This unit teaches you to read a function from its picture: where it cuts the axes, where it turns, and how the graph moves when the equation changes. Quadratic graphs by factorization come first, then algebraic and transcendental functions, exponential and logarithmic functions, hyperbolic functions, inverse functions and graph transformations.
اس یونٹ میں آپ فنکشن کو اس کی تصویر سے پڑھنا سیکھیں گے: گراف محوروں کو کہاں کاٹتا ہے، کہاں مڑتا ہے، اور مساوات بدلنے سے گراف کیسے حرکت کرتا ہے۔ پہلے فیکٹرائزیشن سے کوانڈریٹک گراف، پھر الجبرک اور ٹرانسینڈینٹل فنکشنز، ایکسپونینشل اور لوگارتھمک فنکشنز، ہائپربولک فنکشنز، معکوس فنکشنز اور گراف کی تبدیلیاں پڑھیں گے۔
For y = ax² + bx + c, factorize as y = a(x − h)(x − k) with h ≤ k. The graph is a parabola cutting the x-axis at (h, 0) and (k, 0). The vertex lies halfway between the roots, at x = (h + k)/2. If a > 0 it opens upward; if a < 0 it opens downward.
y = ax² + bx + c کو y = a(x − h)(x − k) کی صورت میں فیکٹرائز کریں۔ گراف ایک پیرابولا ہے جو x-axis کو (h, 0) اور (k, 0) پر کاٹتا ہے۔ ورٹیکس دونوں روٹس کے درمیان x = (h + k)/2 پر ہوتا ہے۔ اگر a > 0 ہو تو پیرابولا اوپر کی طرف اور اگر a < 0 ہو تو نیچے کی طرف کھلتا ہے۔
Algebraic functions are built from powers, roots and rational operations — polynomials, rational functions and root functions. Transcendental functions cannot be written that way: trigonometric, exponential and logarithmic functions are the main examples. Knowing the family tells you the graph's shape before you plot a single point.
الجبرک فنکشنز طاقتوں، جزر اور نسبتی عملوں سے بنتے ہیں — پولینومیل، ریشنل اور روٹ فنکشنز۔ ٹرانسینڈینٹل فنکشنز اس طرح نہیں لکھے جا سکتے: مثلثی، ایکسپونینشل اور لوگارتھمک فنکشنز اس کی اہم مثالیں ہیں۔ خاندان معلوم ہو تو گراف کی شکل پہلے سے اندازہ ہو جاتی ہے۔
y = aˣ (a > 0, a ≠ 1) always passes through (0, 1) and never touches the x-axis. Its inverse is y = log_a x, defined only for x > 0. Laws of logarithms: log(ab) = log a + log b; log(a/b) = log a − log b; log(aⁿ) = n log a; change of base: log_a x = ln x / ln a.
y = aˣ ہمیشہ (0, 1) سے گزرتا ہے اور x-axis کو کبھی نہیں چھوتا۔ اس کا معکوس y = log_a x ہے جو صرف x > 0 کے لیے تعریف شدہ ہے۔ لوگارتھم کے قوانین: log(ab) = log a + log b؛ log(a/b) = log a − log b؛ log(aⁿ) = n log a۔
sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2 and cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2. They are named for the hyperbola, just as sine and cosine are named for the circle. The key identity is cosh²x − sinh²x = 1, and tanh x = sinh x / cosh x. The graph of cosh x is a catenary — the shape of a hanging chain.
sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2 اور cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2 ہیں۔ ان کا نام ہائپربولا سے ہے، جیسے سائن اور کوسائن کا نام دائرے سے ہے۔ اہم شناخت cosh²x − sinh²x = 1 ہے۔ cosh x کا گراف لٹکی ہوئی زنجیر کی شکل (catenary) بناتا ہے۔
Only a one-to-one function has an inverse. The graph of f⁻¹ is the reflection of the graph of f in the line y = x: the point (a, b) on f becomes (b, a) on f⁻¹. Domain of f⁻¹ = range of f, and range of f⁻¹ = domain of f. Check: f(f⁻¹(x)) = x and f⁻¹(f(x)) = x.
صرف یک رخی (one-to-one) فنکشن کا معکوس ہوتا ہے۔ f⁻¹ کا گراف f کے گراف کا y = x لائن میں عکس ہوتا ہے: f پر نقطہ (a, b) ہو تو f⁻¹ پر (b, a) ہوگا۔ f⁻¹ کا ڈومین f کی رینج کے برابر ہوتا ہے۔
Shifts: f(x − 2) moves the graph 2 units right (not left!); f(x) + 3 moves it 3 units up. Stretching: 2f(x) stretches vertically by 2; f(2x) compresses horizontally by 2. Growth and decay: N = N₀e^{kt} models population growth (k > 0) and radioactive decay (k < 0). Sound level in decibels: L = 10 log₁₀(I/I₀).
شفٹ: f(x − 2) گراف کو 2 یونٹ دائیں لے جاتا ہے (بائیں نہیں!)؛ f(x) + 3 اسے 3 یونٹ اوپر لے جاتا ہے۔ کھچاؤ: 2f(x) عمودی طور پر 2 گنا کھینچتا ہے۔ بڑھوتری اور زوال: N = N₀e^{kt} آبادی کی بڑھوتری اور تابکار زوال کا ماڈل ہے۔
The questions below are taken from this unit's exercise in the official PECTAA Mathematics 12 textbook (National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27). Only selected questions are solved here — the full exercise is in the book itself. Solutions are worked step by step by this guide book; final answers agree with the book's Answers section where it gives them.
نیچے دیے گئے سوالات سرکاری PECTAA ریاضی 12 کی کتاب کی اس یونٹ کی ایکسرسائز سے لیے گئے ہیں (نیشنل کریکولم 2023، سیشن 2026–27)۔ یہاں صرف منتخب سوالات حل کیے گئے ہیں — مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔ حل مرحلہ وار اس گائیڈ بک نے تیار کیے ہیں۔
یہ سوال کتاب کے printed pages 1–33 والی unit کی exercise سے منتخب کیے گئے ہیں — نیچے 5 حل شدہ سوال ہیں. یہ پوری exercise کا ہر سوال نہیں ہے; جو سوال یہاں نہیں ہیں انھیں invent کر کے نہیں لکھا گیا. اس کے بعد SLO-based practice MCQs ہیں, جو کتاب کی exercise سے نہیں, board pattern کی practice کے لیے لکھے گئے ہیں.
ایکسرسائز 1.5، سوال 1 — آبادی N = 300e^{0.02t} سے دی گئی ہے، جہاں t گھنٹوں میں ہے۔ وہ وقت معلوم کریں جب آبادی 600 ہو جائے۔
Set 300e^{0.02t} = 600, so e^{0.02t} = 2. Take natural logs: 0.02t = ln 2, so t = ln 2 / 0.02 ≈ 0.6931 / 0.02 ≈ 34.66 hours.
300e^{0.02t} = 600 رکھیں تو e^{0.02t} = 2۔ قدرتی لوگارتھم لیں: 0.02t = ln 2، اس لیے t = ln 2 / 0.02 ≈ 34.66 گھنٹے۔
ایکسرسائز 1.5، سوال 2 — ایک کلچر N = 150e^{kt} کے مطابق بڑھتا ہے۔ 10 گھنٹوں بعد آبادی 250 ہو جاتی ہے۔ گروتھ کانسٹینٹ k معلوم کریں۔
150e^{10k} = 250, so e^{10k} = 5/3. Then 10k = ln(5/3) ≈ 0.5108, so k ≈ 0.0511 per hour.
150e^{10k} = 250 ہو تو e^{10k} = 5/3۔ پھر 10k = ln(5/3) ≈ 0.5108، اس لیے k ≈ 0.0511 فی گھنٹہ۔
ایکسرسائز 1.5، سوال 9 — 4000 روپے 6 فیصد سالانہ کی شرح سے 3 سال کے لیے سالانہ کمپاؤنڈ پر لگائے گئے۔ حتمی رقم معلوم کریں۔
A = 4000(1.06)³ = 4000 × 1.191016 = Rs. 4764.06.
A = 4000(1.06)³ = 4000 × 1.191016 = 4764.06 روپے۔
ایکسرسائز 1.5، سوال 11 — 3000 روپے 5 فیصد سالانہ کی شرح سے 4 سال کے لیے مسلسل کمپاؤنڈ پر لگائے گئے۔ حتمی رقم معلوم کریں۔
A = 3000e^{0.05×4} = 3000e^{0.2} = 3000 × 1.22140 = Rs. 3664.21.
A = 3000e^{0.2} = 3000 × 1.22140 = 3664.21 روپے۔
ایکسرسائز 1.5، سوال 12 — 2000 روپے مسلسل کمپاؤنڈنگ سے 6 فیصد سالانہ پر 3320.12 ہو جاتے ہیں۔ وقت t معلوم کریں۔
2000e^{0.06t} = 3320.12, so e^{0.06t} = 1.66006. Then 0.06t = ln(1.66006) ≈ 0.5070, so t ≈ 8.45 years.
2000e^{0.06t} = 3320.12 ہو تو e^{0.06t} = 1.66006۔ پھر 0.06t ≈ 0.5070، اس لیے t ≈ 8.45 سال۔
These three MCQs are board-pattern practice written for this guide book. Answers are in the accordion below. They are NOT questions from the book exercise — the correct option in each list is also marked (✓).
1. The vertex of y = 3(x + 1)(x − 1) is:
Correct answer: (B) (0, −3) — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
2. f(x − 2) shifts the graph of f:
Correct answer: (B) 2 units right — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
3. log₂32 equals:
Correct answer: (B) 5 — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
Graphical Representation of Functions — For y = ax² + bx + c, factorize as y = a(x − h)(x − k) with h ≤ k. Algebraic functions are built from powers, roots and rational operations — polynomials, rational functions and root functions. y = aˣ (a > 0, a ≠ 1) always passes through (0, 1) and never touches the x-axis. sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2 and cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2. Only a one-to-one function has an inverse. Shifts: f(x − 2) moves the graph 2 units right (not left!); f(x) + 3 moves it 3 units up.
Revision guidance: پہلے 5 حل شدہ سوال خود حل کرنے کی کوشش کرو, پھر جواب سے ملاؤ; 3 practice MCQs بھی خود حل کرو. جو formula اس chapter میں ہے, اسے لکھ کر یاد کرو — رٹا نہیں, سمجھ کر. پوری exercise کے باقی سوال کتاب سے حل کرو; یہ page منتخب سوالوں کا guide ہے, پوری exercise کا متبادل نہیں.
y = ax² + bx + c کو y = a(x − h)(x − k) کی صورت میں فیکٹرائز کریں۔ گراف ایک پیرابولا ہے جو x-axis کو (h, 0) اور (k, 0) پر کاٹتا ہے۔ ورٹیکس دونوں روٹس کے درمیان x = (h + k)/2 پر ہوتا ہے۔ اگر a > 0 ہو تو پیرابولا اوپر کی طرف اور اگر a < الجبرک فنکشنز طاقتوں، جزر اور نسبتی عملوں سے بنتے ہیں — پولینومیل، ریشنل اور روٹ فنکشنز۔ ٹرانسینڈینٹل فنکشنز اس طرح نہیں لکھے جا سکتے: مثلثی، ایکسپونینشل اور لوگارتھمک فنکشنز اس کی اہم مثالیں ہیں۔ خاندان معلوم ہو تو گراف کی شکل پہلے سے اندا y = aˣ ہمیشہ (0, 1) سے گزرتا ہے اور x-axis کو کبھی نہیں چھوتا۔ اس کا معکوس y = log_a x ہے جو صرف x > 0 کے لیے تعریف شدہ ہے۔ لوگارتھم کے قوانین: log(ab) = log a + log b؛ log(a/b) = log a − log b؛ log(aⁿ) = n log a۔حل شدہ مثال: 2ˣ = 32 کو sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2 اور cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2 ہیں۔ ان کا نام ہائپربولا سے ہے، جیسے سائن اور کوسائن کا نام دائرے سے ہے۔ اہم شناخت cosh²x − sinh²x = 1 ہے۔ cosh x کا گراف لٹکی ہوئی زنجیر کی شکل (catenary) بناتا ہے۔حل شدہ مثال: cosh 0 = 1 اور صرف یک رخی (one-to-one) فنکشن کا معکوس ہوتا ہے۔ f⁻¹ کا گراف f کے گراف کا y = x لائن میں عکس ہوتا ہے: f پر نقطہ (a, b) ہو تو f⁻¹ پر (b, a) ہوگا۔ f⁻¹ کا ڈومین f کی رینج کے برابر ہوتا ہے۔حل شدہ مثال: f(x) = 2x + 3 کا معکوس f⁻¹(x) = (x − 3)/2 ہ شفٹ: f(x − 2) گراف کو 2 یونٹ دائیں لے جاتا ہے (بائیں نہیں!)؛ f(x) + 3 اسے 3 یونٹ اوپر لے جاتا ہے۔ کھچاؤ: 2f(x) عمودی طور پر 2 گنا کھینچتا ہے۔ بڑھوتری اور زوال: N = N₀e^{kt} آبادی کی بڑھوتری اور تابکار زوال کا ماڈل ہے۔حل شدہ مثال: N = 300e^{
اس باب کے موضوعات: فیکٹرائزیشن سے کوانڈریٹک گراف · الجبرک اور ٹرانسینڈینٹل فنکشنز · ایکسپونینشل اور لوگارتھمک فنکشنز · ہائپربولک فنکشنز · معکوس فنکشنز اور ان کے گراف · گراف کی تبدیلیاں اور ایکسپونینشل مساواتیں · مشق
رہنمائی: پہلے حل شدہ سوالات خود حل کرنے کی کوشش کریں، پھر جوابات سے ملائیں؛ پریکٹس MCQs بھی خود حل کریں۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 2 Mathematics, Chapter 1 (PECTAA New Book, Session 2026–27) • English + Urdu