In earlier classes you studied trigonometric functions and their real-life applications. Now you extend that knowledge by exploring inverse trigonometric functions, which help you find angles when function values are known. This is essential in solving equations and modeling periodic behavior in calculus. In this unit you will define inverse trigonometric functions, their domains and ranges, examine their graphs within the given interval, and understand their key properties and uses.
پہلی جماعتوں میں آپ نے مثلثی فنکشنز اور ان کے عملی اطلاقات پڑھے۔ اب آپ معکوس مثلثی فنکشنز پڑھیں گے جو فنکشن کی قدر معلوم ہو تو زاویہ تلاش کرنے میں مدد کرتے ہیں۔ یہ مساواتیں حل کرنے اور کیلکولس میں دوری رویے کی ماڈلنگ کے لیے ضروری ہے۔ اس یونٹ میں آپ معکوس مثلثی فنکشنز کی تعریف، ان کے ڈومین اور رینج، دیے گئے وقفے میں ان کے گراف اور ان کی اہم خصوصیات پڑھیں گے۔
Only a one-to-one and onto function has an inverse. If a function is not one-to-one, it may be possible to restrict its domain to make it one-to-one so that its inverse can be found. For a bijective function f from set X to set Y, the inverse f⁻¹ goes from Y back to X: x = f⁻¹(y) ⟺ y = f(x). The domain of f⁻¹ is the range of f, and the range of f⁻¹ is the domain of f. Also (f⁻¹∘f)(x) = x and (f∘f⁻¹)(y) = y.
صرف یک رخی اور آنٹو فنکشن کا معکوس ہوتا ہے۔ اگر فنکشن یک رخی نہ ہو تو اس کا ڈومین محدود کر کے یک رخی بنایا جا سکتا ہے تاکہ معکوس مل سکے۔ دو طرفہ فنکشن f کے لیے معکوس f⁻¹ الٹی سمت جاتا ہے: x = f⁻¹(y) ⟺ y = f(x)۔ f⁻¹ کا ڈومین f کی رینج ہے اور f⁻¹ کی رینج f کا ڈومین ہے۔
Trigonometric functions are periodic, so they repeat values — that is why we must restrict them to get an inverse. The principal value is the value in the chosen principal range: sin⁻¹x ∈ [−π/2, π/2]; cos⁻¹x ∈ [0, π]; tan⁻¹x ∈ (−π/2, π/2). Domains: sin⁻¹ and cos⁻¹ take x ∈ [−1, 1]; tan⁻¹ takes any real x. The classic mistake is giving an angle outside the principal range.
مثلثی فنکشنز دوری ہیں، اس لیے وہ قدریں دہراتے ہیں — یہی وجہ ہے کہ معکوس کے لیے انہیں محدود کرنا پڑتا ہے۔ بنیادی قدر منتخب بنیادی رینج میں قدر ہے: sin⁻¹x ∈ [−π/2, π/2]؛ cos⁻¹x ∈ [0, π]؛ tan⁻¹x ∈ (−π/2, π/2)۔ sin⁻¹ اور cos⁻¹ کا ڈومین [−1, 1] ہے؛ tan⁻¹ کسی بھی حقیقی x کو لیتا ہے۔ عام غلطی بنیادی رینج سے باہر زاویہ دینا ہے۔
Each inverse graph is the reflection of the restricted trig graph in y = x. y = sin⁻¹x rises through the origin from (−1, −π/2) to (1, π/2). y = cos⁻¹x falls from (−1, π) to (1, 0). y = tan⁻¹x rises through the origin with horizontal asymptotes y = ±π/2. Reading a value off the graph is the same as solving sin y = x within the principal range.
ہر معکوس گراف محدود مثلثی گراف کا y = x میں عکس ہے۔ y = sin⁻¹x (−1, −π/2) سے (1, π/2) تک مبداء سے گزر کر اوپر جاتا ہے۔ y = cos⁻¹x (−1, π) سے (1, 0) تک نیچے آتا ہے۔ y = tan⁻¹x مبداء سے گزر کر اوپر جاتا ہے اور اس کے افقی ایسمپٹوٹس y = ±π/2 ہیں۔
Use tan⁻¹a ± tan⁻¹b = tan⁻¹[(a ± b)/(1 ∓ ab)], with care for the quadrant (add π when the result leaves the principal range). Similarly sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2 for x ∈ [−1, 1], and tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2. These formulas turn sums of inverse trig into a single angle — the workhorse of the exercise proofs.
tan⁻¹a ± tan⁻¹b = tan⁻¹[(a ± b)/(1 ∓ ab)] استعمال کریں، کواڈرینٹ کا خیال رکھیں (اگر نتیجہ بنیادی رینج سے باہر جائے تو π شامل کریں)۔ اسی طرح sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2 اور tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2۔ یہ فارمولے معکوس مثلثی کے مجموعے کو ایک زاویہ میں بدل دیتے ہیں۔
To prove an identity: take one side, set it equal to an angle θ, convert to ordinary trig, and simplify — or combine inverse terms with the sum formulas until both sides match. Double-angle forms are common: 2tan⁻¹x = sin⁻¹(2x/(1+x²)) = cos⁻¹((1−x²)/(1+x²)) = tan⁻¹(2x/(1−x²)) (with range conditions). Always state the domain condition at the end.
شناخت ثابت کرنے کے لیے: ایک طرف لیں، اسے زاویہ θ کے برابر رکھیں، عام مثلثی میں بدلیں اور سادہ کریں — یا جمع فارمولوں سے معکوس ٹرمز ملائیں جب تک دونوں طرف برابر نہ ہو جائیں۔ ڈبل اینگل صورتیں عام ہیں: 2tan⁻¹x = sin⁻¹(2x/(1+x²)) = cos⁻¹((1−x²)/(1+x²)) (رینج کی شرطوں کے ساتھ)۔ آخر میں ڈومین کی شرط ضرور لکھیں۔
The questions below are taken from this unit's exercise in the official PECTAA Mathematics 12 textbook (National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27). Only selected questions are solved here — the full exercise is in the book itself. Solutions are worked step by step by this guide book; final answers agree with the book's Answers section where it gives them.
نیچے دیے گئے سوالات سرکاری PECTAA ریاضی 12 کی کتاب کی اس یونٹ کی ایکسرسائز سے لیے گئے ہیں (نیشنل کریکولم 2023، سیشن 2026–27)۔ یہاں صرف منتخب سوالات حل کیے گئے ہیں — مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔ حل مرحلہ وار اس گائیڈ بک نے تیار کیے ہیں۔
یہ سوال کتاب کے printed pages 259–278 والی unit کی exercise سے منتخب کیے گئے ہیں — نیچے 4 حل شدہ سوال ہیں. یہ پوری exercise کا ہر سوال نہیں ہے; جو سوال یہاں نہیں ہیں انھیں invent کر کے نہیں لکھا گیا. اس کے بعد SLO-based practice MCQs ہیں, جو کتاب کی exercise سے نہیں, board pattern کی practice کے لیے لکھے گئے ہیں.
ایکسرسائز، سوال 9 — ثابت کریں: tan⁻¹(10/3) − tan⁻¹(7/13) + tan⁻¹(9/5) − tan⁻¹(2/7) = π/2۔
First pair: tan(A − B) with A = tan⁻¹(10/3), B = tan⁻¹(7/13): (10/3 − 7/13)/(1 + (10/3)(7/13)) = (109/39)/(109/39) = 1, so the difference is tan⁻¹(1) = π/4. Second pair: (9/5 − 2/7)/(1 + (9/5)(2/7)) = (53/35)/(53/35) = 1, so the difference is also π/4. Sum: π/4 + π/4 = π/2. ✓
پہلا جوڑا: (10/3 − 7/13)/(1 + 70/39) = 1، اس لیے فرق π/4 ہے۔ دوسرا جوڑا: (9/5 − 2/7)/(1 + 18/35) = 1، اس لیے فرق بھی π/4 ہے۔ مجموعہ = π/2۔
ایکسرسائز، سوال 11 — ثابت کریں: tan²(sec⁻¹3) + cot²(cosec⁻¹4) = 23۔
tan²(sec⁻¹3) = sec²(sec⁻¹3) − 1 = 9 − 1 = 8. cot²(cosec⁻¹4) = cosec²(cosec⁻¹4) − 1 = 16 − 1 = 15. Sum: 8 + 15 = 23. ✓
tan²(sec⁻¹3) = 9 − 1 = 8 اور cot²(cosec⁻¹4) = 16 − 1 = 15۔ مجموعہ = 23۔
ایکسرسائز، سوال 12 — ثابت کریں: 2tan⁻¹x = sin⁻¹(2x/(1+x²))، جہاں −1 ≤ x ≤ 1۔
Let θ = tan⁻¹x, so tan θ = x. Then sin 2θ = 2tan θ/(1 + tan²θ) = 2x/(1+x²). Since −1 ≤ x ≤ 1, θ ∈ [−π/4, π/4], so 2θ ∈ [−π/2, π/2] — the principal range of sin⁻¹. Hence 2θ = sin⁻¹(2x/(1+x²)), i.e. 2tan⁻¹x = sin⁻¹(2x/(1+x²)). ✓
θ = tan⁻¹x رکھیں تو tan θ = x۔ پھر sin 2θ = 2x/(1+x²)۔ چونکہ 2θ بنیادی رینج میں ہے، اس لیے 2θ = sin⁻¹(2x/(1+x²))، یعنی 2tan⁻¹x = sin⁻¹(2x/(1+x²))۔
ایکسرسائز، سوال 19 — اگر tan⁻¹x + tan⁻¹y + tan⁻¹z = π ہو تو دکھائیں کہ x + y + z = xyz۔
Let A = tan⁻¹x, B = tan⁻¹y, C = tan⁻¹z, so A + B + C = π, i.e. A + B = π − C. Take tangents: tan(A + B) = tan(π − C) = −tan C. But tan(A + B) = (x + y)/(1 − xy). So (x + y)/(1 − xy) = −z, giving x + y = −z + xyz, i.e. x + y + z = xyz. ✓
A = tan⁻¹x، B = tan⁻¹y، C = tan⁻¹z رکھیں تو A + B = π − C۔ ٹینجنٹ لیں: (x + y)/(1 − xy) = −z، اس سے x + y = −z + xyz، یعنی x + y + z = xyz۔
These three MCQs are board-pattern practice written for this guide book. Answers are in the accordion below. They are NOT questions from the book exercise — the correct option in each list is also marked (✓).
1. The principal value of sin⁻¹(−1/2) is:
Correct answer: (B) −π/6 — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
2. The range of cos⁻¹x is:
Correct answer: (B) [0, π] — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
3. sin⁻¹x + cos⁻¹x equals (for x ∈ [−1, 1]):
Correct answer: (B) π/2 — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
Inverse Trigonometric Functions and Their Graphs — Only a one-to-one and onto function has an inverse. Trigonometric functions are periodic, so they repeat values — that is why we must restrict them to get an inverse. Each inverse graph is the reflection of the restricted trig graph in y = x. y = sin⁻¹x rises through the origin from (−1, −π/2) to (1, π/2). y = cos⁻¹x falls from (−1, π) to (1, 0). y = tan⁻¹x rises through the origin with horizontal asymptotes y = ±π/2. Use tan⁻¹a ± tan⁻¹b = tan⁻¹[(a ± b)/(1 ∓ ab)], with care for the quadrant (add π when the result leaves the principal range). To prove an identity: take one side, set it equal to an angle θ, convert to ordinary trig, and simplify — or combine inverse terms with the sum formulas until both sides match.
Revision guidance: پہلے 4 حل شدہ سوال خود حل کرنے کی کوشش کرو, پھر جواب سے ملاؤ; 3 practice MCQs بھی خود حل کرو. جو formula اس chapter میں ہے, اسے لکھ کر یاد کرو — رٹا نہیں, سمجھ کر. پوری exercise کے باقی سوال کتاب سے حل کرو; یہ page منتخب سوالوں کا guide ہے, پوری exercise کا متبادل نہیں.
صرف یک رخی اور آنٹو فنکشن کا معکوس ہوتا ہے۔ اگر فنکشن یک رخی نہ ہو تو اس کا ڈومین محدود کر کے یک رخی بنایا جا سکتا ہے تاکہ معکوس مل سکے۔ دو طرفہ فنکشن f کے لیے معکوس f⁻¹ الٹی سمت جاتا ہے: x = f⁻¹(y) ⟺ y = f(x)۔ f⁻¹ کا ڈومین f کی رینج ہے اور مثلثی فنکشنز دوری ہیں، اس لیے وہ قدریں دہراتے ہیں — یہی وجہ ہے کہ معکوس کے لیے انہیں محدود کرنا پڑتا ہے۔ بنیادی قدر منتخب بنیادی رینج میں قدر ہے: sin⁻¹x ∈ [−π/2, π/2]؛ cos⁻¹x ∈ [0, π]؛ tan⁻¹x ∈ (−π/2, π/2)۔ sin⁻¹ اور cos⁻¹ کا ڈومین [−1, 1] ہر معکوس گراف محدود مثلثی گراف کا y = x میں عکس ہے۔ y = sin⁻¹x (−1, −π/2) سے (1, π/2) تک مبداء سے گزر کر اوپر جاتا ہے۔ y = cos⁻¹x (−1, π) سے (1, 0) تک نیچے آتا ہے۔ y = tan⁻¹x مبداء سے گزر کر اوپر جاتا ہے اور اس کے افقی ایسمپٹوٹس y = ±π/2 ہی tan⁻¹a ± tan⁻¹b = tan⁻¹[(a ± b)/(1 ∓ ab)] استعمال کریں، کواڈرینٹ کا خیال رکھیں (اگر نتیجہ بنیادی رینج سے باہر جائے تو π شامل کریں)۔ اسی طرح sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2 اور tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2۔ یہ فارمولے معکوس مثلثی کے مجموعے کو ایک زاویہ میں ب شناخت ثابت کرنے کے لیے: ایک طرف لیں، اسے زاویہ θ کے برابر رکھیں، عام مثلثی میں بدلیں اور سادہ کریں — یا جمع فارمولوں سے معکوس ٹرمز ملائیں جب تک دونوں طرف برابر نہ ہو جائیں۔ ڈبل اینگل صورتیں عام ہیں: 2tan⁻¹x = sin⁻¹(2x/(1+x²)) = cos⁻¹((1−x²)
اس باب کے موضوعات: معکوس فنکشنز کا اعادہ · بنیادی قدریں، ڈومین اور رینج · معکوس مثلثی فنکشنز کے گراف · جمع اور تفریق کے فارمولے · شناختوں کی تصدیق · مشق
رہنمائی: پہلے حل شدہ سوالات خود حل کرنے کی کوشش کریں، پھر جوابات سے ملائیں؛ پریکٹس MCQs بھی خود حل کریں۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 2 Mathematics, Chapter 9 (PECTAA New Book, Session 2026–27) • English + Urdu