Physics is the most fundamental branch of the physical sciences. It gives the basic principles and laws that help us understand the mysteries of other branches — astronomy, chemistry, geology, biology and the health sciences. Look around: the tools, techniques and products of physics have turned our dreams into realities, and the comforts and pleasures of everyday life are the fruitful results of science, technology and engineering.
Information technology alone has changed the whole outlook of mankind. Fast means of communication have brought people from every corner of the world into such close contact that the whole world has become a global village. And physics is an experimental science: the scientific method puts accurate measurement of measurable physical quantities at the centre. That is what this chapter is about — understanding measuring techniques and recording skills.
After studying this chapter, you will be able to: make reasonable estimates of physical quantities; use SI unit conventions; express derived units as products or quotients of base units; analyse the homogeneity of equations; derive formulae in simple cases through dimensional analysis; analyse the accuracy and precision of instrument data; justify why every measurement carries some uncertainty; assess uncertainty in a derived quantity by simple addition of absolute, fractional or percentage uncertainties; and quote answers with correct scientific notation, significant figures and units.
📌 Think over! Computer chips are made from silicon, which is obtained from sand. It is up to us whether we make a sand castle or a computer out of it — the same material, two very different uses, and the difference is physics.
طبیعیات طبعی علوم کی سب سے بنیادی شاخ ہے۔ یہ وہ بنیادی اصول اور قوانین دیتی ہے جن سے فلکیات، کیمیا، ارضیات، حیاتیات اور طبی علوم کے راز سمجھ میں آتے ہیں۔ ارد گرد دیکھیں: طبیعیات کے اوزاروں، طریقوں اور مصنوعات نے ہمارے خوابوں کو حقیقت بنا دیا ہے، اور روزمرہ زندگی کی سہولتیں اور خوشیاں سائنس، ٹیکنالوجی اور انجینئرنگ کے پھل ہیں۔
صرف معلوماتی ٹیکنالوجی نے انسان کا پورا نظریہ بدل دیا ہے۔ رابطے کے تیز ذرائع نے دنیا کے ہر کونے کے لوگوں کو اتنا قریب کر دیا ہے کہ پوری دنیا ایک عالمی گاؤں بن گئی ہے۔ اور طبیعیات ایک تجرباتی سائنس ہے: سائنسی طریقہ کار میں قابلِ پیمائش طبعی مقداروں کی درست پیمائش مرکز میں ہے۔ یہی اس باب کا موضوع ہے — پیمائش کی تکنیکیں اور ریکارڈ کرنے کی مہارت سمجھنا۔
اس باب کے بعد آپ یہ کر سکیں گے: طبعی مقداروں کا معقول اندازہ لگانا؛ ایس آئی اکائیوں کے قواعد استعمال کرنا؛ ماخوذ اکائیوں کو بنیادی اکائیوں کی ضرب یا تقسیم سے ظاہر کرنا؛ مساواتوں کی یکسانیت جانچنا؛ جہتی تجزیے سے سادہ صورتوں میں فارمولے اخذ کرنا؛ آلات کے ڈیٹا کی درستگی اور صحت کا تجزیہ کرنا؛ یہ بتانا کہ ہر پیمائش میں کچھ غیر یقینی کیوں ہوتی ہے؛ مطلق، کسری یا فیصدی غیر یقینی کو سادہ جمع سے ماخوذ مقدار کی غیر یقینی نکالنا؛ اور جوابات درست سائنسی نوٹیشن، اہم ہندسوں اور اکائیوں کے ساتھ لکھنا۔
📌 سوچیں! کمپیوٹر چپس سلیکان سے بنتی ہیں جو ریت سے حاصل ہوتی ہے۔ یہ ہم پر ہے کہ ہم ریت سے قلعہ بنائیں یا کمپیوٹر — ایک ہی مادہ، دو بالکل مختلف استعمال، اور فرق طبیعیات کا ہے۔
The foundation of physics rests on physical quantities — the things in terms of which the laws of physics are written. So those quantities have to be measured accurately: mass, length, time, velocity, force, density, temperature, electric current, and numerous others.
Physical quantities fall into two families. Derived quantities are those which depend on base quantities — velocity, acceleration and force are the book's examples. Base quantities are not defined in terms of any other physical quantity; they are the independent quantities in terms of which all the others can be defined. The typical examples are length, mass and time.
Measuring a base quantity is a two-step job. First, choose a standard for it. Second, set up a procedure for comparing the quantity to be measured with that standard, so that a number and a unit come out as the measure of that quantity. And one condition runs through everything: measurements must be reliable and accurate enough to be used easily and effectively.
طبیعیات کی بنیاد طبعی مقداروں پر ہے — وہ چیزیں جن کے ذریعے طبیعیات کے قوانین لکھے جاتے ہیں۔ اس لیے ان مقداروں کو درست ناپنا ضروری ہے: کمیت، لمبائی، وقت، رفتار، قوت، کثافت، درجہ حرارت، برقی رو اور بہت سی دیگر۔
طبعی مقداریں دو خاندانوں میں بٹتی ہیں۔ ماخوذ مقداریں وہ ہیں جو بنیادی مقداروں پر منحصر ہوتی ہیں — کتاب کی مثالیں رفتار، اسراع اور قوت ہیں۔ بنیادی مقداریں کسی دوسری طبعی مقدار کے ذریعے بیان نہیں ہوتیں؛ وہ آزاد مقداریں ہیں جن کے ذریعے باقی سب کی تعریف ہو سکتی ہے۔ عام مثالیں لمبائی، کمیت اور وقت ہیں۔
کسی بنیادی مقدار کی پیمائش دو مرحلوں کا کام ہے۔ پہلا، اس کے لیے ایک معیار چنیں۔ دوسرا، ناپی جانے والی مقدار کا اس معیار سے موازنہ کرنے کا طریقہ بنائیں، تاکہ اس مقدار کی پیمائش کے طور پر ایک عدد اور ایک اکائی حاصل ہو۔ اور ایک شرط ہر جگہ چلتی ہے: پیمائشیں اتنی قابلِ اعتماد اور درست ہونی چاہئیں کہ انہیں آسانی اور مؤثر طریقے سے استعمال کیا جا سکے۔
In 1960, an international committee agreed on one set of definitions and standards to describe physical quantities. The system that was established is called the International System (SI). SI units are used by the world's scientific community and by almost all nations, which is exactly why a measurement written in Lahore means the same thing in London.
SI consists of two kinds of units: base units and derived units. There are seven base units for physical quantities: length, mass, time, temperature, electric current, light or luminous intensity, and amount of substance (with special reference to the number of particles). Prefixes such as milli, micro and kilo may be used with them to express smaller or larger quantities.
| Physical Quantity | SI Unit | Symbol |
|---|---|---|
| Length | metre | m |
| Mass | kilogram | kg |
| Time | second | s |
| Electric current | ampere | A |
| Thermodynamic temperature | kelvin | K |
| Intensity of light | candela | cd |
| Amount of substance | mole | mol |
۱۹۶۰ء میں ایک بین الاقوامی کمیٹی نے طبعی مقداروں کو بیان کرنے کے لیے تعریفوں اور معیاروں کے ایک مجموعے پر اتفاق کیا۔ جو نظام قائم ہوا اسے بین الاقوامی نظام (ایس آئی) کہتے ہیں۔ ایس آئی اکائیاں دنیا کی سائنسی برادری اور تقریباً تمام اقوام استعمال کرتی ہیں، اور یہی وجہ ہے کہ لاہور میں لکھی گئی پیمائش کا لندن میں بھی وہی مطلب ہوتا ہے۔
ایس آئی دو قسم کی اکائیوں پر مشتمل ہے: بنیادی اکائیاں اور ماخوذ اکائیاں۔ طبعی مقداروں کے لیے سات بنیادی اکائیاں ہیں: لمبائی، کمیت، وقت، درجہ حرارت، برقی رو، روشنی یا نوری شدت، اور مادے کی مقدار (ذرات کی تعداد کے خاص حوالے سے)۔ ان کے ساتھ ملی، مائیکرو اور کلو جیسے سابقے لگا کر چھوٹی یا بڑی مقداریں ظاہر کی جا سکتی ہیں۔
| طبعی مقدار | ایس آئی اکائی | علامت |
|---|---|---|
| لمبائی | میٹر | m |
| کمیت | کلوگرام | kg |
| وقت | سیکنڈ | s |
| برقی رو | ایمپیئر | A |
| حرارتی درجہ حرارت | کیلون | K |
| روشنی کی شدت | کینڈیلا | cd |
| مادے کی مقدار | مول | mol |
Derived units are units which depend on the base units. Some of them are listed in the book's Table 1.2. The units of plane angle and solid angle have also been included in the list of derived units since 1995.
| Physical quantity | Unit | Symbol | In terms of base units |
|---|---|---|---|
| Plane angle | radian | rad | dimensionless |
| Solid angle | steradian | sr | dimensionless |
| Force | newton | N | kg m s⁻² |
| Work | joule | J | N m = kg m² s⁻² |
| Power | watt | W | J s⁻¹ = kg m² s⁻³ |
| Electric charge | coulomb | C | A s |
| Pressure | pascal | Pa | N m⁻² = kg m⁻¹ s⁻² |
Besides base and derived units, SI permits certain additional units: the traditional mathematical units for angles (degree, arcminute, arcsecond); traditional time units (minute, hour, day, year); the logarithmic unit bel and its multiple the decibel; two metric units of everyday life, the litre for volume and the tonne for large masses; two non-metric scientific units, the atomic mass unit (µ) and the electron volt (eV); the nautical mile and knot at sea and in meteorology; the acre and hectare for land area; the bar for pressure (milibar in meteorology, kilobar in engineering); and the angstrom and the barn in physics and astronomy.
Scientific notation is the standard form for numbers, using powers of ten. The internationally accepted practice is that there should be only one non-zero digit left of the decimal. So 134.7 should be written as 1.347 × 10², and 0.0023 as 2.3 × 10⁻³.
ماخوذ اکائیاں وہ اکائیاں ہیں جو بنیادی اکائیوں پر منحصر ہوتی ہیں۔ ان میں سے کچھ کتاب کی جدول ۱.۲ میں درج ہیں۔ مستوی زاویے اور ٹھوس زاویے کی اکائیوں کو بھی ۱۹۹۵ء سے ماخوذ اکائیوں کی فہرست میں شامل کیا گیا ہے۔
| طبعی مقدار | اکائی | علامت | بنیادی اکائیوں میں |
|---|---|---|---|
| مستوی زاویہ | ریڈین | rad | بے جہتی |
| ٹھوس زاویہ | سٹیریڈین | sr | بے جہتی |
| قوت | نیوٹن | N | kg m s⁻² |
| کام | جول | J | N m = kg m² s⁻² |
| طاقت | واٹ | W | J s⁻¹ = kg m² s⁻³ |
| برقی چارج | کولمب | C | A s |
| دباؤ | پاسکل | Pa | N m⁻² = kg m⁻¹ s⁻² |
بنیادی اور ماخوذ اکائیوں کے علاوہ ایس آئی کچھ اضافی اکائیوں کی اجازت دیتا ہے: زاویوں کی روایتی ریاضیاتی اکائیاں (ڈگری، آرک منٹ، آرک سیکنڈ)؛ وقت کی روایتی اکائیاں (منٹ، گھنٹہ، دن، سال)؛ لوگارتھمی اکائی بیل اور اس کا کثیر ڈیسی بیل؛ روزمرہ زندگی کی دو میٹرک اکائیاں، حجم کے لیے لیٹر اور بڑی کمیتوں کے لیے ٹن؛ دو غیر میٹرک سائنسی اکائیاں، جوہری کمیت اکائی (µ) اور الیکٹرون وولٹ (eV)؛ سمندر اور موسمیات میں ناٹیکل میل اور ناٹ؛ زمین کے رقبے کے لیے ایکڑ اور ہیکٹر؛ دباؤ کے لیے بار (موسمیات میں ملی بار، انجینئرنگ میں کلو بار)؛ اور طبیعیات و فلکیات میں اینگسٹرم اور بارن۔
سائنسی نوٹیشن اعداد کی معیاری شکل ہے جس میں دس کی قوتیں استعمال ہوتی ہیں۔ بین الاقوامی طور پر تسلیم شدہ طریقہ یہ ہے کہ اعشاریہ کے بائیں صرف ایک غیر صفر ہندسہ ہو۔ اس لیے ۱۳۴.۷ کو ۱.۳۴۷ × ۱۰² اور ۰.۰۰۲۳ کو ۲.۳ × ۱۰⁻³ لکھا جائے۔
Most prefixes indicate orders of magnitude in steps of 1000, and they give a convenient way to express large and small numbers and to eliminate non-significant digits. SI also includes four older prefixes that were already in established use before SI came in. They are centi (10⁻²), deci (10⁻¹), deca (10¹) and hecto (10²).
| Factor | Prefix | Symbol |
|---|---|---|
| 10¹⁸ | exa | E |
| 10¹⁵ | peta | P |
| 10¹² | tera | T |
| 10⁹ | giga | G |
| 10⁶ | mega | M |
| 10³ | kilo | k |
| 10² | hecto | h |
| 10¹ | deca | da |
| 10⁻¹ | deci | d |
| 10⁻² | centi | c |
| 10⁻³ | milli | m |
| 10⁻⁶ | micro | µ |
| 10⁻⁹ | nano | n |
| 10⁻¹² | pico | p |
| 10⁻¹⁵ | femto | f |
| 10⁻¹⁸ | atto | a |
Conventions for using SI units — the points to note: (1) Each SI unit is represented by a symbol, not an abbreviation, and the symbols are the same in all languages — "A" for ampere, not "amp"; "s" for second, not "sec"; SI, not S.I. (2) The full name of a unit does not begin with a capital letter — newton, metre — except Celsius. (3) Symbols appear in lower case — "m" for metre, "s" for second — except "L" for litre. (4) Symbols named after scientists have initial letters capital — "N" for newton, "Pa" for pascal, "W" for watt. (5) Symbols and prefixes are printed in upright (roman) style whatever the surrounding type style — a distance of 50 m. (6) Symbols do not take a plural form — 1 mm, 100 mm, 1 kg, 60 kg. (7) No full stop or dot after the symbol except at the end of a sentence. (8) A prefix is written before and without space to the base unit — "mL", not "m L"; "ms", not "m s". (9) Base units are written one space apart, and a space is left even between the number and the symbol — 1 kg, 10 m s⁻¹. (10) Compound prefixes are not allowed — 1 µµF should be 1 pF. (11) When a base unit of multiple is raised to a power, the power applies to the whole multiple, not to the base unit alone — 1 km² = 1 (km)² = 1 × (10³ m)² = 1 × 10⁶ m². (12) Use negative index notation (m s⁻¹) instead of solidus (m/s). (13) Use scientific notation — one non-zero digit left of the decimal, e.g. 143.7 = 1.437 × 10². (14) Do not mix symbols and names in the same expression — metre per second or m s⁻¹, not metre/sec or m/second. (15) Practical work should be recorded in the most convenient units for the instruments used — screw-gauge measurements in mm — but final results must be recorded in the appropriate base units. (16) SI does not allow former CGS units such as dyne, erg, gauss, poise and torr.
📌 Do you know? Mass can be thought of as a form of energy. In effect, mass is a highly concentrated form of energy. Einstein's famous equation, E = mc², means: Energy = mass × (speed of light)². According to this equation, 1 kg of mass is actually 9 × 10¹⁶ J of energy.
زیادہ تر سابقے مقدار کے درجے کو ۱۰۰۰ کے مراحل میں ظاہر کرتے ہیں، اور یہ بڑے اور چھوٹے اعداد کو ظاہر کرنے اور غیر اہم ہندسوں کو ختم کرنے کا آسان طریقہ دیتے ہیں۔ ایس آئی میں چار پرانے سابقے بھی شامل ہیں جو ایس آئی سے پہلے سے رائج تھے۔ وہ ہیں سینٹی (۱۰⁻²)، ڈیسی (۱۰⁻¹)، ڈیکا (۱۰¹) اور ہیکٹو (۱۰²)۔
ایس آئی اکائیوں کے استعمال کے قواعد — یاد رکھنے کی باتیں: (۱) ہر ایس آئی اکائی علامت سے ظاہر ہوتی ہے، مخفف سے نہیں، اور علامتیں تمام زبانوں میں ایک جیسی ہیں — ایمپیئر کے لیے "A" نہ کہ "amp"؛ سیکنڈ کے لیے "s" نہ کہ "sec"؛ SI نہ کہ S.I۔ (۲) اکائی کا پورا نام بڑے حرف سے شروع نہیں ہوتا — newton, metre — سوائے Celsius کے۔ (۳) علامتیں چھوٹے حروف میں ہوتی ہیں — میٹر کے لیے "m"، سیکنڈ کے لیے "s" — سوائے لیٹر کے لیے "L" کے۔ (۴) سائنسدانوں کے نام والی علامتوں کے ابتدائی حروف بڑے ہوتے ہیں — نیوٹن کے لیے "N"، پاسکل کے لیے "Pa"، واٹ کے لیے "W"۔ (۵) علامتیں اور سابقے سیدھے (رومن) انداز میں چھپتے ہیں چاہے ارد گرد کا انداز کچھ بھی ہو — ۵۰ m کا فاصلہ۔ (۶) علامتوں کی جمع نہیں بنتی — ۱ mm، ۱۰۰ mm، ۱ kg، ۶۰ kg۔ (۷) علامت کے بعد نقطہ نہیں آتا سوائے جملے کے آخر کے۔ (۸) سابقہ بنیادی اکائی سے پہلے اور بغیر خلا کے لکھا جاتا ہے — "mL" نہ کہ "m L"؛ "ms" نہ کہ "m s"۔ (۹) بنیادی اکائیاں ایک خلا کے فاصلے پر لکھی جاتی ہیں، اور عدد اور علامت کے درمیان بھی خلا چھوڑا جاتا ہے — ۱ kg، ۱۰ m s⁻¹۔ (۱۰) مرکب سابقے جائز نہیں — ۱ µµF کے بجائے ۱ pF۔ (۱۱) جب کسی کثیر کی بنیادی اکائی کو طاقت دی جائے تو طاقت پورے کثیر پر لگتی ہے، صرف بنیادی اکائی پر نہیں — ۱ km² = ۱ (km)² = ۱ × (۱۰³ m)² = ۱ × ۱۰⁶ m²۔ (۱۲) سولڈس (m/s) کے بجائے منفی قوت والی نوٹیشن (m s⁻¹) استعمال کریں۔ (۱۳) سائنسی نوٹیشن استعمال کریں — اعشاریہ کے بائیں ایک غیر صفر ہندسہ، مثلاً ۱۴۳.۷ = ۱.۴۳۷ × ۱۰²۔ (۱۴) ایک ہی عبارت میں علامتیں اور نام نہ ملائیں — metre per second یا m s⁻¹، نہ کہ metre/sec یا m/second۔ (۱۵) عملی کام آلات کے لحاظ سے سب سے مناسب اکائیوں میں ریکارڈ ہونا چاہیے — اسکرو گیج کی پیمائشیں mm میں — لیکن حتمی نتائج مناسب بنیادی اکائیوں میں ریکارڈ ہونے چاہئیں۔ (۱۶) ایس آئی سابقہ سی جی ایس اکائیوں جیسے dyne, erg, gauss, poise اور torr کی اجازت نہیں دیتا۔
📌 کیا آپ جانتے ہیں؟ کمیت کو توانائی کی ایک شکل سمجھا جا سکتا ہے۔ دراصل کمیت توانائی کی نہایت مرتکز شکل ہے۔ آئن سٹائن کی مشہور مساوات E = mc² کا مطلب ہے: توانائی = کمیت × (روشنی کی رفتار)²۔ اس مساوات کے مطابق ۱ kg کمیت دراصل ۹ × ۱۰¹⁶ J توانائی ہے۔
You can count the pages of a book exactly, but measuring its length needs an instrument. Every instrument is calibrated to a certain smallest division mark on it, and that fact puts a limit on its accuracy. When you take a reading with one instrument, its limit of measurement is the smallest division graduation on its scale. So every measured quantity has some uncertainty about its value.
When a measurement is made, it is taken to the nearest graduation or marking on the scale. The maximum uncertainty can be estimated as being one smallest division of the instrument. This is called absolute uncertainty. Take the book's example: one end of a book coincides with the 10.0 cm mark and the other with 33.5 cm on a metre rule graduated in millimetres. Then the length with uncertainty is given by (33.5 ± 0.05) cm − (10.0 ± 0.05) cm = (23.5 ± 0.1) cm. That means the true length of the book is between 23.4 cm and 23.6 cm. The maximum uncertainty, ±0.05 cm at each end, adds up to an uncertainty of 0.1 cm — in fact, equal to the least count of the metre rule.
Uncertainty may be recorded as: Fractional uncertainty = Absolute uncertainty ÷ Measured value, or Percentage uncertainty = (Absolute uncertainty ÷ Measured value) × 100%.
Uncertainty in digital instruments. Some modern measuring instruments have a digital scale. We usually estimate one digit beyond what is certain: with a digital scale, this shows up as some fluctuation of the last digit. If the last digit fluctuates by 1 or 2, write down that last digit. If the fluctuation is more than 2 or so in the last digit, it may mean the reading is being influenced by some factor such as air currents. Regardless of the reason, a large fluctuation may mean that the displayed digit is not really significant.
The indication of uncertainty in a recorded value has been simplified using significant figures. If a measurement is recorded using the knowledge of significant figures, then its last digit, which is an estimation, is an indication of the accuracy of the recorded value.
آپ کتاب کے صفحے بالکل درست گن سکتے ہیں، لیکن اس کی لمبائی ناپنے کے لیے ایک آلہ چاہیے۔ ہر آلہ اس پر موجود کسی مخصوص چھوٹی تقسیم کے نشان کے مطابق کیلیبریٹ ہوتا ہے، اور یہ بات اس کی درستگی کی حد مقرر کرتی ہے۔ جب آپ کسی آلے سے ریڈنگ لیتے ہیں تو اس کی پیمائش کی حد اس کے اسکیل پر سب سے چھوٹی تقسیم کی درجہ بندی ہوتی ہے۔ اس لیے ہر ناپی گئی مقدار کی قیمت کے بارے میں کچھ غیر یقینی ہوتی ہے۔
جب پیمائش کی جاتی ہے تو اسے اسکیل پر قریب ترین درجہ بندی یا نشان تک لیا جاتا ہے۔ زیادہ سے زیادہ غیر یقینی کا اندازہ آلے کی ایک سب سے چھوٹی تقسیم کے برابر لگایا جا سکتا ہے۔ اسے مطلق غیر یقینی کہتے ہیں۔ کتاب کی مثال لیں: کتاب کا ایک سرا میٹر رول پر ۱۰.۰ cm کے نشان سے ملتا ہے جو ملی میٹروں میں درج ہے اور دوسرا ۳۳.۵ cm سے۔ تو غیر یقینی کے ساتھ لمبائی یوں ہوگی: (۳۳.۵ ± ۰.۰۵) cm − (۱۰.۰ ± ۰.۰۵) cm = (۲۳.۵ ± ۰.۱) cm۔ یعنی کتاب کی اصل لمبائی ۲۳.۴ cm اور ۲۳.۶ cm کے درمیان ہے۔ ہر سرے پر زیادہ سے زیادہ غیر یقینی ±۰.۰۵ cm مل کر ۰.۱ cm کی غیر یقینی بنتی ہے — دراصل میٹر رول کے لیسٹ کاؤنٹ کے برابر۔
غیر یقینی کو یوں ریکارڈ کیا جا سکتا ہے: کسری غیر یقینی = مطلق غیر یقینی ÷ ناپی گئی قیمت، یا فیصدی غیر یقینی = (مطلق غیر یقینی ÷ ناپی گئی قیمت) × ۱۰۰٪۔
ڈیجیٹل آلات میں غیر یقینی۔ کچھ جدید پیمائشی آلات کا اسکیل ڈیجیٹل ہوتا ہے۔ ہم عام طور پر یقینی سے ایک ہندسہ آگے کا اندازہ لگاتے ہیں: ڈیجیٹل اسکیل پر یہ آخری ہندسے کی کچھ اتار چڑھاؤ کی صورت میں ظاہر ہوتا ہے۔ اگر آخری ہندسہ ۱ یا ۲ سے اتار چڑھاؤ کرے تو وہ آخری ہندسہ لکھ دیں۔ اگر آخری ہندسے میں اتار چڑھاؤ ۲ سے زیادہ ہو تو اس کا مطلب ہو سکتا ہے کہ ریڈنگ کسی عنصر جیسے ہوا کے جھونکوں سے متاثر ہو رہی ہے۔ وجہ کچھ بھی ہو، بڑا اتار چڑھاؤ اس کا مطلب ہو سکتا ہے کہ دکھایا گیا ہندسہ واقعی اہم نہیں ہے۔
ریکارڈ شدہ قیمت میں غیر یقینی کی نشاندہی کو اہم ہندسوں کے استعمال سے سادہ کر دیا گیا ہے۔ اگر پیمائش اہم ہندسوں کے علم سے ریکارڈ کی جائے تو اس کا آخری ہندسہ، جو ایک اندازہ ہے، ریکارڈ شدہ قیمت کی درستگی کی نشاندہی ہے۔
The number of digits of a measurement about which we feel reasonably sure are called significant figures. In fact, they reflect the use of the actual instrument used for that measurement. A calculator result often carries many digits after the decimal point, and those extra digits may mislead anyone who uses them into believing them. So they are rounded off to the correct number of significant figures — keeping in view the uncertainty or the least count of the instrument while recording observations and quoting results. Quoting the result in scientific notation is better, to avoid any ambiguity about the number of significant figures.
The book's example makes it real: weighing the same object on different balances gives, on an electronic balance, mass = 3.145 ± 0.001 g, and on a lever balance, mass = 3.1 ± 0.1 g. Usually the ±0.001 g or ±0.1 g is dropped, and it is understood that the number quoted has an uncertainty of at least 1 unit in the last digit. All digits which are quoted are called significant figures. In any measurement, the accurately known digits and the first estimated or doubtful digit are called significant figures. Proper use of significant figures ensures that we correctly represent the uncertainty of our measurements — scientists immediately realise that a reported mass of 3.145 g is more accurate than a reported mass of 3.1 g, reflecting a better, more precise instrument. As we improve our instruments and techniques, we extend the result to more and more significant figures, and correspondingly improve the experimental accuracy.
(I) Counting significant digits. (a) All digits 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 are significant. With zeros, the following rules may be adopted: (b) A zero between two significant figures is itself significant. (c) Zeros to the left of the most significant figure are not significant — none of the zeros in 0.00467 or 02.59 are significant. (d) Zeros to the right of a significant figure may or may not be significant. In a decimal fraction, zeros to the right of a significant figure are significant — all the zeros in 3.570 or 7.4000 are significant. In integers such as 8,000 kg, the number of significant zeros is determined by the precision of the measuring instrument: if the scale has a least count of 1 kg, there are four significant figures, written in scientific notation as 8.000 × 10³ kg; if the least count is 10 kg, there are three, written as 8.00 × 10³ kg, and so on. (e) When a measurement is recorded in scientific notation or standard form, the figures other than the powers of ten are significant figures — a measurement recorded as 8.70 × 10⁴ kg has three significant figures.
(II) Multiplying or dividing numbers. Keep a number of significant figures in the product or quotient not more than that contained in the least accurate factor — the factor containing the least number of significant figures. For example, (5.348 × 10⁻² × 3.64 × 10⁴) ÷ 1.336 = 1.45768982 × 10³ on a calculator. The factor 3.64 × 10⁴ is the least accurate, with three significant figures, so the answer should be written to three significant figures only, and the other figures are insignificant and should be deleted. While deleting figures, the last significant figure to be retained is rounded off by these rules: (a) If the first digit dropped is less than 5, the last digit retained should remain unchanged. (b) If the first digit dropped is more than 5, the digit to be retained is increased by one. (c) If the digit to be dropped is 5, the previous digit which is to be retained is increased by one if it is odd, and retained as such if it is even. For example, rounded off to three significant figures, one by one: 43.75 becomes 43.8; 56.8546 becomes 56.9; 73.650 becomes 73.6; 64.350 becomes 64.4. Following this rule, the correct answer of the computation in (II) is 1.46 × 10³.
(III) Adding or subtracting numbers. The number of decimal places retained in the answer should be equal to the smallest number of decimal places in any of the quantities being added or subtracted. Here the number of significant figures is not important — it is the position of the decimal that matters. Example (a): 72.1 + 3.42 + 0.003 = 75.523, and the correct answer is 75.5 m, because 72.1 has the smallest number of decimal places. Example (b): 2.7543 + 4.10 + 1.273 = 8.1273, and the correct answer is 8.13 m, because 4.10 has the smallest number of decimal places.
Limitations of significant figures. Significant figures deal with only one source of the uncertainties inherent in reading the scale. Real experimental uncertainties have many contributions, including personal errors and sometimes hidden systematic errors. One cannot do better than what the scale reading allows, but the total uncertainty may well be more than what the significant figures of the measurements would suggest.
📌 Remember thumb rule — for calculation of end result: Addition / Subtraction → same precision (same decimal places). Multiplication / Division → same accuracy (same number of significant figures).
📌 Thumb rule for uncertainty: For the average value of many readings → mean deviation from an average value. Periodic uncertainty → divide the least count of the timing device by the number of oscillations.
📌 Quick Quiz (book, page 8) — with answers: (1) Correct number of significant figures: 0.0054 m → 2; 0.03630 m → 4; 40.0 m → 3; 0.5 m → 1; 3.20 × 10² m → 3. (2) 2502 kg + 36.02 kg + 54.1 kg = 2592.12 kg → the least precise term, 2502 kg, has zero decimal places, so the answer is 2592 kg. (3) 3.54 kg − 2.4 kg = 1.14 kg → 2.4 kg has one decimal place, so the answer is 1.1 kg. (4) (2.45 × 10³ m × 2.46 m) ÷ 3.6 m = 1674.17 m → the least accurate factor, 3.6 m, has two significant figures, so the answer is 1.7 × 10³ m.
کسی پیمائش کے ان ہندسوں کی تعداد جن کے بارے میں ہم معقول حد تک یقین رکھتے ہیں اہم ہندسے کہلاتی ہے۔ دراصل یہ اس آلے کے استعمال کی عکاسی کرتے ہیں جو اس پیمائش کے لیے استعمال ہوا۔ کیلکولیٹر کا نتیجہ اکثر اعشاریہ کے بعد بہت سے ہندسے رکھتا ہے، اور وہ اضافی ہندسے انہیں استعمال کرنے والے کو گمراہ کر سکتے ہیں۔ اس لیے انہیں اہم ہندسوں کی درست تعداد تک گول کر دیا جاتا ہے — مشاہدات ریکارڈ کرتے اور نتائج بتاتے وقت آلے کی غیر یقینی یا لیسٹ کاؤنٹ کو مدنظر رکھ کر۔ نتیجے کو سائنسی نوٹیشن میں بتانا بہتر ہے تاکہ اہم ہندسوں کی تعداد کے بارے میں کوئی ابہام نہ رہے۔
کتاب کی مثال اسے حقیقی بناتی ہے: ایک ہی چیز کو مختلف ترازوؤں پر تولنے سے الیکٹرانک ترازو پر کمیت = ۳.۱۴۵ ± ۰.۰۰۱ g اور لیور ترازو پر کمیت = ۳.۱ ± ۰.۱ g ملتی ہے۔ عام طور پر ±۰.۰۰۱ g یا ±۰.۱ g چھوڑ دیا جاتا ہے، اور یہ سمجھا جاتا ہے کہ بتائے گئے عدد میں آخری ہندسے میں کم از کم ۱ یونٹ کی غیر یقینی ہے۔ تمام ہندسے جو بتائے جاتے ہیں اہم ہندسے کہلاتے ہیں۔ کسی بھی پیمائش میں درست معلوم ہندسے اور پہلا اندازہ یا مشکوک ہندسہ اہم ہندسے کہلاتے ہیں۔ اہم ہندسوں کا درست استعمال یقینی بناتا ہے کہ ہم اپنی پیمائشوں کی غیر یقینی کو درست طور پر ظاہر کریں — سائنسدان فوراً سمجھ جاتے ہیں کہ ۳.۱۴۵ g کی بتائی گئی کمیت ۳.۱ g سے زیادہ درست ہے، جو بہتر اور زیادہ صحیح آلے کی عکاسی ہے۔ جیسے جیسے ہم اپنے آلات اور تکنیکوں کو بہتر کرتے ہیں، نتیجے کو زیادہ سے زیادہ اہم ہندسوں تک بڑھاتے ہیں، اور اسی طرح تجرباتی درستگی بہتر ہوتی ہے۔
(۱) اہم ہندسے گننا۔ (الف) تمام ہندسے ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸، ۹ اہم ہیں۔ صفر کے ساتھ یہ قواعد اپنائے جا سکتے ہیں: (ب) دو اہم ہندسوں کے درمیان صفر خود اہم ہے۔ (ج) سب سے اہم ہندسے کے بائیں صفر اہم نہیں — ۰.۰۰۴۶۷ یا ۰۲.۵۹ میں کوئی صفر اہم نہیں۔ (د) اہم ہندسے کے دائیں صفر اہم ہو بھی سکتے ہیں اور نہیں بھی۔ اعشاری کسر میں اہم ہندسے کے دائیں صفر اہم ہیں — ۳.۵۷۰ یا ۷.۴۰۰۰ میں تمام صفر اہم ہیں۔ ۸۰۰۰ kg جیسے صحیح اعداد میں اہم صفر کی تعداد ناپنے والے آلے کی صحت سے طے ہوتی ہے: اگر اسکیل کا لیسٹ کاؤنٹ ۱ kg ہے تو چار اہم ہندسے ہیں جو سائنسی نوٹیشن میں ۸.۰۰۰ × ۱۰³ kg لکھے جاتے ہیں؛ اگر لیسٹ کاؤنٹ ۱۰ kg ہے تو تین ہیں جو ۸.۰۰ × ۱۰³ kg لکھے جاتے ہیں، وغیرہ۔ (ہ) جب پیمائش سائنسی نوٹیشن یا معیاری شکل میں ریکارڈ ہو تو دس کی قوتوں کے علاوہ ہندسے اہم ہندسے ہیں — ۸.۷۰ × ۱۰⁴ kg کی پیمائش میں تین اہم ہندسے ہیں۔
(۲) اعداد کی ضرب یا تقسیم۔ حاصل ضرب یا حاصل تقسیم میں اہم ہندسوں کی تعداد کم سے کم درست جزو سے زیادہ نہ رکھیں — وہ جزو جس میں اہم ہندسوں کی تعداد سب سے کم ہو۔ مثلاً (۵.۳۴۸ × ۱۰⁻² × ۳.۶۴ × ۱۰⁴) ÷ ۱.۳۳۶ = ۱.۴۵۷۶۸۹۸۲ × ۱۰³ کیلکولیٹر پر۔ جزو ۳.۶۴ × ۱۰⁴ سب سے کم درست ہے، تین اہم ہندسوں کے ساتھ، اس لیے جواب صرف تین اہم ہندسوں تک لکھا جائے، باقی ہندسے غیر اہم ہیں اور حذف کر دینے چاہئیں۔ ہندسے حذف کرتے وقت آخری برقرار رکھے جانے والے اہم ہندسے کو ان قواعد سے گول کیا جاتا ہے: (الف) اگر حذف ہونے والا پہلا ہندسہ ۵ سے کم ہو تو آخری برقرار ہندسہ ویسا ہی رہے۔ (ب) اگر حذف ہونے والا پہلا ہندسہ ۵ سے زیادہ ہو تو برقرار ہندسہ ایک سے بڑھ جائے۔ (ج) اگر حذف ہونے والا ہندسہ ۵ ہو تو پچھلا برقرار ہندسہ طاق ہو تو ایک سے بڑھ جائے اور جفت ہو تو ویسا ہی رہے۔ مثلاً تین اہم ہندسوں تک گول کرنے پر ایک ایک کر کے: ۴۳.۷۵ سے ۴۳.۸؛ ۵۶.۸۵۴۶ سے ۵۶.۹؛ ۷۳.۶۵۰ سے ۷۳.۶؛ ۶۴.۳۵۰ سے ۶۴.۴۔ اس قاعدے سے (۲) کی حسابی کا درست جواب ۱.۴۶ × ۱۰³ ہے۔
(۳) اعداد کی جمع یا تفریق۔ جواب میں برقرار اعشاری مقامات کی تعداد ان مقداروں میں سب سے کم اعشاری مقامات کے برابر ہونی چاہیے جو جمع یا تفریق ہو رہی ہیں۔ یہاں اہم ہندسوں کی تعداد اہم نہیں — اعشاریہ کی جگہ اہم ہے۔ مثال (الف): ۷۲.۱ + ۳.۴۲ + ۰.۰۰۳ = ۷۵.۵۲۳، اور درست جواب ۷۵.۵ m ہے کیونکہ ۷۲.۱ میں اعشاری مقامات سب سے کم ہیں۔ مثال (ب): ۲.۷۵۴۳ + ۴.۱۰ + ۱.۲۷۳ = ۸.۱۲۷۳، اور درست جواب ۸.۱۳ m ہے کیونکہ ۴.۱۰ میں اعشاری مقامات سب سے کم ہیں۔
اہم ہندسوں کی حدود۔ اہم ہندسے اسکیل پڑھنے میں موجود غیر یقینی کے صرف ایک ذریعے سے نمٹتے ہیں۔ حقیقی تجرباتی غیر یقینیوں میں بہت سے عوامل ہوتے ہیں، جن میں ذاتی غلطیاں اور کبھی چھپی ہوئی نظامی غلطیاں شامل ہیں۔ اسکیل کی ریڈنگ سے بہتر کوئی نہیں کر سکتا، لیکن کل غیر یقینی پیمائشوں کے اہم ہندسوں سے ظاہر ہونے والی غیر یقینی سے زیادہ ہو سکتی ہے۔
📌 انگوٹھے کا قاعدہ — حتمی نتیجے کی حسابی کے لیے: جمع / تفریق → وہی صحت (وہی اعشاری مقامات)۔ ضرب / تقسیم → وہی درستگی (اہم ہندسوں کی وہی تعداد)۔
📌 فوری کوئز (کتاب، صفحہ ۸) — جوابات کے ساتھ: (۱) اہم ہندسوں کی درست تعداد: ۰.۰۰۵۴ m → ۲؛ ۰.۰۳۶۳۰ m → ۴؛ ۴۰.۰ m → ۳؛ ۰.۵ m → ۱؛ ۳.۲۰ × ۱۰² m → ۳۔ (۲) ۲۵۰۲ kg + ۳۶.۰۲ kg + ۵۴.۱ kg = ۲۵۹۲.۱۲ kg → کم سے کم صحیح جزو ۲۵۰۲ kg میں صفر اعشاری مقامات ہیں، اس لیے جواب ۲۵۹۲ kg ہے۔ (۳) ۳.۵۴ kg − ۲.۴ kg = ۱.۱۴ kg → ۲.۴ kg میں ایک اعشاری مقام ہے، اس لیے جواب ۱.۱ kg ہے۔ (۴) (۲.۴۵ × ۱۰³ m × ۲.۴۶ m) ÷ ۳.۶ m = ۱۶۷۴.۱۷ m → کم سے کم درست جزو ۳.۶ m میں دو اہم ہندسے ہیں، اس لیے جواب ۱.۷ × ۱۰³ m ہے۔
The terms precision and accuracy are frequently used in physics measurements, and they should be distinguished clearly. The precision of a measurement is determined by the instrument or device being used. The smaller the least count, the more precise the measurement. Accuracy is defined as the closeness of a measurement to the exact or accepted value of a physical quantity. It is expressed by the fractional or percentage uncertainty: the smaller the fractional or percentage uncertainty, the more accurate the measurement.
Work through the book's comparison. The length of an object is recorded as 25.5 cm using a metre rule whose smallest division is in millimetres. Its precision, or absolute uncertainty (least count), is ±0.1 cm. Fractional uncertainty = 0.1 cm ÷ 25.5 cm = 0.004, and percentage uncertainty = (0.1 cm ÷ 25.5 cm) × 100% = 0.4%. Another measurement, taken by Vernier Callipers with least count 0.01 cm, is recorded as 0.45 cm. Its precision, or absolute uncertainty (least count), is ±0.01 cm. Fractional uncertainty = 0.01 cm ÷ 0.45 cm = 0.02, and percentage uncertainty = (0.01 cm ÷ 0.45 cm) × 100% = 2%.
So the reading of 25.5 cm taken by the metre rule is, although less precise, more accurate, having less percentage uncertainty or error. Whereas the reading of 0.45 cm taken by Vernier Callipers is more precise but is less accurate. In fact, it is the relative measurement which is important. The smaller a physical quantity, the more precise the instrument that should be used. Here the measurement of 0.45 cm demands a more precise instrument, such as a micrometer screw gauge with least count 0.001 cm, which should have been used.
A precise measurement is the one which has less precision or absolute uncertainty, and an accurate measurement is the one which has less fractional or percentage uncertainty. We can never make an exact measurement. The best we can do is to come as close as possible within the limitation of the measuring instrument.
📌 Remember thumb rule: Precision → less absolute uncertainty. Accuracy → less % age uncertainty.
طبیعیات کی پیمائشوں میں صحت اور درستگی کی اصطلاحیں اکثر استعمال ہوتی ہیں، اور ان میں واضح فرق کرنا چاہیے۔ کسی پیمائش کی صحت استعمال ہونے والے آلے یا ڈیوائس سے طے ہوتی ہے۔ لیسٹ کاؤنٹ جتنا چھوٹا ہوگا، پیمائش اتنی ہی زیادہ صحیح ہوگی۔ درستگی کی تعریف کسی طبعی مقدار کی درست یا تسلیم شدہ قیمت سے پیمائش کی قربت ہے۔ اسے کسری یا فیصدی غیر یقینی سے ظاہر کیا جاتا ہے: کسری یا فیصدی غیر یقینی جتنی کم ہوگی، پیمائش اتنی ہی زیادہ درست ہوگی۔
کتاب کے موازنے پر غور کریں۔ کسی چیز کی لمبائی میٹر رول سے ۲۵.۵ cm ریکارڈ کی گئی جس کی سب سے چھوٹی تقسیم ملی میٹروں میں ہے۔ اس کی صحت یا مطلق غیر یقینی (لیسٹ کاؤنٹ) ±۰.۱ cm ہے۔ کسری غیر یقینی = ۰.۱ cm ÷ ۲۵.۵ cm = ۰.۰۰۴، اور فیصدی غیر یقینی = (۰.۱ cm ÷ ۲۵.۵ cm) × ۱۰۰٪ = ۰.۴٪۔ ایک اور پیمائش ورنیئر کیلیپرز سے لی گئی جن کا لیسٹ کاؤنٹ ۰.۰۱ cm ہے، ۰.۴۵ cm ریکارڈ ہوئی۔ اس کی صحت یا مطلق غیر یقینی (لیسٹ کاؤنٹ) ±۰.۰۱ cm ہے۔ کسری غیر یقینی = ۰.۰۱ cm ÷ ۰.۴۵ cm = ۰.۰۲، اور فیصدی غیر یقینی = (۰.۰۱ cm ÷ ۰.۴۵ cm) × ۱۰۰٪ = ۲٪۔
تو میٹر رول سے لی گئی ۲۵.۵ cm کی ریڈنگ، اگرچہ کم صحیح ہے، زیادہ درست ہے کیونکہ اس میں فیصدی غیر یقینی یا غلطی کم ہے۔ جبکہ ورنیئر کیلیپرز سے لی گئی ۰.۴۵ cm کی ریڈنگ زیادہ صحیح ہے لیکن کم درست ہے۔ دراصل نسبتی پیمائش اہم ہے۔ طبعی مقدار جتنی چھوٹی ہو، اتنا ہی زیادہ صحیح آلہ استعمال کرنا چاہیے۔ یہاں ۰.۴۵ cm کی پیمائش زیادہ صحیح آلے کی متقاضی ہے، جیسے مائیکرومیٹر اسکرو گیج جس کا لیسٹ کاؤنٹ ۰.۰۰۱ cm ہے، جو استعمال ہونا چاہیے تھا۔
صحیح پیمائش وہ ہے جس میں صحت یا مطلق غیر یقینی کم ہو، اور درست پیمائش وہ ہے جس میں کسری یا فیصدی غیر یقینی کم ہو۔ ہم کبھی بالکل درست پیمائش نہیں کر سکتے۔ زیادہ سے زیادہ ہم ناپنے والے آلے کی حد کے اندر جتنا ممکن ہو قریب پہنچ سکتے ہیں۔
📌 انگوٹھے کا قاعدہ یاد رکھیں: صحت → کم مطلق غیر یقینی۔ درستگی → کم فیصدی غیر یقینی۔
Knowing the uncertainties in all the factors involved in a calculation, the maximum possible uncertainty or error in the final result can be found as follows.
1. For addition and subtraction — absolute uncertainties are added. For example, the distance between two positions x₁ = 15.4 ± 0.1 cm and x₂ = 25.6 ± 0.1 cm is recorded as x = x₂ − x₁ = 10.2 ± 0.2 cm. And the addition of two lengths, l₁ = 8.5 ± 0.1 cm and l₂ = 12.6 ± 0.1 cm, is recorded as l = l₁ + l₂ = 21.1 ± 0.2 cm.
2. For multiplication and division — percentage uncertainties are added. For example, the maximum possible uncertainty in the value of resistance R of a conductor, determined by the potential difference V applied across the conductor resulting in current I flowing through it, is estimated as follows. Let V = 3.4 ± 0.1 V and I = 0.68 ± 0.05 A. Using R = V ÷ I: percentage uncertainty in V = (0.1 V ÷ 3.4 V) × 100% = 3%; percentage uncertainty in I = (0.05 A ÷ 0.68 A) × 100% = 7%. Hence the total percentage uncertainty in the value of R is 3 + 7 = 10%. The value of R will be written as R = 3.4 V ÷ 0.68 A = 5.0 ohm. Hence R = 5.0 ± 0.5 ohms, uncertainty being an estimate only, recorded by one significant figure.
3. For power factor — the percentage uncertainty is multiplied by the power factor in the formula. For example, the calculation of the cross-sectional area of a cylinder of radius r = 1.25 cm using the formula Area A = πr² is given by the percentage uncertainty in r. As uncertainty is multiplied by the power factor, it increases the precision demand of measurement. When the radius of a small sphere is measured as 1.25 cm by Vernier Callipers with least count 0.01 cm, then the radius is recorded as r = 1.25 ± 0.01 cm; percentage uncertainty in radius r = (0.01 ÷ 1.25) × 100% = 0.8%; total percentage uncertainty in area A = 2 × 0.8 = 1.6%. Thus A = πr² = 3.14 × (1.25)² = 4.906 cm² with 1.6% uncertainty. So the result should be recorded as A = 4.91 ± 0.08 cm².
Example 1.1. The length, breadth and thickness of a metal sheet are 2.03 m, 1.22 m and 0.95 cm respectively. Calculate the volume of the sheet correct up to the appropriate significant digits. Solution: Given: length l = 2.03 m, breadth b = 1.22 m, thickness h = 0.95 cm = 0.95 × 10⁻² m. Volume V = l × b × h = 2.03 m × 1.22 m × 0.95 × 10⁻² m = 2.35277 × 10⁻² m³. As the factor 0.95 cm has the minimum number of significant figures, equal to two, the volume is recorded up to 2 significant figures. Hence V = 2.4 × 10⁻² m³.
Example 1.2. The mass of a metal box measured by a lever balance is 3.25 kg. Two silver coins of masses 10.01 g and 10.02 g measured by a beam balance are added to it. What is now the total mass of the box, correct up to the appropriate precision? Solution: Total mass when silver coins are added to the box = 3.25 kg + 0.01001 kg + 0.01002 kg = 3.27003 kg. Since the least precise mass is 3.25 kg, having two decimal places, the total mass should be reported to 2 decimal places, which is the appropriate precision. Thus total mass = 3.27 kg.
Example 1.3. The diameter and length of a metal cylinder measured with the help of Vernier Callipers of least count 0.01 cm are 1.25 cm and 3.35 cm respectively. Calculate the volume V of the cylinder and uncertainty in it. Solution: Given: diameter d = 1.25 cm with least count 0.01 cm; length l = 3.35 cm with least count 0.01 cm. Absolute uncertainty in length = 0.01 cm; percentage uncertainty in length = (0.01 cm ÷ 3.35 cm) × 100% = 0.3%. Absolute uncertainty in diameter = 0.01 cm; percentage uncertainty in diameter = (0.01 cm ÷ 1.25 cm) × 100% = 0.8%. As Volume = πr²l = π(d² ÷ 4)l, total uncertainty in V = 2 × (percentage uncertainty in diameter) + (percentage uncertainty in length) = 2 × 0.8% + 0.3% = 1.9%. Then V = 3.14 × (1.25 cm)² × 3.35 cm ÷ 4 = 4.1089842 cm³ with 1.9% uncertainty. Thus V = (4.11 ± 0.08) cm³, where 4.11 cm³ is the calculated volume and 0.08 cm³ is the uncertainty in it.
📌 Thumb rule for total uncertainty: For addition and subtraction → absolute uncertainties are added. For multiplication and division → percentage uncertainties are added. For power factor → power factor × percentage uncertainty.
حسابی میں شامل تمام عوامل کی غیر یقینیوں کو جان کر حتمی نتیجے میں زیادہ سے زیادہ ممکنہ غیر یقینی یا غلطی یوں معلوم کی جا سکتی ہے۔
۱۔ جمع اور تفریق کے لیے — مطلق غیر یقینیاں جمع کی جاتی ہیں۔ مثلاً دو مقامات کے درمیان فاصلہ x₁ = ۱۵.۴ ± ۰.۱ cm اور x₂ = ۲۵.۶ ± ۰.۱ cm یوں ریکارڈ ہوتا ہے: x = x₂ − x₁ = ۱۰.۲ ± ۰.۲ cm۔ اور دو لمبائیوں کا جمع، l₁ = ۸.۵ ± ۰.۱ cm اور l₂ = ۱۲.۶ ± ۰.۱ cm، یوں ریکارڈ ہوتا ہے: l = l₁ + l₂ = ۲۱.۱ ± ۰.۲ cm۔
۲۔ ضرب اور تقسیم کے لیے — فیصدی غیر یقینیاں جمع کی جاتی ہیں۔ مثلاً کسی موصل کی مزاحمت R کی قیمت میں زیادہ سے زیادہ ممکنہ غیر یقینی، جو موصل پر لگائی گئی پوٹینشل ڈفرنس V سے طے ہوتی ہے جس سے اس میں رو I بہتی ہے، یوں اندازہ لگائی جاتی ہے۔ فرض کریں V = ۳.۴ ± ۰.۱ V اور I = ۰.۶۸ ± ۰.۰۵ A۔ R = V ÷ I استعمال کرتے ہوئے: V میں فیصدی غیر یقینی = (۰.۱ V ÷ ۳.۴ V) × ۱۰۰٪ = ۳٪؛ I میں فیصدی غیر یقینی = (۰.۰۵ A ÷ ۰.۶۸ A) × ۱۰۰٪ = ۷٪۔ اس لیے R کی قیمت میں کل فیصدی غیر یقینی ۳ + ۷ = ۱۰٪ ہے۔ R کی قیمت یوں لکھی جائے گی: R = ۳.۴ V ÷ ۰.۶۸ A = ۵.۰ ohm۔ اس لیے R = ۵.۰ ± ۰.۵ ohms، غیر یقینی صرف ایک اندازہ ہے، ایک اہم ہندسے سے ریکارڈ کی گئی۔
۳۔ طاقت کے جزو کے لیے — فیصدی غیر یقینی کو فارمولے میں طاقت کے جزو سے ضرب دی جاتی ہے۔ مثلاً رداس r = ۱.۲۵ cm والے سلنڈر کے مقطع کے رقبے کی حسابی فارمولا Area A = πr² سے یوں ہوتی ہے۔ چونکہ غیر یقینی کو طاقت کے جزو سے ضرب دی جاتی ہے، اس سے پیمائش کی صحت کی مانگ بڑھ جاتی ہے۔ جب چھوٹے کرے کا رداس ورنیئر کیلیپرز سے جن کا لیسٹ کاؤنٹ ۰.۰۱ cm ہے ۱.۲۵ cm ناپا جائے تو رداس یوں ریکارڈ ہوتا ہے: r = ۱.۲۵ ± ۰.۰۱ cm؛ رداس r میں فیصدی غیر یقینی = (۰.۰۱ ÷ ۱.۲۵) × ۱۰۰٪ = ۰.۸٪؛ رقبہ A میں کل فیصدی غیر یقینی = ۲ × ۰.۸ = ۱.۶٪۔ اس طرح A = πr² = ۳.۱۴ × (۱.۲۵)² = ۴.۹۰۶ cm² مع ۱.۶٪ غیر یقینی۔ تو نتیجہ یوں ریکارڈ ہونا چاہیے: A = ۴.۹۱ ± ۰.۰۸ cm²۔
مثال ۱.۱۔ دھاتی چادر کی لمبائی، چوڑائی اور موٹائی بالترتیب ۲.۰۳ m، ۱.۲۲ m اور ۰.۹۵ cm ہیں۔ چادر کا حجم مناسب اہم ہندسوں تک درست حساب کریں۔ حل: دیا گیا: لمبائی l = ۲.۰۳ m، چوڑائی b = ۱.۲۲ m، موٹائی h = ۰.۹۵ cm = ۰.۹۵ × ۱۰⁻² m۔ حجم V = l × b × h = ۲.۰۳ m × ۱.۲۲ m × ۰.۹۵ × ۱۰⁻² m = ۲.۳۵۲۷۷ × ۱۰⁻² m³۔ چونکہ جزو ۰.۹۵ cm میں اہم ہندسوں کی تعداد کم سے کم ہے، یعنی دو، اس لیے حجم ۲ اہم ہندسوں تک ریکارڈ ہوتا ہے۔ اس لیے V = ۲.۴ × ۱۰⁻² m³۔
مثال ۱.۲۔ لیور بیلنس سے ناپی گئی دھاتی ڈبے کی کمیت ۳.۲۵ kg ہے۔ بیم بیلنس سے ناپی گئی ۱۰.۰۱ g اور ۱۰.۰۲ g کمیتوں والے دو چاندی کے سکے اس میں ڈالے جاتے ہیں۔ اب ڈبے کی کل کمیت مناسب صحت تک درست کیا ہے؟ حل: سکے ڈالنے پر کل کمیت = ۳.۲۵ kg + ۰.۰۱۰۰۱ kg + ۰.۰۱۰۰۲ kg = ۳.۲۷۰۰۳ kg۔ چونکہ کم سے کم صحیح کمیت ۳.۲۵ kg ہے جس میں دو اعشاری مقامات ہیں، اس لیے کل کمیت ۲ اعشاری مقامات تک بتانی چاہیے جو مناسب صحت ہے۔ اس طرح کل کمیت = ۳.۲۷ kg۔
مثال ۱.۳۔ ورنیئر کیلیپرز سے جن کا لیسٹ کاؤنٹ ۰.۰۱ cm ہے ناپے گئے دھاتی سلنڈر کا قطر اور لمبائی بالترتیب ۱.۲۵ cm اور ۳.۳۵ cm ہیں۔ سلنڈر کا حجم V اور اس میں غیر یقینی حساب کریں۔ حل: دیا گیا: قطر d = ۱.۲۵ cm مع لیسٹ کاؤنٹ ۰.۰۱ cm؛ لمبائی l = ۳.۳۵ cm مع لیسٹ کاؤنٹ ۰.۰۱ cm۔ لمبائی میں مطلق غیر یقینی = ۰.۰۱ cm؛ لمبائی میں فیصدی غیر یقینی = (۰.۰۱ cm ÷ ۳.۳۵ cm) × ۱۰۰٪ = ۰.۳٪۔ قطر میں مطلق غیر یقینی = ۰.۰۱ cm؛ قطر میں فیصدی غیر یقینی = (۰.۰۱ cm ÷ ۱.۲۵ cm) × ۱۰۰٪ = ۰.۸٪۔ چونکہ حجم = πr²l = π(d² ÷ ۴)l، اس لیے V میں کل غیر یقینی = ۲ × (قطر میں فیصدی غیر یقینی) + (لمبائی میں فیصدی غیر یقینی) = ۲ × ۰.۸٪ + ۰.۳٪ = ۱.۹٪۔ پھر V = ۳.۱۴ × (۱.۲۵ cm)² × ۳.۳۵ cm ÷ ۴ = ۴.۱۰۸۹۸۴۲ cm³ مع ۱.۹٪ غیر یقینی۔ اس طرح V = (۴.۱۱ ± ۰.۰۸) cm³، جہاں ۴.۱۱ cm³ حسابی حجم ہے اور ۰.۰۸ cm³ اس میں غیر یقینی ہے۔
📌 کل غیر یقینی کے لیے انگوٹھے کا قاعدہ: جمع اور تفریق کے لیے → مطلق غیر یقینیاں جمع ہوتی ہیں۔ ضرب اور تقسیم کے لیے → فیصدی غیر یقینیاں جمع ہوتی ہیں۔ طاقت کے جزو کے لیے → طاقت کا جزو × فیصدی غیر یقینی۔
Any physical quantity can be described by certain familiar properties such as length, mass, time, temperature and electric current. These measurable properties are called dimensions. Dimensions deal with the qualitative nature of a physical quantity in terms of fundamental quantities. The quantities such as length, depth, height, diameter and light year are all measured in metres and denoted by the same dimension, basically known as length, given by the symbol L written within square brackets [L]. Similarly, the other fundamental quantities — mass, time, electric current and temperature — are denoted by the specific symbols [M], [T], [A] and [Θ] respectively. These five dimensions have been chosen as being basic because they are easy to measure in experiments.
The dimensions of other quantities indicate how they are related to the basic quantities, and are combinations of fundamental dimensions. For example, speed v is measured in metres per second, so it has the dimensions of length [L] divided by time [T]: [v] = [L] ÷ [T] = [L][T]⁻¹ = [LT⁻¹]. As acceleration a = Δv ÷ Δt, the dimensions of acceleration are [a] = [v] ÷ [T] = [LT⁻¹] ÷ [T] = [LT⁻²]. Also, the dimensions of force can be written as [F] = [m][a] = [M][LT⁻²] = [MLT⁻²].
Homogeneity of physical equations. By the use of dimensionality, we can check the homogeneity (correctness) of a physical equation, and also derive a formula for a physical quantity. The correctness of an equation can be checked by showing that the dimensions of quantities on both sides of the equation are the same. This is known as the principle of homogeneity. Suppose a car starts from rest (vᵢ = 0) and covers a distance S in time t moving with an acceleration a. The equation of motion is given by S = vᵢt + ½at², or S = ½at². Numerical factors like ½ have no dimensions, so they can be ignored. By putting the dimensions of both sides of the equation: [S] = [a][t]². Writing the symbols of dimensions: [L] = [LT⁻²][T²], or [L] = [LT⁻²T²], or [L] = [L]. This shows that the dimensions on both sides of the equation are the same; therefore the equation is dimensionally correct.
Derivation of a formula. Dimensionality can be used to derive a possible formula for a physical quantity by correct estimation of the various factors on which the quantity depends.
Example 1.4. Derive a formula for the centripetal force required to keep an object moving along a circle with uniform speed, assuming that centripetal force depends on mass of the object, radius of the circle and uniform speed. Solution: As force depends on mass m of the object, radius r of the circle and uniform speed v, we can write F ∝ mᵃvᵇrᶜ, so F = (constant)mᵃvᵇrᶜ … (i), where the exponents a, b and c are to be determined. By the principle of homogeneity, the dimensions on both sides of the equation should be the same. Since the constant has no dimension, ignoring it, we write the above equation in terms of dimensions as [F] = [m]ᵃ[v]ᵇ[r]ᶜ; [MLT⁻²] = [M]ᵃ[LT⁻¹]ᵇ[L]ᶜ; [MLT⁻²] = [M]ᵃ[LT⁻ᵇ]ᵇ… in full, [MLT⁻²] = [MᵃLᵇ⁺ᶜT⁻ᵇ] … (ii). Comparing the powers of dimensions on both sides of the above equation, we have a = 1; b + c = 1; −b = −2. Solving, we have a = 1, b = 2, c = −1. Putting the values of a, b and c in equation (i), we have F = (constant)mv²r⁻¹, or F = (constant)mv² ÷ r. The numerical value of the constant cannot be determined by dimensional analysis. However, it can be found by experiments. In the above equation, the numerical value of the constant happens to be "1", so the equation reduces to F = mv² ÷ r.
Limitations in dimensional analysis. The dimensional method cannot identify where an equation is wrong. Even if an equation is proved correct, we can only say the equation might be correct, for the reason that the method does not provide a check on any numerical factor or constant. That can only be determined by experiments or plotting some suitable graph between the variables.
📌 Do you know? The pendulum is the regulating device which made the pendulum clock practical — the anchor, pallet and escape wheel in the book's figure keep the swing steady, which is why pendulum timing could be trusted.
📌 Beware! Calculators are designed to yield as many digits as the memory of the calculator chip permits. Hence, be sure to round off the final answers of calculations down to the correct number of significant figures.
کسی بھی طبعی مقدار کو کچھ مانوس خصوصیات جیسے لمبائی، کمیت، وقت، درجہ حرارت اور برقی رو سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ یہ قابلِ پیمائش خصوصیات جہتیں کہلاتی ہیں۔ جہتیں کسی طبعی مقدار کی کیفی نوعیت کو بنیادی مقداروں کے لحاظ سے بیان کرتی ہیں۔ لمبائی، گہرائی، اونچائی، قطر اور نوری سال جیسی مقداریں سب میٹروں میں ناپی جاتی ہیں اور ایک ہی جہت سے ظاہر ہوتی ہیں، بنیادی طور پر لمبائی کے نام سے جانی جاتی ہے، جس کی علامت L مربع بریکٹوں میں [L] لکھی جاتی ہے۔ اسی طرح دیگر بنیادی مقداریں — کمیت، وقت، برقی رو اور درجہ حرارت — بالترتیب مخصوص علامتوں [M]، [T]، [A] اور [Θ] سے ظاہر ہوتی ہیں۔ یہ پانچ جہتیں بنیادی اس لیے چنی گئی ہیں کیونکہ تجربات میں انہیں ناپنا آسان ہے۔
دیگر مقداروں کی جہتیں بتاتی ہیں کہ وہ بنیادی مقداروں سے کیسے متعلق ہیں، اور بنیادی جہتوں کے مجموعے ہوتی ہیں۔ مثلاً رفتار v میٹر فی سیکنڈ میں ناپی جاتی ہے، اس لیے اس کی جہتیں لمبائی [L] تقسیم وقت [T] ہیں: [v] = [L] ÷ [T] = [L][T]⁻¹ = [LT⁻¹]۔ چونکہ اسراع a = Δv ÷ Δt، اس لیے اسراع کی جہتیں ہیں: [a] = [v] ÷ [T] = [LT⁻¹] ÷ [T] = [LT⁻²]۔ نیز قوت کی جہتیں یوں لکھی جا سکتی ہیں: [F] = [m][a] = [M][LT⁻²] = [MLT⁻²]۔
طبعی مساواتوں کی یکسانیت۔ جہتی کے استعمال سے ہم کسی طبعی مساوات کی یکسانیت (درستگی) جانچ سکتے ہیں، اور کسی طبعی مقدار کے لیے فارمولا بھی اخذ کر سکتے ہیں۔ مساوات کی درستگی یہ دکھا کر جانچی جا سکتی ہے کہ مساوات کے دونوں طرف مقداروں کی جہتیں ایک جیسی ہیں۔ اسے یکسانیت کا اصول کہتے ہیں۔ فرض کریں ایک گاڑی سکون (vᵢ = ۰) سے چلتی ہے اور اسراع a سے وقت t میں فاصلہ S طے کرتی ہے۔ حرکت کی مساوات یوں ہے: S = vᵢt + ½at²، یا S = ½at²۔ ½ جیسے عددی جزو کی کوئی جہت نہیں، اس لیے انہیں نظر انداز کیا جا سکتا ہے۔ مساوات کے دونوں طرف کی جہتیں رکھنے سے: [S] = [a][t]²۔ جہتوں کی علامتیں لکھنے سے: [L] = [LT⁻²][T²]، یا [L] = [LT⁻²T²]، یا [L] = [L]۔ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ مساوات کے دونوں طرف کی جہتیں ایک جیسی ہیں؛ اس لیے مساوات جہتی طور پر درست ہے۔
فارمولے کا اخذ۔ جہتی کو کسی طبعی مقدار کے لیے ممکنہ فارمولا اخذ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، ان مختلف عوامل کا درست اندازہ لگا کر جن پر وہ مقدار منحصر ہے۔
مثال ۱.۴۔ کسی چیز کو یکساں رفتار سے دائرے میں حرکت دیتے رکھنے کے لیے درکار مرکزی قوت کا فارمولا اخذ کریں، یہ فرض کرتے ہوئے کہ مرکزی قوت چیز کی کمیت، دائرے کے رداس اور یکساں رفتار پر منحصر ہے۔ حل: چونکہ قوت چیز کی کمیت m، دائرے کے رداس r اور یکساں رفتار v پر منحصر ہے، ہم لکھ سکتے ہیں: F ∝ mᵃvᵇrᶜ، اس لیے F = (constant)mᵃvᵇrᶜ … (i)، جہاں قوت نمائندے a، b اور c طے کرنے ہیں۔ یکسانیت کے اصول سے مساوات کے دونوں طرف کی جہتیں ایک جیسی ہونی چاہئیں۔ چونکہ مستقل کی کوئی جہت نہیں، اسے نظر انداز کرتے ہوئے اوپر کی مساوات کو جہتوں میں یوں لکھتے ہیں: [F] = [m]ᵃ[v]ᵇ[r]ᶜ؛ [MLT⁻²] = [M]ᵃ[LT⁻¹]ᵇ[L]ᶜ؛ [MLT⁻²] = [MᵃLᵇ⁺ᶜT⁻ᵇ] … (ii)۔ اوپر کی مساوات کے دونوں طرف جہتوں کی قوتوں کا موازنہ کرنے سے ہمیں ملتا ہے: a = ۱؛ b + c = ۱؛ −b = −۲۔ حل کرنے سے ہمیں ملتا ہے: a = ۱، b = ۲، c = −۱۔ (i) میں a، b اور c کی قیمتیں رکھنے سے ہمیں ملتا ہے: F = (constant)mv²r⁻¹، یا F = (constant)mv² ÷ r۔ مستقل کی عددی قیمت جہتی تجزیے سے طے نہیں ہو سکتی۔ تاہم اسے تجربات سے معلوم کیا جا سکتا ہے۔ اوپر کی مساوات میں مستقل کی عددی قیمت "۱" ہوتی ہے، اس لیے مساوات یوں رہ جاتی ہے: F = mv² ÷ r۔
جہتی تجزیے کی حدود۔ جہتی طریقہ یہ نہیں بتا سکتا کہ مساوات کہاں غلط ہے۔ اگر کوئی مساوات درست ثابت بھی ہو جائے تو ہم صرف یہ کہہ سکتے ہیں کہ مساوات درست ہو سکتی ہے، اس لیے کہ یہ طریقہ کسی عددی جزو یا مستقل کی جانچ نہیں دیتا۔ وہ صرف تجربات سے یا متغیرات کے درمیان کوئی مناسب گراف بنا کر ہی طے ہو سکتا ہے۔
📌 کیا آپ جانتے ہیں؟ پینڈولم وہ ضابطہ کار آلہ ہے جس نے پینڈولم گھڑی کو عملی بنایا — کتاب کی شکل میں اینکر، پیلٹ اور اسکیپ وہیل جھول کو مستحکم رکھتے ہیں، یہی وجہ ہے کہ پینڈولم کی ٹائمنگ پر بھروسہ کیا جا سکا۔
📌 خبردار! کیلکولیٹر اس طرح بنائے گئے ہیں کہ وہ اتنے ہی ہندسے دیں جتنے کیلکولیٹر چپ کی میموری اجازت دے۔ اس لیے یقینی بنائیں کہ حسابی کے حتمی جوابات کو اہم ہندسوں کی درست تعداد تک گول کریں۔
⚠️ Note on this section: the chapter's own text does not teach these two instruments step by step, yet the exercise uses them in several questions. The method below is the standard method the exercise itself assumes — the book's worked examples use a Vernier Callipers least count of 0.01 cm, and its screw-gauge questions use a pitch of 0.50 mm with 50 circular divisions.
Vernier Callipers. The main scale is graduated in millimetres. The vernier scale is made so that 10 vernier divisions equal 9 main-scale divisions (9 mm), so one vernier division is 0.9 mm. The least count is one main-scale division minus one vernier division: 1 mm − 0.9 mm = 0.1 mm = 0.01 cm. Reading = main-scale reading before the vernier zero + (coinciding vernier division × least count). First read the main scale up to the vernier zero, then find which vernier line matches a main-scale line exactly, and multiply that division number by 0.01 cm.
Micrometer screw gauge. The pitch is the distance the spindle advances in one full turn of the thimble — 0.50 mm in the book's questions. With 50 divisions on the circular scale, the least count = pitch ÷ circular divisions = 0.50 mm ÷ 50 = 0.01 mm. Reading = main-scale reading (the last mark the thimble edge has passed, including the half-mm mark) + (circular division on the datum line × least count).
Zero error — both instruments. Close the jaws (or the screw gauge) with nothing between them. If the vernier zero, or the circular zero, sits exactly on its datum, there is no zero error. If the zero sits to the right of (past) the main zero, the error is positive — subtract it from every reading. If it sits to the left (behind), the error is negative — add its size to every reading. Corrected reading = observed reading − zero error, with the sign kept.
⚠️ اس حصے کے بارے میں نوٹ: باب کا اپنا متن ان دو آلات کو قدم بہ قدم نہیں سکھاتا، پھر بھی مشق میں کئی سوالات ان پر مبنی ہیں۔ نیچے دیا گیا طریقہ وہ معیاری طریقہ ہے جو مشق خود فرض کرتی ہے — کتاب کی حل شدہ مثالوں میں ورنیئر کیلیپرز کا لیسٹ کاؤنٹ ۰.۰۱ cm ہے، اور اسکرو گیج کے سوالات میں پچ ۰.۵۰ mm اور سرکلر تقسیمیں ۵۰ ہیں۔
ورنیئر کیلیپرز۔ مین اسکیل ملی میٹروں میں درج ہوتا ہے۔ ورنیئر اسکیل اس طرح بنایا جاتا ہے کہ ۱۰ ورنیئر تقسیمیں ۹ مین اسکیل تقسیموں (۹ mm) کے برابر ہوں، اس لیے ایک ورنیئر تقسیم ۰.۹ mm ہوتی ہے۔ لیسٹ کاؤنٹ ایک مین اسکیل تقسیم منفی ایک ورنیئر تقسیم ہے: ۱ mm − ۰.۹ mm = ۰.۱ mm = ۰.۰۱ cm۔ ریڈنگ = ورنیئر صفر سے پہلے مین اسکیل ریڈنگ + (ملنے والی ورنیئر تقسیم × لیسٹ کاؤنٹ)۔ پہلے ورنیئر صفر تک مین اسکیل پڑھیں، پھر دیکھیں کون سی ورنیئر لکیر مین اسکیل لکیر سے بالکل ملتی ہے، اور اس تقسیم کے نمبر کو ۰.۰۱ cm سے ضرب دیں۔
مائیکرومیٹر اسکرو گیج۔ پچ وہ فاصلہ ہے جو تھمبل کے ایک مکمل چکر میں اسپنڈل آگے بڑھتا ہے — کتاب کے سوالات میں ۰.۵۰ mm۔ سرکلر اسکیل پر ۵۰ تقسیموں کے ساتھ لیسٹ کاؤنٹ = پچ ÷ سرکلر تقسیمیں = ۰.۵۰ mm ÷ ۵۰ = ۰.۰۱ mm۔ ریڈنگ = مین اسکیل ریڈنگ (آخری نشان جس سے تھمبل کا کنارہ گزر چکا ہو، آدھے mm کے نشان سمیت) + (ڈیٹم لائن پر سرکلر تقسیم × لیسٹ کاؤنٹ)۔
صفر کی غلطی — دونوں آلات۔ جبڑے (یا اسکرو گیج) کو خالی بند کریں۔ اگر ورنیئر صفر یا سرکلر صفر بالکل اپنے ڈیٹم پر ہو تو صفر کی غلطی نہیں ہے۔ اگر صفر مین صفر کے دائیں (آگے) ہو تو غلطی مثبت ہے — ہر ریڈنگ سے اسے تفریق کریں۔ اگر بائیں (پیچھے) ہو تو غلطی منفی ہے — ہر ریڈنگ میں اس کی مقدار جمع کریں۔ درست ریڈنگ = مشاہدہ شدہ ریڈنگ − صفر کی غلطی، علامت سمیت۔
The book's exercise (printed pages 14–18) has five parts: Multiple Choice Questions (16), Short Answer Questions (8), Constructed Response Questions (12), Comprehensive Questions (6, with 1.3 split into (a) and (b)) and Numerical Problems (8) — 50 questions in total, every one answered below. Where a book figure is small in the scan, the working is shown step by step and the point is flagged in the answer itself, so you can follow the method even if the printed figure is hard to read.
1.1 The purpose of study and discoveries in Physics is:
Answer: (b) the betterment of mankind — the chapter opens with exactly this: physics gives us the tools and understanding that improve human life, from medicine to communication. طبیعیات کی تحقیق کا مقصد انسان کی بہتری ہے، تباہی یا صرف خوبصورتی نہیں۔
1.2 The length of a steel pipe is in between 0.7 m to 0.8 m. Identify from the following, the appropriate instrument to be used for an accuracy of 0.001 m.
Answer: (b) A metre rule — 0.001 m is 1 mm, which is exactly the least count of a metre rule, and a metre rule is long enough for a 0.7–0.8 m pipe. A screw gauge and Vernier Callipers cannot span 0.7 m at all, and a 10 m tape is far too coarse for 1 mm accuracy. ۰.۰۰۱ m یعنی ۱ mm میٹر رول کا لیسٹ کاؤنٹ ہے اور وہ ۰.۷ میٹر پائپ کے لیے کافی لمبا بھی ہے۔
1.3 The diameter of a steel ball is measured using a Vernier Callipers and its reading is shown in the figure. What is the diameter of the steel ball?
Answer: (b) 1.39 cm — main-scale reading before the vernier zero is 1.3 cm, and the 9th vernier division coincides with a main-scale line, so reading = 1.3 cm + 9 × 0.01 cm = 1.39 cm. ⚠️ The scan's vernier figure is small, so 1.39 cm and 1.40 cm sit very close together on it; the working above is the book's intended reading (a non-zero coincidence, which is why 1.40 cm, the "round it off" option, is the trap). مین اسکیل ۱.۳ cm اور ملنے والی ۹ویں ورنیئر تقسیم × ۰.۰۱ cm = ۱.۳۹ cm۔
1.4 The figure shows the reading on a micrometer screw gauge used to measure diameter of a thin rod. One complete turn of the thimble is 0.50 mm and there are 50 lines on the circular scale. The diameter of the rod is:
Answer: (a) 3.67 mm — least count = 0.50 mm ÷ 50 = 0.01 mm. The thimble edge has passed the 3.5 mm main-scale mark (the 3 mm mark plus the half-mm mark), and the 17th circular division sits on the datum line, so reading = 3.5 mm + 17 × 0.01 mm = 3.67 mm. ⚠️ Read from the book's small screw-gauge figure: the half-mm mark is the whole point of the question — missing it gives the 3.17 mm distractor. لیسٹ کاؤنٹ ۰.۰۱ mm، مین اسکیل ۳.۵ mm اور سرکلر ۱۷ × ۰.۰۱ mm = ۳.۶۷ mm۔
1.5 The number of significant figures of a measurement are defined as:
Answer: (d) all of the above — all three statements say the same thing from different sides: significant figures are the digits you can stand behind (the accurately known ones plus the first estimated one), and that is precisely why they reflect how accurate the observation is. تینوں باتیں درست ہیں: اہم ہندسے وہی ہیں جن پر بھروسہ کیا جا سکے، یعنی درست معلوم ہندسے اور پہلا مشکوک ہندسہ۔
1.6 The number of significant figures in the measurement mass 2500.0 kg is:
Answer: (d) five — in a decimal fraction, zeros to the right of a significant figure are significant. Here the digits are 2, 5, 0, 0, 0 — all five count, because the decimal point after the last zero shows those zeros were actually measured, not just place-holders. اعشاری کسر میں اہم ہندسے کے دائیں صفر اہم ہوتے ہیں، اس لیے ۲۵۰۰.۰ میں پانچوں ہندسے اہم ہیں۔
1.7 The sum 12 kg + 2.02 kg + 5.1 kg according to appropriate precision is:
Answer: (a) 19 kg — addition follows decimal places, not significant figures: 12 kg has zero decimal places, 2.02 kg has two, 5.1 kg has one. The raw sum is 19.12 kg, but it must be rounded to zero decimal places, giving 19 kg. جمع میں اعشاری مقامات دیکھے جاتے ہیں: ۱۲ kg میں صفر مقامات ہیں، اس لیے جواب ۱۹ kg ہوگا۔
1.8 The answer to appropriate precision for the subtraction (1.126 − 0.97269) is:
Answer: (b) 0.153 — raw subtraction gives 1.126 − 0.97269 = 0.15331. The least precise term, 1.126, has three decimal places, so the answer is rounded to three decimal places: 0.153. خام جواب ۰.۱۵۳۳۱ ہے، لیکن ۱.۱۲۶ میں تین اعشاری مقامات ہیں، اس لیے جواب ۰.۱۵۳ ہوگا۔
1.9 The answer of the product (2.8723 × 1.6) to the appropriate number of significant figures is:
Answer: (d) 4.6 — multiplication follows significant figures: 2.8723 has five, 1.6 has two, so the answer keeps two. Raw product = 4.59568, rounded to two significant figures = 4.6. ضرب میں اہم ہندسے دیکھے جاتے ہیں: ۱.۶ میں دو ہیں، اس لیے جواب ۴.۶ ہوگا۔
1.10 The answer to the mathematical division (45.2 ÷ 6.0) in appropriate number of significant figures is:
Answer: (a) 7.5 — 45.2 has three significant figures and 6.0 has two, so the quotient keeps two. Raw division = 7.5333…, rounded to two significant figures = 7.5. ۶.۰ میں دو اہم ہندسے ہیں، اس لیے حاصل تقسیم ۷.۵ ہوگا۔
1.11 The answer to the following mathematical operation 24.4 m × 100 m / 5.0 m to the appropriate number of significant figures is:
Answer: (d) 4.9 × 10² m — raw value: 24.4 × 100 ÷ 5.0 = 488 m. The least accurate factor, 5.0 m, has two significant figures, so 488 rounds to 490 m, i.e. 4.9 × 10² m. ⚠️ The book's other options are ten times too big for the numbers as printed (4880 m and 4.88 × 10³ m are the same wrong value, and 4900 m is its two-figure rounding) — (d) is the only option consistent with the printed operation, so it is keyed here with this warning. خام جواب ۴۸۸ m ہے، دو اہم ہندسوں تک ۴۹۰ m یعنی ۴.۹ × ۱۰² m؛ باقی آپشنز چھپی ہوئی تعداد سے دس گنا بڑے ہیں۔
1.12 The ratio of the dimensions of force and energy is:
Answer: (d) L⁻¹ — force is [MLT⁻²] and energy is [ML²T⁻²]. Their ratio is [MLT⁻²] ÷ [ML²T⁻²] = L⁻¹: the M and T parts cancel, and one power of L survives underneath. قوت [MLT⁻²] اور توانائی [ML²T⁻²] کی نسبت سے M اور T کٹ جاتے ہیں اور L⁻¹ بچتا ہے۔
1.13 Identify which pair from the following does not have identical dimensions.
Answer: (c) Moment of inertia and moment of force — check each: work and torque are both [ML²T⁻²]; angular momentum and Planck's constant are both [ML²T⁻¹]; impulse and momentum are both [MLT⁻¹]. But moment of inertia is [ML²] while moment of force (torque) is [ML²T⁻²] — the T⁻² is missing, so this pair does not match. لمحہ جمود [ML²] ہے اور قوت کا لمحہ [ML²T⁻²]، اس لیے یہ جوڑا نہیں ملتا؛ باقی تینوں جوڑے ملتے ہیں۔
1.14 The following figures are of the same Vernier Callipers. Figure (1) shows the reading when the jaws are closed while Fig. (2) shows the reading when a solid cylinder is placed between the jaws. The length of the cylinder is:
Answer: (a) 3.26 cm — Fig. (1), jaws closed: the vernier zero sits to the right of the main zero and the 4th vernier division coincides, so the zero error is +4 × 0.01 cm = +0.04 cm. Fig. (2): main-scale reading 3.2 cm plus the 10th vernier division × 0.01 cm gives an observed reading of 3.30 cm. Corrected reading = observed − zero error = 3.30 − 0.04 = 3.26 cm. ⚠️ The book's two figures are small schematic drawings in the scan; the method above (find the zero error first, then subtract it) is the point of the question, and the figures are read on that basis. صفر کی غلطی +۰.۰۴ cm، مشاہدہ شدہ ریڈنگ ۳.۳۰ cm، درست لمبائی ۳.۳۰ − ۰.۰۴ = ۳.۲۶ cm۔
1.15 The least count of an instrument determines:
Answer: (a) precision of a measurement — the book says it directly: precision is determined by the instrument, and the smaller the least count, the more precise the measurement. Accuracy is a different thing — it depends on the fractional or percentage uncertainty, not on the least count alone. صحت کا تعین آلے سے ہوتا ہے: لیسٹ کاؤنٹ جتنا چھوٹا، پیمائش اتنی ہی صحیح۔
1.16 A measuring tape has been graduated with a minimum scale division of 0.2 cm. The allowed reading using this tape may be:
Answer: (b) 80.6 cm — with 0.2 cm divisions, the scale marks fall on 80.0, 80.2, 80.4, 80.6, 80.8… cm. A reading must land on a mark (or be estimated from one): 80.6 cm is on the scale, while 80.5 cm and 80.7 cm fall between marks in a way this graduation does not allow, and 80.65 cm claims hundredths the tape cannot show. ۰.۲ cm کی تقسیموں پر ۸۰.۶ cm نشان پر آتا ہے؛ ۸۰.۵ اور ۸۰.۷ نشانوں کے درمیان پڑتے ہیں اور ۸۰.۶۵ اس ٹیپ سے نہیں ناپا جا سکتا۔
Base units belong to the independent base quantities — the ones not defined through any other quantity. The seven are: metre (length), kilogram (mass), second (time), ampere (electric current), kelvin (temperature), candela (luminous intensity) and mole (amount of substance). Derived units depend on base units: the newton (force, kg m s⁻²), joule (work, kg m² s⁻²), watt (power, kg m² s⁻³), pascal (pressure, kg m⁻¹ s⁻²), coulomb (charge, A s), and the dimensionless radian and steradian for angles. بنیادی اکائیاں آزاد مقداروں کی ہیں جیسے میٹر، کلوگرام، سیکنڈ؛ ماخوذ اکائیاں ان سے بنتی ہیں جیسے نیوٹن، جول، واٹ، پاسکل۔
(i) In multiplication or division, keep no more significant figures than the least accurate factor contains — the factor with the fewest significant figures decides. Example from the chapter: 3.64 (three figures) limits the whole product to three figures. (ii) In addition or subtraction, it is not significant figures that decide but decimal places: keep as many decimal places as the least precise term has. Example: 72.1 + 3.42 + 0.003 keeps one decimal place (75.5 m) because 72.1 has only one. ضرب تقسیم میں کم اہم ہندسوں والا جزو فیصلہ کرتا ہے؛ جمع تفریق میں کم اعشاری مقامات والی رقم فیصلہ کرتی ہے۔
The vernier scale slides alongside the main scale and is deliberately made a little "finer": 10 vernier divisions cover exactly 9 main-scale divisions. Since one main-scale division is 1 mm, one vernier division is 0.9 mm — each vernier mark lags 0.1 mm behind the main marks, and that lag is what lets you read fractions of a millimetre. The L.C. (least count) is the smallest measurement the instrument can resolve: L.C. = 1 main-scale division − 1 vernier division = 1 mm − 0.9 mm = 0.1 mm = 0.01 cm. The book's own worked examples use this 0.01 cm least count. ۱۰ ورنیئر تقسیمیں ۹ mm کے برابر ہوتی ہیں، اس لیے لیسٹ کاؤنٹ ۱ mm − ۰.۹ mm = ۰.۰۱ cm ہوتا ہے۔
(a) Move the decimal so that only one non-zero digit sits to its left: 143.7 = 1.437 × 10². (b) 206.4 × 10² is not yet in standard form because three digits sit left of the decimal. First write 206.4 as 2.064 × 10², then add the powers: 2.064 × 10² × 10² = 2.064 × 10⁴. ۱۴۳.۷ = ۱.۴۳۷ × ۱۰² اور ۲۰۶.۴ × ۱۰² = ۲.۰۶۴ × ۱۰⁴۔
(a) 580 × 10² g = 58,000 g. A thousand grams make a kilogram, so 58,000 g = 58 kg. (b) 0.45 × 10⁻⁵ s = 4.5 × 10⁻⁶ s, and 10⁻⁶ is micro, so the answer is 4.5 µs. ۵۸۰ × ۱۰² g = ۵۸ kg اور ۰.۴۵ × ۱۰⁻⁵ s = ۴.۵ µs۔
The number ½ has no dimensions, so ignore it. Dimensions of m are [M] and of v are [LT⁻¹]. So [K.E.] = [M] × [LT⁻¹]² = [M][L²T⁻²] = [ML²T⁻²] — the same dimensions as work and energy, as it must be. ½ کی کوئی جہت نہیں، اس لیے [K.E.] = [M][LT⁻¹]² = [ML²T⁻²]۔
(i) 37 km → 2 (both digits are non-zero). (ii) 0.002953 m → 4 (the leading zeros only fix the decimal point; the significant digits are 2, 9, 5, 3). (iii) 7.50034 cm → 6 (the zeros sit between significant figures and after one, and both kinds count here). (iv) 200.0 m → 4 (the trailing zero after the decimal point is significant — it shows the measurement really went to tenths). ۳۷ km میں ۲، ۰.۰۰۲۹۵۳ m میں ۴، ۷.۵۰۰۳۴ cm میں ۶ اور ۲۰۰.۰ m میں ۴ اہم ہندسے ہیں۔
(i) Planck's constant h comes from E = hf, so h = E ÷ f. Energy is [ML²T⁻²] and frequency is [T⁻¹], giving [h] = [ML²T⁻²] ÷ [T⁻¹] = [ML²T⁻¹]. (ii) Angular velocity ω = angle ÷ time. An angle (in radians) is a ratio of two lengths, so it is dimensionless; dividing by time leaves [ω] = [T⁻¹]. پلانک مستقل [ML²T⁻¹] اور زاویائی رفتار [T⁻¹] ہے کیونکہ زاویہ بے جہتی ہوتا ہے۔
Because they measure two different things. The kilogram measures mass — how heavy a sample is. The mole measures amount — how many particles it contains (one mole is 6.022 × 10²³ particles). A kilogram of iron and a kilogram of carbon contain very different numbers of atoms, because their atoms have different masses. In chemistry, reactions happen particle by particle, so counting particles (moles) is what matters, while in everyday weighing, mass (kilograms) is what matters. That is why SI keeps both as base units: kilogram for mass, mole for amount of substance.
۱۔ کلوگرام کمیت ناپتا ہے — نمونہ کتنا بھاری ہے۔
۲۔ مول ذرات کی تعداد ناپتا ہے — ایک مول میں ۶.۰۲۲ × ۱۰²³ ذرات ہوتے ہیں۔
۳۔ ایک کلوگرام لوہے اور ایک کلوگرام کاربن میں ایٹموں کی تعداد مختلف ہوتی ہے کیونکہ ان کے ایٹموں کی کمیت مختلف ہے۔
۴۔ کیمیائی تعامل ذرہ بہ ذرہ ہوتا ہے، اس لیے ذرات گننا (مول) ضروری ہے، جبکہ روزمرہ تول میں کمیت (کلوگرام) کام آتی ہے۔
Record (iii), 0.424 m, is correct. The scale's smallest division is 1 mm, so a reading may honestly carry millimetre precision — 0.424 m is 424 mm, exactly at the scale's resolution. Record (i), 0.4235 m, claims 0.1 mm (423.5 mm), ten times finer than the scale can show — that last digit is invented. Record (ii), 0.42 m, is not wrong in value but throws precision away: it only claims centimetres from an instrument that can do millimetres, so it understates what was measured. The honest record uses the instrument's full precision and no more.
۱۔ درست ریکارڈ (iii) یعنی ۰.۴۲۴ m ہے کیونکہ اسکیل کی چھوٹی تقسیم ۱ mm ہے اور ۰.۴۲۴ m یعنی ۴۲۴ mm اسی صحت کے مطابق ہے۔
۲۔ ریکارڈ (i) یعنی ۰.۴۲۳۵ m غلط ہے کیونکہ یہ ۰.۱ mm کا دعویٰ کرتا ہے جو اسکیل دکھا ہی نہیں سکتا۔
۳۔ ریکارڈ (ii) یعنی ۰.۴۲ m قیمت میں غلط نہیں مگر صحت ضائع کرتا ہے کیونکہ یہ صرف سینٹی میٹر تک بتاتا ہے۔
⚠️ The book lists the kilogram as the base unit in Table 1.1 but does not give the historical reason; the explanation below is the standard one. When the metric system was founded, its standard of mass was made as a physical artefact — a platinum-iridium cylinder — and it was made at kilogram size, because a gram-sized standard would have been too small to handle and keep accurately. SI kept that artefact, the international prototype kilogram, as the definition, so the kilogram stayed the base unit and the gram became its subunit (1 g = 10⁻³ kg). That is also why the kilogram is the only SI base unit whose name already contains a prefix.
۱۔ میٹرک نظام کا کمیت کا معیار پلاٹینم اریڈیم کا سلنڈر تھا جو کلوگرام کے سائز کا بنایا گیا تھا۔
۲۔ گرام کے سائز کا معیار سنبھالنے اور درست رکھنے کے لیے بہت چھوٹا ہوتا۔
۳۔ ایس آئی نے اسی کلوگرام معیار کو برقرار رکھا، اس لیے کلوگرام بنیادی اکائی رہا اور گرام اس کی ذیلی اکائی بن گیا (۱ g = ۱۰⁻³ kg)۔
Only quantities with identical dimensions can be added or subtracted — that is the homogeneity rule. Since Q and R are both [MLT], their sum P must also be [MLT]. In SI units: M → kilogram (kg), L → metre (m), T → second (s), so the units of P are kg m s. If Q and R had different dimensions, the equation P = Q + R would be dimensionally meaningless (you cannot add unlike quantities), so no dimensions of P could be determined from it at all — the equation itself would be wrong.
۱۔ جمع صرف ایک جیسی جہتوں والی مقداروں کا ہو سکتا ہے، اس لیے P کی جہتیں بھی [MLT] ہوں گی۔
۲۔ ایس آئی اکائیوں میں P کی اکائی kg m s ہوگی۔
۳۔ اگر Q اور R کی جہتیں مختلف ہوتیں تو مساوات ہی بے معنی ہوتی اور P کی جہتیں طے نہ ہو سکتیں۔
(a) The smallest division the clock can show is marked by the second hand: the least count is 1 second. (b) With no second hand, the finest division is the minute mark: the least count is 1 minute (60 seconds). The general rule is the same as for any instrument — the least count is the value of the smallest division on its scale.
۱۔ سیکنڈ والی سوئی والی گھڑی کا لیسٹ کاؤنٹ ۱ سیکنڈ ہے۔
۲۔ صرف گھنٹہ اور منٹ والی سوئی والی گھڑی کا لیسٹ کاؤنٹ ۱ منٹ ہے۔
A metre rule alone can only read to 1 mm, while Vernier Callipers read to 0.1 mm — ten times finer. The trick is to measure many pencils at once and divide. Line up, say, 20 identical round pencils side by side in a row, touching each other, and measure the total width of the row with the metre rule. If the row measures 140 mm, one pencil's diameter is 140 ÷ 20 = 7.0 mm. The rule's 1 mm uncertainty is now shared among 20 pencils, so the uncertainty per pencil is 1 ÷ 20 = 0.05 mm — comparable to Vernier Callipers. The more pencils you line up, the finer the effective accuracy, because a single reading error gets divided by the number of objects.
۱۔ ۲۰ ایک جیسی گول پنسلیں ایک قطار میں ساتھ ساتھ رکھیں۔
۲۔ میٹر رول سے پوری قطار کی چوڑائی ناپیں، مثلاً ۱۴۰ mm۔
۳۔ ایک پنسل کا قطر = ۱۴۰ ÷ ۲۰ = ۷.۰ mm ہوگا۔
۴۔ رول کی ۱ mm غیر یقینی ۲۰ پنسلوں میں بٹ جائے گی، اس لیے فی پنسل غیر یقینی ۰.۰۵ mm رہ جائے گی جو ورنیئر کے قریب ہے۔
The two instruments would agree on the rough value but differ sharply in fineness. Vernier Callipers have a least count of 0.01 cm (0.1 mm); a screw gauge has a least count of 0.01 mm — ten times finer. A glass plate is only a few millimetres thick, so the vernier's 0.1 mm uncertainty is a large fraction of the whole thickness, while the screw gauge's 0.01 mm uncertainty is ten times smaller in both absolute and percentage terms. So the screw-gauge reading carries one more significant figure, a smaller uncertainty, and a much smaller percentage error — for a thin plate, that is the difference between a rough check and a real measurement. The screw gauge also grips the plate between spindle and anvil, which suits small thicknesses better than the callipers' jaws.
۱۔ ورنیئر کا لیسٹ کاؤنٹ ۰.۰۱ cm یعنی ۰.۱ mm ہے اور اسکرو گیج کا ۰.۰۱ mm ہے، یعنی دس گنا باریک۔
۲۔ شیشے کی پلیٹ چند ملی میٹر موٹی ہوتی ہے، اس لیے ورنیئر کی غیر یقینی اس کے مقابلے میں بڑی بنتی ہے۔
۳۔ اسکرو گیج کی ریڈنگ میں ایک اہم ہندسہ زیادہ ہوگا اور فیصدی غلطی دس گنا کم ہوگی۔
Step 1 — observed reading from the figure: the vernier zero sits past the 2.6 cm main-scale mark, and the 9th vernier division coincides with a main-scale line, so observed reading = 2.6 cm + 9 × 0.01 cm = 2.69 cm. Step 2 — correct for the zero error: the error is +0.02 cm, and corrected reading = observed − zero error = 2.69 − 0.02 = 2.67 cm. ⚠️ The book's figure for this question is small in the scan; the vernier zero and the 9th coinciding division are read on that basis, and the correction step (subtract a positive error) is the part to learn.
۱۔ مشاہدہ شدہ ریڈنگ = ۲.۶ cm + ۹ × ۰.۰۱ cm = ۲.۶۹ cm۔
۲۔ صفر کی غلطی +۰.۰۲ cm ہے، اس لیے درست ریڈنگ = ۲.۶۹ − ۰.۰۲ = ۲.۶۷ cm۔
۳۔ مثبت غلطی ہمیشہ تفریق ہوتی ہے، منفی جمع ہوتی ہے۔
Step 1 — least count: pitch = 5 mm ÷ 10 revolutions = 0.50 mm per revolution. L.C. = pitch ÷ circular divisions = 0.50 mm ÷ 50 = 0.01 mm. Step 2 — observed reading from the figure: the thimble edge has passed the 5.0 mm main-scale mark, and the 28th circular division sits on the datum line, so observed reading = 5.0 mm + 28 × 0.01 mm = 5.28 mm. Step 3 — zero error: the 2nd division coincides while the circular zero sits below the datum line, which makes the zero error negative: zero error = −2 × 0.01 mm = −0.02 mm. Step 4 — corrected reading = observed − zero error = 5.28 − (−0.02) = 5.30 mm. So the glass slab is 5.30 mm thick. ⚠️ The circular reading is read from the book's small screw-gauge figure; the sign step (a zero below the datum line means a negative error, so it gets added back) is the part to learn.
۱۔ پچ = ۵ mm ÷ ۱۰ = ۰.۵۰ mm اور لیسٹ کاؤنٹ = ۰.۵۰ ÷ ۵۰ = ۰.۰۱ mm۔
۲۔ مشاہدہ شدہ ریڈنگ = ۵.۰ mm + ۲۸ × ۰.۰۱ mm = ۵.۲۸ mm۔
۳۔ صفر ڈیٹم لائن سے نیچے ہے، اس لیے صفر کی غلطی −۰.۰۲ mm ہے۔
۴۔ درست موٹائی = ۵.۲۸ − (−۰.۰۲) = ۵.۳۰ mm۔
A dimensionless quantity is one whose dimensions are all zero — [M⁰L⁰T⁰] — so it has no unit tied to mass, length or time. Such quantities usually arise as ratios of two like quantities, where the units cancel. Examples: strain (change in length ÷ original length), refractive index (speed of light in vacuum ÷ speed in a medium), relative density, coefficient of friction, and plane angle in radians (arc length ÷ radius). A pure number like π is dimensionless too.
۱۔ بے جہتی مقدار وہ ہے جس کی جہتیں سب صفر ہوں یعنی [M⁰L⁰T⁰]۔
۲۔ یہ عام طور پر دو ایک جیسی مقداروں کی نسبت سے بنتی ہے جہاں اکائیاں کٹ جاتی ہیں۔
۳۔ مثالیں: اسٹرین، ریفریکٹو انڈیکس، رشتہ دار کثافت، رگڑ کا گتانک اور ریڈین میں زاویہ۔
Step 1 — reading from the figure: the thimble edge has not yet passed the 1 mm mark, so the main-scale reading is 0 mm, and the 27th circular division sits on the datum line. With the usual least count of 0.01 mm, the folded thickness = 0 mm + 27 × 0.01 mm = 0.27 mm. There is no zero error to correct. Step 2 — unfold the folding: folding a sheet in half three times doubles the layers each time — 2 × 2 × 2 = 8 layers. So one sheet's thickness = 0.27 mm ÷ 8 = 0.03375 mm ≈ 0.034 mm. ⚠️ The circular reading is read from the book's small screw-gauge figure; the folding step (three folds = eight layers, not three) is the part students most often miss.
۱۔ تہ شدہ کاغذ کی موٹائی = ۰ mm + ۲۷ × ۰.۰۱ mm = ۰.۲۷ mm۔
۲۔ تین بار آدھا موڑنے سے تہیں ۲ × ۲ × ۲ = ۸ ہو جاتی ہیں۔
۳۔ ایک شیٹ کی موٹائی = ۰.۲۷ ÷ ۸ = ۰.۰۳۳۷۵ mm ≈ ۰.۰۳۴ mm۔
(a) 0.02055: the significant digits are 2, 0, 5, 5. Keep three: 2, 0, 5, and look at the next digit, 5. By the book's "5" rule, the retained digit (5, odd) is increased by one, giving 6. So 0.02055 → 0.0206 = 2.06 × 10⁻². (b) 4658.5: keep three digits, 4, 6, 5, and the next digit is 8, which is more than 5, so the retained 5 rounds up to 6. So 4658.5 → 4660 = 4.66 × 10³.
۱۔ ۰.۰۲۰۵۵ میں تین اہم ہندسے ۲، ۰، ۵ ہیں اور اگلا ہندسہ ۵ ہے؛ برقرار ہندسہ ۵ طاق ہے اس لیے ۶ ہو جائے گا: ۰.۰۲۰۶ = ۲.۰۶ × ۱۰⁻²۔
۲۔ ۴۶۵۸.۵ میں اگلا ہندسہ ۸ ہے جو ۵ سے زیادہ ہے، اس لیے ۴۶۵ → ۴۶۶: ۴۶۶۰ = ۴.۶۶ × ۱۰³۔
Uncertainty is the doubt left in a measurement by the instrument itself: every instrument can only be read down to its smallest division, so no reading is exact — the true value lies within some range around the recorded value. That range is the uncertainty, expressed as absolute (± value), fractional (absolute ÷ measured value) or percentage (fractional × 100%) uncertainty. In a digital instrument there is no scale to squint at; instead the uncertainty shows up in the last displayed digit. The maker (and the book) treat one digit beyond certainty as an estimate: if that last digit only flickers by 1 or 2, you write it down as the estimated digit. If it jumps by more than about 2, the reading is being pushed around by something outside the measurement (air currents, vibration), and a large fluctuation means the displayed digit is not really significant — the instrument is telling you, by flickering, how far it can be trusted.
۱۔ غیر یقینی وہ شک ہے جو آلے کی حد کی وجہ سے پیمائش میں رہ جاتا ہے؛ اصل قیمت ریکارڈ شدہ قیمت کے آس پاس کسی حد میں ہوتی ہے۔
۲۔ اسے مطلق (± قیمت)، کسری (مطلق ÷ ناپی گئی قیمت) یا فیصدی غیر یقینی سے ظاہر کیا جاتا ہے۔
۳۔ ڈیجیٹل آلے میں غیر یقینی آخری ہندسے کی اتار چڑھاؤ سے ظاہر ہوتی ہے: ۱ یا ۲ کی اتار چڑھاؤ والا ہندسہ لکھ دیا جاتا ہے، زیادہ اتار چڑھاؤ کا مطلب ہے کہ وہ ہندسہ واقعی اہم نہیں ہے۔
Precision is about the instrument; accuracy is about closeness to the truth. A measurement is precise when its least count (absolute uncertainty) is small — a screw gauge at 0.01 mm is more precise than a metre rule at 1 mm, whatever is being measured. A measurement is accurate when its fractional or percentage uncertainty is small — that is, when the uncertainty is small compared with the size of the quantity itself. The book's pair of readings shows why the two can part company: 25.5 cm on a metre rule is less precise (±0.1 cm) but more accurate (0.4%), while 0.45 cm on Vernier Callipers is more precise (±0.01 cm) but less accurate (2%), because 0.01 cm is a much bigger fraction of a tiny 0.45 cm length. In short: precision asks "how fine is the instrument?", accuracy asks "how big is the error compared with the answer?"
۱۔ صحت آلے کی باریکی ہے: لیسٹ کاؤنٹ جتنا چھوٹا، پیمائش اتنی ہی صحیح۔
۲۔ درستگی سچائی سے قربت ہے: فیصدی غیر یقینی جتنی کم، پیمائش اتنی ہی درست۔
۳۔ مثال: میٹر رول سے ۲۵.۵ cm کم صحیح مگر زیادہ درست (۰.۴٪) ہے، جبکہ ورنیئر سے ۰.۴۵ cm زیادہ صحیح مگر کم درست (۲٪) ہے۔
Significant figures are the digits of a measurement that carry real information: the accurately known digits plus the first estimated (doubtful) digit. Two reasons for using them: first, they stop a calculator's long tail of digits from pretending to be knowledge — writing 1.45768982 × 10³ for a result measured with a 3-figure instrument is dishonest, and significant figures force the honest 1.46 × 10³. Second, they tell the next reader, at a glance, how good the instrument was — 3.145 g immediately says "electronic balance", while 3.1 g says "lever balance", without any extra note. For a timing experiment such as a pendulum's period, you do not time one swing (the reaction-time error would swamp it). You time many oscillations — say 20 or 50 — and divide the total time by the number of oscillations to get one period. The book's thumb rule for this periodic uncertainty is: divide the least count of the timing device by the number of oscillations. So with a stopwatch of least count 0.1 s over 20 oscillations, the uncertainty in one period is 0.1 ÷ 20 = 0.005 s.
۱۔ اہم ہندسے وہ ہندسے ہیں جو حقیقی معلومات رکھتے ہیں: درست معلوم ہندسے اور پہلا اندازہ شدہ ہندسہ۔
۲۔ ان کے استعمال کی دو وجوہات: (الف) کیلکولیٹر کے لمبے ہندسے جھوٹی درستگی کا دعویٰ نہ کریں؛ (ب) پڑھنے والا ایک نظر میں جان لے کہ آلہ کتنا اچھا تھا۔
۳۔ پینڈولم کے دورانیے کے لیے کئی ارتعاشوں کا کل وقت ناپ کر ارتعاشوں کی تعداد سے تقسیم کریں؛ دورانیے کی غیر یقینی = ٹائمنگ آلے کا لیسٹ کاؤنٹ ÷ ارتعاشوں کی تعداد۔
Step 1 — volume: V = πd²l ÷ 4 = 3.14 × (1.25 cm)² × 3.35 cm ÷ 4 = 3.14 × 1.5625 × 3.35 ÷ 4 = 4.11 cm³. Step 2 — volume uncertainty (same working as Example 1.3, since the numbers match it): percentage uncertainty in length = 0.01 ÷ 3.35 × 100% = 0.3%; in diameter = 0.01 ÷ 1.25 × 100% = 0.8%; total in volume = 2 × 0.8% + 0.3% = 1.9%, so absolute uncertainty = 4.11 × 1.9% = 0.08 cm³, i.e. V = (4.11 ± 0.08) cm³. Step 3 — density: ρ = mass ÷ volume = 12.85 g ÷ 4.11 cm³ = 3.1265… ≈ 3.13 g/cm³. Step 4 — density uncertainty: the volume contributes 1.9%; the mass, read to 0.01 g on 12.85 g, contributes 0.01 ÷ 12.85 × 100% ≈ 0.08% (⚠️ the book gives no mass uncertainty for this question, so the usual ±0.01 g reading uncertainty is assumed here and flagged). Total ≈ 1.9% + 0.08% ≈ 2.0%, so absolute uncertainty ≈ 3.13 × 2.0% ≈ 0.06 g/cm³. Hence density = (3.13 ± 0.06) g/cm³.
۱۔ حجم V = πd²l ÷ ۴ = ۴.۱۱ cm³ اور اس میں غیر یقینی ۱.۹٪ یعنی ۰.۰۸ cm³ ہے۔
۲۔ کثافت ρ = کمیت ÷ حجم = ۱۲.۸۵ ÷ ۴.۱۱ = ۳.۱۳ g/cm³۔
۳۔ کمیت کی غیر یقینی (±۰.۰۱ g) شامل کرنے سے کل غیر یقینی تقریباً ۲.۰٪ یعنی ۰.۰۶ g/cm³ بنتی ہے۔
۴۔ اس لیے کثافت = (۳.۱۳ ± ۰.۰۶) g/cm³۔
Writing a quantity into its dimensions means expressing it using only the fundamental dimensions [M], [L], [T], [A] and [Θ]. Examples: length, breadth, height, diameter and distance are all [L]; speed, being length ÷ time, is [LT⁻¹]; acceleration, change of speed ÷ time, is [LT⁻²]; force, mass × acceleration, is [MLT⁻²]; work and energy, force × distance, are [ML²T⁻²]; power, energy ÷ time, is [ML²T⁻³]; pressure, force ÷ area, is [ML⁻¹T⁻²]; and a pure ratio such as angle or strain is dimensionless, [M⁰L⁰T⁰]. Two benefits: (1) Checking an equation — if both sides do not carry identical dimensions, the equation is certainly wrong (the homogeneity test). (2) Deriving a formula — when you know which factors a quantity depends on, equating dimensions on both sides fixes the powers of those factors, as in the book's derivation of F = mv² ÷ r. (A third, everyday benefit is unit conversion: dimensions tell you exactly which units must change.)
۱۔ کسی مقدار کو اس کی جہتوں میں لکھنا یعنی اسے صرف [M]، [L]، [T]، [A] اور [Θ] سے ظاہر کرنا ہے۔
۲۔ مثالیں: رفتار [LT⁻¹]، اسراع [LT⁻²]، قوت [MLT⁻²]، کام اور توانائی [ML²T⁻²]، طاقت [ML²T⁻³]، دباؤ [ML⁻¹T⁻²]۔
۳۔ دو فائدے: (الف) مساوات کی جانچ — دونوں طرف جہتیں ایک جیسی نہ ہوں تو مساوات یقیناً غلط ہے؛ (ب) فارمولے کا اخذ — جہتوں کو برابر رکھنے سے عوامل کی قوتیں طے ہو جاتی ہیں۔
Work out the right-hand side in dimensions. Tension T is a force, so [T] = [MLT⁻²]. Length l is [L]. Mass m is [M]. So T × l ÷ m has dimensions [MLT⁻²] × [L] ÷ [M] = [L²T⁻²]. The square root halves every power: √[L²T⁻²] = [LT⁻¹]. The left-hand side, speed v, is also [LT⁻¹]. Both sides match, so the relation is dimensionally homogeneous — it might be correct (the numerical constant, if any, still needs experiment, as the chapter's limitations section warns).
۱۔ تناؤ T ایک قوت ہے، اس لیے [T] = [MLT⁻²]۔
۲۔ T × l ÷ m کی جہتیں [MLT⁻²] × [L] ÷ [M] = [L²T⁻²] ہیں۔
۳۔ جذر لینے سے [L²T⁻²] کا جذر [LT⁻¹] بنتا ہے جو رفتار v کی جہت ہے، اس لیے تعلق یکساں ہے۔
Distance = speed × time. Time in one year = 365 days × 24 hours × 60 minutes × 60 seconds = 31,536,000 s ≈ 3.2 × 10⁷ s (the book's rounded figure). So one light year = 3 × 10⁸ m/s × 3.2 × 10⁷ s = 9.6 × 10¹⁵ m, which the book quotes as 9.5 × 10¹⁵ m (using the unrounded year, 3.156 × 10⁷ s, gives 9.468 × 10¹⁵ m ≈ 9.5 × 10¹⁵ m). Either way: about nine and a half million million kilometres. ایک سال میں ۳.۲ × ۱۰⁷ سیکنڈ ہوتے ہیں، اس لیے ایک نوری سال = ۳ × ۱۰⁸ × ۳.۲ × ۱۰⁷ ≈ ۹.۵ × ۱۰¹⁵ m۔
(a) 1 year = 365 × 24 × 60 × 60 = 31,536,000 s = 3.1536 × 10⁷ s, estimated in standard form as 3.2 × 10⁷ s. (b) This is the reciprocal: 1 second = 1 ÷ (3.2 × 10⁷) years = 0.3125 × 10⁻⁷ years = 3.1 × 10⁻⁸ years. Notice how the two answers check each other: one is the flip of the other. ایک سال = ۳.۲ × ۱۰⁷ سیکنڈ اور ایک سیکنڈ = ۳.۱ × ۱۰⁻⁸ سال۔
Area = length × width = 18.3 cm × 14.60 cm = 267.18 cm² on the calculator. Now apply significant figures: 18.3 cm has three, 14.60 cm has four, so the answer keeps three. 267.18 rounded to three significant figures is 267 cm², matching the book's answer. رقبہ = ۱۸.۳ × ۱۴.۶۰ = ۲۶۷.۱۸ cm²، تین اہم ہندسوں تک ۲۶۷ cm²۔
Add them as written: 3.197 + 0.066 + 13.9 + 3.28 = 20.443 kg. Addition follows decimal places: the least precise term is 13.9 kg with one decimal place, so round 20.443 to one decimal place: 20.4 kg. مجموعہ ۲۰.۴۴۳ kg ہے، لیکن ۱۳.۹ kg میں ایک اعشاری مقام ہے، اس لیے جواب ۲۰.۴ kg ہوگا۔
Step 1 — volume: V = πd²l ÷ 4 = 3.14 × (1.22 cm)² × 5.35 cm ÷ 4 = 3.14 × 1.4884 × 5.35 ÷ 4 = 25.0036 ÷ 4 = 6.2509 cm³. Step 2 — percentage uncertainties: in diameter = 0.01 ÷ 1.22 × 100% = 0.82%; in length = 0.01 ÷ 5.35 × 100% = 0.19%. Step 3 — total in volume (diameter carries power 2): 2 × 0.82% + 0.19% = 1.83%. Step 4 — absolute uncertainty = 6.2509 × 1.83% ≈ 0.11 cm³, recorded to one significant figure as 0.1 cm³. Since the uncertainty sits in the first decimal place, the volume is quoted to one decimal place: V = (6.2 ± 0.1) cm³, matching the book's answer. حجم ۶.۲۵ cm³ اور کل فیصدی غیر یقینی ۱.۸۳٪ ہے، اس لیے جواب (۶.۲ ± ۰.۱) cm³ ہوگا۔
Left-hand side: vf² and vi² are both (velocity)², so each is [LT⁻¹]² = [L²T⁻²]. Subtracting two quantities of identical dimensions leaves [L²T⁻²]. Right-hand side: 2 is a pure number with no dimensions; a is [LT⁻²] and S is [L], so 2aS has dimensions [LT⁻²] × [L] = [L²T⁻²]. Both sides are [L²T⁻²], so the expression is dimensionally correct. (As always, this does not prove the factor 2 — only experiment does that.) دونوں طرف [L²T⁻²] ہے، اس لیے اظہار جہتی طور پر درست ہے۔
Left-hand side: energy E has dimensions [ML²T⁻²] (force × distance, or work). Right-hand side: m is [M] and c is a speed, [LT⁻¹], so mc² has dimensions [M] × [LT⁻¹]² = [M][L²T⁻²] = [ML²T⁻²]. Both sides match exactly, so E = mc² is dimensionally consistent. دونوں طرف [ML²T⁻²] ہے، اس لیے E = mc² جہتی طور پر درست ہے۔
Assume T ∝ lᵃ mᵇ gᶜ (the angle θ is a pure ratio, dimensionless, so it cannot enter a dimensional equation and is dropped). Write T = (constant) lᵃ mᵇ gᶜ and equate dimensions: [T] = [L]ᵃ [M]ᵇ [LT⁻²]ᶜ = [Mᵇ Lᵃ⁺ᶜ T⁻²ᶜ]. Compare powers on both sides. For M: b = 0 (there is no M on the left, so the period does not depend on the bob's mass — a famous result). For T: −2c = 1, so c = −1/2. For L: a + c = 0, so a = 1/2. Putting these back: T = (constant) l¹ᐟ² m⁰ g⁻¹ᐟ² = (constant) √(l/g). Dimensional analysis cannot fix the constant (experiment gives 2π for small angles), which is exactly the limitation the chapter warns about. فرض کریں T ∝ lᵃ mᵇ gᶜ؛ جہتیں برابر رکھنے سے b = ۰، c = −۱/۲ اور a = ۱/۲ ملتا ہے، اس لیے T = constant √(l/g)۔
This chapter is the foundation of everything that follows in physics: nothing you calculate later means anything until you can measure it, write it with the right unit, and say honestly how far it can be trusted. It starts with what a physical quantity is, builds the SI system on seven base units, and then spends most of its pages on the part students actually lose marks on — uncertainty and significant figures.
Revision guidance: first, memorise the seven base units with symbols and the two golden rules — multiplication/division follows significant figures, addition/subtraction follows decimal places. Then practise the three uncertainty recipes until they are automatic: add absolute uncertainties for +/−, add percentage uncertainties for ×/÷, and multiply the percentage by the power for powers. Then drill the instrument readings (vernier zero + coinciding division; screw-gauge main + circular, minus zero error) because four exercise questions turn on them. Finally, rehearse dimensional analysis both ways: checking an equation (both sides equal?) and deriving one (equate powers of M, L, T). The numbers to carry in your head: vernier L.C. 0.01 cm, screw-gauge L.C. 0.01 mm, and one light year ≈ 9.5 × 10¹⁵ m.
یہ باب طبیعیات میں آگے آنے والی ہر چیز کی بنیاد ہے: بعد میں آپ جو بھی حساب کریں گے وہ کچھ معنی نہیں رکھتا جب تک آپ اسے ناپ نہ سکیں، درست اکائی کے ساتھ نہ لکھیں، اور ایمانداری سے نہ بتا سکیں کہ اس پر کتنا بھروسہ کیا جا سکتا ہے۔ یہ طبعی مقدار کیا ہے سے شروع ہوتا ہے، سات بنیادی اکائیوں پر ایس آئی نظام بناتا ہے، اور پھر زیادہ تر صفحات اس حصے پر صرف کرتا ہے جس پر طلبہ اصل میں نمبر کھوتے ہیں — غیر یقینی اور اہم ہندسے۔
نظرثانی کی رہنمائی: پہلے سات بنیادی اکائیاں علامتوں سمیت اور دو سنہری قواعد یاد کریں — ضرب/تقسیم اہم ہندسوں کے پیچھے چلتی ہے، جمع/تفریق اعشاری مقامات کے پیچھے۔ پھر غیر یقینی کی تین ترکیبیں اس قدر مشق کریں کہ وہ خودکار ہو جائیں: جمع/تفریق کے لیے مطلق غیر یقینیاں جمع کریں، ضرب/تقسیم کے لیے فیصدی غیر یقینیاں جمع کریں، اور طاقت کے لیے فیصدی کو طاقت سے ضرب دیں۔ پھر آلات کی ریڈنگیں مشق کریں (ورنیئر صفر + ملنے والی تقسیم؛ اسکرو گیج مین + سرکلر، صفر کی غلطی منفی کر کے) کیونکہ مشق کے چار سوالات انہی پر منحصر ہیں۔ آخر میں جہتی تجزیہ دونوں طرح مشق کریں: مساوات کی جانچ (دونوں طرف برابر؟) اور اخذ (M، L، T کی قوتیں برابر رکھیں)۔ ذہن میں رکھنے والے اعداد: ورنیئر L.C. ۰.۰۱ cm، اسکرو گیج L.C. ۰.۰۱ mm، اور ایک نوری سال ≈ ۹.۵ × ۱۰¹⁵ m۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 1 Physics, Chapter 1 (New Book, Session 2026–27) • English + Urdu