Polynomials play a fundamental role in algebra, and they turn up far beyond the classroom — in engineering, data science and digital communication. This unit explores polynomial division to find the quotient and the remainder, introduces the remainder theorem as a fast way to evaluate polynomials, and uses the factor theorem to factorize cubic polynomials. These ideas reach into polynomial regression, signal processing and coding theory — so the unit is worth learning properly, not just for the exam.
A polynomial in x is an expression of the form aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + aₙ₋₂xⁿ⁻² + … + a₂x² + a₁x + a₀, where n is a non-negative integer and the coefficients aₙ, aₙ₋₁, …, a₁, a₀ are real numbers. It can be thought of as a polynomial function of x. The highest power of x is called the degree of the polynomial: if aₙ ≠ 0, the polynomial is of degree n. So x² − 2x + 3 is of degree 2, and 3x³ + 2x² − 5x + 4 is of degree 3. The leading coefficient is the one that decides the degree — if it were zero, the degree would drop.
Long division of polynomials works exactly like long division of numbers: divide the leading term, multiply back, subtract, and bring down the next term. Example 1: divide the cubic 3x³ − 10x² + 13x − 6 by the linear polynomial x − 2. First 3x³ ÷ x = 3x²; multiply (x − 2)(3x²) = 3x³ − 6x² and subtract, leaving −4x² + 13x. Next −4x² ÷ x = −4x; multiply (x − 2)(−4x) = −4x² + 8x and subtract, leaving 5x − 6. Finally 5x ÷ x = 5; multiply (x − 2)(5) = 5x − 10 and subtract, leaving 4. Hence 3x³ − 10x² + 13x − 6 = (x − 2)(3x² − 4x + 5) + 4, so the quotient is 3x² − 4x + 5 and the remainder is 4. Example 2 divides by a quadratic: x⁴ − 3x³ + 5x² − 7x + 2 divided by x² − x + 1 gives quotient x² − 2x + 2 and remainder −3x — note the remainder here is not a constant, because the divisor is quadratic: division stops when the remainder's degree is lower than the divisor's degree, and −3x has degree 1, lower than 2.
کثیر رقمیاں الجبرا میں بنیادی کردار ادا کرتی ہیں، اور وہ کلاس روم سے کہیں آگے — انجینئرنگ، ڈیٹا سائنس اور ڈیجیٹل ابلاغ میں — نظر آتی ہیں۔ یہ یونٹ کثیر رقمی تقسیم کو خارج قسمت اور باقی معلوم کرنے کے لیے کھوجتا ہے، باقی قضیہ کو کثیر رقمیوں کی قیمت نکالنے کے تیز طریقے کے طور پر متعارف کراتا ہے، اور عامل قضیہ کو مکعب کثیر رقمیوں کی تجزیہ کے لیے استعمال کرتا ہے۔ یہ خیالات کثیر رقمی رجعت، اشارہ عمل کاری اور رمزی نظریہ تک پہنچتے ہیں — اس لیے یہ یونٹ صرف امتحان کے لیے نہیں، اچھی طرح سیکھنے کے قابل ہے۔
x میں ایک کثیر رقمی اس شکل کا اظہار ہے: aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₂x² + a₁x + a₀، جہاں n ایک غیر منفی صحیح عدد ہے اور عددی سر aₙ، aₙ₋₁، …، a₁، a₀ حقیقی اعداد ہیں۔ اسے x کی ایک کثیر رقمی تابع سمجھا جا سکتا ہے۔ x کی سب سے اونچی طاقت کثیر رقمی کا درجہ کہلاتی ہے: اگر aₙ ≠ 0 ہو تو کثیر رقمی درجہ n کی ہے۔ اس لیے x² − 2x + 3 درجہ ۲ کی ہے، اور 3x³ + 2x² − 5x + 4 درجہ ۳ کی ہے۔ قائدانہ عددی سر ہی درجہ طے کرتا ہے — اگر وہ صفر ہوتا تو درجہ گر جاتا۔
کثیر رقمیوں کی طویل تقسیم بالکل اعداد کی طویل تقسیم کی طرح کام کرتی ہے: قائدانہ رکن کو تقسیم کریں، واپس ضرب دیں، گھٹائیں، اور اگلا رکن نیچے لائیں۔ مثال ۱: مکعب 3x³ − 10x² + 13x − 6 کو خطی کثیر رقمی x − 2 سے تقسیم کریں۔ پہلے 3x³ ÷ x = 3x²؛ (x − 2)(3x²) = 3x³ − 6x² کو ضرب دے کر گھٹائیں تو −4x² + 13x رہ جاتا ہے۔ پھر −4x² ÷ x = −4x؛ (x − 2)(−4x) = −4x² + 8x کو گھٹائیں تو 5x − 6 رہ جاتا ہے۔ آخر میں 5x ÷ x = 5؛ (x − 2)(5) = 5x − 10 کو گھٹائیں تو ۴ بچتا ہے۔ پس 3x³ − 10x² + 13x − 6 = (x − 2)(3x² − 4x + 5) + 4، اس لیے خارج قسمت 3x² − 4x + 5 اور باقی ۴ ہے۔ مثال ۲ دو درجی تقسیم کنندہ سے تقسیم کرتی ہے: x⁴ − 3x³ + 5x² − 7x + 2 کو x² − x + 1 سے تقسیم کرنے سے خارج قسمت x² − 2x + 2 اور باقی −3x ملتا ہے — یہاں باقی مستقل نہیں ہے، کیونکہ تقسیم کنندہ دو درجی ہے: تقسیم اس وقت رکتی ہے جب باقی کا درجہ تقسیم کنندہ کے درجے سے کم ہو جائے، اور −3x کا درجہ ۱ ہے، جو ۲ سے کم ہے۔
Long division samjho: ہر قدم میں صرف leading term کو divide کرو, واپس multiply کرو, subtract کرو — اور جب remainder کی degree divisor کی degree سے کم ہو جائے تو رک جاؤ. آخری check ہمیشہ کرو: (divisor × quotient) + remainder = dividend ہونا چاہیے.
The remainder theorem (9.1.1) saves you the whole long division when the divisor is linear. Statement: if a polynomial f(x) of degree n ≥ 1 is divided by x − a till no x-term exists in the remainder, then f(a) is the remainder. Proof: dividing f(x) by (x − a) gives a unique quotient q(x) and a unique remainder R with f(x) = (x − a)q(x) + R. Put x = a: the (x − a) term dies, leaving f(a) = R. That is the whole proof — one substitution. The trap students fall into is the sign: dividing by x + 1 means x − a = x + 1, so a = −1, not 1.
Example 3: the remainder when f(x) = x⁴ + x³ + x² + 1 is divided by x + 1 is f(−1) = 1 − 1 + 1 + 1 = 2 — no division needed. Example 4 turns the theorem around to find an unknown: if x³ + kx² − 7x + 6 leaves remainder −4 on division by x + 2, then f(−2) = −8 + 4k + 14 + 6 = 4k + 12 = −4, so 4k = −16 and k = −4.
The factor theorem (9.1.2) is the remainder theorem with remainder zero. Statement: the polynomial x − a is a factor of f(x) if and only if f(a) = 0 — in other words, x − a is a factor of f(x) exactly when x = a is a root of the equation f(x) = 0. Proof: from f(x) = (x − a)q(x) + R, if f(a) = 0 then R = 0, so f(x) = (x − a)q(x) and x − a is a factor. Conversely, if x − a is a factor, then f(x) = (x − a)q(x) for some polynomial q(x), and putting x = a gives f(a) = 0. 📌 Note: to determine whether a given linear polynomial x − a is a factor of f(x), you only need to check whether f(a) = 0. Example 5: x − 2 is a factor of x³ − 7x + 6 without factorizing, because f(2) = 8 − 14 + 6 = 0. Example 6: if x + 1 and x − 2 are factors of x³ + px² + qx + 2, then f(−1) = 0 gives −1 + p − q + 2 = 0, i.e. p − q = −1, and f(2) = 0 gives 8 + 4p + 2q + 2 = 0, i.e. 2p + q = −5. Adding the two equations gives 3p = −6, so p = −2, and then q = p + 1 = −1.
باقی قضیہ (۹.۱.۱) جب تقسیم کنندہ خطی ہو تو پوری طویل تقسیم سے بچا لیتا ہے۔ بیان: اگر درجہ n ≥ ۱ والی کثیر رقمی f(x) کو x − a سے اس وقت تک تقسیم کیا جائے جب تک باقی میں کوئی x والا رکن نہ رہے، تو f(a) باقی ہے۔ ثبوت: f(x) کو (x − a) سے تقسیم کرنے سے ایک منفرد خارج قسمت q(x) اور ایک منفرد باقی R ملتا ہے، f(x) = (x − a)q(x) + R۔ x = a رکھیں: (x − a) والا رکن ختم ہو جاتا ہے، اور f(a) = R رہ جاتا ہے۔ یہی پورا ثبوت ہے — ایک ہی قیمت رکھنا۔ طلبہ جس جال میں پھنستے ہیں وہ علامت ہے: x + 1 سے تقسیم کرنے کا مطلب x − a = x + 1 ہے، اس لیے a = −1 ہے، ۱ نہیں۔
مثال ۳: f(x) = x⁴ + x³ + x² + 1 کو x + 1 سے تقسیم کرنے پر باقی f(−1) = 1 − 1 + 1 + 1 = 2 ہے — کوئی تقسیم درکار نہیں۔ مثال ۴ قضیے کو الٹا چلا کر نامعلوم نکالتی ہے: اگر x³ + kx² − 7x + 6 کو x + 2 سے تقسیم کرنے پر باقی −4 ہو تو f(−2) = 4k + 12 = −4، اس لیے k = −4۔
عامل قضیہ (۹.۱.۲) باقی صفر والا باقی قضیہ ہے۔ بیان: کثیر رقمی x − a، کثیر رقمی f(x) کا عامل ہے اگر اور صرف اگر f(a) = 0 ہو — دوسرے الفاظ میں، x − a، f(x) کا عامل ہے بالکل اس وقت جب x = a مساوات f(x) = 0 کا جذر ہو۔ ثبوت: f(x) = (x − a)q(x) + R سے، اگر f(a) = 0 ہو تو R = 0، اس لیے f(x) = (x − a)q(x) اور x − a عامل ہے۔ برعکس، اگر x − a عامل ہو تو f(x) = (x − a)q(x) کسی کثیر رقمی q(x) کے لیے، اور x = a رکھنے سے f(a) = 0۔ 📌 نوٹ: یہ طے کرنے کے لیے کہ آیا دیا ہوا خطی کثیر رقمی x − a، f(x) کا عامل ہے، صرف یہ جانچنا ہے کہ آیا f(a) = 0 ہے۔ مثال ۵: x − 2، x³ − 7x + 6 کا عامل ہے بغیر تجزیہ کیے، کیونکہ f(2) = 0۔ مثال ۶: اگر x + 1 اور x − 2، x³ + px² + qx + 2 کے عامل ہوں تو f(−1) = 0 سے p − q = −1 اور f(2) = 0 سے 2p + q = −5 ملتا ہے۔ دونوں مساواتیں جمع کرنے سے p = −2 اور پھر q = −1۔
Dono theorems samjho: remainder theorem کہتا ہے کہ (x − a) سے divide کرنے پر باقی صرف f(a) ہے — پوری division کرنے کی ضرورت نہیں. Factor theorem اسی بات کا خاص case ہے: اگر f(a) = 0 ہو تو باقی zero ہے, یعنی (x − a) پورا factor ہے. اور sign کا خیال رکھو: x + 1 کا مطلب a = −1 ہے.
There is a neat shortcut for long division of a polynomial f(x) by a polynomial of the form x − a: it is called synthetic division. To divide px³ + qx² + cx + d by x − a, you work with a small table: the first line holds the coefficients, the second line holds the products, and the third line holds the sums — the third line gives the coefficients of the quotient, and its last entry is the remainder. The outline of the method is: (i) write down the coefficients of the dividend f(x) from left to right in decreasing order of powers of x, inserting 0 for any missing term; (ii) to the left of the first line, write a, the number from the divisor (x − a); (iii) use two patterns to fill the second and third lines — the vertical pattern (↓) means add terms, and the diagonal pattern (↗) means multiply by a. Bring down the first coefficient, multiply it by a and write it under the next coefficient, add down, and repeat — that is the whole method, and it is far quicker than writing out x-powers at every step.
Example 7 shows why it is powerful: if (x − 2) and (x + 2) are factors of x⁴ − 13x² + 36, find the other two factors by synthetic division. First write the polynomial with its missing terms filled in: x⁴ + 0x³ − 13x² + 0x + 36. Divide by 2: coefficients 1, 0, −13, 0, 36 give the third line 1, 2, −9, −18, 0 — remainder 0, as expected for a factor. The quotient coefficients 1, 2, −9, −18 belong to x³ + 2x² − 9x − 18. Divide that by −2 (for the factor x + 2): the third line is 1, 0, −9, 0 — remainder 0 again, and the new quotient is x² + 0x − 9 = x² − 9 = (x + 3)(x − 3). So the other two factors are (x + 3) and (x − 3), and the full factorization is (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3). Notice how the zero coefficients for the missing x³ and x terms were essential — skipping them would have shifted every column and ruined the table.
کسی کثیر رقمی f(x) کو x − a کی شکل والی کثیر رقمی سے طویل تقسیم کرنے کا ایک عمدہ مختصر طریقہ ہے: اسے ترکیبی تقسیم کہتے ہیں۔ px³ + qx² + cx + d کو x − a سے تقسیم کرنے کے لیے آپ ایک چھوٹی جدول سے کام کرتے ہیں: پہلی سطر میں عددی سر، دوسری سطر میں حاصل ضرب، اور تیسری سطر میں مجموعے ہوتے ہیں — تیسری سطر خارج قسمت کے عددی سر دیتی ہے، اور اس کا آخری اندراج باقی ہوتا ہے۔ طریقے کا خاکہ یہ ہے: (۱) مقسوم f(x) کے عددی سر بائیں سے دائیں x کی طاقتوں کی نزولی ترتیب میں لکھیں، کسی غائب رکن کے لیے ۰ ڈالیں؛ (۲) پہلی سطر کے بائیں طرف تقسیم کنندہ (x − a) کا a لکھیں؛ (۳) دوسری اور تیسری سطریں بھرنے کے لیے دو نمونوں کا استعمال کریں — عمودی نمونہ (↓) کا مطلب جمع کرنا ہے، اور ترچھا نمونہ (↗) کا مطلب a سے ضرب دینا ہے۔ پہلا عددی سر نیچے لائیں، اسے a سے ضرب دے کر اگلے عددی سر کے نیچے لکھیں، نیچے جمع کریں، اور دہرائیں — یہی پورا طریقہ ہے، اور ہر مرحلے میں x کی طاقتیں لکھنے سے کہیں تیز ہے۔
مثال ۷ دکھاتی ہے کہ یہ کیوں طاقتور ہے: اگر (x − 2) اور (x + 2)، x⁴ − 13x² + 36 کے عامل ہوں تو ترکیبی تقسیم سے باقی دو عامل نکالیں۔ پہلے کثیر رقمی کو غائب رقوم کے ساتھ لکھیں: x⁴ + 0x³ − 13x² + 0x + 36۔ ۲ سے تقسیم کریں: عددی سر ۱، ۰، −۱۳، ۰، ۳۶ سے تیسری سطر ۱، ۲، −۹، −۱۸، ۰ ملتی ہے — باقی ۰، جیسا کہ عامل کے لیے توقع ہے۔ خارج قسمت کے عددی سر ۱، ۲، −۹، −۱۸، x³ + 2x² − 9x − 18 کے ہیں۔ اسے −۲ سے (عامل x + 2 کے لیے) تقسیم کریں: تیسری سطر ۱، ۰، −۹، ۰ ہے — باقی پھر ۰، اور نیا خارج قسمت x² − 9 = (x + 3)(x − 3) ہے۔ پس باقی دو عامل (x + 3) اور (x − 3) ہیں، اور مکمل تجزیہ (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3) ہے۔ غور کریں کہ غائب x³ اور x رقوم کے لیے صفر عددی سر کتنے ضروری تھے — انھیں چھوڑنے سے ہر ستون کھسک جاتا اور جدول خراب ہو جاتی۔
Synthetic division samjho: صرف coefficients لکھو (missing term کے لیے 0 ضرور ڈالو), a کو side پر لکھو, پھر "نیچے لاؤ, a سے multiply کرو, add کرو" repeat کرو. آخری number remainder ہے, باقی numbers quotient کے coefficients ہیں. پوری x-powers لکھنے کی ضرورت نہیں.
The remainder and factor theorems are not just exam tools — they are used in polynomial regression (statistical modeling), signal processing (filtering and error detection) and coding theory (data encryption and error correction in communication systems). Regression analysis is a statistical method for modeling the relationship between a dependent variable and one or more independent variables. Polynomial regression models that relationship as an nth-degree polynomial; it is used when the data shows a curved (non-linear) relationship but you still want a smooth, continuous function. The factor theorem is useful for reducing the degree of a polynomial regression model, and the remainder theorem helps in evaluating polynomials at given points — which is exactly what the examples do.
Example 8 (sales data): a polynomial regression model P(x) = x³ + x² + 2x + 1 is fitted to monthly sales figures. If the observed sales in the 3rd month are 40 units, find the percentage error. Predicted sales: P(3) = 27 + 9 + 6 + 1 = 43. Error = Observed − Predicted = 40 − 43 = −3. Percentage error = |−3|/40 × 100 = 7.5%. Example 9 (missing data): for the model P(x) = 3x³ − 4x² + 2x − 5, a data point at x = −1 is missing — its predicted value is P(−1) = −3 − 4 − 2 − 5 = −14, by the remainder theorem (evaluating the polynomial at the point).
Digital Signal Processing (DSP) is the use of computers or digital devices to analyze, change or improve signals like sound, images or sensor data. Systems are described by transfer functions in the z-domain, H(z) = B(z)/A(z), a ratio of two polynomials: B(z) is the numerator polynomial (related to the system's zeros) and A(z) is the denominator polynomial (related to the system's poles). Finding the roots of B(z) gives the zeros: if B(z₀) = 0, then (z − z₀) is a factor of B(z), and if |z₀| = 1, that zero corresponds to a frequency the system blocks. Finding the roots of A(z) gives the poles: if A(p₀) = 0, then (z − p₀) is a factor of A(z), and the poles' locations in the complex z-plane decide the system's stability — for a stable system, all poles must lie inside the unit circle (|p₀| < 1). Example 10: a system with denominator A(z) = z² − 0.25 has poles where z² − 0.25 = 0, i.e. (z − 0.5)(z + 0.5) = 0, so z = 0.5 or z = −0.5. Since |0.5| = 0.5 < 1 and |−0.5| = 0.5 < 1, both poles are inside the unit circle, so the system is stable.
باقی اور عامل قضیے صرف امتحانی اوزار نہیں ہیں — وہ کثیر رقمی رجعت (شماریاتی ماڈل سازی)، اشارہ عمل کاری (چھانٹ اور غلطی کی نشاندہی) اور رمزی نظریہ (ابلاغی نظاموں میں ڈیٹا کی خفیہ کاری اور غلطی کی اصلاح) میں استعمال ہوتے ہیں۔ رجعت کا تجزیہ ایک شماریاتی طریقہ ہے جس سے منحصر متغیر اور ایک یا زیادہ آزاد متغیروں کے درمیان تعلق کی ماڈل سازی کی جاتی ہے۔ کثیر رقمی رجعت اس تعلق کو nویں درجے کی کثیر رقمی کے طور پر ماڈل کرتی ہے؛ یہ اس وقت استعمال ہوتی ہے جب ڈیٹا خمیدہ (غیر خطی) تعلق دکھائے لیکن آپ پھر بھی ایک ہموار، مسلسل تابع چاہیں۔ عامل قضیہ کثیر رقمی رجعت ماڈل کا درجہ کم کرنے میں مفید ہے، اور باقی قضیہ دیے گئے نکات پر کثیر رقمیوں کی قیمت نکالنے میں مدد کرتا ہے — اور مثالیں بالکل یہی کرتی ہیں۔
مثال ۸ (فروخت کا ڈیٹا): ماہانہ فروخت کے اعداد پر کثیر رقمی رجعت ماڈل P(x) = x³ + x² + 2x + 1 فٹ کیا گیا ہے۔ اگر تیسرے مہینے میں مشاہدہ شدہ فروخت ۴۰ یونٹ ہو تو فیصد غلطی نکالیں۔ متوقع فروخت: P(3) = 43۔ غلطی = مشاہدہ − متوقع = 40 − 43 = −3۔ فیصد غلطی = |−3|/40 × 100 = 7.5%۔ مثال ۹ (غائب ڈیٹا): ماڈل P(x) = 3x³ − 4x² + 2x − 5 کے لیے x = −1 پر ڈیٹا نقطہ غائب ہے — اس کی متوقع قیمت P(−1) = −14 ہے، باقی قضیے سے (نقطے پر کثیر رقمی کی قیمت نکال کر)۔
ڈیجیٹل اشارہ عمل کاری (DSP) کمپیوٹر یا ڈیجیٹل آلات سے آواز، تصاویر یا سینسر ڈیٹا جیسے اشاروں کا تجزیہ، تبدیلی یا بہتری ہے۔ نظاموں کو z-ڈومین میں منتقلی تابع H(z) = B(z)/A(z) سے بیان کیا جاتا ہے، جو دو کثیر رقمیوں کی نسبت ہے: B(z) شمار کنندہ کثیر رقمی ہے (نظام کے صفروں سے متعلق) اور A(z) مخرج کثیر رقمی ہے (نظام کے قطبوں سے متعلق)۔ B(z) کے جذر نکالنے سے صفر ملتے ہیں: اگر B(z₀) = 0 ہو تو (z − z₀)، B(z) کا عامل ہے، اور اگر |z₀| = 1 ہو تو وہ صفر اس تعدد سے مطابقت رکھتا ہے جسے نظام روکتا ہے۔ A(z) کے جذر نکالنے سے قطب ملتے ہیں: اگر A(p₀) = 0 ہو تو (z − p₀)، A(z) کا عامل ہے، اور مختلط z-مستوی میں قطبوں کے مقامات نظام کے استحکام کا فیصلہ کرتے ہیں — مستحکم نظام کے لیے تمام قطب اکائی دائرے کے اندر ہونے چاہئیں (|p₀| < 1)۔ مثال ۱۰: مخرج A(z) = z² − 0.25 والے نظام کے قطب وہاں ہیں جہاں z² − 0.25 = 0، یعنی z = 0.5 یا z = −0.5۔ چونکہ دونوں |0.5| < 1 ہیں، دونوں قطب اکائی دائرے کے اندر ہیں، اس لیے نظام مستحکم ہے۔
Stability samjho: poles کو unit circle کے اندر ہونا چاہیے (|p| < 1) تبھی system stable ہے. Example 10 میں poles 0.5 اور −0.5 دونون اندر ہیں, اس لیے system stable ہے. اگر کوئی pole باہر ہوتا (|p| > 1) تو system unstable ہو جاتا.
Below are all questions of Exercises 9.1 and 9.2 from Unit 9 of the official book (printed pages 173–174 and 176), each solved step by step. The book has no multiple-choice section, no review exercise and no inquisitive/numerical section in this unit, so none is invented here. Counting rule: one numbered question = one answer block; its parts (i), (ii), … are solved inside that block. That gives 10 + 7 = 17 blocks.
(i) Synthetic division with a = 1 on coefficients 3, −1, 2: bring down 3; multiply 3 × 1 = 3, add to −1 to get 2; multiply 2 × 1 = 2, add to 2 to get 4. Quotient 3x + 2, remainder 4. (ii) Synthetic division with a = 2 on 1, 12, −3, 4: 1 → 2 → 14 → 28 → 25 → 50 → 54. Quotient x² + 14x + 25, remainder 54. (iii) Synthetic division with a = 6 on 1, −5, −8, 13, 12: 1 → 6 → 1 → 6 → −2 → −12 → 1 → 6 → 18. Quotient x³ + x² − 2x + 1, remainder 18. (iv) Long division (the divisor is quadratic, so synthetic division does not apply directly): 5x⁴ ÷ x² = 5x²; subtract 5x²(x² + 4) = 5x⁴ + 20x², leaving −3x³ − 18x² − 1. Next −3x³ ÷ x² = −3x; subtract −3x(x² + 4) = −3x³ − 12x, leaving −18x² + 12x − 1. Next −18x² ÷ x² = −18; subtract −18(x² + 4) = −18x² − 72, leaving 12x + 71. Quotient 5x² − 3x − 18, remainder 12x + 71. (The remainder has degree 1, lower than the divisor's degree 2, so division stops here.) (v) Long division: 3x⁴ ÷ x² = 3x²; subtract 3x²(x² − 3x + 5) = 3x⁴ − 9x³ + 15x², leaving 4x³ − 15x² + 4x − 6. Next 4x³ ÷ x² = 4x; subtract 4x(x² − 3x + 5) = 4x³ − 12x² + 20x, leaving −3x² − 16x − 6. Next −3x² ÷ x² = −3; subtract −3(x² − 3x + 5) = −3x² + 9x − 15, leaving −25x + 9. Quotient 3x² + 4x − 3, remainder −25x + 9.
(i) Divisor x − 2 gives a = 2: f(2) = 4 + 10 + 6 = 20. (ii) Divisor x + 1 gives a = −1: f(−1) = −1 + 5 + 6 = 10. (iii) Divisor x − 1 gives a = 1: f(1) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5. (iv) Divisor x + 3 gives a = −3: f(−3) = 81 + 9 + 1 = 91. (v) Divisor x + 2 gives a = −2: f(−2) = 16 − 8 + 2 = 10.
(i) f(−1) = 1 − 1 = 0, so yes, x + 1 is a factor of x² − 1. (ii) f(2) = 4 − 10 + 6 = 0, so yes, x − 2 is a factor of x² − 5x + 6. (iii) f(−1) = −1 + 1 − 1 − 3 = −4 ≠ 0, so no, x + 1 is not a factor of x³ + x² + x − 3. (iv) f(2) = 8 + 4 − 14 + 2 = 0, so yes, x − 2 is a factor of x³ + x² − 7x + 2. (v) f(3) = 81 − 81 + 9 − 3 + 1 = 7 ≠ 0, so no, x − 3 is not a factor of x⁴ − 3x³ + x² − x + 1.
(i) f(2) = 8 − 14 + 6 = 0, so x = 2 is a zero. Synthetic division with a = 2 on coefficients 1, 0, −7, 6 (0 for the missing x² term): third line 1, 2, −3, 0. Quotient x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1). Complete factorization: (x − 2)(x − 1)(x + 3). (ii) f(−4) = −64 + 112 − 48 = 0, so x = −4 is a zero. Synthetic division with a = −4 on 1, 0, −28, −48: third line 1, −4, −12, 0. Quotient x² − 4x − 12 = (x − 6)(x + 2). Complete factorization: (x + 4)(x − 6)(x + 2). (iii) f(2) = 32 + 56 − 16 − 54 − 18 = 0, so x = 2 is a zero. Synthetic division with a = 2 on 2, 7, −4, −27, −18: third line 2, 11, 18, 9, 0. Quotient 2x³ + 11x² + 18x + 9. Check x = −3 in it: 2(−27) + 11(9) + 18(−3) + 9 = −54 + 99 − 54 + 9 = 0, so x = −3 is a zero of the quotient too. Synthetic division with a = −3 on 2, 11, 18, 9: third line 2, 5, 3, 0. Quotient 2x² + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1). Complete factorization: (x − 2)(x + 3)(2x + 3)(x + 1).
Write the polynomial with its missing term: x⁴ + 0x³ − 10x² − 2x + 4. Synthetic division with a = −3 (since x + 3 = x − (−3)): coefficients 1, 0, −10, −2, 4 give the third line 1, −3, −1, 1, 1. Quotient x³ − 3x² − x + 1, remainder 1.
Divide x³ − px² + qx + 2 by (x + 1) synthetically (a = −1): coefficients 1, −p, q, 2 give the third line 1, −p − 1, q + p + 1, and remainder 1 − p − q. Since x + 1 is a factor, the remainder is 0: 1 − p − q = 0, i.e. p + q = 1. Now divide the quotient x² + (−p − 1)x + (q + p + 1) by (x − 2) synthetically (a = 2): the third line is 1, 1 − p, and remainder q − p + 3. Since x − 2 is a factor, this remainder is 0: q − p = −3. Solving p + q = 1 and q − p = −3: adding gives 2q = −2, so q = −1 and p = 2. Check: x³ − 2x² − x + 2 has f(−1) = −1 − 2 + 1 + 2 = 0 and f(2) = 8 − 8 − 2 + 2 = 0. ✓
By the remainder theorem, the remainder is f(−1) = 4(−1)⁴ + 2(−1)³ + k(−1)² + 13 = 4 − 2 + k + 13 = k + 15. Set equal to 16: k + 15 = 16, so k = 1.
By the remainder theorem, the remainder is f(−1) = (−1)³ + (−1)² + (−1) + k = −1 + 1 − 1 + k = k − 1. Set equal to 7: k − 1 = 7, so k = 8.
Since x + 1 is a factor, f(−1) = 0: −1 + p − q + 3 = 0, i.e. p − q = −2. Since x − 2 is a factor, f(2) = 0: 8 + 4p + 2q + 3 = 0, i.e. 4p + 2q = −11, or 2p + q = −11/2. From the first equation q = p + 2; substituting: 2p + (p + 2) = −11/2, so 3p = −15/2 and p = −5/2. Then q = p + 2 = −1/2. Check: f(−1) = −1 − 5/2 + 1/2 + 3 = 0 and f(2) = 8 − 10 − 1 + 3 = 0. ✓
Since −2 is a root, f(−2) = 0: 2(−8) + 4(4) + a(−2) + b = −16 + 16 − 2a + b = 0, i.e. b = 2a. Since 2 is a root, f(2) = 0: 2(8) + 4(4) + 2a + b = 16 + 16 + 2a + b = 0, i.e. 2a + b = −32. Substituting b = 2a: 4a = −32, so a = −8 and b = 2a = −16.
Predicted sales in the 5th month: P(5) = 125 + 2(25) + 5 − 3 = 125 + 50 + 5 − 3 = 177 units. Error = Observed − Predicted = 240 − 177 = 63 units. Percentage error = (63/240) × 100 = 26.25%.
By the remainder theorem, the predicted demand for the 3rd week is D(3) = 27 − 2(9) + 5(3) − 4 = 27 − 18 + 15 − 4 = 20 units. Observed demand is 22 units, so the prediction error = Observed − Predicted = 22 − 20 = 2 units (about 9.09% of the observed demand).
The zeros are the roots of B(z) = 0. By the factor theorem: B(2) = 4 − 2 − 2 = 0, so (z − 2) is a factor; B(−1) = 1 + 1 − 2 = 0, so (z + 1) is a factor. Hence B(z) = (z − 2)(z + 1), and the zeros are z = 2 and z = −1.
The zeros of H(z) are the roots of its numerator B(z) = z² + 3z + 2. By the factor theorem: B(−1) = 1 − 3 + 2 = 0, so (z + 1) is a factor; B(−2) = 4 − 6 + 2 = 0, so (z + 2) is a factor. Hence B(z) = (z + 1)(z + 2), and the zeros are z = −1 and z = −2. (The denominator's roots are the poles, not the zeros, so they are not asked for here.)
The zeros are the roots of the numerator B(z) = z² − 0.5z − 0.5. By the factor theorem: B(1) = 1 − 0.5 − 0.5 = 0, so (z − 1) is a factor; B(−0.5) = 0.25 + 0.25 − 0.5 = 0, so (z + 0.5) is a factor. Hence B(z) = (z − 1)(z + 0.5), and the zeros are z = 1 and z = −0.5.
The poles are the roots of A(z) = 0. Factor: z² − 0.3z − 0.4 = 0. Using the quadratic formula, z = [0.3 ± √(0.09 + 1.6)]/2 = [0.3 ± 1.3]/2, so z = 0.8 or z = −0.5. (Check by the factor theorem: A(0.8) = 0.64 − 0.24 − 0.4 = 0 and A(−0.5) = 0.25 + 0.15 − 0.4 = 0.) Both poles satisfy |0.8| = 0.8 < 1 and |−0.5| = 0.5 < 1 — both lie inside the unit circle — so the system is stable.
The poles are the roots of A(z) = 0. Factor: z² + 1.2z + 0.35 = 0. Using the quadratic formula, z = [−1.2 ± √(1.44 − 1.4)]/2 = [−1.2 ± 0.2]/2, so z = −0.5 or z = −0.7. (Check by the factor theorem: A(−0.5) = 0.25 − 0.6 + 0.35 = 0 and A(−0.7) = 0.49 − 0.84 + 0.35 = 0.) Both poles satisfy |−0.5| = 0.5 < 1 and |−0.7| = 0.7 < 1 — both lie inside the unit circle — so the system is stable.
This short unit is built on one identity: f(x) = (divisor) × (quotient) + (remainder), where the remainder's degree is always lower than the divisor's degree. Long division finds the quotient and remainder mechanically — divide the leading term, multiply back, subtract, repeat. When the divisor is linear, x − a, two shortcuts take over: the remainder theorem says the remainder is simply f(a), and the factor theorem says x − a is a factor exactly when f(a) = 0. Synthetic division is the fastest way to divide by x − a — a small table of coefficients, "bring down, multiply by a, add" — and repeating it peels off factor after factor until a polynomial is completely factorized. The unit closes with the theorems at work in the real world: polynomial regression models predicting sales and demand (with percentage and prediction errors), and signal-processing systems where the numerator's roots are the zeros and the denominator's roots are the poles — a system is stable exactly when every pole lies inside the unit circle.
Revision guidance: in synthetic division, never skip the zero coefficients for missing terms — one skipped zero shifts every column and ruins the table. In remainder and factor questions, the commonest slip is the sign: dividing by x + 3 means a = −3, and a root of −2 means the factor is x + 2. Always verify a division by multiplying back: (divisor × quotient) + remainder must equal the original polynomial. For stability questions, remember the rule is about the denominator's roots (poles), not the numerator's — and "inside the unit circle" means the absolute value is less than 1, so a pole at −0.7 is just as stable as one at 0.5.
یہ مختصر یونٹ ایک ہی شناخت پر بنا ہے: f(x) = (تقسیم کنندہ) × (خارج قسمت) + (باقی)، جہاں باقی کا درجہ ہمیشہ تقسیم کنندہ کے درجے سے کم ہوتا ہے۔ طویل تقسیم خارج قسمت اور باقی کو میکانکی طور پر نکالتی ہے — قائدانہ رکن کو تقسیم کریں، واپس ضرب دیں، گھٹائیں، دہرائیں۔ جب تقسیم کنندہ خطی ہو، x − a، تو دو مختصر طریقے آ جاتے ہیں: باقی قضیہ کہتا ہے کہ باقی صرف f(a) ہے، اور عامل قضیہ کہتا ہے کہ x − a عامل ہے بالکل اس وقت جب f(a) = 0 ہو۔ ترکیبی تقسیم x − a سے تقسیم کرنے کا تیز ترین طریقہ ہے — عددی سروں کی ایک چھوٹی جدول، "نیچے لاؤ، a سے ضرب دو، جمع کرو" — اور اسے دہرانے سے عامل در عامل نکلتے جاتے ہیں یہاں تک کہ کثیر رقمی مکمل تجزیہ ہو جائے۔ یونٹ کا اختتام قضیوں کے حقیقی دنیا کے کام سے ہوتا ہے: کثیر رقمی رجعت ماڈل جو فروخت اور طلب کی پیش گوئی کرتے ہیں (فیصد اور پیش گوئی کی غلطیوں کے ساتھ)، اور اشارہ عمل کاری کے نظام جہاں شمار کنندہ کے جذر صفر اور مخرج کے جذر قطب ہوتے ہیں — نظام مستحکم ہے بالکل اس وقت جب ہر قطب اکائی دائرے کے اندر ہو۔
دہرائی کی رہنمائی: ترکیبی تقسیم میں غائب رقوم کے لیے صفر عددی سر کبھی نہ چھوڑیں — ایک چھوڑا ہوا صفر ہر ستون کو کھسکا دیتا ہے اور جدول خراب کر دیتا ہے۔ باقی اور عامل کے سوالوں میں عام ترین غلطی علامت ہے: x + 3 سے تقسیم کرنے کا مطلب a = −3 ہے، اور −2 جذر کا مطلب عامل x + 2 ہے۔ ہر تقسیم کی تصدیق واپس ضرب دے کر کریں: (تقسیم کنندہ × خارج قسمت) + باقی اصل کثیر رقمی کے برابر ہونا چاہیے۔ استحکام کے سوالوں میں یاد رکھیں کہ قاعدہ مخرج کے جذروں (قطبوں) کے بارے میں ہے، شمار کنندہ کے نہیں — اور "اکائی دائرے کے اندر" کا مطلب مطلق قیمت کا ۱ سے کم ہونا ہے، اس لیے −0.7 والا قطب بھی اتنا ہی مستحکم ہے جتنا 0.5 والا۔
Topics covered: Polynomial function and long division · Remainder and factor theorems · Synthetic division · Real-life applications · Exercises 9.1–9.2
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 1 Mathematics, Chapter 9 (New Book, Session 2026–27) • English + Urdu