In everyday talk, "work" can mean anything tiring — homework, housework, a long day at the shop. Physics narrows the word down sharply. Work is done only when two things happen together: a force acts on a body, and the body actually moves — it is displaced — while that force acts. Push hard against a wall all afternoon and you will be exhausted, but in physics the work done is zero, because the wall never moved. That single test — did it move? — settles most confusion about this chapter.
Start with the simplest case, the one the book opens with. A constant force F pulls an object, and the object moves a distance d in exactly the direction of the force. Then the work W is just the product of the two magnitudes:
W = Fd (4.1)
Real life is rarely that tidy. Usually the force points one way and the motion goes another — you drag a crate by a rope held at an angle, for instance. Only the part of the force that points along the motion does any work. If the angle between force and displacement is θ, that useful component is F cos θ, and the formula becomes W = (F cos θ) d = Fd cos θ (4.2). Written with vectors it is the dot product, W = F · d (4.3), which is also why work is a scalar quantity: it has size but no direction of its own.
The unit follows straight from the formula: force (newton) times distance (metre) gives the joule, so 1 J = 1 N m. And the angle decides the sign, which examiners love to ask about: if θ < 90°, cos θ is positive and the work is positive; if θ = 90°, cos θ is zero and no work is done (that is why carrying a bag horizontally at steady speed does no work against gravity — gravity pulls down, you move sideways); if θ > 90°, cos θ is negative and the work is negative, as when friction drags backwards on a sliding box.
📌 Book note: the chapter's learning outcomes promise that by the end you will be able to derive kinetic energy from the equations of motion, write the absolute potential energy of a body in the gravitational field (including escape velocity), read work off a force–displacement graph, tell conservative forces from non-conservative ones, and use the work–energy theorem in a resistive medium. Every section below ticks one of those boxes.
روزمرہ کی بات چیت میں "کام" کا مطلب کوئی بھی تھکا دینے والا کام ہو سکتا ہے، لیکن طبیعیات میں یہ لفظ بہت محدود ہے۔ کام تب ہوتا ہے جب دو چیزیں ایک ساتھ ہوں: کسی جسم پر قوت لگے اور وہ جسم واقعی اپنی جگہ سے ہلے۔ اگر آپ سارا دن دیوار کو زور سے دھکا دیتے رہیں تو آپ تھک ضرور جائیں گے، لیکن طبیعیات کے لحاظ سے کام صفر ہوگا کیونکہ دیوار اپنی جگہ سے ہلی ہی نہیں۔
سب سے سادہ صورت یہ ہے کہ مستقل قوت F کسی چیز کو کھینچے اور وہ چیز قوت کی سمت میں d فاصلہ طے کرے۔ تب کام W = Fd ہوتا ہے۔ اگر قوت اور حرکت کی سمت میں زاویہ θ ہو تو صرف قوت کا وہ حصہ کام کرتا ہے جو حرکت کی سمت میں ہو، یعنی F cos θ، اس لیے W = Fd cos θ اور ویکٹر کی صورت میں W = F · d۔ اسی لیے کام ایک اسکیلر مقدار ہے، اس کی اپنی کوئی سمت نہیں ہوتی۔
کام کی اکائی جول ہے: 1 J = 1 N m۔ زاویہ کام کی علامت طے کرتا ہے: θ 90° سے کم ہو تو کام مثبت، برابر ہو تو صفر، اور زیادہ ہو تو منفی ہوتا ہے، جیسے رگڑ (فرکشن) پھسلتے ڈبے پر پیچھے کی طرف کام کرتی ہے۔
Not every force stays put. A rocket climbing away from Earth feels gravity weakening with every kilometre, because gravity falls off as the inverse square of distance. A spring pulls harder the more you stretch it. In both cases W = Fd cannot be used directly, because there is no single F to put in. The book's way out is beautifully simple: chop the journey into tiny steps.
Picture a particle travelling a curved path from P to Q. Cut the path into n short intervals, Δd₁, Δd₂, …, Δdₙ, with forces F₁, F₂, …, Fₙ acting during them. Over one tiny interval the force is almost constant, so the work there is about Fᵢ cos θᵢ Δdᵢ. Add all the little bits and you get the total, W = Σ Fᵢ cos θᵢ Δdᵢ (4.4). Now shrink the intervals: the more pieces you cut, the closer the sum comes to the truth, and when Δd → 0 the sum becomes exact (4.5).
Drawn on a graph, this has a meaning you can see. Plot F cos θ against displacement d, and each little rectangle Fᵢ cos θᵢ Δdᵢ is a strip of area under the curve. So the whole area under the curve between P and Q is the work done by the variable force. That one sentence answers a whole family of graph questions: whatever shape the curve makes, find its area — rectangles, triangles, whatever pieces it breaks into — and that area, in joules, is the work.
Example 4.1 (book): a force varies with distance as shown in the book's graph. From d = 0 to d = 4 m the force is a steady 5 N, so the rectangle gives 4 m × 5 N = 20 J. From d = 4 m to d = 6 m the force falls to zero, making a triangle of base 2 m and height 5 N: ½ × 2 m × 5 N = 5 J. Total work = 20 J + 5 J = 25 J. Notice how the graph did all the physics — no new formula was needed, only areas.
ہر قوت ایک جیسی نہیں رہتی۔ زمین سے دور جاتے راکٹ پر کششِ ثقل کم ہوتی جاتی ہے، اور اسپرنگ کو جتنا کھینچیں وہ اتنا ہی زیادہ زور لگاتا ہے۔ ایسی صورت میں W = Fd براہِ راست استعمال نہیں ہو سکتا کیونکہ کوئی ایک F نہیں ہوتی۔ کتاب کا طریقہ یہ ہے کہ سفر کو چھوٹے چھوٹے حصوں میں توڑ دیا جائے۔
ہر چھوٹے حصے پر قوت تقریباً مستقل سمجھی جاتی ہے، اس لیے اس حصے کا کام Fᵢ cos θᵢ Δdᵢ ہوتا ہے۔ سب حصوں کو جمع کریں تو کل کام W = Σ Fᵢ cos θᵢ Δdᵢ بنتا ہے، اور جب حصے نہایت چھوٹے ہو جائیں تو یہ جواب بالکل درست ہو جاتا ہے۔
گراف پر اس کا مطلب آنکھوں سے نظر آتا ہے: F cos θ اور d کے گراف کے نیچے کا رقبہ ہی کام ہوتا ہے۔ مثال ۴.۱ میں 0 سے 4 میٹر تک مستطیل کا رقبہ 20 جول اور 4 سے 6 میٹر تک مثلث کا رقبہ 5 جول بنتا ہے، اس لیے کل کام 25 جول ہے۔
Take a ball from point A on the ground to point B on top of a wall, height h above. You could lift it straight up, carry it around the long way, or swing it along a winding path — and if the only force doing work is gravity, the work done by gravity comes out the same every time: −mgh. The minus sign is because gravity pulls down while the ball rises; the work done by gravity is negative, while the work you do lifting it is +mgh. The path never enters the answer. That is the defining magic of a conservative force.
The book proves it the honest way, path by path. Along path 1 (across, then up), the horizontal stretch costs nothing — weight acts at 90° to it — and the vertical stretch gives −mgh, so the total is −mgh. Along path 2 (up, then across) the same split gives −mgh + 0 = −mgh. Along a smooth curve, break it into tiny horizontal and vertical steps: the horizontal steps contribute nothing, the vertical steps add up to the same total height h, and once again the answer is −mgh. So the book can state it flatly: work done by a gravitational force is independent of the path followed.
That gives the definition examiners want word for word: if the work done by a force in moving an object between two points is independent of the path followed, or the work done in a closed path is zero, the force is called a conservative force. Check the closed-path part yourself: lift the ball up (gravity does −mgh) and let it fall back down (gravity does +mgh), and the round trip totals zero. Besides gravity, the book names two more examples: the electrostatic force and the elastic spring force.
📌 Book question: the book itself asks — can you prove that the work done along a closed path such as ACBA or ADBA by the gravitational force is zero? Use the round-trip argument above: every rise is matched by an equal fall, so the positives and negatives cancel exactly.
ایک گیند کو زمین سے دیوار کی چوٹی تک لے جائیں، چاہے سیدھا اوپر اٹھائیں یا گھما کر لمبے راستے سے لے جائیں، کششِ ثقل کا کیا گیا کام ہر بار ایک ہی ہوگا: −mgh۔ منفی علامت اس لیے ہے کہ گیند اوپر جاتی ہے جبکہ کششِ ثقل نیچے کھینچتی ہے۔ راستے کا جواب پر کوئی اثر نہیں پڑتا، اور یہی کنزرویٹو قوت کی پہچان ہے۔
کتاب اسے تینوں راستوں سے ثابت کرتی ہے: افقی حصے پر کام صفر ہوتا ہے کیونکہ وزن اس کے عموداً ہوتا ہے، اور عمودی حصوں کا مجموعہ ہمیشہ کل اونچائی h کے برابر ہوتا ہے، اس لیے جواب ہر بار −mgh ہی بنتا ہے۔
تعریف یہ ہے: اگر کسی قوت کا دو نقطوں کے درمیان کیا گیا کام راستے پر منحصر نہ ہو، یا بند راستے میں کام صفر ہو، تو وہ قوت کنزرویٹو کہلاتی ہے۔ کششِ ثقل کے علاوہ الیکٹروسٹیٹک قوت اور لچکدار اسپرنگ کی قوت بھی کنزرویٹو ہیں۔
Not every force is so well behaved. Slide a box across a rough floor from A to B, and friction fights you the whole way. Take the long way round and friction fights you for longer — it does more negative work, equal in size to the frictional force times the length of the path. A longer path means more work, so the work depends on the path chosen, and a round trip does not cancel out: friction opposes motion on the way back too, so it keeps doing negative work instead of undoing the first leg. That is the whole story of a non-conservative force.
The book's definition mirrors the conservative one exactly, which makes it easy to learn as a pair: a force is non-conservative if the work done by it in moving an object between two points, or in a closed path, depends on the path of motion. The textbook example is kinetic friction: it always acts opposite to the motion and does negative work of magnitude equal to the frictional force multiplied by the path length. Other examples the book lists are air resistance, tension in a string, normal force, and the propulsion force of a rocket.
Why does this matter beyond definitions? Because energy lost to a non-conservative force does not come back by retracing your steps. Push a box out and drag it back and you have done work twice over, with the energy ending up as heat in the floor and the box. Keep that picture in mind for section 4.8, where friction is exactly what stops total mechanical energy from staying constant.
ہر قوت اچھی طرح برتاؤ نہیں کرتی۔ کھردری فرش پر ڈبہ گھسیٹیں تو رگڑ پورے راستے آپ کے خلاف کام کرتی ہے۔ راستہ لمبا ہو تو رگڑ کا منفی کام بھی زیادہ ہوگا، کیونکہ یہ رگڑ کی قوت اور راستے کی لمبائی کے حاصلِ ضرب کے برابر ہوتا ہے۔ اس لیے کام راستے پر منحصر ہوتا ہے، اور واپسی پر بھی رگڑ منفی ہی کام کرتی ہے، پہلا کام ختم نہیں کرتی۔
تعریف یہ ہے: اگر کسی قوت کا دو نقطوں کے درمیان یا بند راستے میں کیا گیا کام حرکت کے راستے پر منحصر ہو تو وہ قوت نان کنزرویٹو کہلاتی ہے۔ اس کی بڑی مثال حرکی رگڑ ہے، اور کتاب ہوا کی مزاحمت، رسی کی تناؤ، نارمل فورس اور راکٹ کی دھکیلنے والی قوت کو بھی اسی زمرے میں رکھتی ہے۔
اس کا عملی مطلب یہ ہے کہ نان کنزرویٹو قوت سے ضائع شدہ توانائی واپس نہیں آتی — ڈبہ آگے پیچھے گھسیٹنے پر کام دو بار ہوتا ہے اور توانائی حرارت بن کر فرش میں چلی جاتی ہے۔
Work alone does not tell you the whole story. Two students can both lift the same bag to the same shelf — same work — but one does it in two seconds and the other in a minute. The first is clearly "more powerful" in the physics sense, and that is exactly what power measures: power is the measure of the rate at which work is being done.
If work ΔW is done in a time interval Δt, the average power is Pav = ΔW / Δt (4.6). Shrink the interval to an instant and you get the instantaneous power, P = limit of ΔW/Δt as Δt → 0 (4.7). Since ΔW = F · Δd, dividing by Δt gives the very handy form P = F · v (4.8) — power is also the dot product of force and velocity. That form is the one to reach for whenever a question gives you a force and a speed instead of a time.
The SI unit of power is the watt: one joule of work done in one second, so 1 W = 1 J s⁻¹. Electricity bills, though, do not count joules — they count kilowatt-hours. One kilowatt-hour is the work done in one hour by an agency whose power is one kilowatt, so 1 kW h = 1000 W × 3600 s = 3.6 × 10⁶ J = 3.6 MJ. That conversion (3.6 million joules in one "unit") is a favourite exam fact, and it is also how the numerical on the 75 W fan in the exercise is solved.
Example 4.2 (book): a 70 kg man runs up a flight of stairs in 4.0 s; the vertical height is 4.5 m. Work done = mgh = 70 × 9.8 × 4.5 = 3087 J, so power = 3087 / 4.0 = 7.7 × 10² W. Note what was used: the vertical height, not the length of the stairs — gravity only cares about height, and that is a trap worth remembering.
📌 Do you know? (book): it takes about 9 × 10⁹ J of energy to make a car, and the car then uses about 1 × 10¹² J of energy from petrol in its lifetime — making the thing is a tiny fraction of the energy it will burn.
صرف کام پوری کہانی نہیں بتاتا۔ دو طالب علم ایک ہی تھیلا ایک ہی شیلف تک اٹھا سکتے ہیں — کام برابر — لیکن ایک دو سیکنڈ میں اور دوسرا ایک منٹ میں۔ طبیعیات کے لحاظ سے پہلا زیادہ طاقتور ہے۔ پاور وہ شرح ہے جس سے کام کیا جاتا ہے۔
اگر Δt وقت میں ΔW کام ہو تو اوسط پاور P = ΔW / Δt ہوتی ہے، اور لمحاتی پاور اسی کی حد (limit) ہے جب Δt صفر کی طرف جائے۔ چونکہ ΔW = F · Δd ہے، اس لیے P = F · v بھی بنتا ہے — جب سوال میں قوت اور رفتار دی ہو تو یہی فارمولا استعمال کریں۔
پاور کی ایس آئی اکائی واٹ ہے: ایک سیکنڈ میں ایک جول کام۔ بجلی کے بل البتہ کلوواٹ آور میں آتے ہیں: 1 kW h = 1000 × 3600 = 3.6 × 10⁶ جول یعنی 3.6 میگاجول۔ مثال ۴.۲ میں 70 کلوگرام آدمی 4 سیکنڈ میں 4.5 میٹر اوپر جاتا ہے تو کام 3087 جول اور پاور 7.7 × 10² واٹ بنتی ہے — یاد رہے کہ عمودی اونچائی استعمال ہوئی، سیڑھیوں کی لمبائی نہیں۔
Energy of a body is its capacity to do work. There are two basic forms of mechanical energy, and this section is about the first: kinetic energy is the energy possessed by a body due to its motion, while potential energy (next section) comes from its position. A moving car has kinetic energy; that is why, when its engine is switched off, it does not stop at once — it keeps rolling, doing work against friction, until that energy is used up.
The book derives the formula from that very picture. A car of mass m, moving with speed v, is stopped by a friction force f over a distance d. The work the car does against friction is fd, and that work is its kinetic energy. Newton's second law gives f = ma (with the sign showing the force opposes motion), and the third equation of motion, 2aS = vf² − vi², with final speed 0 and initial speed v, gives 2(−f/m)d = −v². Rearranged, fd = ½mv², and since fd is the kinetic energy: K.E. = ½mv² (4.9). Its unit is the joule, like all work and energy.
Two things about the formula are worth feeling, not just memorising. First, speed matters more than mass: double the speed and the kinetic energy goes up four times, because speed is squared. Second, it explains braking distances — a car at twice the speed needs four times the distance to stop with the same brakes, which is why speed limits are not just about reaction time.
Example 4.3 (book): a car weighing 18620 N runs at 16 m s⁻¹ and is braked to rest in 80 m. Its mass is m = w/g = 18620 / 9.8 = 1900 kg. Setting ½mv² = fd gives ½ × 1900 × 16² = f × 80, so f = 243200 / 80 = 3040 N average frictional force.
📌 For your information (book): the chapter's energy table gives a feel for scale — burning a litre of petrol releases about 5 × 10⁷ J, a running person at 10 km h⁻¹ has about 3 × 10² J of kinetic energy, and the kinetic energy of one molecule of air is around 6 × 10⁻²¹ J. Same unit, wildly different worlds.
توانائی کسی جسم کی کام کرنے کی صلاحیت ہے۔ میکانیکی توانائی کی دو بنیادی صورتیں ہیں: حرکی توانائی حرکت کی وجہ سے ہوتی ہے اور مخفی توانائی مقام کی وجہ سے۔ چلتی گاڑی میں حرکی توانائی ہوتی ہے، اسی لیے انجن بند ہونے پر بھی وہ فوراً نہیں رکتی — رگڑ کے خلاف کام کرتے کرتے اس کی توانائی ختم ہوتی ہے تو وہ رکتی ہے۔
کتاب فارمولا اسی منظر سے نکالتی ہے: رگڑ کی قوت f گاڑی کو d فاصلے میں روکتی ہے تو کام fd ہوتا ہے، اور یہی کام گاڑی کی حرکی توانائی ہے۔ حرکت کی تیسری مساوات سے fd = ½mv² نکلتا ہے، اس لیے K.E. = ½mv²۔ اس کی اکائی بھی جول ہے۔
دو باتیں یاد رکھیں: رفتار دوگنی ہو تو حرکی توانائی چار گنا ہو جاتی ہے کیونکہ رفتار کا مربع آتا ہے، اور اسی لیے دوگنی رفتار پر گاڑی کو رکنے کے لیے چار گنا فاصلہ چاہیے۔ مثال ۴.۳ میں 18620 نیوٹن وزنی گاڑی کا ماس 1900 کلوگرام بنتا ہے اور اوسط رگڑ 3040 نیوٹن نکلتی ہے۔
If kinetic energy is energy of motion, potential energy is the energy possessed by a body because of its position in a force field, or because of its constrained state. A stone held above the ground has it; so does a compressed spring — the energy stored in a squeezed or stretched spring, called elastic potential energy, is potential energy of the second kind, stored in its state rather than its height.
Near the Earth's surface, gravity is nearly constant and the familiar form works: lifting a mass m through height h stores P.E. = mgh. But the book asks a harder question, and it is one of the chapter's learning outcomes: what is the potential energy of a body far out in space, where gravity is not constant but weakens as the inverse square of distance? The answer needs a definition first. The absolute gravitational potential energy of an object at a certain position is the work done by the gravitational force in displacing the object from that position to infinity, where the force of gravity becomes zero.
The derivation chops the journey from r₁ to infinity into small steps of length Δr. In one step the force is nearly constant, F = GMm/r², and with a little algebra (the step's middle distance works out so that r² becomes r₁r₂) the work for that step is −GMm(1/r₁ − 1/r₂). Add all the steps and the middle terms cancel in a telescoping sum, leaving total work −GMm/r₁ when the far end goes to infinity. So the absolute potential energy at distance r from Earth's centre is U = −GMm/r, and on the surface (r = R) it is U₀ = −GMm/R (4.13).
Why negative? Because the zero of potential energy is set at infinity, and you would have to do work on the body — GMm/R of it — to drag it out there. As r grows, U becomes less negative, i.e. it increases; lifting a body raises its potential energy, exactly as mgh told you near the ground. The negative sign is also the book's way of saying Earth's field is attractive: left alone, things fall in, they do not drift away.
📌 Tidbit (book): more coal has been used since 1945 than was used in the whole of history before that — a reminder, tucked into this derivation, of how fast humanity's energy appetite has grown.
اگر حرکی توانائی حرکت کی توانائی ہے تو مخفی توانائی کسی جسم کی وہ توانائی ہے جو اس کے مقام یا اس کی دبی ہوئی حالت کی وجہ سے ہوتی ہے۔ زمین سے اوپر اٹھایا ہوا پتھر بھی اس کا مالک ہے اور دبایا ہوا اسپرنگ بھی — اسپرنگ میں ذخیرہ شدہ توانائی لچکدار مخفی توانائی کہلاتی ہے۔
زمین کی سطح کے قریب کششِ ثقل تقریباً مستقل ہوتی ہے اور P.E. = mgh کام آتا ہے۔ لیکن خلا میں دور، جہاں کششِ ثقل فاصلے کے مربع کے الٹ کم ہوتی ہے، وہاں کیا ہوگا؟ پہلے تعریف: کسی مقام پر کسی جسم کی مطلق کششی مخفی توانائی وہ کام ہے جو کششِ ثقل کی قوت اس جسم کو اس مقام سے لامحدود فاصلے تک لے جانے میں کرتی ہے، جہاں کششِ ثقل صفر ہو جاتی ہے۔
سفر کو چھوٹے قدموں میں توڑ کر اور سب قدموں کا کام جمع کر کے یہ نکلتا ہے کہ مرکز سے r فاصلے پر U = −GMm/r اور سطح پر (r = R) U₀ = −GMm/R ہوتی ہے۔ منفی علامت اس لیے ہے کہ صفر لامحدود پر رکھا گیا ہے، اور جسم کو وہاں تک لے جانے کے لیے GMm/R کام کرنا پڑے گا۔ جیسے جیسے r بڑھتا ہے، U کم منفی یعنی بڑھتی جاتی ہے — بالکل ویسے جیسے زمین کے قریب اوپر اٹھانے سے مخفی توانائی بڑھتی ہے۔
Throw a ball up and it comes back. Throw it harder and it goes higher before coming back. Keep increasing the throw, and eventually there is a speed at which it never comes back at all — it escapes Earth's gravitational field altogether. The initial velocity of an object with which it goes out of the Earth's gravitational field is known as escape velocity.
The derivation is an energy balance, and it is short enough to learn whole. To escape, the body's initial kinetic energy must pay for the whole climb in potential energy, from the surface value −GMm/R up to zero at infinity — an increase of GMm/R. Set them equal: ½mvesc² = GMm/R. The mass m cancels (which is why escape velocity does not depend on how heavy the object is), giving vesc = √(2GM/R) (4.14). Since g = GM/R², this can be rewritten as vesc = √(2gR) (4.15) — the form most questions ask for. Putting in Earth's g and R gives about 11.2 km s⁻¹ (the book's text rounds this to approximately 11 km s⁻¹).
Two common misunderstandings are worth killing now. First, escape velocity is about speed, not thrust: a rocket does not need to travel at 11.2 km s⁻¹ the whole way up — it escapes because its engines keep adding energy. The 11.2 km s⁻¹ figure is for a single unpowered throw. Second, direction does not matter (ignoring air): throw it straight up or at an angle, the energy bill is the same.
📌 For your information (book): escape speeds of other bodies — Moon 2.4, Mercury 4.3, Mars 5.0, Venus 10.4, Earth 11.2, Uranus 22.4, Neptune 25.4, Saturn 37.0, Jupiter 61 km s⁻¹. Jupiter's huge value is why its atmosphere never leaked away, and the Moon's tiny one is why it has almost no air at all.
گیند اوپر پھینکیں تو واپس آتی ہے۔ زور بڑھائیں تو زیادہ اوپر جاتی ہے، اور ایک رفتار ایسی آتی ہے کہ وہ کبھی واپس ہی نہیں آتی — زمین کی کششِ ثقل کے میدان سے نکل جاتی ہے۔ کسی جسم کی وہ ابتدائی رفتار جس سے وہ زمین کے کششی میدان سے باہر نکل جائے، فرار کی رفتار کہلاتی ہے۔
اس کا حساب توانائی کے توازن سے نکلتا ہے: فرار کے لیے ابتدائی حرکی توانائی کو مخفی توانائی میں پورے اضافے کے برابر ہونا چاہیے، یعنی ½mv² = GMm/R۔ ماس m ختم ہو جاتا ہے، اس لیے فرار کی رفتار جسم کے وزن پر منحصر نہیں ہوتی، اور v = √(2GM/R) = √(2gR) بنتا ہے۔ زمین کے لیے یہ تقریباً 11.2 کلومیٹر فی سیکنڈ ہے۔
یاد رہے کہ یہ رفتار ایک ہی جھٹکے میں پھینکنے کے لیے ہے؛ راکٹ کو پورا راستہ اس رفتار سے جانے کی ضرورت نہیں ہوتی کیونکہ اس کے انجن مسلسل توانائی دیتے رہتے ہیں۔
Whenever work is done on a body, its energy changes — and the work–energy theorem says exactly how. Take a body of mass m moving with velocity vi. A force F acts on it through a distance d and raises its velocity to vf. The third equation of motion gives 2ad = vf² − vi², so a = (vf² − vi²)/2d (4.16). Newton's second law says F = ma, i.e. a = F/m (4.17). Put the two expressions for a together and multiply through by d, and out comes Fd = ½mvf² − ½mvi² (4.18).
That is the theorem, and the book states it in one clean sentence: the change in kinetic energy of an object is equal to the work done on it by a net force, i.e. W = change in K.E. = (K.E.)f − (K.E.)i = ½mvf² − ½mvi². It is also called the work–energy principle. It holds for any direction of force relative to displacement, and it stays valid even if the force varies from point to point. If the work is positive, kinetic energy grows; if a body itself does work on something else, its work counts as negative and its kinetic energy falls.
Example 4.4 (book): a rider (60 kg) on a motorcycle (30 kg) coasts down a 24° slope; speed at the top is 3.2 m s⁻¹, kinetic friction is 100 N, distance 72 m downhill. Total mass m = 90 kg. The net force down the slope is F = mg sin 24° − f = (90 × 9.8 × 0.4) − 100 = 252.8 N (the book uses sin 24° ≈ 0.4 in its working). Work done W = Fd = 252.8 × 72 = 18201.6 J. By the theorem, ½ × 90 × vf² = 18201.6 + ½ × 90 × (3.2)², giving vf² = 414.7 m² s⁻² and vf = 20.4 m s⁻¹ at the bottom.
📌 Tidbit (book): all the food you eat in one day has about the same energy as 1/3 litre of petrol — your body, like an engine, runs on a surprisingly small fuel budget.
جب کسی جسم پر کام کیا جاتا ہے تو اس کی توانائی بدلتی ہے، اور کام توانائی قضیہ بتاتا ہے کہ کتنی۔ اگر ماس m کا جسم vi رفتار سے چل رہا ہو اور قوت F اسے d فاصلے تک لے جا کر رفتار vf کر دے تو حرکت کی مساوات اور نیوٹن کے دوسرے قانون کو ملانے سے Fd = ½mvf² − ½mvi² نکلتا ہے۔
قضیہ یہ ہے: کسی جسم کی حرکی توانائی میں تبدیلی اس پر لگنے والی خالص قوت کے کیے گئے کام کے برابر ہوتی ہے۔ یہ قوت کی کسی بھی سمت کے لیے اور بدلتی ہوئی قوت کے لیے بھی درست ہے۔ کام مثبت ہو تو حرکی توانائی بڑھتی ہے، اور اگر جسم خود کسی اور چیز پر کام کرے تو اس کا کام منفی شمار ہوتا ہے اور اس کی حرکی توانائی گھٹتی ہے۔
مثال ۴.۴ میں کل ماس 90 کلوگرام، ڈھلوان 24°، رگڑ 100 نیوٹن اور فاصلہ 72 میٹر ہے تو خالص قوت 252.8 نیوٹن، کام 18201.6 جول اور نیچے پہنچ کر رفتار 20.4 میٹر فی سیکنڈ بنتی ہے۔
Drop a ball and watch what happens to its two energies. At the top (position A), at rest at height h, it has P.E. = mgh and K.E. = 0. Let it fall a distance x to position B, ignoring air friction. Its height is now (h − x), so P.E. = mg(h − x). Its speed comes from v² = 2gx (starting from rest), so K.E. = ½m(2gx) = mgx. Add them: total energy at B = mg(h − x) + mgx = mgh (4.19) — exactly what it started with. Just before it hits the ground (position C), P.E. = 0 and K.E. = ½mv² = mgh, since v² = 2gh. Nothing was created or lost; one form quietly turned into the other all the way down.
The general statement is the one to memorise: Loss in P.E. = Gain in K.E., written as mg(h₁ − h₂) = ½m(v₂² − v₁²) (4.20), where v₁, v₂ are the speeds at heights h₁, h₂. But the book is careful to add the condition: this is true only when frictional force is not considered. Real falls have air resistance, and the book's resistive-medium version — the one the learning outcomes and a comprehensive question both ask for — is: if a frictional force f acts during the fall, part of the P.E. is used doing work against friction, fh, so the remaining P.E. = mgh − fh is converted into K.E. Hence mgh − fh = ½mv², or mgh = ½mv² + fh (4.21). In words: Loss in P.E. = Gain in K.E. + Work done against friction, and conversely, Loss of K.E. = Gain in P.E. + Work done against friction.
Example 4.5 (book): a car weighing 1100 kg moves at 12 m s⁻¹; at point P its engine stops, friction is 120 N, and it climbs a slope 24 m long rising 1.5 m to Q. Loss of K.E. = Gain in P.E. + Work against friction gives ½ × 1100 × (144 − vQ²) = (1100 × 9.8 × 1.5) + (120 × 24) = 19050, so vQ² = 109.4 and vQ = 10.5 m s⁻¹. Then, from Q to rest at R: ½ × 1100 × 109.4 = 120 × S, so S = 60170 / 120 ≈ 501 m. ⚠️ Book misprint flagged: the book prints this stopping distance as "50.1 m", but its own numbers give 60170 ÷ 120 = 501.4 m — a factor-of-ten slip in the printed answer. The working above follows the book's numbers, not its printed result.
Example 4.6 (book): an object of mass 3 kg falls from 15 m and strikes the ground at 16 m s⁻¹. Loss of P.E. = Gain in K.E. + Work against friction gives 3 × 9.8 × 15 = ½ × 3 × 16² + f × 15, i.e. 441 = 384 + 15f, so f = 57 / 15 = 3.8 N average air friction.
گیند گرائیں تو اس کی دونوں توانائیاں بدلتی ہیں۔ اوپر (مقام A) سکون میں اونچائی h پر مخفی توانائی mgh اور حرکی توانائی صفر ہوتی ہے۔ x فاصلہ گرنے کے بعد (مقام B) اونچائی (h − x) رہ جاتی ہے تو مخفی توانائی mg(h − x) اور رفتار v² = 2gx سے حرکی توانائی mgx بنتی ہے۔ دونوں کا مجموعہ پھر mgh ہی ہوتا ہے — کچھ بنا نہیں، کچھ ضائع نہیں ہوا، ایک صورت دوسری میں بدلتی گئی۔
عام اصول یہ ہے: مخفی توانائی میں کمی = حرکی توانائی میں اضافہ۔ لیکن یہ صرف اس وقت درست ہے جب رگڑ نہ ہو۔ اگر ہوا کی رگڑ f موجود ہو تو مخفی توانائی کا ایک حصہ رگڑ کے خلاف کام fh میں خرچ ہوتا ہے، اس لیے mgh = ½mv² + fh بنتا ہے، یعنی مخفی توانائی میں کمی = حرکی توانائی میں اضافہ + رگڑ کے خلاف کام۔
مثال ۴.۵ میں کار کی Q پر رفتار 10.5 میٹر فی سیکنڈ نکلتی ہے، اور وہاں سے رکنے تک کا فاصلہ کتاب کے اپنے اعداد سے تقریباً 501 میٹر بنتا ہے (کتاب میں چھپا "50.1 میٹر" دس گنا غلط ہے)۔ مثال ۴.۶ میں ہوا کی اوسط رگڑ 3.8 نیوٹن نکلتی ہے۔
The book's exercise (printed pages 83–86) has five parts: Multiple Choice Questions (10), Short Answer Questions (10), Constructed Response Questions (7), Comprehensive Questions (6) and Numerical Problems (10) — 43 questions in all, every one answered below. There is no separate inquisitive or review section in this chapter's exercise, so none is invented here. MCQ keys were worked from the chapter's own formulas; the numerical answers printed in the book are checked against the working in each answer.
4.1. A 1 kg mass has potential energy of 1 joule relative to the ground when it is at a height of:
Answer: (a) 0.102 m — P.E. = mgh, so h = 1 / (1 × 9.8) = 0.102 m. One joule is a small amount of energy, so it only lifts a kilogram about ten centimetres. مخفی توانائی = mgh، اس لیے h = 1 ÷ 9.8 = 0.102 میٹر۔
4.2. An iron sphere whose mass is 30 kg has the same diameter as an aluminium sphere whose mass is 10.5 kg. The spheres are simultaneously dropped from a cliff. When they are 10 m from the ground, they have identical:
Answer: (a) accelerations — both fall with acceleration g, whatever their mass, so at the same height they have the same speed and the same acceleration. Momentum (mv), potential energy (mgh) and kinetic energy (½mv²) all contain mass, so the heavier iron sphere has larger values of all three. دونوں پر اسراع g ہی لگتا ہے، اس لیے اسراع برابر ہے؛ مومنٹم، مخفی اور حرکی توانائی میں ماس آتا ہے، اس لیے وہ برابر نہیں۔
4.3. A body at rest may have:
Answer: (d) energy — a body at rest has no speed, velocity or momentum, but it can still hold potential energy: a stone sitting on a roof is at rest and still has mgh waiting to be released. ساکن جسم کی رفتار اور مومنٹم صفر ہوتے ہیں، لیکن چھت پر رکھا پتھر مخفی توانائی رکھتا ہے۔
4.4. The height above the ground of a child on a swing varies from 0.5 m at his lowest point to 1.5 m at his highest point. The maximum speed of the child is approximately:
Answer: (b) 4.4 m s⁻¹ — the height difference is 1.5 − 0.5 = 1.0 m, so loss in P.E. = gain in K.E. gives mg(1.0) = ½mv², and v = √(2 × 9.8 × 1.0) = √19.6 ≈ 4.4 m s⁻¹. Mass cancels, which is why (d) is wrong. اونچائی کا فرق 1.0 میٹر ہے، اس لیے v = √(2 × 9.8 × 1) ≈ 4.4 میٹر فی سیکنڈ؛ ماس ختم ہو جاتا ہے۔
4.5. When a ball is thrown vertically upward and then falls back to the ground, which force can be considered conservative in this scenario?
Answer: (b) Gravity — gravity's work over the up-and-down round trip is zero (−mgh up, +mgh down), the definition of a conservative force. Air resistance and friction are path-dependent and dissipate energy as heat. کششِ ثقل کا بند راستے میں کام صفر ہوتا ہے، اس لیے وہ کنزرویٹو ہے؛ ہوا کی مزاحمت توانائی ضائع کرتی ہے۔
4.6. According to work-energy principle in linear motion, the work done on body is equal to:
Answer: (a) change in K.E. — that is the work–energy theorem itself: W = (K.E.)f − (K.E.)i. Change in P.E. alone would be the answer only for work against gravity, not for net work in general. یہی کام توانائی قضیہ ہے: خالص کام حرکی توانائی کی تبدیلی کے برابر ہوتا ہے۔
4.7. Power of a lamp is 6 W. How much energy does a lamp give out in 2 min?
Answer: (d) 720 J — energy = power × time = 6 W × 120 s = 720 J. The trap is (a): 6 × 2 = 12 only works if time is in seconds, and 2 minutes is 120 seconds. توانائی = پاور × وقت = 6 × 120 = 720 جول؛ 2 منٹ یعنی 120 سیکنڈ استعمال کریں۔
4.8. A dry battery can deliver 3000 J of energy to a 2 W small electric motor before the battery is exhausted. For how many minutes does the battery run?
Answer: (d) 25 min — time = energy / power = 3000 / 2 = 1500 s, and 1500 ÷ 60 = 25 min. Option (a) is the trap: 1500 is seconds, not minutes. وقت = توانائی ÷ پاور = 3000 ÷ 2 = 1500 سیکنڈ = 25 منٹ۔
4.9. The kinetic energy acquired by a mass m after travelling a fixed distance from rest under the action of a constant force is directly proportional to:
Answer: (d) independent of m — by the work–energy theorem, K.E. gained = work done = F × distance, and neither F nor the distance contains m. A heavy body gains the same kinetic energy as a light one over the same distance (it just ends up slower). حرکی توانائی = کام = F × فاصلہ، اس میں ماس آتا ہی نہیں، اس لیے جواب ماس سے آزاد ہے۔
4.10. A body moves a distance of 10 m along a straight line under the action of 5 N force. If the work done is 25 J, the angle which the force makes with the direction of motion of the body is:
Answer: (c) 60° — W = Fd cos θ gives 25 = 5 × 10 × cos θ, so cos θ = 25/50 = 0.5, and θ = 60°. W = Fd cos θ سے 25 = 50 cos θ، اس لیے cos θ = 0.5 اور θ = 60°۔
⚠️ Derived answer: the book has no dedicated passage on elevators, so this applies the chapter's power and work ideas to the situation. An elevator does not fall freely when it descends — its motor and brakes must hold it back and lower it at a controlled, steady speed. Holding a heavy cabin against gravity, overcoming friction in the guides and machinery, and running the braking and control system all take power, even though gravity is "helping" the descent. If the cabin is overloaded, the weight — and therefore the force the motor and brakes must control — grows beyond what they are rated for: the descent can speed up dangerously, the brakes can overheat or fail to hold, and the power needed to control the motion rises. That is why a passenger limit is a safety limit, not just a comfort rule: it keeps the load within the motor's and brakes' design rating. لفٹ آزادانہ نہیں گرتی؛ موٹر اور بریک اسے قابو میں رکھ کر آہستہ اتارتے ہیں، اس میں طاقت لگتی ہے۔ زیادہ مسافر ہوں تو وزن بڑھتا ہے، موٹر اور بریک کی گنجائش سے زیادہ بوجھ پڑتا ہے اور اترنا خطرناک ہو سکتا ہے، اس لیے مسافروں کی حد حفاظت کے لیے ہے۔
Two works are involved, with opposite signs. The work done by the Earth (by gravity) is negative: gravity pulls down while the body moves up, so the angle between force and displacement is 180° and W = mgH cos 180° = −mgH. The work done by the lifting agent (the force raising the body) is positive: it acts upward, in the direction of motion, so W = +mgH for a slow, steady lift. They cancel, which is why the body's kinetic energy does not change during a steady lift — all the positive work goes into increasing its potential energy by mgH. زمین (کششِ ثقل) کا کام منفی ہوتا ہے کیونکہ قوت نیچے اور حرکت اوپر ہے، یعنی −mgH؛ اٹھانے والی قوت کا کام مثبت +mgH ہوتا ہے کیونکہ وہ حرکت کی سمت میں ہے۔
No. Total mechanical energy (K.E. + P.E.) is conserved only when the only forces doing work are conservative. In air, air resistance — a non-conservative force — does negative work on the falling body all the way down, converting part of the mechanical energy into heat in the air and the body. So loss in P.E. = gain in K.E. + work done against air friction (section 4.8), and the mechanical energy at the bottom is less than at the top by exactly that friction work. Total energy is still conserved — it is just no longer all mechanical. نہیں۔ ہوا میں مزاحمت نان کنزرویٹو قوت ہے جو منفی کام کر کے میکانیکی توانائی کا کچھ حصہ حرارت میں بدل دیتی ہے، اس لیے K.E. + P.E. کا مجموعہ کم ہو جاتا ہے۔
Work done against gravity = mgh = 1000 × 9.8 × 100 = 980,000 J. Power = work / time = 980,000 / 20 = 49,000 W = 49 kW. کام = mgh = 1000 × 9.8 × 100 = 980,000 جول؛ پاور = 980,000 ÷ 20 = 49,000 واٹ = 49 کلوواٹ۔
Still 40 km h⁻¹. On a frictionless track there is no horizontal external force on the trolley, so there is nothing to speed it up or slow it down. The leaking sand leaves with the same forward velocity the trolley already has — it carries its share of momentum away with it, but it pushes nothing backwards on the trolley, so the remaining trolley keeps its velocity. Losing mass by itself does not change velocity; only a net force could do that, and here there is none. رفتار وہی 40 کلومیٹر فی گھنٹہ رہے گی۔ رگڑ کے بغیر پٹری پر کوئی افقی بیرونی قوت نہیں، اور نکلتی ریت ٹرالی کی ہی رفتار سے نکلتی ہے، اس لیے باقی ٹرالی کی رفتار نہیں بدلتی۔
Absolute units are the units from force × distance directly: in M.K.S (SI) the joule (1 J = 1 N × 1 m), and in C.G.S the erg (1 erg = 1 dyne × 1 cm), with 1 J = 10⁷ erg. Gravitational units measure work against gravity in weight units: in M.K.S the kilogram-metre (kgf·m) — the work done lifting 1 kgf through 1 m, equal to 9.8 J; in C.G.S the gram-centimetre (gf·cm) — lifting 1 gf through 1 cm, equal to 980 erg. The word "gravitational" just means the force unit is a weight (kilogram-force or gram-force) instead of an absolute force unit. مطلق اکائیاں: ایم کے ایس میں جول اور سی جی ایس میں ارگ (1 جول = 10⁷ ارگ)۔ کششی اکائیاں: ایم کے ایس میں کلوگرام میٹر (9.8 جول) اور سی جی ایس میں گرام سینٹی میٹر (980 ارگ)۔
Without air friction the speed at the ground would be √(2gH) and the kinetic energy mgH. Actually the body arrives with speed 1.2√(gH), so its kinetic energy is ½m(1.2√(gH))² = ½m × 1.44gH = 0.72mgH. The missing 1.00mgH − 0.72mgH = 0.28mgH is the energy spent against air friction, so the work done by air friction is −0.28 mgH (negative because friction opposes the motion; its magnitude is 0.28mgH). بغیر رگڑ کے حرکی توانائی mgH ہوتی؛ اصل رفتار سے حرکی توانائی 0.72mgH بنتی ہے، اس لیے ہوا کی رگڑ کا کام −0.28mgH ہے۔
(i) Kinetic energy depends on speed squared, so doubling the speed multiplies K.E. by 2² = 4: 4 × 150 = 600 J. (ii) Tripling the mass multiplies K.E. by 3, and halving the speed multiplies it by (½)² = ¼, so the combined factor is 3 × ¼ = ¾: ¾ × 150 = 112.5 J. (i) رفتار دوگنی ہو تو توانائی چار گنا: 600 جول۔ (ii) ماس تین گنا اور رفتار آدھی ہو تو عامل 3 × ¼ = ¾، اس لیے 112.5 جول۔
Kinetic energy becomes four times. Momentum p = mv, and K.E. can be written as p²/2m. If momentum doubles (with the same mass, velocity doubles too), the new K.E. is (2p)²/2m = 4p²/2m = 4 times the old K.E. The same result follows from ½m(2v)² = 4 × ½mv². مومنٹم دوگنا ہو تو رفتار بھی دوگنی ہوتی ہے، اور K.E. = p²/2m سے توانائی چار گنا ہو جاتی ہے۔
⚠️ Derived answer: the book does not discuss the space station, so this applies the chapter's energy ideas to it. Both. The station orbits a few hundred kilometres above Earth, still deep inside Earth's gravitational field, so it has gravitational potential energy — negative, U = −GMm/r, but higher (less negative) than on the surface because it is farther from Earth's centre. And it races around Earth at roughly 7.7 km s⁻¹, so it has an enormous kinetic energy, ½mv², which is exactly what keeps it in orbit instead of falling straight down. In fact its orbit is a balance of the two: the kinetic energy is about half the magnitude of its potential energy, the usual situation for a circular orbit. دونوں۔ خلائی اسٹیشن زمین کے کششی میدان میں ہے، اس لیے اس کی کششی مخفی توانائی ہے، اور وہ تقریباً 7.7 کلومیٹر فی سیکنڈ کی رفتار سے گردش کرتا ہے، اس لیے اس کی حرکی توانائی بھی بہت زیادہ ہے۔
A force is conservative when it satisfies either of these two (equivalent) conditions: (1) the work done by the force in moving an object between two points is independent of the path followed — straight, curved or roundabout, the answer is the same; (2) the work done by the force over any closed path (out and back to the start) is zero. Gravity passes both tests; friction fails both. قوت کنزرویٹو تب کہلاتی ہے جب (1) دو نقطوں کے درمیان اس کا کام راستے پر منحصر نہ ہو، اور (2) بند راستے میں اس کا کام صفر ہو۔
The lighter body. Kinetic energy in terms of momentum is K.E. = p²/2m, so for the same momentum p, kinetic energy is inversely proportional to mass — the smaller the mass, the larger the kinetic energy. Intuitively, the same momentum in a light body means a much higher velocity, and velocity is squared in kinetic energy. ہلکا جسم۔ K.E. = p²/2m ہے، اس لیے برابر مومنٹم پر کم ماس والی چیز کی حرکی توانائی زیادہ ہوتی ہے۔
Net work is zero, but that does not mean nothing is working. With no net force, the work–energy theorem gives Wnet = change in K.E. = 0, since the speed is constant. Individually, the engine does positive work pushing the motorcycle forward, while friction and air resistance do an equal amount of negative work holding it back — the two cancel exactly. So: work is being done by individual forces, but the net work on the motorcycle is zero. خالص کام صفر ہے کیونکہ رفتار مستقل ہے، اس لیے حرکی توانائی نہیں بدلتی۔ انجن مثبت کام کرتا ہے اور رگڑ اتنا ہی منفی کام، دونوں برابر ہو کر ختم ہو جاتے ہیں۔
Negative work. The ball's kinetic energy falls from ½m(14)² to ½m(6)², so the change in K.E. is negative. By the work–energy theorem, work done = change in K.E., so the work is negative — the force must have acted opposite to the motion, like a braking force, taking energy out of the ball rather than putting it in. منفی کام۔ رفتار 14 سے 6 ہوئی تو حرکی توانائی کم ہوئی، اور کام توانائی قضیہ کے مطابق کام بھی منفی ہوگا، یعنی قوت حرکت کے مخالف لگی۔
Because kinetic energy is ½mv² — it depends on mass and speed, and a huge mass can outweigh a modest speed advantage. A truck may be several times heavier than a car; even if its speed is lower, the mass factor can dominate the squared-speed factor. For example, a truck 10 times heavier than a car moving at half the car's speed still has 10 × (½)² = 2.5 times the car's kinetic energy. Speed matters more per unit, but mass is not a bystander. کیونکہ حرکی توانائی ½mv² ہے، اس میں ماس بھی آتا ہے۔ ٹرک کا ماس اتنا زیادہ ہو سکتا ہے کہ کم رفتار کے باوجود اس کی توانائی کار سے زیادہ ہو جائے۔
Work against friction is non-conservative because it depends on the path: friction does work equal to the frictional force times the length of the path travelled, so a longer route means more work, and a round trip does not cancel — friction opposes motion on the return leg too, so it keeps doing negative work instead of undoing the outward work. Energy spent against friction is dissipated as heat and cannot be recovered by retracing the path, which is the opposite of a conservative force like gravity. رگڑ کے خلاف کام راستے کی لمبائی پر منحصر ہوتا ہے، لمبا راستہ زیادہ کام، اور واپسی پر بھی رگڑ منفی کام کرتی ہے، اس لیے یہ توانائی حرارت بن کر ضائع ہو جاتی ہے اور واپس نہیں آتی۔
Yes. Wind is air in motion, and any moving mass has kinetic energy ½mv². A parcel of moving air of mass m moving with the wind speed v carries exactly that much kinetic energy — which is why wind can do work: it pushes sails, turns wind-turbine blades, and knocks things over in a storm. The faster the wind or the denser the air, the more kinetic energy each cubic metre carries, and wind turbines exist precisely to convert that kinetic energy into electrical energy. جی ہاں۔ ہوا حرکت میں ہے اور حرکت کرنے والے ہر ماس میں حرکی توانائی ½mv² ہوتی ہے؛ اسی لیے ہوا بادبانوں کو دھکیلتی ہے اور ونڈ ٹربائن کے پر گھماتی ہے۔
Definition: kinetic energy is the energy possessed by a body due to its motion — it is the work the body can do by virtue of moving before it comes to rest. Derivation (book, section 4.5): consider a car of mass m moving with speed v. Its engine is switched off and it is stopped by friction f over a distance d. The work done by the car against friction is fd, and that work is its kinetic energy. By Newton's second law the retarding force is f = ma, where a is the (negative) acceleration. The third equation of motion, 2aS = vf² − vi², with S = d, vi = v and vf = 0, gives 2(−f/m)d = 0 − v², i.e. fd = ½mv². Hence K.E. = ½mv², with unit joule.
۱۔ تعریف: حرکی توانائی کسی جسم کی وہ توانائی ہے جو اس کی حرکت کی وجہ سے ہوتی ہے، یعنی وہ کام جو جسم حرکت کے باعث رکنے سے پہلے کر سکتا ہے۔
۲۔ اشتقاق: ماس m کی گاڑی v رفتار سے چل رہی ہے، انجن بند ہونے پر رگڑ f اسے d فاصلے میں روکتی ہے۔ رگڑ کے خلاف کام fd ہے اور یہی کام گاڑی کی حرکی توانائی ہے۔ نیوٹن کے دوسرے قانون سے f = ma اور حرکت کی تیسری مساوات 2aS = vf² − vi² سے، vf = 0 اور vi = v رکھنے پر 2(−f/m)d = −v² ملتا ہے، یعنی fd = ½mv²۔ اس لیے K.E. = ½mv²، اکائی جول ہے۔
(i) Constant force: if a constant force F displaces a body through d in the direction of the force, W = Fd. If the force makes an angle θ with the displacement, only the component along the displacement works, so W = Fd cos θ, or in vector form W = F · d. Work is a scalar, its unit is the joule, and its sign follows θ: positive for θ < 90°, zero at 90°, negative beyond 90°. A force–displacement graph for a constant force is a horizontal line, and the work is the rectangular area under it, F × d. (ii) Variable force: no single F exists, so the path from P to Q is divided into n small intervals Δdᵢ with nearly constant forces Fᵢ. The work in one interval is Fᵢ cos θᵢ Δdᵢ, and the total is the sum W = Σ Fᵢ cos θᵢ Δdᵢ. As the intervals shrink to zero the sum becomes exact, and on a graph it is the area under the F cos θ versus d curve between P and Q — for example, a rectangle plus a triangle giving 20 J + 5 J = 25 J in Example 4.1.
۱۔ مستقل قوت: اگر مستقل قوت F جسم کو اپنی سمت میں d فاصلہ لے جائے تو W = Fd، اور زاویہ θ ہو تو W = Fd cos θ یعنی W = F · d۔ کام اسکیلر ہے، اکائی جول ہے، اور علامت زاویے سے طے ہوتی ہے۔
۲۔ متغیر قوت: راستے کو چھوٹے حصوں میں توڑا جاتا ہے، ہر حصے کا کام Fᵢ cos θᵢ Δdᵢ ہوتا ہے اور کل کام ان کا مجموعہ W = Σ Fᵢ cos θᵢ Δdᵢ ہے۔ گراف پر یہ F cos θ اور d کے منحنی کے نیچے کا رقبہ ہوتا ہے۔
Definition: a conservative field is a field in which the force is conservative — the work done by the field force in moving a body between two points is independent of the path, and the work over any closed path is zero. The gravitational field is the region around the Earth in which its gravitational force acts on a body. Proof (book, section 4.3): move a mass m from A (ground) to B (height h) along three different paths. Path 1 (horizontal, then vertical): work along the horizontal part is zero since weight is perpendicular to it, and along the vertical part it is −mgh, total −mgh. Path 2 (vertical, then horizontal): −mgh + 0 = −mgh. Path 3 (smooth curve): break it into tiny horizontal and vertical steps; the horizontal steps contribute nothing, the vertical steps sum to the total height h, and the total is again −mgh. All paths agree, and a round trip (up then down) gives −mgh + mgh = 0. Therefore the work done by gravity is path-independent, so the gravitational field is conservative.
۱۔ تعریف: کنزرویٹو میدان وہ میدان ہے جس میں قوت کا دو نقطوں کے درمیان کام راستے پر منحصر نہ ہو اور بند راستے میں کام صفر ہو۔ کششی میدان زمین کے گرد وہ علاقہ ہے جس میں اس کی کششِ ثقل کسی جسم پر اثر کرتی ہے۔
۲۔ ثبوت: ماس m کو A سے B (اونچائی h) تک تین راستوں سے لے جائیں: افقی حصے پر کام صفر، عمودی حصے پر −mgh، اور خمیدہ راستے کو چھوٹے افقی و عمودی قدموں میں توڑنے پر بھی مجموعہ −mgh ہی بنتا ہے۔ بند راستے میں −mgh + mgh = 0، اس لیے کششی میدان کنزرویٹو ہے۔
Meaning: the absolute gravitational potential energy of an object at a certain position is the work done by the gravitational force in displacing the object from that position to infinity, where the force of gravity becomes zero. The zero of potential energy is thus fixed at infinity, which is why absolute potential energies come out negative. Derivation (book, section 4.5): divide the distance from point 1 (distance r₁ from Earth's centre) to point N into small steps of length Δr. For one step, from r₁ to r₂, the middle distance is r = (r₁ + r₂)/2 = r₁ + Δr/2, and the force there is F = GMm/r². Squaring and dropping the tiny (Δr/2)² term gives r² = r₁r₂, so F = GMm/(r₁r₂) and the work for the step is W = FΔr cos 180° = −GMm(Δr)/(r₁r₂) = −GMm(1/r₁ − 1/r₂). Adding all steps, the intermediate terms cancel, leaving total work W = −GMm(1/r₁ − 1/rN). With rN = ∞, the second term vanishes, and the total work — the absolute potential energy at r₁ — is U = −GMm/r. On Earth's surface (r = R) this is U₀ = −GMm/R.
۱۔ مفہوم: کسی مقام پر جسم کی مطلق کششی مخفی توانائی وہ کام ہے جو کششِ ثقل کی قوت اس جسم کو اس مقام سے لامحدود فاصلے تک لے جانے میں کرتی ہے، جہاں کششِ ثقل صفر ہو جاتی ہے۔ صفر لامحدود پر رکھا جاتا ہے، اس لیے مطلق مخفی توانائی منفی آتی ہے۔
۲۔ اشتقاق: سفر کو Δr کے چھوٹے قدموں میں توڑیں؛ ایک قدم کا کام −GMm(1/r₁ − 1/r₂) بنتا ہے، سب قدم جمع کرنے پر درمیانی رقمیں ختم ہو جاتی ہیں اور لامحدود پر U = −GMm/r ملتا ہے، سطح پر U₀ = −GMm/R۔
Statement: the change in kinetic energy of an object equals the work done on it by the net force; in a resistive medium, part of the energy is spent doing work against the resistive (frictional) force, so the theorem takes the form: loss in P.E. = gain in K.E. + work done against friction, and conversely loss of K.E. = gain in P.E. + work done against friction. Explanation: for a body falling through height h against a frictional force f, the work-energy balance is mgh = ½mv² + fh, i.e. mgh − fh = ½mv² (4.21): the potential energy lost is split between the kinetic energy gained and the work fh spent against friction. For a body climbing or sliding to rest, the same split applies with the signs reversed — e.g. a car coasting uphill loses kinetic energy partly to gaining potential energy and partly to friction work, ½m(vi² − vf²) = mgh + fd. The theorem remains valid because friction is simply included as one more force doing work; what changes is only that total mechanical energy is no longer constant, since the friction share leaves as heat.
۱۔ بیان: کسی جسم کی حرکی توانائی میں تبدیلی اس پر لگنے والی خالص قوت کے کام کے برابر ہوتی ہے؛ مزاحمتی واسطے میں توانائی کا ایک حصہ رگڑ کے خلاف کام میں خرچ ہوتا ہے، اس لیے مخفی توانائی میں کمی = حرکی توانائی میں اضافہ + رگڑ کے خلاف کام۔
۲۔ وضاحت: h اونچائی سے گرنے والے جسم کے لیے mgh = ½mv² + fh یعنی mgh − fh = ½mv² ہے: ضائع شدہ مخفی توانائی کا ایک حصہ حرکی توانائی بنتا ہے اور ایک حصہ رگڑ کے خلاف کام میں جاتا ہے۔ میکانیکی توانائی اس لیے مستقل نہیں رہتی کہ رگڑ والا حصہ حرارت بن جاتا ہے۔
Definition: the initial velocity of an object with which it goes out of the Earth's gravitational field is known as escape velocity. Derivation: to escape, the body's initial kinetic energy must cover the whole increase in potential energy from the surface to infinity. At the surface the absolute potential energy is −GMm/R and at infinity it is zero, so the increase in P.E. is 0 − (−GMm/R) = GMm/R. Equating, ½mvesc² = GMm/R. The mass m cancels, giving vesc = √(2GM/R). Now g = GM/R², so GM = gR², and substituting gives vesc = √(2gR). Numerical value: with g = 9.8 m s⁻² and R = 6.4 × 10⁶ m, vesc = √(2 × 9.8 × 6.4 × 10⁶) = √(1.254 × 10⁸) ≈ 11.2 × 10³ m s⁻¹ = 11.2 km s⁻¹ (the book's text rounds this to approximately 11 km s⁻¹).
۱۔ تعریف: کسی جسم کی وہ ابتدائی رفتار جس سے وہ زمین کے کششی میدان سے باہر نکل جائے، فرار کی رفتار کہلاتی ہے۔
۲۔ اشتقاق: فرار کے لیے ابتدائی حرکی توانائی کو مخفی توانائی کے پورے اضافے کے برابر ہونا چاہیے: ½mv² = GMm/R۔ ماس ختم ہو جاتا ہے تو v = √(2GM/R) ملتا ہے، اور g = GM/R² رکھنے سے v = √(2gR) بنتا ہے۔
۳۔ عددی قیمت: g = 9.8 اور R = 6.4 × 10⁶ رکھنے سے v ≈ 11.2 کلومیٹر فی سیکنڈ آتی ہے (کتاب تقریباً 11 کلومیٹر فی سیکنڈ لکھتی ہے)۔
Step 1 — kinetic energy of one bullet: ½mv² = ½ × 0.040 kg × (700)² = 0.020 × 490,000 = 9,800 J. Step 2 — energy per minute for 6 bullets: 6 × 9,800 = 58,800 J per minute. Step 3 — power = energy / time = 58,800 / 60 = 980 W. ✓ Matches the book. ایک گولی کی توانائی ½ × 0.040 × 700² = 9,800 جول؛ 6 گولیوں کی 58,800 جول فی منٹ؛ پاور = 58,800 ÷ 60 = 980 واٹ۔
Step 1 — useful power per square metre: 75% of 300 = 0.75 × 300 = 225 W m⁻². Step 2 — area needed = total power ÷ power per square metre = 10,000 ÷ 225 = 44.44 m². ✓ Matches the book. فی مربع میٹر کارآمد پاور 75% × 300 = 225 واٹ؛ رقبہ = 10,000 ÷ 225 = 44.44 مربع میٹر۔
Step 1 — convert distance: 160 million km = 1.6 × 10¹¹ m. Step 2 — absolute gravitational P.E., U = −GMm/r = −(6.67 × 10⁻¹¹ × 6.0 × 10²⁴ × 1.99 × 10³⁰) / (1.6 × 10¹¹). Step 3 — numerator: 6.67 × 6.0 × 1.99 ≈ 79.6, so 79.6 × 10⁴³ = 7.96 × 10⁴⁴; dividing by 1.6 × 10¹¹ gives 4.97 × 10³³. Hence U = −4.97 × 10³³ J. ✓ Matches the book. The negative sign is correct: Earth is bound in the Sun's field. فاصلہ 1.6 × 10¹¹ میٹر؛ U = −GMm/r سے جواب −4.97 × 10³³ جول بنتا ہے، منفی علامت اس لیے کہ زمین سورج کے میدان میں بندھی ہوئی ہے۔
Step 1 — mass: m = w/g = 98 / 9.8 = 10 kg. Step 2 — potential energy lost: mgh = 98 × 10 = 980 J. Step 3 — kinetic energy gained: ½mv² = ½ × 10 × 12² = 720 J. Step 4 — work against friction: 980 − 720 = 260 J, and work = f × h, so f = 260 / 10 = 26 N. ✓ Matches the book. ماس = 98 ÷ 9.8 = 10 کلوگرام؛ ضائع شدہ مخفی توانائی 980 جول، حاصل شدہ حرکی توانائی 720 جول، فرق 260 جول = f × 10، اس لیے f = 26 نیوٹن۔
Step 1 — total hours: 8 × 30 = 240 hours. Step 2 — energy: 75 W × 240 h = 18,000 Wh = 18 kWh = 18 units (one unit = 1 kWh). Step 3 — bill: 18 × 22.5 = Rs. 405. ✓ Matches the book. کل گھنٹے 8 × 30 = 240؛ توانائی 75 × 240 = 18,000 واٹ آور = 18 یونٹ؛ بل 18 × 22.5 = 405 روپے۔
Step 1 — weight: mg = 2 × 9.8 = 19.6 N. (i) Upward: gravity acts downward while displacement is upward (180°), so W = mgh cos 180° = −19.6 × 5 = −98 J. (ii) Downward: gravity and displacement are in the same direction (0°), so W = +19.6 × 5 = +98 J. (iii) Total: −98 + 98 = 0 J. Physical significance: the round trip is a closed path, and gravity's work over it is zero — the textbook signature of a conservative force. The energy was only parked as potential energy on the way up and handed back on the way down. ✓ Matches the book. (i) اوپر جاتے ہوئے −98 جول، (ii) واپس آتے ہوئے +98 جول، (iii) مجموعہ صفر۔ یہ بند راستے میں کام صفر ہونے کی علامت ہے، یعنی کششِ ثقل کنزرویٹو قوت ہے۔
(a) Input work = power × time: 1 hp = 746 W, time = 15 min = 900 s, so input = 746 × 900 = 671,400 J = 671.4 kJ. (b) Output work = useful work lifting the water: 400 litres of water = 400 kg, so mgh = 400 × 9.8 × 10 = 39,200 J = 39.2 kJ. ✓ Matches the book. (The large gap between input and output is the pump system's inefficiency — most of the motor's energy does not end up as lifted water.) (a) ان پٹ کام = 746 × 900 = 671,400 جول = 671.4 کلوجول۔ (b) آؤٹ پٹ کام = 400 × 9.8 × 10 = 39,200 جول = 39.2 کلوجول۔
Only the component along the floor works: W = Fd cos θ = 200 × 50 × cos 45° = 10,000 × 0.707 = 7,071 J ≈ 7 kJ. ✓ Matches the book (rounded). W = Fd cos θ = 200 × 50 × cos 45° = 7,071 جول ≈ 7 کلوجول۔
Step 1 — convert speed: 40 km h⁻¹ = 40 × 1000 / 3600 = 11.11 m s⁻¹. Step 2 — force needed: F = ma = 1200 × 2 = 2400 N. Step 3 — power: P = Fv = 2400 × 11.11 = 26,667 W ≈ 26.67 kW. ✓ Matches the book. رفتار 40 کلومیٹر فی گھنٹہ = 11.11 میٹر فی سیکنڈ؛ قوت = 1200 × 2 = 2400 نیوٹن؛ پاور = 2400 × 11.11 ≈ 26.67 کلوواٹ۔
Step 1 — work done lifting: mgh = 0.200 × 9.8 × 10 = 19.6 J. Step 2 — kinetic energy at impact: 75% of 19.6 = 14.7 J. Step 3 — velocity: ½mv² = 14.7 gives v² = 2 × 14.7 / 0.200 = 147, so v = √147 ≈ 12.1 m s⁻¹. ✓ Matches the book. (Without the 25% loss, the speed would have been √(2 × 9.8 × 10) = 14 m s⁻¹.) اٹھانے کا کام 0.200 × 9.8 × 10 = 19.6 جول؛ 75% یعنی 14.7 جول حرکی توانائی بنی؛ v² = 147 سے v ≈ 12.1 میٹر فی سیکنڈ۔
This chapter is one connected argument, and it is worth seeing whole before you revise the pieces. Work is force times displacement along the motion (W = Fd cos θ), and for a changing force it is the area under the force–displacement graph. Some forces, like gravity, do path-independent work and are conservative; others, like friction, eat energy along every metre of path and are non-conservative. Power is how fast the work gets done (P = W/t = F·v). Energy is the capacity to do work: kinetic energy ½mv² from motion, potential energy mgh near the ground and −GMm/r in general, and the two swap into each other as a body falls — unless friction takes its share. Escape velocity, √(2gR) ≈ 11.2 km s⁻¹, is just the energy bill for leaving Earth altogether, and the work–energy theorem, W = change in K.E., ties the whole chapter together in one equation.
Topics covered, with links:
Revision guidance: first, write the five formulas from memory — W = Fd cos θ, K.E. = ½mv², P.E. = mgh, U = −GMm/r, vesc = √(2gR) — and the theorem W = ΔK.E. Then practise the two graph questions (constant-force rectangle, variable-force area) and the two sign questions (work by gravity up vs down, work by friction always negative). Finally, redo the numericals that mix two ideas — the crane power, the fan units, and the falling body with friction — because those are the ones that appear, slightly changed, in board papers.
یہ باب ایک جڑی ہوئی بحث ہے: کام قوت اور حرکت کی سمت میں طے شدہ فاصلے کا حاصلِ ضرب ہے، بدلتی قوت کے لیے گراف کے نیچے کا رقبہ ہے۔ کششِ ثقل جیسی قوتیں راستے سے آزاد کام کرتی ہیں اور کنزرویٹو ہیں، رگڑ جیسی قوتیں راستے کے ہر میٹر پر توانائی کھاتی ہیں اور نان کنزرویٹو ہیں۔ پاور کام کی شرح ہے، توانائی کام کی صلاحیت ہے: حرکی توانائی ½mv²، مخفی توانائی زمین کے قریب mgh اور عام طور پر −GMm/r، اور گرتے جسم میں دونوں ایک دوسرے میں بدلتی رہتی ہیں جب تک رگڑ اپنا حصہ نہ لے لے۔ فرار کی رفتار √(2gR) ≈ 11.2 کلومیٹر فی سیکنڈ زمین چھوڑنے کی توانائی کی قیمت ہے، اور کام توانائی قضیہ پورے باب کو ایک مساوات میں جوڑ دیتا ہے۔
نظرثانی کی رہنمائی: پہلے پانچ فارمولے زبانی لکھیں — W = Fd cos θ، K.E. = ½mv²، P.E. = mgh، U = −GMm/r، v = √(2gR) — اور قضیہ W = ΔK.E.۔ پھر گراف والے دو سوال اور علامت والے دو سوال کریں (اوپر نیچے کششِ ثقل کا کام، رگڑ کا ہمیشہ منفی کام)۔ آخر میں وہ عددی سوال دہرائیں جن میں دو تصور ملتے ہیں — کرین کی پاور، پنکھے کے یونٹ، اور رگڑ والا گرتا جسم — کیونکہ بورڈ کے پرچوں میں یہی انداز آتا ہے۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 1 Physics, Chapter 4 (New Book, Session 2026–27) • English + Urdu