Throw a ball to your right. Simple enough — but now imagine someone standing in front of you, facing you. To that person, your "right" is their left. The ball did not change what it did; only the person watching it changed. That is the whole starting point of this chapter: direction, rest and motion only mean something when you say "compared to whom?"
The book makes the same point with the walls of a moving train. Sit inside the train and the walls look perfectly still to you. Stand on the platform and those same walls rush past. Neither observer is lying, and neither is "more correct". So physics quietly drops a tempting idea: we cannot definitively say whether an object is absolutely at rest or absolutely in motion. All motions are relative to the observer, or to the frame of reference being used.
To prove it properly, the book sets up a closed train compartment and drops a ball inside it. The vertical distance the ball falls is the same in every case, and it takes "t" seconds in all scenarios. What changes is only the horizontal part — and that is where the two cases below split.
Case (a) — the train is stationary. The ball's horizontal velocity is zero, so the horizontal distance it travels is also zero. The observer inside the train and the one standing outside both see exactly the same thing: the ball falls to a point on the floor directly below where it was dropped (Fig. 11.1-a in the book).
Case (b) — the train moves with uniform velocity vo. The moment the ball is released it already has a horizontal velocity vo, so it behaves like a projectile and travels a horizontal distance vot in the time t it takes to reach the floor. Here is the neat bit: the observer inside the train is moving with that same velocity vo, so he too travels vot in the same time — and to him the ball still lands directly below where it was dropped. The observer outside, though, watches the ball follow a curved projectile path, as in Fig. 11.1(b). Two observers, moving with uniform velocity relative to each other, perceive motion differently. Keep that sentence in your head; the rest of the chapter is built on it.
گیند کو اپنے دائیں طرف پھینکیں۔ اب تصور کریں کہ کوئی شخص آپ کے سامنے کھڑا ہے اور آپ کی طرف دیکھ رہا ہے۔ اس شخص کے لیے آپ کا "دائیں" اس کا بائیں بن جائے گا۔ گیند نے اپنا کام نہیں بدلا، صرف دیکھنے والا بدل گیا۔ یہی اس باب کی بنیاد ہے: سمت، سکون اور حرکت کا مطلب تب ہی بنتا ہے جب یہ بتایا جائے کہ "کس کے مقابلے میں؟"
کتاب یہی بات چلتی ٹرین کی دیواروں سے سمجھاتی ہے۔ ٹرین کے اندر بیٹھے مسافر کو دیواریں بالکل ساکن لگتی ہیں، جبکہ پلیٹ فارم پر کھڑے شخص کو وہی دیواریں تیزی سے گزرتی نظر آتی ہیں۔ دونوں میں سے کوئی جھوٹ نہیں بول رہا، اور کوئی بھی "زیادہ درست" نہیں۔ اس لیے طبیعیات ایک خیال کو چھوڑ دیتی ہے: ہم یقینی طور پر نہیں کہہ سکتے کہ کوئی چیز مطلق طور پر ساکن ہے یا مطلق طور پر متحرک ہے۔ تمام حرکتیں مشاہدہ کرنے والے یا استعمال ہونے والے حوالہ جاتی فریم کے مقابلے میں اضافی ہوتی ہیں۔
اسے ثابت کرنے کے لیے کتاب ایک بند ٹرین کے ڈبے میں گیند گرانے کی مثال دیتی ہے۔ گیند جتنی بلندی سے گرتی ہے وہ ہر صورت میں برابر ہے، اور ہر صورت میں اسے "t" سیکنڈ لگتے ہیں۔ صرف افقی حصہ بدلتا ہے۔ صورت (الف) — ٹرین ساکن ہے: گیند کی افقی رفتار صفر ہے، اس لیے افقی فاصلہ بھی صفر ہے، اور اندر اور باہر دونوں مشاہدہ کرنے والوں کو گیند اسی نقطے کے نیچے گرتی نظر آتی ہے جہاں سے گرائی گئی تھی۔ صورت (ب) — ٹرین یکساں رفتار vo سے چل رہی ہے: گیند چھوڑتے ہی افقی رفتار vo رکھتی ہے، اس لیے وہ پرتابی راستے پر vot افقی فاصلہ طے کرتی ہے۔ اندر بیٹھا مشاہدہ کرنے والا بھی اسی رفتار سے vot آگے بڑھتا ہے، اس لیے اسے گیند پھر بھی سیدھی نیچے گرتی لگتی ہے، جبکہ باہر کھڑا شخص گیند کو خم دار راستے پر جاتا دیکھتا ہے۔ دو مشاہدہ کرنے والے جو ایک دوسرے کے مقابلے میں یکساں رفتار سے حرکت کر رہے ہوں، حرکت کو مختلف انداز میں دیکھتے ہیں۔
Before going further, the book pauses to name the thing we have been using all along. A frame of reference is any coordinate system relative to which measurements are taken. That sounds formal, but you use one every day. The position of a table in a room is described relative to the walls of the room — so the room is the frame of reference. Do the same experiment in a laboratory and the laboratory is the frame. Do it in a moving train and the train becomes the frame. Even a spaceship's position is described relative to the positions of distant stars, and a coordinate system based on those stars is then the frame of reference.
An inertial frame of reference is a coordinate system in which the law of inertia is valid. In plain words: a body at rest remains at rest unless an unbalanced force acts on it, and the other laws of nature apply normally there. A body placed on the Earth remains at rest unless pushed, which is why the Earth can be considered an inertial frame. And here is a useful rule: any frame of reference moving with uniform velocity relative to an inertial frame is also an inertial frame. So a car moving with uniform velocity relative to the Earth is an inertial frame too — a body inside it stays at rest just as it would on the ground.
Now hit the brakes. If the moving car is suddenly stopped or accelerated, the body inside no longer remains at rest — it lurches forward. In such a case the car is not an inertial frame. An accelerated frame of reference is a non-inertial frame. One honest footnote from the book: while the Earth is rotating and revolving, making it strictly speaking a non-inertial frame, it is often treated as an inertial frame due to its relatively small acceleration. For school-level problems, that small acceleration is simply ignored.
📌 For your information (book's side box): Relativity is the study of the way in which observers from moving frame of reference affect your perception of the world. That one line is really the chapter's job description.
آگے بڑھنے سے پہلے کتاب اس چیز کا نام بتاتی ہے جسے ہم اب تک استعمال کرتے آ رہے ہیں۔ حوالہ جاتی فریم کوئی بھی مختصاتی نظام ہے جس کے مقابلے میں پیمائشیں کی جاتی ہیں۔ یہ بات رسمی لگتی ہے لیکن آپ روزانہ اسے استعمال کرتے ہیں۔ کمرے میں میز کی جگہ کمرے کی دیواروں کے مقابلے میں بتائی جاتی ہے، اس لیے کمرہ حوالہ جاتی فریم ہے۔ تجربہ لیبارٹری میں کریں تو لیبارٹری فریم ہے، چلتی ٹرین میں کریں تو ٹرین فریم ہے۔ خلائی جہاز کی جگہ دور ستاروں کے مقابلے میں بتائی جاتی ہے، اور ان ستاروں پر مبنی مختصاتی نظام پھر حوالہ جاتی فریم کہلاتا ہے۔
انرشیل فریم وہ مختصاتی نظام ہے جس میں قانونِ جمود (inertia) درست ہو۔ سادہ لفظوں میں: ساکن جسم ساکن ہی رہتا ہے جب تک اس پر کوئی غیر متوازن قوت عمل نہ کرے، اور فطرت کے باقی قوانین بھی وہاں معمول کے مطابق لاگو ہوتے ہیں۔ زمین پر رکھا جسم دھکا دیے بغیر ساکن رہتا ہے، اس لیے زمین کو انرشیل فریم سمجھا جا سکتا ہے۔ اور ایک کارآمد اصول یہ ہے: جو فریم کسی انرشیل فریم کے مقابلے میں یکساں رفتار سے حرکت کر رہا ہو، وہ بھی انرشیل فریم ہوتا ہے۔ اس لیے زمین کے مقابلے میں یکساں رفتار سے چلتی کار بھی انرشیل فریم ہے۔
اب اچانک بریک لگائیں۔ اگر چلتی کار اچانک رک جائے یا اس کی رفتار بڑھ جائے تو اندر موجود جسم ساکن نہیں رہتا — وہ آگے کو جھٹکا کھاتا ہے۔ ایسی صورت میں کار انرشیل فریم نہیں رہتی۔ اسراعی فریم (accelerated frame) نان انرشیل فریم کہلاتا ہے۔ کتاب کی ایک دیانت دار وضاحت: زمین گھوم رہی ہے اور سورج کے گرد چکر لگا رہی ہے، اس لیے سختی سے دیکھا جائے تو وہ نان انرشیل فریم ہے، لیکن اس کا اسراع نسبتاً بہت کم ہونے کی وجہ سے اسے اکثر انرشیل فریم ہی سمجھا جاتا ہے۔
At the beginning of the 20th century, new experiments and calculations started showing that classical physics, built on Newton's laws, could not explain phenomena involving extremely small particles or very high velocities. That gap led to relativistic mechanics — a more complete framework that changed our view of the universe. Albert Einstein's Special Theory of Relativity, introduced in 1905, tackled it by proposing that the laws of Physics are the same for all observers and that the speed of light is constant, regardless of the observer's motion. It did not just patch a hole; it resolved conflicts between classical mechanics and electromagnetic theory and revolutionised how we understand time, space and motion.
First, the book separates two theories so you never mix them up. The special theory of relativity addresses problems involving inertial (non-accelerating) frames of reference. The general theory of relativity deals with frames of reference that are accelerating relative to one another. This chapter is only about the special theory, and it stands on just two postulates:
1. The laws of physics are the same in all inertial frames (Principle of Relativity).
2. The speed of light in free space has the same value for all observers, regardless of the state of motion of the source or the observer (Principle of Constancy of Light).
Why does the first postulate matter? It generalises the fact that all physical laws are the same in frames moving with uniform velocity relative to one another. If the laws differed for observers in relative motion, those observers could tell which one was stationary and which was moving. But no such distinction exists — there is no way to detect absolute uniform motion. The book gives a lovely test: if you are sitting in a train moving at the speed of light and hold up a mirror at arm's length, you will still see your reflection, because no experiment can detect the constant motion of the train relative to the person inside it.
The second postulate states an experimental fact: the speed of light in free space is a universal constant, denoted as c (c = 3 × 108 m s−1). Since c is constant, space and time become relative — and that single consequence unpacks into everything that follows in this chapter: clocks slowing, lengths shrinking, mass growing, and mass turning into energy.
📌 Do you know? (book's side box): The speed of light c emitted by the flashlight is measured the same by two observers, one moving in the car with speed v and the other standing on the road. That is the second postulate in one picture — the car's speed simply does not add to the light's speed.
بیسویں صدی کے آغاز میں نئے تجربات اور حسابات نے دکھایا کہ نیوٹن کے قوانین پر مبنی کلاسیکی طبیعیات انتہائی چھوٹے ذرات یا بہت زیادہ رفتاروں والے مظاہر کی وضاحت نہیں کر سکتی۔ اس خلا نے اضافیت مکانیات (relativistic mechanics) کو جنم دیا — ایک زیادہ مکمل ڈھانچہ جس نے کائنات کے بارے میں ہمارا نظریہ بدل دیا۔ البرٹ آئن سٹائن کا نظریہ اضافیت خصوصی، جو 1905 میں پیش ہوا، اس مسئلے کو اس تجویز سے حل کرتا ہے کہ طبیعیات کے قوانین تمام مشاہدہ کرنے والوں کے لیے یکساں ہیں اور روشنی کی رفتار مشاہدہ کرنے والے کی حرکت سے قطع نظر مستقل ہے۔
پہلے دو نظریوں کا فرق صاف کر لیں تاکہ کبھی خلط ملط نہ ہو۔ نظریہ اضافیت خصوصی انرشیل (غیر اسراعی) فریموں کے مسائل سے متعلق ہے، جبکہ نظریہ اضافیت عمومی ان فریموں سے متعلق ہے جو ایک دوسرے کے مقابلے میں اسراعی ہوں۔ یہ باب صرف خصوصی نظریے کے بارے میں ہے، اور یہ صرف دو مفروضوں پر کھڑا ہے:
۱۔ طبیعیات کے قوانین تمام انرشیل فریموں میں یکساں ہیں (اصولِ اضافیت)۔
۲۔ خلا میں روشنی کی رفتار تمام مشاہدہ کرنے والوں کے لیے یکساں ہے، چاہے ماخذ یا مشاہدہ کرنے والا حرکت کر رہا ہو یا نہیں (اصولِ ثباتِ روشنی)۔
پہلا مفروضہ کیوں اہم ہے؟ اگر مختلف فریموں میں طبیعیات کے قوانین مختلف ہوتے تو مشاہدہ کرنے والے یہ بتا سکتے کہ کون ساکن ہے اور کون حرکت کر رہا ہے۔ لیکن ایسا کوئی فرق موجود نہیں — مطلق یکساں حرکت کا پتہ لگانے کا کوئی طریقہ نہیں۔ کتاب کی خوبصورت مثال: اگر آپ روشنی کی رفتار سے چلتی ٹرین میں بیٹھے ہوں اور بازو کی دوری پر آئینہ اٹھائیں تو آپ کو اپنا عکس پھر بھی نظر آئے گا، کیونکہ کوئی تجربہ ٹرین کی مستقل حرکت کا پتہ نہیں لگا سکتا۔
دوسرا مفروضہ ایک تجرباتی حقیقت بیان کرتا ہے: خلا میں روشنی کی رفتار ایک عالمی مستقل ہے جسے c سے ظاہر کیا جاتا ہے (c = 3 × 108 m s−1)۔ چونکہ c مستقل ہے، اس لیے فضا اور وقت اضافی بن جاتے ہیں — اور اسی ایک نتیجے سے اس باب کی باقی سب باتیں نکلتی ہیں: گھڑیوں کا سست ہونا، لمبائیوں کا سکڑنا، کمیت کا بڑھنا، اور کمیت کا توانائی میں بدلنا۔
These simple postulates have far-reaching consequences, the book says — and the first one is strange enough to deserve a slow read. If two events in different locations are observed by one observer to be simultaneous, they will generally not be observed as simultaneous by another observer in a different frame of reference moving relative to the first observer. In other words, whether two events are seen as simultaneous depends on the observer's frame of reference. "At the same time" is not a fact stamped on the universe; it is a judgement made from a frame.
The book's example is a train fitted with light-operated doors. The light switch sits in the centre of the roof and is operated by a traveller standing in the middle of the compartment. When the train is travelling at half the speed of light, the traveller turns on the light. Light travels forward and backward at equal speed and reaches both doors at the same time. Consequently, the traveller sees both doors opening simultaneously.
But an observer outside the train sees something else. The back door is moving towards the light waves, while the front door is moving away from them — so the light meets the back door sooner. The outside observer will see the back door open before the front door. Both are reporting honestly. The traveller is right in his frame, the platform observer is right in hers, and there is no referee frame that can declare one of them wrong. That is what "simultaneity is relative" actually means, and it only becomes noticeable at speeds anywhere near light — at everyday speeds the difference is far too tiny to notice.
📌 For your information (book's side box): If you are in a frame of reference moving with a constant velocity from which you cannot see any other frame of reference, there is no way to know if you are moving or at rest. A closed, smoothly moving train feels exactly like a stationary one — which is why the traveller and the platform observer can disagree without either being fooled.
یہ سادہ مفروضے دور رس نتائج رکھتے ہیں — اور پہلا نتیجہ اتنا عجیب ہے کہ اسے آرام سے پڑھنا چاہیے۔ اگر مختلف مقامات پر ہونے والے دو واقعات ایک مشاہدہ کرنے والے کو ہم وقت (simultaneous) نظر آئیں تو عام طور پر وہ دوسرے مشاہدہ کرنے والے کو، جو پہلے کے مقابلے میں حرکت کرنے والے مختلف فریم میں ہو، ہم وقت نظر نہیں آئیں گے۔ دوسرے لفظوں میں، دو واقعات کا ہم وقت نظر آنا مشاہدہ کرنے والے کے فریم پر منحصر ہے۔ "ایک ہی وقت میں" کائنات پر لگی کوئی مہر نہیں، بلکہ ایک فریم سے کیا گیا فیصلہ ہے۔
کتاب کی مثال روشنی سے چلنے والے دروازوں والی ٹرین ہے۔ روشنی کا سوئچ چھت کے وسط میں ہے اور ڈبے کے درمیان کھڑا مسافر اسے چلاتا ہے۔ جب ٹرین روشنی کی رفتار کی آدھی رفتار سے سفر کر رہی ہو تو مسافر روشنی جلاتا ہے۔ روشنی آگے اور پیچھے برابر رفتار سے سفر کرتی ہے اور دونوں دروازوں تک ایک ہی وقت میں پہنچتی ہے۔ اس لیے مسافر دونوں دروازوں کو ایک ساتھ کھلتا دیکھتا ہے۔
لیکن ٹرین کے باہر کھڑا مشاہدہ کرنے والا کچھ اور دیکھتا ہے۔ پچھلا دروازہ روشنی کی لہروں کی طرف بڑھ رہا ہے، جبکہ اگلا دروازہ ان سے دور جا رہا ہے — اس لیے روشنی پچھلے دروازے سے پہلے ملتی ہے۔ باہر کا مشاہدہ کرنے والا پچھلا دروازہ پہلے اور اگلا دروازہ بعد میں کھلتا دیکھے گا۔ دونوں سچ بول رہے ہیں۔ مسافر اپنے فریم میں درست ہے، پلیٹ فارم کا مشاہدہ کرنے والا اپنے فریم میں درست ہے، اور کوئی تیسرا فریم یہ فیصلہ نہیں کر سکتا کہ ان میں سے کون غلط ہے۔ یہی "ہم وقتی کا اضافی ہونا" ہے، اور یہ صرف روشنی کے قریب رفتاروں پر نمایاں ہوتا ہے — روزمرہ کی رفتاروں پر یہ فرق اتنا چھوٹا ہوتا ہے کہ محسوس ہی نہیں ہوتا۔
According to the special theory of relativity, time is not an absolute quantity; it depends on the motion of the frame of reference. Suppose an observer is stationary in an inertial frame and measures the time interval between two events in this frame. Let this time interval be to. This is known as proper time — the time measured in the frame where the events happen at rest, so to speak. If the observer is moving with respect to the frame of events with a relativistic velocity v, or if the frame of events is moving with respect to the observer with a uniform relativistic velocity v, the time measured by the observer will not be to, but rather t, given by:
t = to / √(1 − v²/c²) … (11.1)
Read the formula slowly, because it tells the whole story. The quantity √(1 − v²/c²) is always less than one (as long as v is not zero), so dividing by it makes t greater than to. That is, time has dilated, or stretched, due to the relative motion of the observer and the frame of reference of the events. A moving clock, watched from outside, ticks more slowly. This astonishing result applies to all timing processes — physical, chemical and biological. Even the ageing process of the human body is slowed by motion at very high, relativistic speeds.
The book's own example drives it home. A traveller on a plane moving at 0.8c picks up and opens a book; the event takes one second as measured by the traveller. However, to a person standing outside the plane, the same event takes 1.7 seconds. Check it: √(1 − 0.8²) = √(1 − 0.64) = √0.36 = 0.6, and 1 / 0.6 = 1.67, which the book rounds to 1.7. Nothing is wrong with either clock. The traveller's second and the outsider's second are simply measured in different frames.
📌 For your information (book's side box): The faster you are moving, or close to a strong source of gravity, the slower the time goes for you. (The gravity half of that sentence belongs to the general theory, but the book puts it here as a teaser — the space-time section at the end picks it up again.)
نظریہ اضافیت خصوصی کے مطابق وقت کوئی مطلق مقدار نہیں ہے؛ یہ حوالہ جاتی فریم کی حرکت پر منحصر ہے۔ فرض کریں کہ ایک مشاہدہ کرنے والا انرشیل فریم میں ساکن ہے اور اس فریم میں دو واقعات کے درمیان وقفہ ناپتا ہے۔ اس وقفے کو to کہیں۔ یہ اصل وقت (proper time) کہلاتا ہے — یعنی وہ وقت جو اس فریم میں ناپا گیا ہو جہاں واقعات سکون کی حالت میں پیش آ رہے ہوں۔ اگر مشاہدہ کرنے والا واقعات کے فریم کے مقابلے میں اضافیت رفتار v سے حرکت کر رہا ہو، تو اس کے ناپا ہوا وقت to نہیں بلکہ t ہوگا، جو اس فارمولے سے ملتا ہے:
t = to / √(1 − v²/c²) … (11.1)
اس فارمولے کو آرام سے پڑھیں کیونکہ یہ پوری کہانی بیان کرتا ہے۔ مقدار √(1 − v²/c²) ہمیشہ ایک سے کم ہوتی ہے (جب تک v صفر نہ ہو)، اس لیے اس سے تقسیم کرنے پر t، to سے بڑا ہو جاتا ہے۔ یعنی مشاہدہ کرنے والے اور واقعات کے فریم کی اضافی حرکت کی وجہ سے وقت پھیل گیا ہے، یا کھنچ گیا ہے۔ باہر سے دیکھی جانے والی حرکت کرتی گھڑی آہستہ چلتی ہے۔ یہ حیران کن نتیجہ وقت ناپنے کے تمام عملوں پر لاگو ہوتا ہے — طبعی، کیمیائی اور حیاتیاتی۔ بہت زیادہ، یعنی اضافیت رفتاروں پر حرکت سے انسانی جسم کے بڑھاپے کا عمل بھی سست ہو جاتا ہے۔
کتاب کی اپنی مثال اسے واضح کر دیتی ہے۔ 0.8c کی رفتار سے چلتے جہاز میں مسافر کتاب اٹھا کر کھولتا ہے؛ مسافر کے مطابق اس واقعے میں ایک سیکنڈ لگتا ہے۔ لیکن جہاز کے باہر کھڑے شخص کے مطابق وہی واقعہ 1.7 سیکنڈ لیتا ہے۔ حساب دیکھیں: √(1 − 0.8²) = √0.36 = 0.6، اور 1 / 0.6 = 1.67، جسے کتاب نے 1.7 لکھا ہے۔ دونوں میں سے کوئی گھڑی خراب نہیں ہے۔ مسافر کا سیکنڈ اور باہر والے کا سیکنڈ صرف مختلف فریموں میں ناپے گئے ہیں۔
Here is the twin of time dilation, and students often mix the two up, so keep them separate in your mind: time stretches, but length shrinks. The distance from Earth to a star measured by an observer in a moving spaceship would appear smaller than the distance measured by an observer on the Earth. In other words, if you are in motion relative to two points that are fixed distance apart, the distance between the two points appears shorter than if you were at rest relative to them. This effect is known as length contraction.
Two details matter for exams. First, length contraction occurs only along the direction of motion; no such contraction is observed perpendicular to the direction of motion. A fast spaceship gets shorter nose-to-tail, but not thinner. Second, the book defines its terms carefully: the length of an object or the distance between two points measured by an observer who is at rest relative to them is called the proper length ℓo. If an object and an observer are in relative motion with speed v, then the contracted length ℓ is given by:
ℓ = ℓo √(1 − v²/c²) … (11.2)
Notice the difference from the time formula: here you multiply by the factor that is less than one, so ℓ comes out smaller than ℓo. The book's example is a train measured to be 100 metres long when at rest, travelling at 80% of the speed of light (0.8c). A person inside the train will still measure its length as 100 metres — in his own frame the train is at rest, so he measures the proper length. However, a person standing by the side of the track will observe the train to be only 60 metres long: 100 × √(1 − 0.64) = 100 × 0.6 = 60. This effect of relativity, which is the shortening of length in the direction of motion, is due to length contraction. And before you worry about trains shrinking on your commute: at everyday speeds v²/c² is so close to zero that the factor is essentially one, and nothing measurable happens.
یہ وقت کے پھیلاؤ کا جڑواں اثر ہے، اور طلبہ اکثر ان دونوں کو گڈمڈ کر دیتے ہیں، اس لیے انہیں ذہن میں الگ الگ رکھیں: وقت پھیلتا ہے، لیکن لمبائی سکڑتی ہے۔ حرکت کرتے خلائی جہاز میں موجود مشاہدہ کرنے والے کے مطابق زمین سے کسی ستارے تک کا فاصلہ زمین پر موجود مشاہدہ کرنے والے کے ناپے ہوئے فاصلے سے چھوٹا نظر آئے گا۔ دوسرے لفظوں میں، اگر آپ دو مقررہ نکات کے مقابلے میں حرکت کر رہے ہوں تو ان کے درمیان فاصلہ اس سے چھوٹا نظر آتا ہے جتنا کہ آپ ان کے مقابلے میں ساکن ہوتے ہوئے ناپتے۔ اس اثر کو لمبائی کا سکڑاؤ (length contraction) کہتے ہیں۔
امتحان کے لیے دو باتیں اہم ہیں۔ پہلی: لمبائی کا سکڑاؤ صرف حرکت کی سمت میں ہوتا ہے؛ حرکت کی سمت کے عموداً کوئی سکڑاؤ نظر نہیں آتا۔ تیز خلائی جہاز آگے سے پیچھے تک چھوٹا ہو جاتا ہے، لیکن پتلا نہیں ہوتا۔ دوسری: کتاب اصطلاحات احتیاط سے بیان کرتی ہے: کسی چیز کی لمبائی یا دو نکات کے درمیان فاصلہ جو اس مشاہدہ کرنے والے نے ناپا ہو جو ان کے مقابلے میں ساکن ہو، اصل لمبائی (proper length) ℓo کہلاتا ہے۔ اگر چیز اور مشاہدہ کرنے والا رفتار v سے اضافی حرکت میں ہوں تو سکڑی ہوئی لمبائی ℓ اس فارمولے سے ملتی ہے:
ℓ = ℓo √(1 − v²/c²) … (11.2)
وقت کے فارمولے سے فرق نوٹ کریں: یہاں ایک سے کم والے عامل سے ضرب دی جاتی ہے، اس لیے ℓ، ℓo سے چھوٹی نکلتی ہے۔ کتاب کی مثال: سکون کی حالت میں 100 میٹر لمبی ٹرین روشنی کی رفتار کے 80 فیصد (0.8c) سے سفر کر رہی ہے۔ ٹرین کے اندر موجود شخص اس کی لمبائی پھر بھی 100 میٹر ناپے گا — اپنے فریم میں ٹرین ساکن ہے، اس لیے وہ اصل لمبائی ناپ رہا ہے۔ لیکن پٹری کے کنارے کھڑا شخص ٹرین کو صرف 60 میٹر لمبی دیکھے گا: 100 × 0.6 = 60۔ روزمرہ کی رفتاروں پر پریشان ہونے کی ضرورت نہیں: v²/c² صفر کے اتنا قریب ہوتا ہے کہ عامل عملاً ایک کے برابر رہتا ہے اور کوئی قابلِ پیمائش تبدیلی نہیں آتی۔
According to the special theory of relativity, the mass of an object is a variable quantity that depends on the object's speed. An object whose mass is measured at rest is called its rest mass mo. It will have an increased mass m when observed to be moving at speed v. They are related by:
m = mo / √(1 − v²/c²) … (11.3)
The increase in mass indicates the increase in inertia that an object has at high speeds. That is the physical meaning students should hold on to: a fast-moving object resists changes to its motion more stubbornly than the same object at rest. As v approaches c, it requires a greater force to change the object's speed.
Now follow the formula to its limit, because the book does exactly that. As v → c, v²/c² → 1, therefore √(1 − v²/c²) → 0. Thus m → ∞. An infinite mass would require an infinite force to accelerate it. Since infinite forces are not available, an object cannot be accelerated to the speed of light c in free space. That is the whole argument in four lines, and it is worth memorising as a chain: faster → heavier (more inertia) → harder to push → at c, infinitely heavy → impossible to reach.
Why, then, do Newton's laws still work for us? The book answers that on the next page: in our everyday life we deal with speeds that are extremely small compared to the speed of light. Even Earth's orbital speed is only 30 km s−1, while the speed of light in free space is 300,000 km s−1. This is why Newton's laws are valid in everyday situations. However, when dealing with subatomic particles moving at velocities approaching the speed of light, relativistic effects become very prominent, and experimental results cannot be explained without considering Einstein's equations.
نظریہ اضافیت خصوصی کے مطابق کسی چیز کی کمیت ایک متغیر مقدار ہے جو اس چیز کی رفتار پر منحصر ہے۔ وہ کمیت جو سکون کی حالت میں ناپی جائے سکونی کمیت (rest mass) mo کہلاتی ہے۔ رفتار v سے حرکت کرتی ہوئی دیکھی جانے والی چیز کی کمیت m بڑھ جاتی ہے۔ ان کا تعلق اس فارمولے سے ہے:
m = mo / √(1 − v²/c²) … (11.3)
کمیت میں اضافہ اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ زیادہ رفتاروں پر چیز کی جمود (inertia) بڑھ جاتی ہے۔ یہی وہ طبعی مطلب ہے جسے ذہن میں رکھنا چاہیے: تیز حرکت کرتی چیز اپنی حرکت میں تبدیلی کی اسی ساکن چیز کے مقابلے میں زیادہ ضد سے مزاحمت کرتی ہے۔ جیسے جیسے v، c کے قریب آتا ہے، چیز کی رفتار بدلنے کے لیے زیادہ قوت درکار ہوتی ہے۔
اب اس فارمولے کو اس کی حد تک لے جائیں، کیونکہ کتاب بالکل یہی کرتی ہے۔ جب v → c تو v²/c² → 1، اس لیے √(1 − v²/c²) → 0۔ اس طرح m → ∞۔ لامتناہی کمیت کو اسراع دینے کے لیے لامتناہی قوت درکار ہوگی۔ چونکہ لامتناہی قوتیں دستیاب نہیں، اس لیے خلا میں کسی چیز کو روشنی کی رفتار c تک اسراع نہیں دیا جا سکتا۔ یہ پوری دلیل چار سطروں میں ہے اور اسے ایک زنجیر کی صورت میں یاد رکھنا چاہیے: تیز → بھاری (زیادہ جمود) → دھکیلنا مشکل → c پر لامتناہی بھاری → پہنچنا ناممکن۔
پھر نیوٹن کے قوانین ہمارے لیے کیوں کام کرتے ہیں؟ کتاب اگلے صفحے پر جواب دیتی ہے: ہماری روزمرہ زندگی میں ہم ایسی رفتاروں سے واسطہ رکھتے ہیں جو روشنی کی رفتار کے مقابلے میں انتہائی کم ہیں۔ زمین کی مداری رفتار بھی صرف 30 km s−1 ہے، جبکہ خلا میں روشنی کی رفتار 300,000 km s−1 ہے۔ اسی لیے روزمرہ حالات میں نیوٹن کے قوانین درست ہیں۔ لیکن جب روشنی کی رفتار کے قریب رفتاروں سے حرکت کرتے ذیلی جوہری ذرات سے واسطہ پڑے تو اضافیت اثرات بہت نمایاں ہو جاتے ہیں، اور آئن سٹائن کی مساواتوں پر غور کیے بغیر تجرباتی نتائج کی وضاحت نہیں ہو سکتی۔
This is the most famous equation in physics, and the book introduces it without any drama — which is fitting, because the idea itself is dramatic enough. According to the special theory of relativity, mass and energy are distinct entities but are interconvertible. The total energy E and mass m of an object are related by:
E = mc² … (11.4)
where m depends on the speed of the object. At rest, the energy equivalent of an object's mass mo is called its rest mass energy Eo. Thus Eo = moc². Now, since mc² is greater than moc², the difference of energy (mc² − moc²) is due to the motion, and it represents the kinetic energy of the mass. Hence:
K.E. = (m − mo)c²
From Eq. 11.4, the change in mass m due to a change in energy ΔE is given by Δm = ΔE / c². Read that slowly and the everyday mystery dissolves: because c² is a very large quantity, this implies that small changes in mass require very large changes in energy. In our everyday world, energy changes are too small to provide measurable mass changes. A hot cup of tea genuinely weighs a tiny bit more than a cold one — but the difference is far below anything a kitchen scale could ever detect, so nobody notices. However, energy and mass changes in nuclear reactions are found to be exactly in accordance with these equations, which is why nuclear reactions are where E = mc² stops being a slogan and starts being a measurement.
یہ طبیعیات کی سب سے مشہور مساوات ہے، اور کتاب اسے بغیر کسی شور شرابے کے پیش کرتی ہے — جو مناسب بھی ہے، کیونکہ یہ خیال خود ہی کافی ڈرامائی ہے۔ نظریہ اضافیت خصوصی کے مطابق کمیت اور توانائی الگ الگ چیزیں ہیں لیکن ایک دوسرے میں تبدیل ہو سکتی ہیں۔ کسی چیز کی کل توانائی E اور کمیت m کا تعلق اس مساوات سے ہے:
E = mc² … (11.4)
جہاں m چیز کی رفتار پر منحصر ہے۔ سکون کی حالت میں چیز کی کمیت mo کے برابر توانائی سکونی کمیت توانائی (rest mass energy) Eo کہلاتی ہے۔ اس طرح Eo = moc²۔ اب چونکہ mc²، moc² سے بڑا ہے، توانائی کا فرق (mc² − moc²) حرکت کی وجہ سے ہے، اور یہ کمیت کی حرکی توانائی کو ظاہر کرتا ہے۔ اس لیے:
K.E. = (m − mo)c²
مساوات 11.4 سے، توانائی میں تبدیلی ΔE کی وجہ سے کمیت میں تبدیلی Δm = ΔE / c² ہوتی ہے۔ اسے آرام سے پڑھیں تو روزمرہ کا راز کھل جاتا ہے: چونکہ c² ایک بہت بڑی مقدار ہے، اس لیے کمیت میں چھوٹی تبدیلیوں کے لیے توانائی میں بہت بڑی تبدیلیاں درکار ہوتی ہیں۔ ہماری روزمرہ دنیا میں توانائی کی تبدیلیاں اتنی چھوٹی ہوتی ہیں کہ کمیت میں قابلِ پیمائش تبدیلی پیدا نہیں کر سکتیں۔ گرم چائے کا کپ ٹھنڈے کپ سے واقعی ذرا سا بھاری ہوتا ہے — لیکن یہ فرق کسی بھی ترازو کی پہنچ سے بہت نیچے ہے، اس لیے کوئی محسوس نہیں کرتا۔ البتہ جوہری تعاملات میں توانائی اور کمیت کی تبدیلیاں بالکل انہی مساواتوں کے مطابق پائی جاتی ہیں، اور یہی وہ جگہ ہے جہاں E = mc² ایک نعرے سے نکل کر ایک پیمائش بن جاتا ہے۔
Space, the book reminds us, is said to be a three-dimensional extent in which all objects and events occur. It provides a framework to define the position and motion of various objects under the influence of some force. Time, meanwhile, measures the sequence and duration of events. In the theory of relativity, time is not absolute; it is considered the fourth dimension. For example, oscillatory motion, such as that of a swinging pendulum, relies on time to determine the frequency of oscillations. Another example is time dilation, a phenomenon discussed earlier in this chapter, where time passes more slowly for an observer moving at extremely high speeds compared to one at rest.
The special theory of relativity explains that space and time are related to each other. It describes how space and time are influenced by gravity and speed, such as the bending of light around massive objects like stars. Space-time is, in fact, a mathematical model that unifies space and time into a single continuum. It is a concept used to describe all points of space and time and their relation to each other. According to Einstein's theory, space-time is curved especially near massive bodies and for speeds approaching the speed of light.
We can hypothetically visualise this as a fabric sheet. If a heavy ball is placed over this sheet, it curves, as shown in Fig. 11.2 of the book. Objects such as stars and planets cause space-time to curve around themselves, much like an elastic fabric deforms when holding a ball. The more massive the object, the deeper the curve. Consequently, we do not speak of a force of gravity acting on bodies; instead, we say that bodies and light rays move along geodesics (analogous to straight lines in plane geometry) in curved space-time. Thus, a body at rest or moving slowly near a massive object would follow a geodesic toward that object. That is a strange sentence the first time you meet it, so say it in your own words: things do not fall because something pulls them; they fall because the "ground" they travel on is curved.
One warning about the picture, because pictures can mislead: the fabric sheet is a two-dimensional analogy for something that is really four-dimensional, and the sheet in the drawing is being pulled down by ordinary gravity — which is exactly the thing the analogy is trying to explain away. Treat it as a helpful sketch, not as a photograph of space-time. The book itself calls it a hypothetical visualisation, and so should you.
کتاب یاد دلاتی ہے کہ فضا (space) ایک تین جہتی وسعت ہے جس میں تمام چیزیں اور واقعات رونما ہوتے ہیں۔ یہ کسی قوت کے زیرِ اثر مختلف چیزوں کی جگہ اور حرکت بیان کرنے کا ڈھانچہ فراہم کرتی ہے۔ وقت، اس دوران، واقعات کی ترتیب اور مدت ناپتا ہے۔ نظریہ اضافیت میں وقت مطلق نہیں ہے؛ اسے چوتھی جہت سمجھا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، جھولتے پینڈولم جیسی ارتعاشی حرکت ارتعاش کی تعدد معلوم کرنے کے لیے وقت پر انحصار کرتی ہے۔ دوسری مثال وقت کا پھیلاؤ ہے، جس کا ذکر اس باب میں پہلے ہوا، جہاں انتہائی زیادہ رفتار سے حرکت کرتے مشاہدہ کرنے والے کے لیے وقت ساکن شخص کے مقابلے میں آہستہ گزرتا ہے۔
نظریہ اضافیت خصوصی بتاتا ہے کہ فضا اور وقت ایک دوسرے سے جڑے ہوئے ہیں۔ یہ بیان کرتا ہے کہ فضا اور وقت کششِ ثقل اور رفتار سے کیسے متاثر ہوتے ہیں، جیسے ستاروں جیسی بھاری چیزوں کے گرد روشنی کا مڑنا۔ زمان و مکاں (space-time) دراصل ایک ریاضیاتی ماڈل ہے جو فضا اور وقت کو ایک ہی تسلسل میں یکجا کر دیتا ہے۔ یہ ایک تصور ہے جو فضا اور وقت کے تمام نکات اور ان کے آپس کے تعلق کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ آئن سٹائن کے نظریے کے مطابق، زمان و مکاں بھاری اجسام کے قریب اور روشنی کی رفتار کے قریب رفتاروں پر خمیدہ ہو جاتا ہے۔
ہم اسے فرضی طور پر کپڑے کی چادر کی صورت میں تصور کر سکتے ہیں۔ اگر اس چادر پر کوئی بھاری گیند رکھی جائے تو وہ خم کھا جاتی ہے، جیسا کہ کتاب کی شکل 11.2 میں دکھایا گیا ہے۔ ستاروں اور سیاروں جیسی چیزیں اپنے گرد زمان و مکاں کو خمیدہ کر دیتی ہیں، بالکل اسی طرح جیسے لچکدار کپڑا گیند اٹھاتے ہوئے دب جاتا ہے۔ چیز جتنی بھاری ہو، خم اتنا ہی گہرا ہوتا ہے۔ اس لیے ہم اجسام پر عمل کرتی کششِ ثقل کی قوت کی بات نہیں کرتے؛ بلکہ ہم کہتے ہیں کہ اجسام اور روشنی کی شعاعیں خمیدہ زمان و مکاں میں جیوڈیسک (geodesics — مستوی ہندسے میں سیدھی لکیروں کے مشابہ) پر حرکت کرتی ہیں۔ اس طرح، کسی بھاری چیز کے قریب ساکن یا آہستہ حرکت کرتا جسم اس چیز کی طرف جیوڈیسک پر چلے گا۔ پہلی بار یہ جملہ عجیب لگتا ہے، اس لیے اسے اپنے الفاظ میں کہیں: چیزیں اس لیے نہیں گرتیں کہ کوئی چیز انہیں کھینچتی ہے؛ وہ اس لیے گرتی ہیں کہ جس "زمین" پر وہ سفر کر رہی ہیں وہ خمیدہ ہے۔
Einstein's theory provides a physical picture of how gravity works. Newton discovered the inverse square law of gravity but explicitly stated that he offered no explanation for why gravity should follow this law. Einstein's theory also describes gravity as following an inverse square law (except in strong gravitational fields), but it explains why this is so. This is why Einstein's theory is considered an advancement over Newton's, even though it encompasses Newton's theory and yields the same results as Newton's theory in all but very strong gravitational fields.
The bending of starlight caused by the Sun's gravity was measured during a solar eclipse in 1919. The results matched Einstein's theory rather than Newton's, leading to Einstein's theory being hailed as a scientific triumph. Here is how the book's picture works: light from a distant star is deflected as it passes close to the Sun on its way to Earth. We see the star in its apparent direction, shifted by the angle φ. Einstein predicted that φ = 1.745 seconds of angle, which was found to be the same during the solar eclipse of 1919.
Another success of Einstein's theory was the detection of gravitational waves, produced by some celestial events causing disturbances (squeezes and stretches) in the curvature of space-time. These waves were detected in 2015 and announced in 2016. The book's learning objective even pictures them as a metaphorical sheet of paper that can bend, and when it bends it can cause effects such as stretching and compression seen when gravitational waves pass through objects. That is worth remembering for the short questions: gravitational waves are ripples in space-time itself, not waves travelling through space like sound travels through air.
Finally, the book closes with a Hypothetical Example of Space Time that ties the whole chapter together. Let a spaceship be travelling to a star with half of the speed of light. Let it take eight years to reach the star, from the point of view of the observer on the Earth. From the Earth's point of view, the clocks on the spaceship are moving slowly, so that less time passes on the spaceship compared to the Earth. For the spaceship occupants, the length of the journey has contracted, which they cover in less time. The occupants of the spaceship record 7 years to reach their destination, rather than 8 years. One journey, two honest clocks — time dilation for the Earth observer, length contraction for the crew — and the same relativity underneath both. (A quick check for the careful reader: 8 × √(1 − 0.5²) = 8 × 0.866 = 6.93 years, which the book rounds to 7. The book's number is a rounded one, not a different answer.)
📌 Interesting information (book's side box): If you are on some spaceship moving extremely fast through space near a black hole like in the movie "Interstellar", then you could miss 7 years on the Earth in every hour. That is time dilation pushed to an extreme — a film illustration of the same formula from section 5, not a measured mission result, so quote it as the book presents it: a "what if", not a timetable.
📌 Interesting information (book's side box, starlight bending): Bending of starlight by the Sun: light from the star A is deflected as it passes close to the Sun on its way to Earth. We see the star in the apparent direction B, shifted by the angle φ. Einstein predicted that φ = 1.745 seconds of angle, which was found to be the same during the solar eclipse of 1919.
آئن سٹائن کا نظریہ کششِ ثقل کے کام کرنے کی طبعی تصویر پیش کرتا ہے۔ نیوٹن نے کششِ ثقل کا معکوس مربع قانون دریافت کیا لیکن واضح طور پر کہا کہ اس نے اس کی کوئی وضاحت پیش نہیں کی کہ کششِ ثقل کو اس قانون کی پیروی کیوں کرنی چاہیے۔ آئن سٹائن کا نظریہ بھی کششِ ثقل کو معکوس مربع قانون کی پیروی کرتا ہوا بیان کرتا ہے (مضبوط ثقلی میدانوں کے سوا)، لیکن یہ بتاتا ہے کہ ایسا کیوں ہے۔ یہی وجہ ہے کہ آئن سٹائن کے نظریے کو نیوٹن کے نظریے پر پیشرفت سمجھا جاتا ہے، حالانکہ یہ نیوٹن کے نظریے کو اپنے اندر سموئے ہوئے ہے اور بہت مضبوط ثقلی میدانوں کے سوا ہر جگہ نیوٹن کے نظریے جیسے ہی نتائج دیتا ہے۔
سورج کی کششِ ثقل کی وجہ سے ستاروں کی روشنی کا مڑنا 1919 کے سورج گرہن کے دوران ناپا گیا۔ نتائج نیوٹن کے بجائے آئن سٹائن کے نظریے سے مطابقت رکھتے تھے، جس کی وجہ سے آئن سٹائن کے نظریے کو سائنسی فتح قرار دیا گیا۔ کتاب کی تصویر یوں کام کرتی ہے: دور ستارے کی روشنی زمین کی طرف آتے ہوئے سورج کے قریب سے گزرتے ہوئے مڑ جاتی ہے۔ ہم ستارے کو اس کی ظاہری سمت میں دیکھتے ہیں جو زاویہ φ سے ہٹی ہوئی ہوتی ہے۔ آئن سٹائن نے پیش گوئی کی تھی کہ φ = 1.745 سیکنڈ زاویہ ہے، اور 1919 کے سورج گرہن کے دوران یہی پایا گیا۔
آئن سٹائن کے نظریے کی ایک اور کامیابی ثقلی لہروں کا پتہ چلنا تھا، جو بعض فلکیاتی واقعات کی وجہ سے زمان و مکاں کے خم میں خلل (دباؤ اور کھنچاؤ) سے پیدا ہوتی ہیں۔ یہ لہریں 2015 میں دریافت ہوئیں اور 2016 میں ان کا اعلان ہوا۔ ان کو یوں یاد رکھیں: ثقلی لہریں خود زمان و مکاں میں لہریں ہیں، ہوا میں آواز کی طرح فضا میں سفر کرتی لہریں نہیں۔
آخر میں کتاب زمان و مکاں کی فرضی مثال سے پورے باب کو سمیٹتی ہے۔ فرض کریں کہ ایک خلائی جہاز روشنی کی رفتار کی آدھی رفتار سے کسی ستارے کی طرف سفر کر رہا ہے۔ زمین پر موجود مشاہدہ کرنے والے کے مطابق اسے ستارے تک پہنچنے میں آٹھ سال لگیں۔ زمین کے نقطہ نظر سے خلائی جہاز کی گھڑیاں آہستہ چل رہی ہیں، اس لیے خلائی جہاز پر زمین کے مقابلے میں کم وقت گزرتا ہے۔ خلائی جہاز کے مسافروں کے لیے سفر کی لمبائی سکڑ گئی ہے جسے وہ کم وقت میں طے کرتے ہیں۔ خلائی جہاز کے مسافر اپنی منزل تک پہنچنے میں 8 سال کے بجائے 7 سال ریکارڈ کرتے ہیں۔ ایک سفر، دو دیانت دار گھڑیاں — زمین کے مشاہدہ کرنے والے کے لیے وقت کا پھیلاؤ، عملے کے لیے لمبائی کا سکڑاؤ — اور دونوں کے نیچے وہی اضافیت۔ (محتاط قاری کے لیے حساب: 8 × √(1 − 0.5²) = 8 × 0.866 = 6.93 سال، جسے کتاب نے 7 لکھا ہے۔ کتاب کا عدد ایک گول شدہ عدد ہے، کوئی مختلف جواب نہیں۔)
The book solves three examples, and each one is a one-line use of a formula from this chapter — which is exactly why they are good revision. Work them yourself first, then check.
Example 11.1 (time dilation). The period of a pendulum is measured to be 3.0 s in the inertial reference frame of the pendulum. What is its period measured by an observer moving at a speed of 0.95c with respect to the pendulum? Given: to = 3.0 s, v = 0.95c, find t. Using t = to / √(1 − v²/c²): t = 3.0 / √(1 − (0.95c)²/c²) = 3.0 / √(1 − (0.95)²) = 3.0 / √(1 − 0.9025) = 3.0 / √0.0975 = 3.0 / 0.3122 = 9.6 s. The moving observer's clock reads a stretched period — time dilation again, this time nearly tripling the period because 0.95c is so close to c.
Example 11.2 (length contraction). A bar 1.0 m in length and located along the x-axis moves with a speed of 0.75c with respect to a stationary observer. What is the length of the bar as measured by the stationary observer? Given: ℓo = 1.0 m, v = 0.75c, find ℓ. Using ℓ = ℓo√(1 − v²/c²): ℓ = 1.0 × √(1 − (0.75c)²/c²) = 1.0 × √(1 − (0.75)²) = 1.0 × √(1 − 0.5625) = 1.0 × √0.4375 = 1.0 × 0.6614 = 0.66 m. Only the length along the motion shrinks; the bar's thickness across the motion is untouched.
Example 11.3 (mass variation). Find the mass m of a moving object with speed 0.8c. Using m = mo / √(1 − v²/c²): m = mo / √(1 − (0.8c)²/c²) = mo / √(1 − (0.8)²) = mo / √0.36 = mo / 0.6 = 1.67 mo. Note what the book does here: it leaves the answer as a multiple of the rest mass, because the question gives no value for mo — a good habit to copy. If a question gives no rest mass, the answer is a ratio, not a number in kilograms.
کتاب تین مثالیں حل کرتی ہے، اور ہر ایک اس باب کے کسی فارمولے کا ایک سطری استعمال ہے — اور یہی وجہ ہے کہ یہ اعادہ کے لیے بہترین ہیں۔ پہلے خود حل کریں، پھر جواب چیک کریں۔
مثال 11.1 (وقت کا پھیلاؤ)۔ پینڈولم کا دورانیہ اس کے اپنے انرشیل فریم میں 3.0 سیکنڈ ناپا گیا ہے۔ پینڈولم کے مقابلے میں 0.95c کی رفتار سے حرکت کرتے مشاہدہ کرنے والے کے مطابق اس کا دورانیہ کیا ہوگا؟ دیا گیا ہے: to = 3.0 s، v = 0.95c، معلوم کرنا ہے t۔ فارمولا t = to / √(1 − v²/c²) استعمال کریں: t = 3.0 / √(1 − 0.9025) = 3.0 / 0.3122 = 9.6 s۔ حرکت کرتے مشاہدہ کرنے والے کی گھڑی پھیلا ہوا دورانیہ پڑھتی ہے — کیونکہ 0.95c، c کے بہت قریب ہے، دورانیہ تقریباً تین گنا ہو گیا ہے۔
مثال 11.2 (لمبائی کا سکڑاؤ)۔ x-axis پر واقع 1.0 میٹر لمبی سلاخ ساکن مشاہدہ کرنے والے کے مقابلے میں 0.75c کی رفتار سے حرکت کر رہی ہے۔ ساکن مشاہدہ کرنے والے کے مطابق سلاخ کی لمبائی کیا ہوگی؟ دیا گیا ہے: ℓo = 1.0 m، v = 0.75c، معلوم کرنا ہے ℓ۔ فارمولا ℓ = ℓo√(1 − v²/c²) استعمال کریں: ℓ = 1.0 × √(1 − 0.5625) = 1.0 × 0.6614 = 0.66 m۔ صرف حرکت کی سمت والی لمبائی سکڑتی ہے؛ حرکت کے عموداً سلاخ کی موٹائی متاثر نہیں ہوتی۔
مثال 11.3 (کمیت میں تبدیلی)۔ 0.8c کی رفتار سے حرکت کرتی چیز کی کمیت m معلوم کریں۔ فارمولا m = mo / √(1 − v²/c²) استعمال کریں: m = mo / √0.36 = mo / 0.6 = 1.67 mo۔ نوٹ کریں کہ کتاب نے جواب سکونی کمیت کے کئی گنا کے طور پر چھوڑا ہے، کیونکہ سوال میں mo کی کوئی قیمت نہیں دی گئی — یہ اچھی عادت ہے۔ اگر سوال میں سکونی کمیت نہ دی گئی ہو تو جواب نسبت ہوگا، کلوگرام میں عدد نہیں۔
The book's exercise (printed pages 252–253) has five parts: Multiple Choice Questions (5), Short Answer Questions (10), Constructed Response Questions (5), Comprehensive Questions (3) and Numerical Problems (8) — 31 questions in total, and every one is answered below. There is no separate inquisitive or review section in this chapter's exercise, so none is invented here. Book answers printed with the numericals are checked against the working shown; where an answer is derived rather than taken from a dedicated book passage, that is said plainly in the answer itself.
11.1. Relativistic mechanic yields results different from classical mechanics for objects moving with:
Answer: (d) velocity approaching that of light — At everyday, low speeds the relativistic factor √(1 − v²/c²) is practically 1, so relativistic and classical results agree; the difference only becomes prominent when v gets anywhere near c, as the book says for subatomic particles at such speeds. روزمرہ کی کم رفتاروں پر اضافیت عامل تقریباً 1 ہوتا ہے، اس لیے کلاسیکی اور اضافیت نتائج ایک جیسے ہوتے ہیں؛ فرق صرف اس وقت نمایاں ہوتا ہے جب رفتار روشنی کی رفتار کے قریب پہنچ جائے۔
11.2. If an observer is moving in the same direction as a sound wave, the velocity of the wave seems to be:
Answer: (b) less — This is ordinary relative motion: walking after a sound wave, you meet its crests more slowly, so the wave's speed relative to you is its speed minus yours. (Note the contrast the chapter is quietly setting up: sound behaves this way, but light does not — light's speed stays c for every observer.) یہ عام اضافی حرکت ہے: آواز کی لہر کے پیچھے چلنے پر وہ آپ کے مقابلے میں آہستہ محسوس ہوتی ہے، کیونکہ اس کی رفتار میں سے آپ کی رفتار کم ہو جاتی ہے۔ لیکن روشنی کے ساتھ ایسا نہیں ہوتا — اس کی رفتار ہر مشاہدہ کرنے والے کے لیے c ہی رہتی ہے۔
11.3. If the rest mass of a particle mo increases to m due to its high speed, then its kinetic energy is:
Answer: (c) (m − mo) c² — Straight from §11.4: total energy mc² minus rest energy moc² leaves the energy of motion, (m − mo)c². Option (b) is the old classical formula ½mv², which fails at relativistic speeds; options (a) and (d) mix the two up. یہ براہِ راست §11.4 سے ہے: کل توانائی mc² میں سے سکونی توانائی moc² کم کریں تو حرکت کی توانائی (m − mo)c² بچتی ہے۔ پرانا کلاسیکی فارمولا ½mv² اضافیت رفتاروں پر کام نہیں کرتا۔
11.4. The speed of beam light of a car while moving with high speed as compared to its rest position is:
Answer: (c) same — Second postulate: the speed of light in free space is c for all observers, whether the source moves or not. The car's speed does not add to its headlight beam, exactly as the book's "Do you know?" box shows with the car and the roadside observer. دوسرا مفروضہ: خلا میں روشنی کی رفتار تمام مشاہدہ کرنے والوں کے لیے c ہے، چاہے ماخذ حرکت کر رہا ہو یا نہیں۔ کار کی رفتار اس کی ہیڈلائٹ کی روشنی میں جمع نہیں ہوتی۔
11.5. A photon is a particle of light. What is its mass when it moves with 0.9 c?
Answer: (d) Zero — ⚠️ Flagged — flawed stem, keyed as the book intends: a photon never moves at 0.9c; it always moves at c in free space, so "when it moves with 0.9c" cannot literally happen. What the question is really testing is the photon's rest mass, which is zero — and that is the intended key, (d). Options (a) and (b) are traps: 9.1 × 10−31 kg is the electron's rest mass and 1.67 × 10−27 kg is the proton's/neutron's rest mass, neither of which belongs to a photon. ⚠️ انتباہ — سوال کی صورت ناقص ہے: فوٹون کبھی 0.9c سے نہیں چلتا، وہ ہمیشہ c سے چلتا ہے۔ سوال دراصل فوٹون کی سکونی کمیت پوچھ رہا ہے جو صفر ہے، اس لیے مطلوبہ جواب (d) ہے۔
An inertial frame is a coordinate system in which the law of inertia is valid: a body at rest remains at rest unless an unbalanced force acts on it, and the other laws of nature apply normally. The Earth (treated as inertial despite its small rotation/revolution acceleration) and any frame moving with uniform velocity relative to it are inertial frames. A non-inertial frame is an accelerated frame: the law of inertia appears to fail there — for example, when a car suddenly brakes or accelerates, a body inside lurches even though no one pushed it, so the car in that moment is not an inertial frame. انرشیل فریم وہ مختصاتی نظام ہے جس میں قانونِ جمود درست ہو: ساکن جسم بغیر غیر متوازن قوت کے ساکن رہتا ہے۔ نان انرشیل فریم اسراعی فریم ہے جس میں قانونِ جمود بظاہر ناکام نظر آتا ہے، جیسے اچانک بریک لگنے پر کار کے اندر جسم کا آگے جھٹکا کھانا۔
1. Principle of Relativity: the laws of physics are the same in all inertial frames — no experiment can detect absolute uniform motion. 2. Principle of Constancy of Light: the speed of light in free space has the same value, c = 3 × 108 m s−1, for all observers, regardless of the motion of the source or the observer. Everything else in the chapter — time dilation, length contraction, mass increase, E = mc² — follows from these two. ۱۔ اصولِ اضافیت: طبیعیات کے قوانین تمام انرشیل فریموں میں یکساں ہیں۔ ۲۔ اصولِ ثباتِ روشنی: خلا میں روشنی کی رفتار تمام مشاہدہ کرنے والوں کے لیے c = 3 × 108 m s−1 ہے، چاہے ماخذ یا مشاہدہ کرنے والا حرکت کر رہا ہو یا نہیں۔
From m = mo / √(1 − v²/c²): as v → c, the denominator √(1 − v²/c²) → 0, so m → ∞. An infinite mass would need an infinite force to accelerate further, and infinite forces are not available. Therefore no material particle (which has a non-zero rest mass mo) can be accelerated to c in free space. The closer it gets, the heavier and harder to push it becomes — the speed of light is a limit you approach but never reach. فارمولا m = mo / √(1 − v²/c²) سے: جب v، c کے قریب آتا ہے تو مخرج صفر کی طرف جاتا ہے اور m لامتناہی ہو جاتا ہے۔ لامتناہی کمیت کو اسراع دینے کے لیے لامتناہی قوت چاہیے جو دستیاب نہیں، اس لیے کوئی مادی ذرہ روشنی کی رفتار تک نہیں پہنچ سکتا۔
No — it extends them, it does not throw them away. ⚠️ Derived answer (no dedicated book passage states this in one place): the book says Newton's laws are valid in everyday situations, because everyday speeds are extremely small compared to c, so the relativistic factor is essentially 1 and relativistic formulas reduce to Newton's. Relativity only changes the results at speeds approaching c or in very strong gravitational fields, where Newton cannot explain the observations. Think of it as Newton being the low-speed special case of Einstein, not a rival that lost. نہیں — اضافیت نیوٹن کے قوانین کو پھینکتی نہیں بلکہ ان کی توسیع کرتی ہے۔ روزمرہ کی کم رفتاروں پر اضافیت عامل تقریباً 1 ہوتا ہے، اس لیے نیوٹن کے قوانین درست رہتے ہیں؛ فرق صرف روشنی کے قریب رفتاروں پر ظاہر ہوتا ہے۔
Proper time to is the time interval between two events measured by an observer who is stationary in the frame where the events occur — the "home frame" reading, before any dilation. Any observer moving relative to that frame measures the dilated time t = to / √(1 − v²/c²), which is longer. Proper length ℓo is the length of an object (or distance between two points) measured by an observer at rest relative to it — the longest, uncontracted reading. A moving observer measures the contracted length ℓ = ℓo√(1 − v²/c²), which is shorter. In short: proper = measured at rest relative to the thing; anything else is dilated or contracted. اصل وقت to وہ وقفہ ہے جو اس فریم میں ناپا جائے جہاں واقعات پیش آ رہے ہوں؛ حرکت کرتا مشاہدہ کرنے والا پھیلا ہوا وقت t ناپتا ہے۔ اصل لمبائی ℓo وہ لمبائی ہے جو چیز کے مقابلے میں ساکن مشاہدہ کرنے والا ناپے؛ حرکت کرتا مشاہدہ کرنے والا سکڑی ہوئی لمبائی ℓ ناپتا ہے۔
Relativistic mass m = mo / √(1 − v²/c²): the mass of an object as measured by an observer relative to whom it moves at speed v — always larger than the rest mass mo, and growing without limit as v → c. Relativistic (contracted) length ℓ = ℓo√(1 − v²/c²): the length measured by such an observer, along the direction of motion only — always shorter than the proper length. Relativistic (dilated) time t = to / √(1 − v²/c²): the time interval measured by such an observer — always longer than the proper time. One factor, √(1 − v²/c²), controls all three: mass and time divide by it (so they grow), length multiplies by it (so it shrinks). اضافیت کمیت m = mo / √(1 − v²/c²) ہمیشہ سکونی کمیت سے بڑی ہوتی ہے۔ اضافیت لمبائی ℓ = ℓo√(1 − v²/c²) صرف حرکت کی سمت میں سکونی لمبائی سے چھوٹی ہوتی ہے۔ اضافیت وقت t = to / √(1 − v²/c²) ہمیشہ اصل وقت سے بڑا ہوتا ہے۔
Because mass, in relativity, is not a fixed label stamped on an object — it measures the object's inertia as seen from a frame, and that inertia grows with speed through m = mo / √(1 − v²/c²). Physically, the faster an object moves, the more its energy of motion adds to its total energy E = mc², and since energy and mass are interconvertible, that extra energy shows up as extra mass. The practical meaning: a fast object resists being pushed around more than the same object at rest, and as v → c the resistance becomes infinite, which is why c cannot be reached. کیونکہ اضافیت میں کمیت چیز پر لگی کوئی مقررہ مہر نہیں — یہ فریم کے لحاظ سے چیز کی جمود کی پیمائش ہے جو رفتار کے ساتھ m = mo / √(1 − v²/c²) کے مطابق بڑھتی ہے۔ حرکت کی توانائی کل توانائی E = mc² میں اضافہ کرتی ہے، اور چونکہ توانائی اور کمیت ایک دوسرے میں بدل سکتی ہیں، یہ اضافی توانائی اضافی کمیت کی صورت میں ظاہر ہوتی ہے۔
No. ⚠️ Derived answer (assembled from §11.5, which does not ask the question in this form): the chapter's whole argument is that space and time are not absolute: time dilates with motion, length contracts with motion, and simultaneity itself depends on the frame. What relativity keeps absolute is the speed of light c and the laws of physics — those are the same in every inertial frame. Space-time replaces the old separate absolutes (absolute space, absolute time) with one unified, flexible continuum that curves near massive bodies and depends on motion. So: motion is relative, space-time is relative and curved — only c and the laws are invariant. نہیں۔ اس باب کی پوری دلیل یہ ہے کہ فضا اور وقت مطلق نہیں: وقت حرکت سے پھیلتا ہے، لمبائی حرکت سے سکڑتی ہے، اور ہم وقتی کا انحصار فریم پر ہے۔ مطلق صرف روشنی کی رفتار c اور طبیعیات کے قوانین ہیں جو ہر انرشیل فریم میں یکساں رہتے ہیں۔
Two routes lead to the same wall. First, the mass route: m = mo / √(1 − v²/c²) → ∞ as v → c, so accelerating a material object to c would need infinite force, which does not exist. Second, the postulate route: c is the same for every observer, so no observer can ever see light "catch up" or be overtaken — you cannot add your own speed to light's speed the way you can with sound (see MCQ 11.2 vs 11.4). Together they make c not just a fast speed but a structural limit of the universe: material objects stay below it, and only massless light itself travels at it. دو راستے ایک ہی دیوار تک لے جاتے ہیں۔ پہلا، کمیت کا راستہ: v → c پر m لامتناہی ہو جاتا ہے، اس لیے c تک اسراع کے لیے لامتناہی قوت چاہیے جو موجود نہیں۔ دوسرا، مفروضے کا راستہ: c ہر مشاہدہ کرنے والے کے لیے یکساں ہے، اس لیے آپ اپنی رفتار روشنی کی رفتار میں جمع نہیں کر سکتے۔ یوں c صرف ایک تیز رفتار نہیں بلکہ کائنات کی ساختی حد ہے۔
Book-grounded examples: (1) the bending of starlight by the Sun's gravity, measured during the solar eclipse of 1919, matching Einstein's predicted deflection of 1.745 seconds of angle rather than Newton's value; (2) gravitational waves — ripples in space-time itself — detected in 2015 and announced in 2016; (3) nuclear reactions, where mass and energy changes follow E = mc² exactly; (4) the book's own time-dilation and length-contraction cases (the 0.8c traveller's 1-second act taking 1.7 s outside, the 100 m train seen as 60 m) which are the same effects measured daily with fast subatomic particles in accelerators — the book notes that at such speeds experimental results cannot be explained without Einstein's equations. ⚠️ Flag: the accelerator/particle wording in (4) generalises the book's statement; the book does not name a specific particle experiment in this chapter. کتاب سے مثالیں: (۱) 1919 کے سورج گرہن میں سورج کی کشش سے ستاروں کی روشنی کا مڑنا جو آئن سٹائن کی پیش گوئی 1.745 سیکنڈ زاویہ سے مطابقت رکھتا تھا؛ (۲) 2015 میں دریافت شدہ ثقلی لہریں؛ (۳) جوہری تعاملات جہاں E = mc² بالکل درست ثابت ہوتا ہے؛ (۴) تیز ذیلی جوہری ذرات کے ساتھ تجربات جن کی وضاحت آئن سٹائن کی مساواتوں کے بغیر نہیں ہو سکتی۔
No. Sound is a wave in a medium (air), so its speed relative to you changes when you move towards or away from the source — walk after a sound wave and it seems slower (MCQ 11.2). Light needs no medium, and the second postulate fixes its speed in free space at c for every observer, moving or not. The book's car-flashlight box is the proof picture: the driver and the roadside observer measure the same c. So the sound rule is classical relative motion; light is the exception that forced a new theory. نہیں۔ آواز ہوا جیسے واسطے میں لہر ہے، اس لیے مشاہدہ کرنے والے کی حرکت سے اس کی رفتار بدلتی ہے۔ روشنی کو کسی واسطے کی ضرورت نہیں، اور دوسرا مفروضہ خلا میں اس کی رفتار ہر مشاہدہ کرنے والے کے لیے c مقرر کرتا ہے۔ یہی وہ استثنا ہے جس نے نیا نظریہ مجبور کیا۔
We can see the star — its light still reaches us, travelling at c as always — but we can never see a material star itself moving at c, because a material object cannot reach c (Short 11.3: infinite mass, infinite force needed). What we would observe is its light, redshifted by its motion, arriving at c regardless of how fast the star recedes. So the answer splits in two: the light, yes, always at c; the star as a material body moving at c, never. ⚠️ Derived answer: the book does not discuss receding stars in this chapter; this follows from the second postulate and the mass-limit argument. ستارے کی روشنی تو ہمیشہ c سے ہم تک پہنچتی ہے، لیکن کوئی مادی ستارہ خود c سے حرکت کرتا ہوا کبھی نہیں دیکھا جا سکتا، کیونکہ مادی چیز c تک پہنچ ہی نہیں سکتی۔ روشنی ہاں، ہمیشہ c سے؛ ستارہ بطور مادی جسم c سے، کبھی نہیں۔
⚠️ Derived thought experiment (the book asks it but gives no passage answering it): relativity would stop being invisible. At 50 m s−1, ordinary human speeds would be a noticeable fraction of c, so the factor √(1 − v²/c²) would differ measurably from 1 in daily life. A cyclist at 10 m s−1 (0.2c) would age measurably slower than a bystander (factor 0.98 — a 2% effect, not a rounding error); a fast car would visibly shorten along its motion; two people could honestly disagree about whether two distant events happened "at the same time"; and no one could ever outrun a headlight beam, since light would crawl past at only 50 m s−1. In short, the effects this chapter calls "relativistic" would be everyday sights, and Newton's laws would fail openly on the street. اگر روشنی کی رفتار صرف 50 m s−1 ہوتی تو اضافیت اثرات روزمرہ نظر آتے: 10 m s−1 سے چلتا سائیکل سوار نمایاں طور پر آہستہ بوڑھا ہوتا، تیز کار حرکت کی سمت میں واضح طور پر چھوٹی نظر آتی، اور دو لوگ "ایک ہی وقت" پر ایمانداری سے اختلاف کر سکتے۔ نیوٹن کے قوانین گلی میں کھلم کھلا ناکام ہو جاتے۔
⚠️ Derived answer (limit argument, not a book passage): put c → ∞ in the factor √(1 − v²/c²): for any ordinary speed v, v²/c² → 0, so the factor → 1. Then t = to / 1 = to (no time dilation), ℓ = ℓo × 1 = ℓo (no length contraction), and m = mo / 1 = mo (no mass increase). Simultaneity would become absolute again, because light would cross any distance instantly and everyone would agree on "at the same time". In other words, the equations reduce to classical, Newtonian physics — which is exactly why Newton's laws work so well in a world where c is enormously larger than everyday speeds. اگر c لامتناہی ہو تو ہر عام رفتار کے لیے v²/c² صفر کی طرف جائے گا اور عامل 1 ہو جائے گا: وقت کا پھیلاؤ ختم، لمبائی کا سکڑاؤ ختم، کمیت کا اضافہ ختم، اور ہم وقتی پھر مطلق ہو جائے گی۔ یعنی مساواتیں کلاسیکی، نیوٹنی طبیعیات میں بدل جائیں گی۔
In energy terms alone, yes — an electron's rest energy is Eo = moc² = 0.51 MeV (see Numerical 11.4), so 0.51 MeV of energy is equivalent to one electron's mass. But a single electron alone cannot be created from pure energy, because electric charge must be conserved: pure energy has zero charge, and one electron carries −1 charge. ⚠️ Derived explanation (charge conservation is not discussed in this chapter): what actually happens in nature is pair production — at least 1.02 MeV (two rest energies) creates an electron and a positron together, so total charge stays zero. So E = mc² says the mass can come from energy; conservation laws say it cannot come as one electron on its own. توانائی کے لحاظ سے ہاں — ایک الیکٹرون کی سکونی توانائی 0.51 MeV ہے۔ لیکن اکیلا ایک الیکٹرون خالص توانائی سے نہیں بن سکتا، کیونکہ برقی چارج محفوظ رہنا چاہیے: خالص توانائی کا چارج صفر ہے اور ایک الیکٹرون کا چارج −1 ہے۔ اصل میں جوڑا بنتا ہے — کم از کم 1.02 MeV سے الیکٹرون اور پوزیٹرون اکٹھے بنتے ہیں تاکہ کل چارج صفر رہے۔
A frame of reference is any coordinate system relative to which measurements are taken — the room for a table's position, the laboratory for an experiment, a moving train for measurements inside it, or distant stars for a spaceship's position. Inertial frame: a frame in which the law of inertia holds — a body at rest stays at rest unless an unbalanced force acts. Examples: the Earth (treated as inertial for school purposes, its rotation/revolution acceleration being small); a car or train moving with uniform velocity relative to the Earth; any frame moving uniformly relative to an inertial frame. Non-inertial frame: an accelerated frame, in which the law of inertia appears to fail. Examples: a car that suddenly brakes or accelerates (passengers lurch with no push); a rotating merry-go-round; strictly speaking, the rotating, revolving Earth itself. The test is simple: leave a body alone — if it stays put, your frame is inertial; if it moves "by itself", it is not.
۱۔ حوالہ جاتی فریم کوئی بھی مختصاتی نظام ہے جس کے مقابلے میں پیمائشیں کی جائیں — میز کی جگہ کے لیے کمرہ، تجربے کے لیے لیبارٹری، اندر کی پیمائشوں کے لیے چلتی ٹرین، یا خلائی جہاز کی جگہ کے لیے دور ستارے۔
۲۔ انرشیل فریم: وہ فریم جس میں قانونِ جمود درست ہو — ساکن جسم بغیر غیر متوازن قوت کے ساکن رہتا ہے۔ مثالیں: زمین (اسکول کے مقاصد کے لیے انرشیل سمجھی جاتی ہے)؛ زمین کے مقابلے میں یکساں رفتار سے چلتی کار یا ٹرین؛ کوئی بھی فریم جو انرشیل فریم کے مقابلے میں یکساں رفتار سے حرکت کر رہا ہو۔
۳۔ نان انرشیل فریم: اسراعی فریم جس میں قانونِ جمود بظاہر ناکام نظر آتا ہے۔ مثالیں: اچانک بریک لگانے یا رفتار بڑھانے والی کار (مسافر بغیر دھکے کے آگے جھٹکا کھاتے ہیں)؛ گھومتا ہوا جھولا؛ اور سختی سے دیکھا جائے تو گھومتی ہوئی زمین خود۔
۴۔ سادہ آزمائش: کسی جسم کو اکیلا چھوڑ دیں — اگر وہ اپنی جگہ رہے تو آپ کا فریم انرشیل ہے، اگر وہ "خود بخود" حرکت کرے تو نہیں۔
The equation is E = mc² (Eq. 11.4): total energy E equals mass m times c², where m itself grows with speed. At rest it gives the rest energy Eo = moc², and the difference (m − mo)c² is the kinetic energy. Why not in everyday life? Because c² is enormous (≈ 9 × 1016 m² s−2), so Δm = ΔE / c² is vanishingly small for everyday energy changes — a burning match or a speeding car changes mass by far less than any scale can detect. Significant consequences and examples: (1) mass and energy are interconvertible — neither is separately conserved, only their total is; (2) nuclear reactions, where the mass change is large enough to measure, follow the equation exactly — a small mass defect releases enormous energy, which is the basis of nuclear energy and of the Sun's power; (3) at relativistic speeds, kinetic energy is (m − mo)c², not ½mv², and the growing mass is why nothing material can reach c; (4) particles can be created from energy (in pairs, conserving charge) and annihilated back into energy, as in electron–positron annihilation. The equation matters most exactly where the masses or speeds are extreme — and that is why daily life hides it.
۱۔ مساوات E = mc² ہے: کل توانائی E، کمیت m اور c² کی حاصلِ ضرب کے برابر ہے، جہاں m خود رفتار کے ساتھ بڑھتی ہے۔ سکون میں یہ سکونی توانائی Eo = moc² دیتی ہے، اور فرق (m − mo)c² حرکی توانائی ہے۔
۲۔ روزمرہ زندگی میں اس کے اثرات کیوں نظر نہیں آتے؟ کیونکہ c² بہت بڑا ہے (≈ 9 × 1016 m² s−2)، اس لیے روزمرہ کی توانائی تبدیلیوں کے لیے Δm = ΔE / c² نہ ہونے کے برابر ہے — جلتی ہوئی ماچس یا تیز کار کی کمیت میں تبدیلی کسی ترازو سے ناپی نہیں جا سکتی۔
۳۔ اہم نتائج اور مثالیں: کمیت اور توانائی ایک دوسرے میں بدل سکتی ہیں — الگ الگ محفوظ نہیں، صرف ان کا مجموعہ محفوظ ہے؛ جوہری تعاملات میں کمیت کا چھوٹا سا نقصان زبردست توانائی چھوڑتا ہے، جو جوہری توانائی اور سورج کی طاقت کی بنیاد ہے؛ اضافیت رفتاروں پر حرکی توانائی (m − mo)c² ہوتی ہے نہ کہ ½mv²، اور بڑھتی ہوئی کمیت ہی وجہ ہے کہ کوئی مادی چیز c تک نہیں پہنچ سکتی؛ اور ذرات توانائی سے بن سکتے ہیں اور توانائی میں واپس بدل سکتے ہیں، جیسے الیکٹرون–پوزیٹرون کا فنا ہونا۔
Einstein's concept is that space and time are not separate, absolute backgrounds but one unified, four-dimensional continuum called space-time: three dimensions of space plus time as the fourth dimension, related to each other and influenced by speed and gravity. Space-time is curved, especially near massive bodies and at speeds approaching c. Gravity in this view is not a force pulling objects. Massive objects curve the space-time around themselves — the book's picture is a heavy ball curving an elastic fabric sheet, deeper for more massive objects — and bodies and light rays then simply move along geodesics, the straightest possible paths in that curved space-time. A body near a massive object follows its geodesic towards it, which is what we call falling. This view explains what Newton left unexplained (why the inverse square law), matches Newton in weak fields, and predicts new effects Newton cannot: the bending of starlight by the Sun (measured in the 1919 eclipse, deflection 1.745 seconds of angle) and gravitational waves, ripples of stretching and squeezing in space-time itself, detected in 2015 and announced in 2016.
۱۔ آئن سٹائن کا تصور یہ ہے کہ فضا اور وقت الگ الگ، مطلق پس منظر نہیں بلکہ ایک یکجا، چار جہتی تسلسل ہیں جسے زمان و مکاں کہتے ہیں: فضا کی تین جہتیں اور وقت بطور چوتھی جہت، جو ایک دوسرے سے جڑے ہوئے ہیں اور رفتار اور کششِ ثقل سے متاثر ہوتے ہیں۔ زمان و مکاں خمیدہ ہے، خاص طور پر بھاری اجسام کے قریب اور روشنی کی رفتار کے قریب رفتاروں پر۔
۲۔ اس تصور میں کششِ ثقل کوئی کھینچنے والی قوت نہیں ہے۔ بھاری اجسام اپنے گرد زمان و مکاں کو خمیدہ کر دیتے ہیں — کتاب کی تصویر لچکدار چادر پر بھاری گیند کی ہے، جتنی بھاری چیز اتنا گہرا خم — اور اجسام اور روشنی کی شعاعیں پھر اس خمیدہ زمان و مکاں میں جیوڈیسک، یعنی ممکنہ سیدھے ترین راستوں پر حرکت کرتی ہیں۔ کسی بھاری چیز کے قریب جسم اپنی جیوڈیسک پر اس کی طرف چلتا ہے، اور اسی کو ہم گرنا کہتے ہیں۔
۳۔ یہ نظریہ اس بات کی وضاحت کرتا ہے جو نیوٹن نے نہیں کی تھی (معکوس مربع قانون کیوں؟)، کمزور میدانوں میں نیوٹن سے مطابقت رکھتا ہے، اور نئے اثرات کی پیش گوئی کرتا ہے جو نیوٹن نہیں کر سکتا: سورج کے گرد ستاروں کی روشنی کا مڑنا (1919 کے گرہن میں ناپا گیا، مڑاؤ 1.745 سیکنڈ زاویہ) اور ثقلی لہریں، جو خود زمان و مکاں میں کھنچاؤ اور دباؤ کی لہریں ہیں، 2015 میں دریافت ہوئیں اور 2016 میں ان کا اعلان ہوا۔
This is length contraction, seen from the electron's frame: the tube moves past the electron at 0.995c, so the electron measures the contracted length. Given: proper length ℓo = 500 m (the tube at rest in the lab), v = 0.995c. Formula: ℓ = ℓo√(1 − v²/c²). Step 1: v²/c² = (0.995)² = 0.990025. Step 2: 1 − 0.990025 = 0.009975. Step 3: √0.009975 = 0.09987. Step 4: ℓ = 500 × 0.09987 = 49.94 m ≈ 50 m. ✓ Matches the book's answer. The tube looks one-tenth as long to the electron because 0.995c is so close to c. یہ لمبائی کا سکڑاؤ ہے: الیکٹرون کے فریم میں نلی 0.995c سے گزرتی ہے، اس لیے الیکٹرون سکڑی ہوئی لمبائی ناپتا ہے۔ ℓ = 500 × √(1 − 0.995²) = 500 × 0.09987 = 49.94 ≈ 50 میٹر۔ کتاب کے جواب سے مطابقت ہے۔
This is time dilation: 20 minutes is the neutron's proper lifetime (in its own frame), and the lab observer sees a stretched lifetime. Given: to = 20 min, v = 0.8c. Formula: t = to / √(1 − v²/c²). Step 1: v²/c² = (0.8)² = 0.64. Step 2: 1 − 0.64 = 0.36. Step 3: √0.36 = 0.6. Step 4: t = 20 / 0.6 = 33.3 min. ✓ Matches the book's answer. The fast neutron "lives longer" in the lab frame — its own clock has not changed; the lab is measuring a dilated interval. یہ وقت کا پھیلاؤ ہے: 20 منٹ نیوٹرون کی اپنی فریم میں اصل عمر ہے، لیبارٹری کا مشاہدہ کرنے والا پھیلی ہوئی عمر دیکھتا ہے۔ t = 20 / √(1 − 0.8²) = 20 / 0.6 = 33.3 منٹ۔ کتاب کے جواب سے مطابقت ہے۔
Length contraction again, along the direction of flight only. Given: ℓo = 100 m, v = 0.99c. Formula: ℓ = ℓo√(1 − v²/c²). Step 1: (0.99)² = 0.9801. Step 2: 1 − 0.9801 = 0.0199. Step 3: √0.0199 = 0.14107. Step 4: ℓ = 100 × 0.14107 = 14.1 m ≈ 14 m. ✓ Matches the book's answer (rounded). At 0.99c the ship is squeezed to about one-seventh of its rest length. لمبائی کا سکڑاؤ: ℓ = 100 × √(1 − 0.99²) = 100 × 0.14107 = 14.1 ≈ 14 میٹر۔ کتاب کے جواب سے مطابقت ہے۔
Given: mo = 9.11 × 10−31 kg, c = 3 × 108 m s−1. Formula: Eo = moc². Step 1: c² = (3 × 108)² = 9 × 1016 m² s−2. Step 2: Eo = 9.11 × 10−31 × 9 × 1016 = 81.99 × 10−15 = 8.2 × 10−14 J. Step 3, into electron-volts: 1 eV = 1.6 × 10−19 J, so 1 MeV = 1.6 × 10−13 J. Eo = 8.2 × 10−14 / 1.6 × 10−13 = 0.51 MeV. ✓ Matches the book's answer in both units. Remember this number: 0.51 MeV is the electron's rest energy, and it returns in Constructed 11.5 and Numerical 11.5. Eo = moc² = 9.11 × 10−31 × 9 × 1016 = 8.2 × 10−14 جول۔ الیکٹرون وولٹ میں: 8.2 × 10−14 / 1.6 × 10−13 = 0.51 MeV۔ کتاب کے جواب سے مطابقت ہے۔
Given: v = 0.85c, electron rest energy Eo = 0.51 MeV (from 11.4). Step 1: find γ = 1 / √(1 − v²/c²). v²/c² = (0.85)² = 0.7225. 1 − 0.7225 = 0.2775. √0.2775 = 0.5268. γ = 1 / 0.5268 = 1.898. Step 2: total energy E = γEo = 1.898 × 0.51 = 0.968 ≈ 0.97 MeV. Step 3: kinetic energy K.E. = (γ − 1)Eo = (1.898 − 1) × 0.51 = 0.898 × 0.51 = 0.458 ≈ 0.459 MeV. ✓ Matches the book's answer. Sanity check: total = rest + kinetic, 0.51 + 0.459 = 0.969 ≈ 0.97 — the parts add up to the whole, as they must. پہلے γ = 1 / √(1 − 0.85²) = 1.898 نکالیں۔ کل توانائی E = 1.898 × 0.51 = 0.97 MeV۔ حرکی توانائی K.E. = (1.898 − 1) × 0.51 = 0.459 MeV۔ جانچ: 0.51 + 0.459 = 0.969 ≈ 0.97، یعنی حصے مل کر کل بنتے ہیں۔ کتاب کے جواب سے مطابقت ہے۔
Given: m = 3mo. Formula: m = mo / √(1 − v²/c²), so 3mo = mo / √(1 − v²/c²). Step 1: cancel mo: 3 = 1 / √(1 − v²/c²), so √(1 − v²/c²) = 1/3. Step 2: square both sides: 1 − v²/c² = 1/9. Step 3: v²/c² = 1 − 1/9 = 8/9. Step 4: v/c = √(8/9) = 0.9428, so v = 0.943c. ✓ Matches the book's answer. Note the method: when a question gives a mass ratio, set γ equal to that ratio first — everything else follows. m = 3mo رکھیں: 3 = 1 / √(1 − v²/c²)، اس لیے √(1 − v²/c²) = 1/3، مربع کرنے پر v²/c² = 8/9، پس v = 0.943c۔ کتاب کے جواب سے مطابقت ہے۔
This is the book's own Example 11.1 repeated as a numerical — same data, same answer, which is a gift: if you worked the example, you already own this question. Given: to = 3 s, v = 0.95c. Formula: t = to / √(1 − v²/c²). Step 1: (0.95)² = 0.9025. Step 2: 1 − 0.9025 = 0.0975. Step 3: √0.0975 = 0.3122. Step 4: t = 3 / 0.3122 = 9.61 ≈ 9.6 s. ✓ Matches the book's answer. یہ کتاب کی مثال 11.1 ہی کی تکرار ہے: t = 3 / √(1 − 0.95²) = 3 / 0.3122 = 9.6 سیکنڈ۔ کتاب کے جواب سے مطابقت ہے۔
Given: rest mass mo = 0.5 kg, v = 0.9c. Formula: m = mo / √(1 − v²/c²). Step 1: (0.9)² = 0.81. Step 2: 1 − 0.81 = 0.19. Step 3: √0.19 = 0.4359. Step 4: m = 0.5 / 0.4359 = 1.147 ≈ 1.15 kg. ✓ Matches the book's answer. A half-kilogram ball more than doubles its mass at 0.9c — and the question says "hypothetically" for good reason: no one can throw a ball at 0.9c, but the formula does not care how the speed was reached. m = 0.5 / √(1 − 0.9²) = 0.5 / 0.4359 = 1.147 ≈ 1.15 کلوگرام۔ کتاب کے جواب سے مطابقت ہے۔ آدھ کلو کی گیند 0.9c پر اپنی کمیت سے دو گنا سے زیادہ ہو جاتی ہے۔
This short chapter carries one big idea: nothing about motion, time or length is absolute — only the speed of light and the laws of physics are the same for everyone. It starts with relative motion (the train ball) and the frames you measure it from (inertial vs non-inertial), then states Einstein's two postulates (same laws, same c). From those two sentences everything else falls out: simultaneity depends on the frame (the train doors), moving clocks run slow (time dilation, t = to/√(1 − v²/c²)), moving objects shrink along their motion (length contraction, ℓ = ℓo√(1 − v²/c²)), moving mass grows until c becomes unreachable (m = mo/√(1 − v²/c²)), mass and energy turn into each other (E = mc²), and space and time fuse into one curved continuum (space-time) in which gravity is not a pull but a path (geodesics, 1919 starlight, gravitational waves). The book's three worked examples (11.1–11.3) are the same three formulas with numbers in them — learn the factor first and the numericals answer themselves.
Revision guidance: first, memorise the three formulas as one pattern — time and mass divide by √(1 − v²/c²), length multiplies by it — and practise the two book numbers until they are automatic (0.8c → factor 0.6; the 100 m train → 60 m; the 1 s act → 1.7 s). Second, rehearse the two "why" chains examiners love: why c cannot be reached (mass → ∞ → infinite force needed) and why everyday life hides relativity (c² is huge, everyday v²/c² ≈ 0). Third, keep the pairs straight: proper time vs dilated time, proper length vs contracted length, rest mass vs relativistic mass, and simultaneity (frame-dependent) vs c (frame-independent). Finally, solve every exercise question with the book closed, especially the numericals — each one is one formula and four lines of arithmetic — and only then open the answers, checking the two flagged items (MCQ 11.5's flawed photon stem and the rounded 7-year spaceship journey) so you can explain them rather than just repeat them.
اس چھوٹے باب میں ایک بڑا خیال ہے: حرکت، وقت یا لمبائی کے بارے میں کچھ بھی مطلق نہیں ہے — صرف روشنی کی رفتار اور طبیعیات کے قوانین سب کے لیے یکساں ہیں۔ باب اضافی حرکت (ٹرین کی گیند) اور ان فریموں سے شروع ہوتا ہے جن سے آپ اسے ناپتے ہیں (انرشیل بمقابلہ نان انرشیل)، پھر آئن سٹائن کے دو مفروضے بیان کرتا ہے (یکساں قوانین، یکساں c)۔ ان دو جملوں سے باقی سب کچھ نکلتا ہے: ہم وقتی کا انحصار فریم پر ہے (ٹرین کے دروازے)، حرکت کرتی گھڑیاں سست چلتی ہیں (وقت کا پھیلاؤ)، حرکت کرتی چیزیں اپنی حرکت کی سمت میں سکڑ جاتی ہیں (لمبائی کا سکڑاؤ)، حرکت کرتی کمیت بڑھتی ہے یہاں تک کہ c ناقابلِ رسائی ہو جاتا ہے (کمیت میں تبدیلی)، کمیت اور توانائی ایک دوسرے میں بدل جاتی ہیں (E = mc²)، اور فضا و وقت ایک خمیدہ تسلسل میں ضم ہو جاتے ہیں (زمان و مکاں) جس میں کششِ ثقل کھینچ نہیں بلکہ راستہ ہے (جیوڈیسک، 1919 کی ستارہ روشنی، ثقلی لہریں)۔ کتاب کی تین حل شدہ مثالیں (11.1 تا 11.3) وہی تین فارمولے ہیں جن میں اعداد ڈالے گئے ہیں — پہلے عامل سیکھیں اور عددی سوالات خود حل ہو جائیں گے۔
اعادہ کی رہنمائی: پہلے تینوں فارمولوں کو ایک نمونے کے طور پر یاد کریں — وقت اور کمیت √(1 − v²/c²) سے تقسیم ہوتے ہیں، لمبائی اس سے ضرب کھاتی ہے — اور کتاب کے دو اعداد کی اتنی مشق کریں کہ وہ خودکار ہو جائیں (0.8c → عامل 0.6؛ 100 میٹر ٹرین → 60 میٹر؛ 1 سیکنڈ کا عمل → 1.7 سیکنڈ)۔ دوسرے، امتحان میں پسند کیے جانے والے دو "کیوں" کے سلسلے دہرائیں: c تک کیوں نہیں پہنچا جا سکتا (کمیت → لامتناہی → لامتناہی قوت درکار) اور روزمرہ زندگی اضافیت کو کیوں چھپاتی ہے (c² بہت بڑا ہے، روزمرہ v²/c² تقریباً صفر ہے)۔ تیسرے، جوڑوں کو الگ رکھیں: اصل وقت بمقابلہ پھیلا ہوا وقت، اصل لمبائی بمقابلہ سکڑی ہوئی لمبائی، سکونی کمیت بمقابلہ اضافیت کمیت، اور ہم وقتی (فریم پر منحصر) بمقابلہ c (فریم سے آزاد)۔ آخر میں، ہر مشقی سوال کتاب بند کر کے حل کریں، خاص طور پر عددی سوالات — ہر ایک صرف ایک فارمولا اور چار سطری حساب ہے — اور تب ہی جوابات کھولیں، دو نشان زدہ باتوں (MCQ 11.5 کا ناقص فوٹون سوال اور 7 سالہ خلائی جہاز کا گول شدہ سفر) کو سمجھ کر تاکہ آپ انہیں صرف دہرا نہیں بلکہ سمجھا بھی سکیں۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 1 Physics, Chapter 11 (New Book, Session 2026–27) • English + Urdu