Vector-valued functions return vectors with both magnitude and direction to model multidimensional quantities such as position, velocity, or force in 2D or 3D, unlike scalar functions which give a single value. Their derivative provides the instantaneous rate of change, yielding the velocity vector essential for analyzing motion, with applications in engineering, computer graphics, and physics, from robotic arms to planetary orbits. This chapter covers definitions, component forms, operations, and differentiation techniques for analyzing curves and solving real-world problems involving velocity and acceleration. For example, a particle moving along a path in 2D might have its position at time t given by r(t) = t²i + t³j. This means at t, the particle is at the point (t², t³).
ویکٹر ویلیوڈ فنکشنز ویکٹر واپس کرتے ہیں جن میں مقدار اور سمت دونوں ہوتی ہیں، تاکہ 2D یا 3D میں مقام، سرعت یا قوت جیسی کثیر جہتی مقداروں کی ماڈلنگ کی جا سکے — اسکیلر فنکشنز کے برعکس جو صرف ایک قدر دیتے ہیں۔ ان کا مشتق فوری تبدیلی کی شرح دیتا ہے، جس سے سرعت ویکٹر ملتا ہے جو حرکت کے تجزیے کے لیے ضروری ہے، اور اس کے اطلاقات انجینئرنگ، کمپیوٹر گرافکس اور فزکس میں ہیں، روبوٹک بازوؤں سے لے کر سیاروں کے مداروں تک۔ اس باب میں تعریفیں، جزوی صورتیں، عملیات اور وکر کے تجزیے کے لیے تفریق کی تکنیکیں پڑھیں گے۔
A vector valued function assigns a vector to each real number t (often time): r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. The component functions x(t), y(t), z(t) are ordinary scalar functions. As t varies, the tip of r(t) traces out a curve in space — the path of a moving particle. A real-world example from the book: a satellite's position at time t (in hours) is r(t) = (4000 cos t)i + (4000 sin t)j + 3000t k (kilometers), where the x- and y-components model a circular orbit of radius 4000 km and the z-component is a linear ascent of 3000 km per hour.
ویکٹر ویلیوڈ فنکشن ہر حقیقی عدد t (اکثر وقت) کو ایک ویکٹر تفویض کرتا ہے: r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k۔ جزوی فنکشنز x(t)، y(t)، z(t) عام اسکیلر فنکشنز ہیں۔ جیسے جیسے t بدلتا ہے، r(t) کا سرا خلا میں ایک وکر بناتا ہے — حرکت کرتے ذرے کا راستہ۔ کتاب کی عملی مثال: سیٹلائٹ کا مقام r(t) = (4000 cos t)i + (4000 sin t)j + 3000t k ہے، جہاں x اور y جزو 4000 کلومیٹر رداس کے دائرہ نما مدار کی ماڈلنگ کرتے ہیں اور z جزو 3000 کلومیٹر فی گھنٹہ کی خطی چڑھائی ہے۔
Limits and continuity work component by component: limt→a r(t) = [lim x(t)]i + [lim y(t)]j + [lim z(t)]k, provided each component limit exists. r(t) is continuous at a exactly when each component function is continuous at a. If one component jumps, the whole vector function jumps — the particle teleports, which is not physical motion.
حدود اور تسلسل جزو بہ جزو کام کرتے ہیں: limt→a r(t) = [lim x(t)]i + [lim y(t)]j + [lim z(t)]k، بشرطیکہ ہر جزو کی حد موجود ہو۔ r(t) کسی a پر مسلسل ہے بالکل اس وقت جب ہر جزوی فنکشن a پر مسلسل ہو۔ اگر ایک جزو چھلانگ لگائے تو پورا ویکٹر فنکشن چھلانگ لگاتا ہے۔
Differentiate component by component: if r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, then r′(t) = x′(t)i + y′(t)j + z′(t)k. The rules you know still hold: (r₁ + r₂)′ = r₁′ + r₂′; (f(t)r(t))′ = f′(t)r(t) + f(t)r′(t); for dot products, (r₁·r₂)′ = r₁′·r₂ + r₁·r₂′; for cross products, (r₁×r₂)′ = r₁′×r₂ + r₁×r₂′ (keep the order!). Never drop the unit vectors i, j, k from the answer.
تفریق جزو بہ جزو کریں: اگر r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ہو تو r′(t) = x′(t)i + y′(t)j + z′(t)k۔ معلوم اصول برقرار ہیں: (r₁ + r₂)′ = r₁′ + r₂′؛ (f(t)r(t))′ = f′(t)r(t) + f(t)r′(t)؛ ڈاٹ پراڈکٹ کے لیے (r₁·r₂)′ = r₁′·r₂ + r₁·r₂′؛ کراس پراڈکٹ کے لیے ترتیب برقرار رکھیں۔ جواب سے یونٹ ویکٹر i، j، k کبھی نہ چھوڑیں۔
If r(t) is position, then velocity v(t) = r′(t) and acceleration a(t) = r′′(t). Speed is the magnitude |v(t)| — a scalar. v(t) points along the tangent to the path (the direction of motion); a(t) points toward the inside of the curve. If r(t)·v(t) = 0 for all t, the motion stays at a fixed distance from the origin (circular motion).
اگر r(t) مقام ہو تو سرعت v(t) = r′(t) اور اسراع a(t) = r′′(t)۔ رفتار (speed) |v(t)| کی مقدار ہے — ایک اسکیلر۔ v(t) راستے کے ٹینجنٹ کی سمت میں ہوتا ہے؛ a(t) وکر کے اندر کی طرف ہوتا ہے۔ اگر ہر t کے لیے r(t)·v(t) = 0 ہو تو حرکت مبداء سے مقررہ فاصلے پر رہتی ہے (دائرہ نما حرکت)۔
Integrate component by component too: ∫r(t)dt = [∫x(t)dt]i + [∫y(t)dt]j + [∫z(t)dt]k + C, where C is a constant vector. A definite integral from a to b gives the net change in position only if you integrate velocity; integrating speed instead gives distance travelled. Use the initial position r(t₀) to fix C.
تکامل بھی جزو بہ جزو کریں: ∫r(t)dt = [∫x(t)dt]i + [∫y(t)dt]j + [∫z(t)dt]k + C، جہاں C ایک کانسٹینٹ ویکٹر ہے۔ سرعت کا معین تکامل مقام میں خالص تبدیلی دیتا ہے؛ رفتار کا تکامل طے شدہ فاصلہ دیتا ہے۔ ابتدائی مقام r(t₀) سے C طے کریں۔
Projectile: r(t) = (v₀cos θ)t i + (v₀sin θ t − ½gt²)j gives flight time, range and maximum height in one vector. Orbit: r(t) = R cos ωt i + R sin ωt j has velocity perpendicular to position — circular motion. Ferris wheel / robotic arm: the same componentwise method gives position, velocity and centripetal acceleration at any time.
پرتاب: r(t) = (v₀cos θ)t i + (v₀sin θ t − ½gt²)j سے پرواز کا وقت، رینج اور زیادہ سے زیادہ اونچائی ایک ہی ویکٹر سے ملتی ہے۔ مدار: r(t) = R cos ωt i + R sin ωt j میں سرعت مقام پر عمود ہوتی ہے — دائرہ نما حرکت۔ فیرس وہیل / روبوٹک بازو: اسی جزو وار طریقے سے کسی بھی وقت مقام، سرعت اور مرکز مائل اسراع ملتا ہے۔
The questions below are taken from this unit's exercise in the official PECTAA Mathematics 12 textbook (National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27). Only selected questions are solved here — the full exercise is in the book itself. Solutions are worked step by step by this guide book; final answers agree with the book's Answers section where it gives them.
نیچے دیے گئے سوالات سرکاری PECTAA ریاضی 12 کی کتاب کی اس یونٹ کی ایکسرسائز سے لیے گئے ہیں (نیشنل کریکولم 2023، سیشن 2026–27)۔ یہاں صرف منتخب سوالات حل کیے گئے ہیں — مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔ حل مرحلہ وار اس گائیڈ بک نے تیار کیے ہیں۔
یہ سوال کتاب کے printed pages 289–298 والی unit کی exercise سے منتخب کیے گئے ہیں — نیچے 5 حل شدہ سوال ہیں. یہ پوری exercise کا ہر سوال نہیں ہے; جو سوال یہاں نہیں ہیں انھیں invent کر کے نہیں لکھا گیا. اس کے بعد SLO-based practice MCQs ہیں, جو کتاب کی exercise سے نہیں, board pattern کی practice کے لیے لکھے گئے ہیں.
ایکسرسائز، سوال 1 — r(t) = 2 sin t i + 3t j کی تفریق کریں اور t = π/2 پر سرعت ویکٹر معلوم کریں۔
r′(t) = 2 cos t i + 3 j. At t = π/2: cos(π/2) = 0, so v(π/2) = 3 j, with speed 3 units per unit time.
r′(t) = 2 cos t i + 3 j۔ t = π/2 پر cos(π/2) = 0، اس لیے v = 3 j اور رفتار 3 ہے۔
ایکسرسائز، سوال 6 — ایک توپ کا گولہ زمین سے 30° کے زاویے پر 100 m/s کی ابتدائی رفتار سے چلایا گیا۔ کشش ثقل نیچے کی طرف (g = 9.8 m/s²) فرض کریں اور ہوا کی مزاحمت نظرانداز کریں: (a) وقت کے فنکشن کے طور پر گولے کا مقامی ویکٹر r(t) بنائیں۔ (b) t = 5 سیکنڈ پر سرعت ویکٹر معلوم کریں۔ (c) پرواز کا وقت معلوم کریں (جب گولہ زمین سے ٹکرائے)۔
(a) r(t) = (100 cos 30°)t i + (100 sin 30° t − 4.9t²)j = 86.60t i + (50t − 4.9t²)j. (b) v(t) = 86.60 i + (50 − 9.8t)j; at t = 5: v = 86.60 i + 1 j m/s (speed ≈ 86.61 m/s). (c) Ground hit when 50t − 4.9t² = 0, i.e. t = 50/4.9 ≈ 10.20 s.
(a) r(t) = 86.60t i + (50t − 4.9t²)j۔ (b) t = 5 پر v = 86.60 i + 1 j m/s۔ (c) زمین سے ٹکراؤ جب 50t − 4.9t² = 0، یعنی t ≈ 10.20 سیکنڈ۔
ایکسرسائز، سوال 7 — ایک دمدار ستارہ سورج کے گرد بیضوی راستے پر گردش کرتا ہے جس کا مقام (AU میں) وقت t (سالوں میں) پر x = 2 cos t، y = sin t سے بیان ہوتا ہے۔ (a) مقامی ویکٹر r(t) لکھیں۔ (b) t = π/2 پر سرعت اور رفتار معلوم کریں۔ (c) دکھائیں کہ اسراع ویکٹر ہمیشہ مبداء کی طرف ہوتا ہے۔
(a) r(t) = 2 cos t i + sin t j. (b) v(t) = −2 sin t i + cos t j; at t = π/2: v = −2 i, speed = 2 AU/year. (c) a(t) = −2 cos t i − sin t j = −r(t), which points exactly opposite to the position vector, i.e. toward the origin. ✓
(a) r(t) = 2 cos t i + sin t j۔ (b) t = π/2 پر v = −2 i اور رفتار = 2 AU/سال۔ (c) a(t) = −r(t) ہے، جو مبداء کی طرف ہوتا ہے۔
ایکسرسائز، سوال 9 — ایک ذرہ دائرہ نما راستے پر حرکت کرتا ہے جس کا مقامی ویکٹر r(t) = R cos ωt i + R sin ωt j ہے۔ ثابت کریں کہ اس کی سرعت اس کے مقامی ویکٹر پر عمود ہے۔
v(t) = r′(t) = −Rω sin ωt i + Rω cos ωt j. Dot product: r·v = (R cos ωt)(−Rω sin ωt) + (R sin ωt)(Rω cos ωt) = −R²ω sin ωt cos ωt + R²ω sin ωt cos ωt = 0. A zero dot product means v is perpendicular to r. ✓
v(t) = −Rω sin ωt i + Rω cos ωt j۔ ڈاٹ پراڈکٹ r·v = 0 ہے۔ صفر ڈاٹ پراڈکٹ کا مطلب ہے کہ v، r پر عمود ہے۔
ایکسرسائز، سوال 11 — ایک کوارٹر بیک فٹ بال پھینکتا ہے جس کا مقامی ویکٹر r(t) = 20t i + (20t − 4.9t²)j ہے۔ (a) زمین سے ٹکرانے سے پہلے پرواز کا وقت معلوم کریں۔ (b) زیادہ سے زیادہ اونچائی کیا ہے؟ (c) فٹ بال کس وقت اپنی زیادہ سے زیادہ اونچائی تک پہنچا؟
(a) Ground hit when 20t − 4.9t² = 0, i.e. t = 20/4.9 ≈ 4.08 s. (b) Vertical velocity 20 − 9.8t = 0 at t ≈ 2.04 s; height = 20(2.04) − 4.9(2.04)² ≈ 20.41 m. (c) At t = 2.04 s (half the flight time).
(a) زمین سے ٹکراؤ t ≈ 4.08 سیکنڈ پر۔ (b) زیادہ سے زیادہ اونچائی ≈ 20.41 میٹر۔ (c) t ≈ 2.04 سیکنڈ پر (پرواز کے وقت کا نصف)۔
These three MCQs are board-pattern practice written for this guide book. Answers are in the accordion below. They are NOT questions from the book exercise — the correct option in each list is also marked (✓).
1. If r(t) = t²i + sin t j, then r′(t) is:
Correct answer: (A) 2t i + cos t j — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
2. Speed is:
Correct answer: (B) |r′(t)| — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
3. For circular motion r(t) = R cos ωt i + R sin ωt j, r·v equals:
Correct answer: (B) 0 — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
Vector Valued Functions and Their Derivatives — A vector valued function assigns a vector to each real number t (often time): r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Limits and continuity work component by component: limt→a r(t) = [lim x(t)]i + [lim y(t)]j + [lim z(t)]k, provided each component limit exists. r(t) is continuous at a exactly when each component function is continuous at a. Differentiate component by component: if r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, then r′(t) = x′(t)i + y′(t)j + z′(t)k. If r(t) is position, then velocity v(t) = r′(t) and acceleration a(t) = r′′(t). Integrate component by component too: ∫r(t)dt = [∫x(t)dt]i + [∫y(t)dt]j + [∫z(t)dt]k + C, where C is a constant vector. Projectile: r(t) = (v₀cos θ)t i + (v₀sin θ t − ½gt²)j gives flight time, range and maximum height in one vector.
Revision guidance: پہلے 5 حل شدہ سوال خود حل کرنے کی کوشش کرو, پھر جواب سے ملاؤ; 3 practice MCQs بھی خود حل کرو. جو formula اس chapter میں ہے, اسے لکھ کر یاد کرو — رٹا نہیں, سمجھ کر. پوری exercise کے باقی سوال کتاب سے حل کرو; یہ page منتخب سوالوں کا guide ہے, پوری exercise کا متبادل نہیں.
ویکٹر ویلیوڈ فنکشن ہر حقیقی عدد t (اکثر وقت) کو ایک ویکٹر تفویض کرتا ہے: r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k۔ جزوی فنکشنز x(t)، y(t)، z(t) عام اسکیلر فنکشنز ہیں۔ جیسے جیسے t بدلتا ہے، r(t) کا سرا خلا میں ایک وکر بناتا ہے — حرکت کرتے ذرے کا راستہ۔ حدود اور تسلسل جزو بہ جزو کام کرتے ہیں: limt→a r(t) = [lim x(t)]i + [lim y(t)]j + [lim z(t)]k، بشرطیکہ ہر جزو کی حد موجود ہو۔ r(t) کسی a پر مسلسل ہے بالکل اس وقت جب ہر جزوی فنکشن a پر مسلسل ہو۔ اگر ایک جزو چھلانگ لگائے تو پورا ویکٹر فنکشن چ تفریق جزو بہ جزو کریں: اگر r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ہو تو r′(t) = x′(t)i + y′(t)j + z′(t)k۔ معلوم اصول برقرار ہیں: (r₁ + r₂)′ = r₁′ + r₂′؛ (f(t)r(t))′ = f′(t)r(t) + f(t)r′(t)؛ ڈاٹ پراڈکٹ کے لیے (r₁·r₂)′ = r₁′·r₂ + r₁·r₂′؛ کراس پراڈکٹ کے اگر r(t) مقام ہو تو سرعت v(t) = r′(t) اور اسراع a(t) = r′′(t)۔ رفتار (speed) |v(t)| کی مقدار ہے — ایک اسکیلر۔ v(t) راستے کے ٹینجنٹ کی سمت میں ہوتا ہے؛ a(t) وکر کے اندر کی طرف ہوتا ہے۔ اگر ہر t کے لیے r(t)·v(t) = 0 ہو تو حرکت مبداء سے مقررہ تکامل بھی جزو بہ جزو کریں: ∫r(t)dt = [∫x(t)dt]i + [∫y(t)dt]j + [∫z(t)dt]k + C، جہاں C ایک کانسٹینٹ ویکٹر ہے۔ سرعت کا معین تکامل مقام میں خالص تبدیلی دیتا ہے؛ رفتار کا تکامل طے شدہ فاصلہ دیتا ہے۔ ابتدائی مقام r(t₀) سے C طے کریں۔حل شدہ مثال: پرتاب: r(t) = (v₀cos θ)t i + (v₀sin θ t − ½gt²)j سے پرواز کا وقت، رینج اور زیادہ سے زیادہ اونچائی ایک ہی ویکٹر سے ملتی ہے۔ مدار: r(t) = R cos ωt i + R sin ωt j میں سرعت مقام پر عمود ہوتی ہے — دائرہ نما حرکت۔ فیرس وہیل / روبوٹک بازو: اسی جزو
اس باب کے موضوعات: ویکٹر ویلیوڈ فنکشن کیا ہے؟ · حدود اور تسلسل، جزو بہ جزو · ویکٹر ویلیوڈ فنکشنز کی تفریق · سرعت، اسراع اور رفتار · ویکٹر ویلیوڈ فنکشنز کے تکامل · اطلاقات: پرتاب، مدار اور پہیے · مشق
رہنمائی: پہلے حل شدہ سوالات خود حل کرنے کی کوشش کریں، پھر جوابات سے ملائیں؛ پریکٹس MCQs بھی خود حل کریں۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 2 Mathematics, Chapter 11 (PECTAA New Book, Session 2026–27) • English + Urdu