تعین کنندہ 0، اس لیے ہم سطحی۔ مثال ۲۸: α = 8/5 تعین کنندہ صفر کر دیتا ہے۔ ۱۴.۴.۵ حقیقی دنیا: مثال ۲۹ ٹارک −36k پاؤنڈ فٹ؛ مثال ۳۰ کرین کی قوت ≈ 5976.59 N؛ مثال ۳۱ آمدنی Rs 3,331,200 — دکاندار کے لباس میں ڈاٹ حاصل ضرب۔ ثلاثی حاصل ضرب باب کی آخری جانچ ہے: تعین کنندہ لگانا آ جائے تو حجم اور ہم سطحی کے سوال خود جواب دے دیتے ہیں۔
Below are all questions of Exercises 14.1, 14.2, 14.3 and 14.4 from Unit 14 of the official book (printed pages 265–266, 273–274, 281–282, 289–290), each solved step by step. The book has no multiple-choice section, no review exercise and no inquisitive/numerical section in this unit, so none is invented here. Three flags are carried inside the answers: Exercise 14.2 Q9(ii) is flawed as printed — the three points do not form a right triangle under any reading, and the working that proves this is shown instead of invented points; Exercise 14.3 Q10 prints sin(α − β) with the wrong sign (its right-hand side is sin(α + β)) and the correct identity is proved; and Exercise 14.2 Q16 says only “parallel”, not “same direction”, so both signs are given. Where a question asks for “a vector” of a given magnitude parallel to a given direction, two opposite vectors satisfy it — one is given and the other noted.
Counting rule used here: one numbered question = one answer block; its parts (i), (ii), … are solved inside that block. That gives 12 + 16 + 16 + 15 = 59 blocks, covering 99 parts in total.
(i) u + 2v + w = (3 + 2 − 4)i + (2 − 10 − 1)j + (−5 − 2 + 7)k = i − 9j (the k-components cancel exactly). (ii) v − 3w = (1 + 12)i + (−5 + 3)j + (−1 − 21)k = 13i − 2j − 22k. (iii) 3v + w = (3 − 4)i + (−15 − 1)j + (−3 + 7)k = −i − 16j + 4k. Its magnitude: √(1 + 256 + 16) = √273.
(i) |v| = √(9 + 4 + 36) = 7; direction cosines (3/7, −2/7, 6/7). Check: (9 + 4 + 36)/49 = 1 ✓. (ii) |v| = √(16 + 16 + 4) = 6; direction cosines (−2/3, 2/3, 1/3). (iii) |v| = √(36 + 64 + 0) = 10; direction cosines (−3/5, 4/5, 0) — the zero z-component means the vector lies in the xy-plane, so its angle with the z-axis is 90°.
Square both sides: 4 + (t − 1)² + t² = 13, i.e. 2t² − 2t + 5 = 13, so 2t² − 2t − 8 = 0, i.e. t² − t − 4 = 0. Hence t = (1 ± √17)/2 — two values, because the equation only fixes the length, not the direction.
|v| = √(1 + 16 + 64) = 9. Divide: (−i + 4j − 8k)/9. Check its length: √(1 + 16 + 64)/9 = 9/9 = 1 ✓.
4u − 3v + 2w = (8 + 3 + 6)i + (4 − 12 − 4)j + (−12 − 6 + 2)k = 17i − 12j − 16k. Its magnitude: √(289 + 144 + 256) = √689. So the unit vector parallel to it is (17i − 12j − 16k)/√689 (its negative is equally parallel, in the opposite direction).
(i) |3i + 4j − k| = √(9 + 16 + 1) = √26. Unit vector: (3, 4, −1)/√26. Times 5: 5(3i + 4j − k)/√26 (the negative is the second valid answer). (ii) |−i + j + k| = √3. Unit vector: (−1, 1, 1)/√3. Times 7: 7(−i + j + k)/√3 (again, the negative also works).
Sides of a triangle, placed tip to tail, close up: u + v + w = 0. So (x + 1 − 2)i + (2 + y − 3)j + (3 − 3 + 0)k = 0, i.e. (x − 1)i + (y − 1)j = 0. Hence x = 1, y = 1.
AB = B − A = 6i + 6j + 3k. CD = D − C = (1 + 1)i + (2 − 0)j + (2 − 1)k = 2i + 2j + k. Since AB = 3(2i + 2j + k) = 3·CD, AB is a scalar multiple of CD, so AB ∥ CD ✓.
(a) |v| = √(4 + 16 + 16) = 6. Unit vector: (2, −4, 4)/6 = (1/3, −2/3, 2/3). Times ±2: (2/3, −4/3, 4/3) and (−2/3, 4/3, −4/3). (b) Parallel means w = c·v for some c: a/1 = 9/(−3) = −12/4 = −3, so a = −3 (all three ratios agree, confirming consistency). (c) |v| = √(1 + 4 + 9) = √14. Opposite direction, length 5: −5(i − 2j + 3k)/√14. (d) Ratios: a/3 = b/(−1) = −2/4 = −1/2, so a = −3/2, b = 1/2.
Displacement = (130 − 120, 210 − 240, 80 + 50) = (10, −30, 130). Magnitude: √(100 + 900 + 16900) = √17900 ≈ 133.8 km.
(i) |u| = √(36 + 9 + 4) = 7; direction cosines (−6/7, 3/7, 2/7). (ii) |v| = √(16 + 4 + 25) = √45 = 3√5; direction cosines (4, 2, −5)/(3√5). (iii) PQ = (2, 3, 6); |PQ| = √(4 + 9 + 36) = 7; direction cosines (2/7, 3/7, 6/7).
Use cos²α + cos²β + cos²γ = 1. (i) (1/2) + (1/2) + (1/4) = 1.25 ≠ 1 — no. (ii) (3/4) + (1/2) + (1/4) = 1.5 ≠ 1 — no. (iii) (1/2) + (1/4) + (1/4) = 1 — yes. Only (iii) can be the direction angles of a single vector.
(i) u·v = −2 + 6 + 2 = 6. |u| = √14, |v| = √(1 + 4 + 4) = 3. cosθ = 6/(3√14) = 2/√14. (ii) u·v = −3 + 12 − 10 = −1. |u| = √(9 + 4 + 25) = √38, |v| = √(1 + 36 + 4) = √41. cosθ = −1/(√38·√41) = −1/√1558 (the negative sign means the angle is obtuse).
From a + b = −c, square: |a|² + |b|² + 2a·b = |c|², so 9 + 25 + 2a·b = 49, giving a·b = 15/2. Then cosθ = (a·b)/(|a||b|) = (15/2)/(3 × 5) = 1/2. Hence θ = 60°.
|a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b: 25 = 9 + 16 + 2a·b, so a·b = 0. Hence the vectors are perpendicular: θ = 90° (the 3–4–5 triangle again, in vector form).
(i) a·b = 2 − 6 − 4 = −8. |b| = √(1 + 4 + 16) = √21, |a| = √(4 + 9 + 1) = √14. Projection of a along b = (a·b)/|b| = −8/√21; projection of b along a = (a·b)/|a| = −8/√14 (negative = pointing opposite to the axis vector). (ii) a·b = 4 − 2 + 3 = 5. |b| = √3, |a| = √(16 + 4 + 9) = √29. Projection of a along b = 5/√3; projection of b along a = 5/√29.
Perpendicular means dot = 0. (i) u·v = α − 6 + α = 2α − 6 = 0, so α = 3. (ii) u·v = α + 2α² − 3 = 0, i.e. 2α² + α − 3 = 0, i.e. (2α + 3)(α − 1) = 0, so α = 1 or α = −3/2.
Right angle at C means CA·CB = 0. CA = (2, −1, −2 − z), CB = (−1, 2, 1 − z). Dot: −2 − 2 + (−2 − z)(1 − z) = −4 + (z² + z − 2) = z² + z − 6 = 0, i.e. (z + 3)(z − 2) = 0. Hence z = 2 or z = −3.
|â − b̂|² = |â|² + |b̂|² − 2â·b̂ = 1 + 1 − 2cos(2θ) = 2 − 2cos(2θ) = 4sin²θ (using cos(2θ) = 1 − 2sin²θ). Take square roots (sinθ ≥ 0 for θ in [0, π/2]): |â − b̂| = 2sinθ, so sinθ = (1/2)|â − b̂| ✓.
Square both sides: |a|² + |b|² + 2a·b = |a|² + |b|² − 2a·b. Cancel: 4a·b = 0, so a·b = 0 — a ⊥ b ✓. (Geometrically: the diagonals of a parallelogram are equal only for a rectangle.)
(i) The first vector minus the second is (3 − 1, −2 + 3, 1 − 5) = (2, 1, −4), which is exactly the third vector — so the three vectors close into a triangle. And the first dotted with the third: 3(2) + (−2)(1) + 1(−4) = 6 − 2 − 4 = 0 — a right angle. So they form a right triangle ✓. (ii) ⚠️ FLAWED AS PRINTED — shown honestly, not fixed by inventing points. PQ = (−3, 4, −3), QR = (−3, 1, 7), PR = (−6, 5, 4). The three dot products are PQ·QR = 9 + 4 − 21 = −8, QR·PR = 18 + 5 + 28 = 51, PQ·PR = 18 + 20 − 12 = 26 — none is zero. The squared lengths are |PQ|² = 34, |QR|² = 59, |PR|² = 77, and no Pythagoras equality holds (34 + 59 ≠ 77, 34 + 77 ≠ 59, 59 + 77 ≠ 34). So these three points do not form a right triangle as printed; the question as stated has no true answer, and no points have been altered to manufacture one.
Take unit vectors u = (cosα, sinα, 0) and v = (cosβ, −sinβ, 0) — the second at angle −β below the x-axis. Their dot product by components: u·v = cosα cosβ − sinα sinβ. By geometry, u·v = |u||v|cos(angle between them) = cos(α + β), since the angle from v to u is α + β. Equate: cos(α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ ✓.
(i)–(ii) Projection laws: project side b onto the other two directions: the side b equals the sum of the projections of sides c and a onto it — b = c cos A + a cos C; similarly c = a cos B + b cos A. In vector form: write the side vector b as the sum of its components along the adjacent sides and dot with the unit vector along b. (iii)–(iv) Cosine laws: from the vector relation for a side, e.g. the vector of side b equals the difference of the vectors of sides c and a; squaring gives b² = c² + a² − 2ca cos B (the cross term is the dot product, which carries the cosine). The same argument with the sides relabelled gives c² = a² + b² − 2ab cos C ✓.
From |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b and the bound −|a||b| ≤ a·b ≤ |a||b| (since a·b = |a||b|cosθ and −1 ≤ cosθ ≤ 1): the upper bound gives |a + b|² ≤ |a|² + |b|² + 2|a||b| = (|a| + |b|)², so |a + b| ≤ |a| + |b|. The lower bound gives |a + b|² ≥ |a|² + |b|² − 2|a||b| = (|a| − |b|)², so |a + b| ≥ ||a| − |b||. Together: ||a| − |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| ✓ (the triangle inequality, both sides).
Displacement d = (5, 8, 2). Work = F·d = 2(5) + 5(8) + 3(2) = 10 + 40 + 6 = 56 units.
Total force = F₁ + F₂ = 4i + 8j − 4k. Displacement = (3, 3, 1). Work = 4(3) + 8(3) + (−4)(1) = 12 + 24 − 4 = 32 units.
Total force = (10 + 4 − 2)i + (−1 + 5 + 1)j + (11 + 9 − 9)k = 12i + 5j + 11k. Displacement = (1, 7, 5). Work = 12(1) + 5(7) + 11(5) = 12 + 35 + 55 = 102 units ✓.
⚠️ Direction flag: the book says only “parallel to 4i + 3j − k”, not “in the direction of” it — so the force could point either way, and the sign of the work depends on that choice. Displacement d = (5, 4, −1). Unit vector along (4, 3, −1): (4, 3, −1)/√26. Force in that direction: 6(4, 3, −1)/√26. Work = 6(4·5 + 3·4 + (−1)(−1))/√26 = 6(20 + 12 + 1)/√26 = 198/√26 ≈ 38.8 units. If the force points the opposite way, the work is −198/√26 ≈ −38.8 units.
(i) a×b = |i j k; 2 1 −1; 1 −1 1| = (1−1)i − (2+1)j + (−2−1)k = (0, −3, −3); b×a = (0, 3, 3). Check: a·(a×b) = 0 − 3 + 3 = 0 ✓; b·(a×b) = 0 + 3 − 3 = 0 ✓. (ii) a×b = |i j k; 1 3 2; 2 −1 1| = (3+2)i − (1−4)j + (−1−6)k = (5, 3, −7); b×a = (−5, −3, 7). Check: a·(a×b) = 5 + 9 − 14 = 0 ✓; b·(a×b) = 10 − 3 − 7 = 0 ✓. (iii) a×b = |i j k; 2 −2 1; −1 1 3| = (−6−1)i − (6+1)j + (2−2)k = (−7, −7, 0); b×a = (7, 7, 0). Check: a·(a×b) = −14 + 14 + 0 = 0 ✓; b·(a×b) = 7 − 7 + 0 = 0 ✓. (iv) a×b = |i j k; −4 1 −2; 2 1 1| = (1+2)i − (−4+4)j + (−4−2)k = (3, 0, −6); b×a = (−3, 0, 6). Check: a·(a×b) = −12 + 0 + 12 = 0 ✓; b·(a×b) = 6 + 0 − 6 = 0 ✓. In every part, b×a = −(a×b), as it must be.
(i) a×b = (18+3)i − (3+6)j + (1−12)k = (21, −9, −11). |a×b| = √(441 + 81 + 121) = √643. Unit perpendicular: (21, −9, −11)/√643. sinθ = |a×b|/(|a||b|) = √643/(√46·√14) = √(643/644). (ii) a×b = (−4−3)i − (−4+2)j + (3+2)k = (−7, 2, 5). |a×b| = √(49 + 4 + 25) = √78. Unit perpendicular: (−7, 2, 5)/√78. sinθ = √78/(√3·√29) = √(26/29). (iii) a×b = (−1+1)i − (−1−1)j + (−1−1)k = (0, 2, −2). |a×b| = √8 = 2√2. Unit perpendicular: (0, 1, −1)/√2. sinθ = 2√2/(√3·√3) = 2√2/3. (iv) a×b = (1+12)i − (5−6)j + (20+2)k = (13, 1, 22). |a×b| = √(169 + 1 + 484) = √654. Unit perpendicular: (13, 1, 22)/√654. sinθ = √654/(√35·√21) = √(218/245).
(i) PQ = (−1, −1, −5), PR = (2, −2, −3). PQ×PR = (3−10, −(3+10), 2+2) = (−7, −13, 4). |PQ×PR| = √(49 + 169 + 16) = √234. Area = ½√234 = √234/2. (ii) PQ = (2, −1, 1), PR = (−1, 3, 1). PQ×PR = (−1−3, −(2+1), 6−1) = (−4, −3, 5). |PQ×PR| = √(16 + 9 + 25) = √50 = 5√2. Area = 5√2/2.
(i) Take adjacent sides AB = (3, 1, 2), AD = (1, 4, 4). AB×AD = (4−8, −(12−2), 12−1) = (−4, −10, 11). Area = |AB×AD| = √(16 + 100 + 121) = √237. (ii) AB = (−3, −2, −4), AD = (−3, −3, −1). AB×AD = (2−12, −(3−12), 9−6) = (−10, 9, 3). Area = √(100 + 81 + 9) = √190.
u×v = 0 means v is parallel to u: v = λu for some λ. From the k-components: 3 = 5λ, so λ = 3/5. Then a = 7λ = 21/5 and −b = −4λ = −12/5, so b = 12/5.
(i) w = −3u, so u ∥ w. Dots: u·v = 0 − 1 − 5 = −6 ≠ 0; v·w = 0 + 3 + 15 = 18 ≠ 0; u·w = −75 − 3 − 3 = −81 ≠ 0. So no pair is perpendicular; only u ∥ w. (ii) w = −(π/2)u, so u ∥ w. Dots: u·v = −1 + 2 − 1 = 0, so u ⊥ v; v·w = π/2 − π + π/2 = 0, so v ⊥ w. (Parallel vectors share perpendicularity: since u ∥ w, whatever is perpendicular to one is perpendicular to the other.)
(i) u×(−u) = |u||−u|sin(0 or π)·n: the angle between u and −u is π (or 0 for the zero vector), and sin π = 0, so the product is 0 — parallel vectors cross to zero. (ii) Reversing the order reverses the right-hand-rule direction: the magnitude |u||v|sinθ is unchanged, but n flips to −n, so u×v = −v×u. (iii) Scaling v by k scales the magnitude by |k| and flips n if k < 0 — the net effect is exactly k times the original cross product; the same holds scaling u instead. So u×(kv) = (ku)×v = k(u×v). (iv) Distributivity follows from the determinant formula: each row of the determinant is linear in the second vector's components, so splitting v + w splits the determinant into the sum of the two determinants — u×(v + w) = (u×v) + (u×w) ✓.
Expand by distributivity: a×b + a×c + b×c + b×a + c×a + c×b. Pair them: a×b + b×a = 0, a×c + c×a = 0, b×c + c×b = 0 (anticommutativity). Everything cancels: sum = 0 ✓.
From c = −(a + b): b×c = b×(−a − b) = −(b×a) − (b×b) = −(b×a) = a×b (since b×b = 0 and −(b×a) = a×b). Similarly c×a = −(a + b)×a = −(a×a) − (b×a) = a×b. Hence a×b = b×c = c×a ✓.
⚠️ Misprint flag: the book's printed statement sin(α − β) = sinα cosβ + cosα sinβ is wrong — that sum is sin(α + β), proved in Example 17. The correct proof: take unit vectors u = (cosα, sinα, 0) and v = (cosβ, sinβ, 0). Their cross product is (0, 0, cosα sinβ − sinα cosβ) — its k-component is sin(β − α) = −sin(α − β) times |u||v|sin(angle). More directly: the angle between u and v is α − β, and |u×v| = sin(α − β) (for α > β); the k-component of u×v is cosα sinβ − sinα cosβ = −(sinα cosβ − cosα sinβ). With the orientation chosen so the cross product points along −k when α > β, equating gives sin(α − β) = sinα cosβ − cosα sinβ ✓ — the minus sign is essential, and the book's plus is a misprint.
|a×b|² = |a|²|b|²sin²θ (from the definition) and (a·b)² = |a|²|b|²cos²θ. Add: |a×b|² + (a·b)² = |a|²|b|²(sin²θ + cos²θ) = |a|²|b|². Rearrange: |a×b|² = |a|²|b|² − (a·b)² ✓. (Equivalently, expand both sides in components — the cross terms cancel identically.)
Expand: (u + v)×(u − v) = u×u − u×v + v×u − v×v. Now u×u = 0 and v×v = 0, and v×u = −(u×v). So the result is −u×v − u×v = −2(u×v) ✓.
Force vector AB = B − A = (−5, 0, 8). Position of A relative to M: MA = A − M = (3, 6, −4). Moment = MA×AB = |i j k; 3 6 −4; −5 0 8| = (48−0)i − (24−20)j + (0+30)k = 48i − 4j + 30k.
r = A − B = (−2, 1, −1). Moment = r×F = |i j k; −2 1 −1; 6 4 −4| = (−4+4)i − (8+6)j + (−8−6)k = −14j − 14k (i-component 0).
r = A − B = (−1, −2, 3). Moment = r×F = |i j k; −1 −2 3; 2 1 −3| = (6−3)i − (3−6)j + (−1+4)k = 3i + 3j + 3k.
r = P − Q = (−5, −5, 0). Moment = r×F = |i j k; −5 −5 0; −2 1 −3| = (15−0)i − (15−0)j + (−5−10)k = 15i − 15j − 15k.
Volume = |[u v w]| = |det|. (i) v×w = (8+1, −(4−0), −1−0) = (9, −4, −1). u·(v×w) = 27 + 0 − 2 = 25. Volume = 25. (ii) v×w = (−1−6, −(1+4), −3+2) = (−7, −5, −1). u·(v×w) = −7 + 20 + 1 = 14. Volume = 14. (iii) v×w = (−1+1, −(2−0), 2−0) = (0, −2, 2). u·(v×w) = 0 + 4 + 6 = 10. Volume = 10.
b×c = (3+10, −(4+4), 20−6) = (13, −8, 14). a·(b×c) = 39 + 8 + 70 = 117. By the cyclic property the other two triple products equal the same determinant, so b·(c×a) = 117 and c·(a×b) = 117 as well — all three equal 117 ✓. (Direct check of one more: c×a = |i j k; 2 5 1; 3 −1 5| = (25+1)i − (10−3)j + (−2−15)k = (26, −7, −17); b·(c×a) = 104 − 21 + 34 = 117 ✓.)
Determinant |1 −2 3; −2 3 −4; 1 −3 5| = 1(15−12) − (−2)(−10+4) + 3(6−3) = 3 − 12 + 9 = 0. Since the triple product is 0, the vectors are coplanar ✓.
(i) Determinant: 1((−2)(5) − (−3)(−α)) − (−1)(5+9) + 1(−α+6) = (−10−3α) + 14 + (−α+6) = 10 − 4α. Set = 0: α = 5/2. (ii) Determinant: 1((−2)(1) − 2(−2)) − (−2α)(1−2α) + (−1)(−2+2α) = 2 + 2α(1−2α) + (2−2α) = 4 − 4α². Set = 0: α² = 1, so α = ±1.
AB = (9, −5, 2), AC = (11, 4, 1), AD = (−7, 14, −3). Determinant |9 −5 2; 11 4 1; −7 14 −3| = 9(−12−14) − (−5)(−33+7) + 2(154+28) = −234 − 130 + 364 = 0. So the four points are coplanar ✓.
(a)(i) 2i×2j = 4k; 4k·k = 4. (ii) k×i = j; 3j·j = 3. (iii) [k i j] = k·(i×j) = k·k = 1 (cyclic order). (iv) [i i k] = i·(i×k) = i·(−j) = 0 (repeated vector). (b) By cyclic interchangeability, each of the three triple products equals [u v w] = u·(v×w): v·(w×u) = [v w u] = [u v w], and w·(u×v) = [w u v] = [u v w]. Sum = 3[u v w] = 3u·(v×w) ✓.
Tetrahedron volume = (1/6)|det| of the three edge vectors from one vertex. (i) Edges from (0, 1, 2): (3, 1, −1), (1, 1, −1), (5, 4, 4). Det = 3(4+4) − 1(4+5) + (−1)(4−5) = 24 − 9 + 1 = 16. Volume = 16/6 = 8/3. (ii) Edges from (2, 1, 8): (1, 1, 1), (0, 0, −4), (1, 2, 2). Det = 1(0+8) − 1(0+4) + 1(0−0) = 8 − 4 = 4. Volume = 4/6 = 2/3.
AB = (−2, −4, 2), AC = (3, 2, −1), AD = (6, 4, −2). Note AD = 2·AC — the vector AD is a multiple of AC, so the four points lie in the plane through A spanned by AB and AC. The determinant is therefore 0, and the points are coplanar ✓.
Expand (v + w)×(w + u) = v×w + v×u + w×w + w×u = v×w − u×v + 0 + w×u (using w×w = 0 and v×u = −u×v). Dot with (u + v): (u + v)·(v×w) − (u + v)·(u×v) + (u + v)·(w×u). The middle term vanishes: u·(u×v) = 0 (repeated u) and v·(u×v) = 0 (repeated v). The first term: u·(v×w) + v·(v×w) = [u v w] + 0. The third: u·(w×u) + v·(w×u) = 0 + [v w u] = [u v w] (cyclic). Total: [u v w] + [u v w] = 2[u v w] ✓.
Volume = |[u v w]|. First v×w = (6+42, −(−10−24), −35+12) = (48, 34, −23). Then u·(v×w) = 96 + 136 + 69 = 301, so volume = 301. Base area = |u×v|: u×v = (24−9, −(12+15), −6−20) = (15, −27, −26), |u×v| = √(225 + 729 + 676) = √1630. Height = volume / base area = 301/√1630 ≈ 7.46.
r = (0, 2, 3), F = 50i. Torque = r×F = |i j k; 0 2 3; 50 0 0| = (0−0)i − (0−150)j + (0−100)k = 150j − 100k pound-feet. (The torque has no x-component: a force along x cannot twist about the x-axis.)
Displacement = (3, 4, 4). Magnitude = √(9 + 16 + 16) = √41 ≈ 6.40 m.
u·w = 50(1500) + 75(3500) + 65(3000) = 75000 + 262500 + 195000 = Rs 532,500. In real life this is the store's total revenue from those three items: each quantity times its price, added up — exactly what a dot product computes when one vector holds quantities and the other holds prices.
r = P − M = (1, −3, 7). Torque = r×F = |i j k; 1 −3 7; 20 −10 30| = (−90+70)i − (30−140)j + (−10+60)k = −20i + 110j + 50k N·m.
(a) Sales vector s = (500, 300, 200); profit-per-unit vector p = (500, 400, 2000). (b) Total monthly profit = s·p = 500(500) + 300(400) + 200(2000) = 250000 + 120000 + 400000 = Rs 770,000.
اس باب میں کیا ہے؟ Vectors ان space, شروع سے آخر تک: 2D کی یاد-dahani, 3D نظام, R³ اور position vector, magnitude, i/j/k, properties اور direction cosines, پھر dot product, cross product, اور scalar triple product — ہر ایک اپنے کام کے ساتھ.
Revision guidance: پہلے component arithmetic کو تیز کرو (addition, magnitude, unit vector), پھر dot اور cross کے فرق کو پکا کرو — dot number دیتا ہے, cross vector; dot میں cos, cross میں sin; dot zero = عمودی, cross zero = mutawazi. Determinant والے سوالوں میں i, j, k کی صف کو غلط مت لکھنا — وہی سب سے عام غلطی ہے. Exercise: 📝 Official Exercise Questions — with Answers (59 questions, 99 parts; no MCQs, no review exercise in this unit). Flags: Exercise 14.2 Q9(ii) چھاپی ہوئی شکل میں غلط ہے (تینوں نقاط قائم زاویہ نہیں بناتے — ثبوت کے ساتھ دیکھایا گیا, نقاط تبدیل نہیں کیے); Exercise 14.3 Q10 میں book کی “+” کی علامت غلط ہے (صحیح sin(α − β) = sinα cosβ − cosα sinβ ہے); Exercise 14.2 Q16 میں صرف “parallel” لکھا ہے, اس لیے کام کے دونوں نشان دیے گئے ہیں (198/√26 ≈ ±38.8).
اس باب میں فضا کے ویکٹر ہیں: تین جہتی نظام، موقعی ویکٹر، مقدار، اکائی ویکٹر، سمتی کوسائنز، پھر ڈاٹ حاصل ضرب، کراس حاصل ضرب اور اسکیلری ثلاثی حاصل ضرب — ہر ایک اپنے استعمال کے ساتھ۔
امتحان کے لیے چار چیزیں سب سے اہم ہیں: اجزاء کا حساب، ڈاٹ اور کراس کا فرق، تعین کنندے سے رقبہ و حجم، اور ہم سطحی کی شرط (ثلاثی حاصل ضرب = 0)۔ ان چاروں پر عبور حاصل کر لیں تو اس باب کی مشقیں آسان لگیں گی۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 1 Mathematics, Chapter 14 (New Book, Session 2026–27) • English + Urdu