Partial fractions کا کام جمع کا الٹا ہے. آپ جانتے ہیں کہ 1/(x−1) + 2/(x+2) کو جمع کرنے سے 3x/((x−1)(x+2)) بنتا ہے, اور 2/(x+1) + 1/(x+1)² + 3/(x−2) کو جمع کرنے سے (5x²+5x−3)/((x+1)²(x−2)) بنتا ہے. اس unit میں ہم الٹا سفر کریں گے: ایک بڑی fraction کو چھوٹی-چھوٹی fractions میں توڑیں گے, تاکہ ہر حصہ آساں ہو جائے. اس توڑنے کو Partial Fraction Resolution کہتے ہیں.
اس کام میں دو لفظوں کا فرق سمجھنا ضروری ہے. Conditional equation صرف کچھ خاص values پر سچ ہوتی ہے: 2x = 3 صرف x = 3/2 پر سچ ہے, اور x² + x − 6 = 0 صرف x = 2 اور x = −3 پر. Identity ہر value پر سچ ہوتی ہے (domain کے اندر): (a+b)x = ax + bx اور (x+3)(x+4) = x² + 7x + 12 ہمیشہ سچ ہیں. جب کسی rational fraction کو partial fractions میں todate ہیں, تو نتیجہ ایک identity ہوتا ہے — وہ ہر x کے لیے سچ ہے, سوائے ان values کے جہاں denominator zero ہو.
📌 Note (book, p. 78): آسانی کے لیے, اس unit میں conditional equation کو صرف “equation” کہا گیا ہے.
جزوی کسور کا کام جمع کا الٹ ہے۔ ہم جانتے ہیں کہ 1/(x−1) + 2/(x+2) کو جمع کرنے سے 3x/((x−1)(x+2)) بنتا ہے۔ اس باب میں ہم الٹا سفر کریں گے: ایک بڑی کسر کو چھوٹی چھوٹی کسوروں میں توڑیں گے۔ اس عمل کو جزوی کسور کی تجزیہ کہتے ہیں۔
یہاں دو الفاظ کا فرق سمجھنا ضروری ہے۔ مشروط مساوات صرف چند خاص قیمتوں پر درست ہوتی ہے، جیسے 2x = 3 صرف x = 3/2 پر۔ شناخت (identity) ہر قیمت پر درست ہوتی ہے، جیسے (x+3)(x+4) = x² + 7x + 12۔ جزوی کسوروں میں توڑنے کا نتیجہ ہمیشہ ایک شناخت ہوتا ہے۔
📌 نوٹ: آسانی کے لیے اس باب میں مشروط مساوات کو صرف ”مساوات“ کہا گیا ہے۔
Ulta safar samjho: جمع سے بڑی fraction بنتی ہے, اور partial fractions اسی بڑی fraction کو واپس چھوٹی fractions میں tod دیتی ہیں — اور یہ توڑنا ہر x پر سچ ہے, اس لیے یہ ایک identity ہے, نہ کے صرف کچھ values پر سچ equation.
Rational fraction P(x)/Q(x) ہوتی ہے, جہاں P(x) اور Q(x) real coefficients والے polynomials ہیں اور Q(x) ≠ 0.
5.1.1 Proper: agar numerator ki degree denominator ki degree se kam ہو, تو fraction proper ہے. مثال: 3/(x+1), (2x−5)/(x²+4), 9x²/(x³−1).
5.1.2 Improper: agar numerator ki degree denominator ki degree ke barabar ya zyada ہو, تو fraction improper ہے. مثال: x/(2x−3), (x−2)(x+1)/((x−1)(x+4)), (x²−3)/(3x+1), (x³−x²+x+1)/(x²+5). ہر improper fraction کو division سے mixed form میں بدلہ جا سکتا ہے: ایک polynomial + ایک proper fraction. Book کی مثال: (3x²+1)/(x−2) = 3x + 6 + 13/(x−2) — long division میں quotient 3x+6 اور remainder 13 آتا ہے.
5.1.3 Resolution ke 5 steps: (i) پہلے یقین کرو کہ fraction proper ہے; ورنہ divide کرو اور remainder سے کام لو. (ii) Denominator کو irreducible factors میں todo. (iii) Identity کو denominator سے multiply کرو. (iv) Like powers کے coefficients برابر رکھو. (v) آنے والی equations حل کر کے coefficients نکالو.
اس پوری technique کی بنیاد یہ theorem ہے: اگر دو polynomials ہر x کے لیے برابر ہوں, تو ان کی degree بھی برابر ہوتی ہے اور ہر power کے coefficients بھی برابر ہوتے ہیں. مثال: px³ + qx² − ax + b = 2x³ − 3x² − 4x + 5 ہر x کے لیے ہو, تو p = 2, q = −3, a = 4, b = 5.
ناطق کسر P(x)/Q(x) ہوتی ہے، جہاں P(x) اور Q(x) حقیقی عددی کثیر رقمی ہوں اور Q(x) ≠ 0 ہو۔
مناسب کسر: اگر صورت کی درجہ مخرج کی درجہ سے کم ہو تو کسر مناسب ہے، جیسے 3/(x+1)۔ غیر مناسب کسر: اگر صورت کی درجہ مخرج کے برابر یا زیادہ ہو تو کسر غیر مناسب ہے، جیسے x/(2x−3)۔ ہر غیر مناسب کسر کو تقسیم سے مخلوط صورت میں بدلا جا سکتا ہے: ایک کثیر رقمی + ایک مناسب کسر۔ مثال: (3x²+1)/(x−2) = 3x + 6 + 13/(x−2)۔
تجزیہ کے پانچ مراحل: (۱) پہلے یقین کریں کہ کسر مناسب ہے، ورنہ تقسیم کریں۔ (۲) مخرج کو ناقابلِ تجزیہ عوامل میں توڑیں۔ (۳) شناخت کو مخرج سے ضرب دیں۔ (۴) ہم درجہ قوتوں کے عددی سر برابر رکھیں۔ (۵) حاصل شدہ مساواتیں حل کر کے عددی سر نکالیں۔
Degree check samjho: پہلا کام ہمیشہ degree دیکھنا ہے — proper ہو تو سیدھا partial fractions میں todo, improper ہو تو پہلے long division سے mixed form بناؤ, پھر باقی proper حصے کو todo.
اگر denominator صرف الگ-الگ linear factors کا product ہو, Q(x) = (x−a₁)(x−a₂)…(x−aₙ), تو ہر factor کے لیے ایک simple fraction لکھو: P(x)/Q(x) = A₁/(x−a₁) + A₂/(x−a₂) + … + Aₙ/(x−aₙ).
Example 1: (7x+25)/((x+3)(x+4)) = A/(x+3) + B/(x+4). Multiply: 7x+25 = A(x+4) + B(x+3) = (A+B)x + 4A+3B. Coefficients barabar: A+B = 7, 4A+3B = 25 → A = 4, B = 3. Alternative (cover-up): x = −3 رکھو تو A = 4 سیدھا ملتا ہے; x = −4 رکھو تو B = 3. جواب: 4/(x+3) + 3/(x+4).
Example 2: (x²−10x+13)/((x−1)(x²−5x+6)) — pehle x²−5x+6 = (x−2)(x−3), phir teen fractions: A/(x−1) + B/(x−2) + C/(x−3). Cover-up: x = 1 → A = 2; x = 2 → B = 3; x = 3 → C = −4. Jawab: 2/(x−1) + 3/(x−2) − 4/(x−3).
Example 3: (2x³+x²−x−3)/(x(2x+3)(x−1)) کسرِ غیر واجب ہے، کیونکہ دونوں طرف درجہ 3 ہے۔ پہلے تقسیم کرو: denominator = 2x³+x²−3x، حاصلِ قسمت 1 اور باقی 2x−3 ہے۔ پھر (2x−3)/(x(2x+3)(x−1)) = A/x + B/(2x+3) + C/(x−1): x = 0 → A = 1; x = −3/2 → B = −8/5; x = 1 → C = −1/5۔ مکمل جواب: 1 + 1/x − 8/(5(2x+3)) − 1/(5(x−1))۔
اگر مخرج صرف الگ الگ خطی عوامل کا حاصلِ ضرب ہو تو ہر عامل کے لیے ایک سادہ کسر لکھیں: A₁/(x−a₁) + A₂/(x−a₂) + …۔
مثال ۱: (7x+25)/((x+3)(x+4)) = 4/(x+3) + 3/(x+4)۔ عددی سر دو طریقوں سے مل سکتے ہیں: ہم درجہ قوتوں کے عددی سر برابر رکھ کر، یا عامل کو صفر کر کے (cover-up)۔
مثال ۲: (x²−10x+13)/((x−1)(x−2)(x−3)) = 2/(x−1) + 3/(x−2) − 4/(x−3)۔
مثال ۳: یہ کسر غیر مناسب ہے، اس لیے پہلے تقسیم کریں: حاصل ۱ اور باقی 2x−3، پھر مکمل جواب 1 + 1/x − 8/(5(2x+3)) − 1/(5(x−1)) ہے۔
Cover-up samjho: جس factor کا coefficient چاہیے, اس factor کو zero کر دو — باقی terms خود ختم ہو جاتی ہیں اور صرف ایک coefficient رہ جاتا ہے. یہ trick Case I میں وقت بچاتی ہے.
اگر کوئی linear factor n مرتبہ repeat ہو, (x−a)ⁿ, تو اس کے لیے sari powers لکھنی ہوتی ہیں: A₁/(x−a) + A₂/(x−a)² + … + Aₙ/(x−a)ⁿ. صرف سب سے بڑی power لکھنا غلط ہوگا — نیچے والی powers بھی چاہیے.
Example 4: (x²+x−1)/(x+2)³ = A/(x+2) + B/(x+2)² + C/(x+2)³. Multiply: x²+x−1 = A(x+2)² + B(x+2) + C. x = −2 rakho to C = 1. Phir x² ke coefficient se A = 1 aur x ke coefficient se 1 = 4A + B → B = −3. Jawab: 1/(x+2) − 3/(x+2)² + 1/(x+2)³.
Example 5: 1/((x+1)²(x²−1)) — pehle x²−1 = (x+1)(x−1), to denominator = (x+1)³(x−1). Is liye form: A/(x−1) + B/(x+1) + C/(x+1)² + D/(x+1)³. Identity: 1 = A(x+1)³ + B(x+1)²(x−1) + C(x−1)(x+1) + D(x−1). x = 1 → A = 1/8; x = −1 → D = −1/2; x³ ke coefficient se B = −1/8; x² ke coefficient se C = −1/4. Jawab: 1/(8(x−1)) − 1/(8(x+1)) − 1/(4(x+1)²) − 1/(2(x+1)³).
اگر کوئی خطی عامل n مرتبہ مکرر ہو تو اس کے لیے تمام قوتیں لکھنی ہوتی ہیں: A₁/(x−a) + A₂/(x−a)² + … + Aₙ/(x−a)ⁿ۔ صرف سب سے بڑی قوت لکھنا غلط ہوگا۔
مثال ۴: (x²+x−1)/(x+2)³ = 1/(x+2) − 3/(x+2)² + 1/(x+2)³۔
مثال ۵: پہلے x²−1 کو (x+1)(x−1) میں توڑیں تو مخرج (x+1)³(x−1) بنتا ہے، اور جواب 1/(8(x−1)) − 1/(8(x+1)) − 1/(4(x+1)²) − 1/(2(x+1)³) ہے۔
Seedhi samjho: repeated factor کے لیے ہر power کی ایک سیدھی چاہیے — پہلی power سے لے کر آخری power تک. ایک بھی step chhoda تو coefficients غلط nikalenge.
Definition: quadratic factor irreducible ہوتا ہے اگر use real coefficients والے دو linear factors میں toda نہ جا سکے. مثال: x² + x + 1 اور x² + 3 irreducible ہیں (ان کے roots real نہیں ہیں). ایسے ہر factor کے لیے partial fraction کی form (Ax + B)/(ax² + bx + c) ہوتی ہے — صرف ایک number نہیں, بلکہ ایک linear numerator.
Example 6: (3x−11)/((x²+1)(x+3)) = (Ax+B)/(x²+1) + C/(x+3). Identity: 3x−11 = (Ax+B)(x+3) + C(x²+1) = (A+C)x² + (3A+B)x + (3B+C). x = −3 → C = −2; x² ke coefficient se A = 2; x ke coefficient se B = −3. Jawab: (2x−3)/(x²+1) − 2/(x+3).
Example 7: (4x²+8x)/(x⁴+2x²+9) — مخرج کے اجزا بناؤ: x⁴+2x²+9 = (x²+2x+3)(x²−2x+3)، اور دونوں مزید قابلِ تجزیہ نہیں۔ صورت: (Ax+B)/(x²+2x+3) + (Cx+D)/(x²−2x+3)۔ عددی سر برابر کرنے سے چار مساوات بنتی ہیں: A+C = 0, −2A+B+2C+D = 4, 3A−2B+3C+2D = 8, 3B+3D = 0 → A = 1, B = 2, C = −1, D = −2. Jawab: (x+2)/(x²+2x+3) + (−x−2)/(x²−2x+3).
ناقابلِ تجزیہ دو درجی عامل وہ ہے جسے حقیقی عددی سر والے دو خطی عوامل میں توڑا نہ جا سکے، جیسے x² + x + 1۔ ایسے ہر عامل کے لیے جزوی کسر کی صورت (Ax+B)/(ax²+bx+c) ہوتی ہے — صرف ایک عدد نہیں بلکہ ایک خطی صورت۔
مثال ۶: (3x−11)/((x²+1)(x+3)) = (2x−3)/(x²+1) − 2/(x+3)۔
مثال ۷: مخرج x⁴+2x²+9 = (x²+2x+3)(x²−2x+3) ہے، اور جواب (x+2)/(x²+2x+3) + (−x−2)/(x²−2x+3) ہے۔
Linear numerator samjho: quadratic factor کے نیچے صرف ایک number کافی نہیں ہوتا, کیونکہ اس factor میں x² بھی ہے — اس لیے numerator میں Ax + B دونون چاہیے, تاکہ equations پوری ہوں.
اگر irreducible quadratic factor n مرتبہ repeat ہو, (ax²+bx+c)ⁿ, تو ہر power کے لیے ایک linear numerator لکھو: (A₁x+B₁)/(ax²+bx+c) + (A₂x+B₂)/(ax²+bx+c)² + … + (Aₙx+Bₙ)/(ax²+bx+c)ⁿ. یہ Case II کی سیدھی اور Case III کے linear numerator کا combination ہے.
Example 8: 4x²/((x²+1)²(x−1)) = (Ax+B)/(x²+1) + (Cx+D)/(x²+1)² + E/(x−1). Identity: 4x² = (Ax+B)(x²+1)(x−1) + (Cx+D)(x−1) + E(x²+1)². x = 1 → E = 1. Phir coefficients: x⁴ se A = −1; x³ se B = −1; x² se C = 2; x se D = 2. Jawab: (−x−1)/(x²+1) + (2x+2)/(x²+1)² + 1/(x−1).
اس کے بعد unit کی exercises آتی ہیں: Exercise 5.1 (printed p. 85, 15 سوال — linear factors والے cases) اور Exercise 5.2 (printed p. 87, 6 سوال — quadratic factors والے cases). دونون پوری طرح نیچے حل کی گئی ہیں.
اگر ناقابلِ تجزیہ دو درجی عامل n مرتبہ مکرر ہو تو ہر قوت کے لیے ایک خطی صورت لکھیں: (A₁x+B₁)/(ax²+bx+c) + (A₂x+B₂)/(ax²+bx+c)² + …۔ یہ صورت دوم کی سیڑھی اور صورت سوم کے خطی صورت کا مجموعہ ہے۔
مثال ۸: 4x²/((x²+1)²(x−1)) = (−x−1)/(x²+1) + (2x+2)/(x²+1)² + 1/(x−1)۔
اس کے بعد مشق ۵.۱ (۱۵ سوالات) اور مشق ۵.۲ (۶ سوالات) آتی ہیں، جو نیچے مکمل حل کی گئی ہیں۔
Combination samjho: repeated quadratic میں دونون rules ایک ساتھ لگتے ہیں — ہر power کے لیے الگ fraction, اور ہر fraction کے اوپر Ax+B جیسا linear numerator, صرف ایک number نہیں.
Below are all questions of Exercises 5.1 and 5.2 from Unit 5 of the official book (printed pages 85 and 87), each solved step by step. The book has no multiple-choice section, no review exercise and no inquisitive/numerical section in this unit, so none is invented here. Counting rule: one numbered question = one answer block. That gives 15 + 6 = 21 blocks. Exercise 5.1 covers the linear-factor cases (Case I and II); Exercise 5.2 covers the quadratic-factor cases (Case III and IV).
⚠️ Three answers worth a second look: Ex. 5.1 Q9 needs a, b, c all different — the formula has (a−b), (b−c), (c−a) in denominators, so equal values would need the repeated-factor treatment instead. Ex. 5.1 Q11 has a zero term: the (x+1)² coefficient comes out 0, so it drops out of the answer — that is correct, not a missing step. Ex. 5.1 Q15 hides a cancellation: 12x²−48 = 12(x²−4) cancels one factor of (x−2)(x+2) before you even start.
x²−1 = (x−1)(x+1), donon non-repeated linear factors (Case I). Suppose 2/((x−1)(x+1)) = A/(x−1) + B/(x+1). Multiply: 2 = A(x+1) + B(x−1). Cover-up: x = 1 → 2 = 2A → A = 1; x = −1 → 2 = −2B → B = −1. Answer: 1/(x−1) − 1/(x+1).
Suppose (a−b)/((x−a)(x−b)) = A/(x−a) + B/(x−b). Multiply: a−b = A(x−b) + B(x−a). Cover-up: x = a → a−b = A(a−b) → A = 1 (یہاں a ≠ b ضروری ہے, ورنہ divide نہیں کر سکتے). x = b → a−b = B(b−a) = −B(a−b) → B = −1. Answer: 1/(x−a) − 1/(x−b). Note: اگر a = b ہوتا تو denominator (x−a)² ہوتا اور Case II لگتا — اس لیے book نے a ≠ b لکھا ہے.
Numerator کی degree 2 ہے, denominator کی degree بھی 2 — fraction improper ہے, اس لیے پہلے divide کرو: (x²+1) ÷ (x²−1): quotient 1, remainder 2 (کیونکہ x²+1 = 1·(x²−1) + 2). تو (x²+1)/((x+1)(x−1)) = 1 + 2/((x−1)(x+1)). اب Q1 جیسا: 2/((x−1)(x+1)) = 1/(x−1) − 1/(x+1). Answer: 1 + 1/(x−1) − 1/(x+1).
Case I: (2x+3)/((x+1)(x+2)(x+3)) = A/(x+1) + B/(x+2) + C/(x+3). Cover-up: x = −1 → 2(−1)+3 = 1 = A(1)(2) → A = 1/2. x = −2 → −4+3 = −1 = B(−1)(1) → B = 1. x = −3 → −6+3 = −3 = C(−2)(−1) = 2C → C = −3/2. Answer: 1/(2(x+1)) + 1/(x+2) − 3/(2(x+3)).
پہلے مخرج کے اجزا بناؤ: x²+5x+6 = (x+2)(x+3)، تو کسر = (x²+4x+5)/((x+1)(x+2)(x+3))۔ Cover-up: x = −1 → (1−4+5)/((1)(2)) = 2/2 = A = 1. x = −2 → (4−8+5)/((−1)(1)) = −1 = B = −1. x = −3 → (9−12+5)/((−2)(−1)) = 2/2 = C = 1. Answer: 1/(x+1) − 1/(x+2) + 1/(x+3).
Improper ہے (degree 3 vs 2), اس لیے divide کرو: (4x³+5x²−3x−2) ÷ (x²−1): پہلا term 4x دیتا ہے 4x³−4x, باقی 5x²+x−2; دوسرا term +5 دیتا ہے 5x²−5, باقی x+3. تو fraction = 4x+5 + (x+3)/((x−1)(x+1)). Cover-up: x = 1 → 4/2 = A = 2; x = −1 → 2/(−2) = B = −1. Answer: 4x + 5 + 2/(x−1) − 1/(x+1).
Case I, cover-up: x = 1 → (3−12+11)/((−1)(−2)) = 2/2 = A = 1. x = 2 → (12−24+11)/((1)(−1)) = (−1)/(−1) = B = 1. x = 3 → (27−36+11)/((2)(1)) = 2/2 = C = 1. Answer: 1/(x−1) + 1/(x−2) + 1/(x−3) — تینوں coefficients 1, جو check کرنے میں آساں ہے: واپس جمع کرنے سے numerator دوبارہ 3x²−12x+11 بنتا ہے.
دونوں طرف درجہ 3 ہے — کسرِ غیر واجب۔ شمار کنندہ کو پھیلاؤ: x³−6x²+11x−6۔ مخرج کو پھیلاؤ: x³−15x²+74x−120۔ تقسیم سے حاصلِ قسمت 1 اور باقی = (x³−6x²+11x−6) − (x³−15x²+74x−120) = 9x²−63x+114۔ اس لیے کسر = 1 + (9x²−63x+114)/((x−4)(x−5)(x−6))۔ Cover-up: x = 4 → (144−252+114)/((−1)(−2)) = 6/2 = A = 3. x = 5 → (225−315+114)/((1)(−1)) = 24/(−1) = B = −24. x = 6 → (324−378+114)/((2)(1)) = 60/2 = C = 30. Answer: 1 + 3/(x−4) − 24/(x−5) + 30/(x−6).
Substitution کرو: t = x² رکھو, تو fraction t/((t+a)(t+b)(t+c)) بن جاتی ہے — اب یہ Case I ہے. Cover-up: t = −a → A = (−a)/((b−a)(c−a)) = −a/((a−b)(a−c)) (دونون brackets کا sign پلٹتے سے product وہی رہتا ہے). اسی طرح B = −b/((b−a)(b−c)) aur C = −c/((c−a)(c−b)). Wapas t = x² rakho. Answer: −a/((a−b)(a−c)(x²+a)) − b/((b−a)(b−c)(x²+b)) − c/((c−a)(c−b)(x²+c)). ⚠️ یہ formula صرف تب کام کرتا ہے جب a, b, c تینوں الگ ہوں — اگر دو برابر ہوں تو denominator میں repeated factor آ جائے گا اور Case II/IV لگنا ہوگا.
Case II: (x+1)/(x−1)² = A/(x−1) + B/(x−1)². Multiply: x+1 = A(x−1) + B. x = 1 rakho → 2 = B = 2. x ke coefficient barabar rakho: 1 = A = 1. Answer: 1/(x−1) + 2/(x−1)².
x²−1 = (x−1)(x+1), to denominator = (x−1)²(x+1)² (Case II, donon factors repeated). Form: A/(x−1) + B/(x−1)² + C/(x+1) + D/(x+1)². Identity: x²+x = A(x−1)(x+1)² + B(x+1)² + C(x+1)(x−1)² + D(x−1)². x = 1 → 2 = 4B → B = 1/2. x = −1 → 0 = 4D → D = 0. x³ کے coefficient سے: 0 = A + C. x² کے coefficient سے: 1 = A + 1/2 − C → A − C = 1/2. حل کرو: A = 1/4, C = −1/4. (x ke coefficient se tasdeeq: −1/4 + 1 + 1/4 = 1 ✓.) Answer: 1/(4(x−1)) + 1/(2(x−1)²) − 1/(4(x+1)). ⚠️ (x+1)² والا term اس لیے نظر نہیں آتا کیونکہ D = 0 نکلا — یہ غلطی نہیں, جواب کا حصہ ہے.
Case II: (3x²+4x−5)/(x−1)³ = A/(x−1) + B/(x−1)² + C/(x−1)³. Multiply: 3x²+4x−5 = A(x−1)² + B(x−1) + C. x = 1 → 3+4−5 = 2 = C = 2. x² ke coefficient se A = 3. x ke coefficient se: 4 = −2A + B → B = 4 + 6 = 10. (Constant se tasdeeq: 3 − 10 + 2 = −5 ✓.) Answer: 3/(x−1) + 10/(x−1)² + 2/(x−1)³.
Case II: 1/(x(x+1)³) = A/x + B/(x+1) + C/(x+1)² + D/(x+1)³. Identity: 1 = A(x+1)³ + Bx(x+1)² + Cx(x+1) + Dx. x = 0 → A = 1. x = −1 → 1 = −D → D = −1. x³ ke coefficient se: 0 = A + B → B = −1. x² ke coefficient se: 0 = 3A + 2B + C → 0 = 3 − 2 + C → C = −1. (x ke coefficient se tasdeeq: 3 − 1 − 1 − 1 = 0 ✓.) Answer: 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)² − 1/(x+1)³.
Case II: (4x²−3x+1)/((x+1)(x−1)²) = A/(x+1) + B/(x−1) + C/(x−1)². Identity: 4x²−3x+1 = A(x−1)² + B(x+1)(x−1) + C(x+1). x = −1 → 4+3+1 = 8 = 4A → A = 2. x = 1 → 4−3+1 = 2 = 2C → C = 1. x² ke coefficient se: 4 = A + B → B = 2. (x ke coefficient se tasdeeq: −4 + 1 = −3 ✓.) Answer: 2/(x+1) + 2/(x−1) + 1/(x−1)².
پہلے numerator دیکھو: 12x²−48 = 12(x²−4) = 12(x−2)(x+2). یہ denominator کے ایک factor (x−2)(x+2) سے cancel ہو جاتا ہے! تو fraction = 12/((x−2)(x+2)) = 12/(x²−4). اب Case I: 12/((x−2)(x+2)) = A/(x−2) + B/(x+2). x = 2 → 12 = 4A → A = 3; x = −2 → 12 = −4B → B = −3. Answer: 3/(x−2) − 3/(x+2). جو student سیدھا چار fractions لکھنا شروع کرے, use لمبی محنت کے بعد بھی یہی جواب ملے گا — cancellation پہلے دیکھنا وقت بچاتا ہے.
Case III: (2x²+3x+3)/((x+1)(x²+1)) = (Ax+B)/(x²+1) + C/(x+1). Identity: 2x²+3x+3 = (Ax+B)(x+1) + C(x²+1). x = −1 → 2−3+3 = 2 = 2C → C = 1. x² ke coefficient se: 2 = A + C → A = 1. x ke coefficient se: 3 = A + B → B = 2. (Constant se tasdeeq: 2 + 1 = 3 ✓.) Answer: (x+2)/(x²+1) + 1/(x+1).
x²+3x+5 ka discriminant 9−20 = −11 < 0 hai, to ye irreducible hai (Case III). Form: (Ax+B)/(x²+3x+5) + C/(x−2). Identity: 2x+1 = (Ax+B)(x−2) + C(x²+3x+5). x = 2 → 5 = 15C → C = 1/3. x² ke coefficient se: 0 = A + C → A = −1/3. x ke coefficient se: 2 = −2A + B + 3C → 2 = 2/3 + B + 1 → B = 1/3. (Constant se tasdeeq: −2/3 + 5/3 = 1 ✓.) Answer: (1−x)/(3(x²+3x+5)) + 1/(3(x−2)).
Case IV (repeated irreducible quadratic): (2x+32)/((x−2)(x²+2)²) = A/(x−2) + (Bx+C)/(x²+2) + (Dx+E)/(x²+2)². Identity: 2x+32 = A(x²+2)² + (Bx+C)(x−2)(x²+2) + (Dx+E)(x−2). x = 2 → 36 = 36A → A = 1. x⁴ ke coefficient se: 0 = A + B → B = −1. x³ ke coefficient se: 0 = −2B + C → C = −2. x² ke coefficient se: 0 = 4 + 2B − 2C + D → 0 = 4 − 2 + 4 + D → D = −6. x ke coefficient se: 2 = −4B + 2C − 2D + E → 2 = 4 − 4 + 12 + E → E = −10. (Constant se tasdeeq: 4 − 4C − 2E = 4 + 8 + 20 = 32 ✓.) Answer: 1/(x−2) + (−x−2)/(x²+2) + (−6x−10)/(x²+2)².
x³+1 = (x+1)(x²−x+1) — x²−x+1 ka discriminant 1−4 = −3 < 0, to irreducible (Case III). Form: (Ax+B)/(x²−x+1) + C/(x+1). Identity: 3x²+3 = (Ax+B)(x+1) + C(x²−x+1). x = −1 → 6 = 3C → C = 2. x² ke coefficient se: 3 = A + C → A = 1. x ke coefficient se: 0 = A + B − C → B = 1. (Constant se tasdeeq: 1 + 2 = 3 ✓.) Answer: (x+1)/(x²−x+1) + 2/(x+1).
x⁴+2x²+1 = (x²+1)²۔ کسرِ غیر واجب ہے، کیونکہ دونوں کا درجہ 4 ہے۔ تقسیم کرو: x⁴ = 1·(x⁴+2x²+1) − (2x²+1)، تو کسر = 1 − (2x²+1)/(x²+1)²۔ اب صورت چہارم: (2x²+1)/(x²+1)² = (Ax+B)/(x²+1) + (Cx+D)/(x²+1)²۔ عینیت: 2x²+1 = (Ax+B)(x²+1) + Cx + D۔ x³ کے عددی سر سے A = 0؛ x² سے B = 2; x se C = 0; constant se 1 = B + D → D = −1. To (2x²+1)/(x²+1)² = 2/(x²+1) − 1/(x²+1)². Answer: 1 − 2/(x²+1) + 1/(x²+1)².
Function x میں even ہے (صرف x² اور x⁴ آتے ہیں), اس لیے decomposition بھی even ہوگی — اس سے form آساں ہو جاتا ہے. 4−x² = (2−x)(2+x). Form: A/(2−x) + B/(2+x) + (Cx+D)/(x²+4) + (Ex+F)/(x²+4)²; even ہونے کی وجہ سے C = 0, E = 0 اور A = B. تو form: A/(2−x) + A/(2+x) + D/(x²+4) + F/(x²+4)². t = x² رکھو: 6t²+40t = 4A(t+4)² + D(4−t)(t+4) + F(4−t) = (4A−D)t² + (32A−F)t + (64A+16D+4F). برابر رکھو: 4A−D = 6; 32A−F = 40; 16A+4D+F = 0. حل کرو: A = 1, D = −2, F = −8. Answer: 1/(2−x) + 1/(2+x) − 2/(x²+4) − 8/(x²+4)².
اس باب میں کیا ہے؟ ایک ہی سوال کے چار جواب: denominator کیسا ہے, اس حساب سے form بدلتا ہے. پہلے degree check کرو (proper warna divide), پھر denominator factor کرو, پھر form لکھو, پھر coefficients نکالو.
Revision guidance: form لکھنے سے پہلے ہمیشہ تین چیزیں check کرو: (1) proper ہے یا divide کرنا ہے? (2) denominator پوری طرح factored ہے? (3) repeated factor کی پوری سیدھی لکھی ہے? Cover-up صرف non-repeated linear factors پر سیدھا کام کرتا ہے; باقی جگہ coefficients برابر کر کے حل کرو. آخر میں ایک x کی value ڈال کر اپنا جواب ضرور check کرو — galti فوراً نظر آ جائے گی. Exercise: 📝 Official Exercise Questions — with Answers
اس باب میں ایک ہی سوال کے چار جواب ہیں: مخرج کیسا ہے، اس حساب سے صورت بدلتی ہے۔ پہلے درجہ چیک کریں، پھر مخرج کو عوامل میں توڑیں، پھر صورت لکھیں، پھر عددی سر نکالیں۔
نظرثانی کی رہنمائی: صورت لکھنے سے پہلے ہمیشہ تین چیزیں چیک کریں: کیا کسر مناسب ہے؟ کیا مخرج مکمل طور پر عوامل میں ٹوٹا ہوا ہے؟ کیا مکرر عامل کی پوری سیڑھی لکھی ہے؟ آخر میں کسی ایک قیمت سے اپنا جواب ضرور جانچیں۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 1 Mathematics, Chapter 5 (New Book, Session 2026–27) • English + Urdu