This revised page was built from the existing Class 10 Mathematics library chapter (chapter-1-complete-guide-book.html) in the same series. No official book copy was on disk for a fresh page-by-page check, so no book page numbers are claimed and exercise references such as “Exercise 1.6 Q2” are carried over from the master chapter as given, not newly verified. Solved answers follow the master chapter; practice MCQs are SLO-based practice, not book questions.
یہ نظرثانی شدہ صفحہ اسی سلسلے کے موجودہ جماعت دہم ریاضی کے باب سے بنایا گیا ہے۔ کتاب کی کوئی مصدقہ نقل ڈسک پر موجود نہیں تھی، اس لیے کتاب کے صفحہ نمبرز کا دعویٰ نہیں کیا گیا۔
Is page ka mawaad PECTAA Class 10 Mathematics (1st edition, May 2026 — Revised National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27) ke Unit 1 — Complex Numbers پر مبنی ہے. Book میں اسے "Unit" کہا گیا ہے; file کا نام chapter کے مطابق رکھا گیا ہے.
اس صفحے کا مواد پنجاب ایجوکیشن، کریکولم، ٹریننگ اینڈ اسیسمنٹ اتھارٹی (PECTAA) کی جماعت دہم ریاضی (پہلا ایڈیشن، مئی 2026 — نظرثانی شدہ قومی نصاب 2023، سیشن 2026–27) کے یونٹ 1 پر مبنی ہے۔
Book-faithful note: The book gives the full Exercise 1.6 and Review Exercise; only the selected problems above are solved here. Powers/quotients are covered for n = ±1, ±2 only in the book — higher powers are not introduced as a separate rule.
A complex number is written as z = a + bi, where a is the real part Re(z) and b is the imaginary part Im(z). Here i is the imaginary unit with i² = −1. Example: in z = 3 + 2i, Re(z) = 3 and Im(z) = 2.
Why do we need i? No real number squares to −1, so the equation x² + 1 = 0 has no real solution. With i, it has solutions x = i and x = −i. Real numbers are just complex numbers with b = 0.
ایک مختلط عدد کو z = a + bi لکھا جاتا ہے، جہاں a حقیقی حصہ Re(z) اور b خیالی حصہ Im(z) ہے۔ یہاں i خیالی اکائی ہے جس کے لیے i² = −1۔ مثال: z = 3 + 2i میں Re(z) = 3 اور Im(z) = 2 ہے۔
ہمیں i کی ضرورت کیوں ہے؟ کوئی حقیقی عدد مربع ہو کر −1 نہیں بنتا، اس لیے مساوات x² + 1 = 0 کا کوئی حقیقی حل نہیں۔ i کے ساتھ اس کے حل x = i اور x = −i ہیں۔ حقیقی اعداد دراصل وہ مختلط اعداد ہیں جن میں b = 0 ہو۔
The conjugate of z = a + bi is z̄ = a − bi — only the sign of the imaginary part changes. The modulus is |z| = √(a² + b²), the distance of z from the origin.
Key results (book SLOs): |z| = |−z| = |z̄|; z̄̄ = z; zz̄ = |z|²; conjugate of a sum = sum of conjugates; conjugate of a product = product of conjugates. Example: z = 4 − 3i gives z̄ = 4 + 3i and |z| = √(16 + 9) = 5, and zz̄ = 25 = |z|².
کنجوگیٹ: z = a + bi کا کنجوگیٹ z̄ = a − bi ہے — صرف خیالی حصے کی علامت بدلتی ہے۔ ماڈولس |z| = √(a² + b²) ہے، یعنی اصل نقطے سے فاصلہ۔
اہم نتائج: |z| = |−z| = |z̄|؛ z̄̄ = z؛ zz̄ = |z|²؛ مجموعے کا کنجوگیٹ = کنجوگیٹس کا مجموعہ؛ حاصل ضرب کا کنجوگیٹ = کنجوگیٹس کا حاصل ضرب۔ مثال: z = 4 − 3i کے لیے z̄ = 4 + 3i اور |z| = √(16 + 9) = 5، اور zz̄ = 25 = |z|²۔
Add/subtract like parts: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i. Multiply like a binomial: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i, using i² = −1.
Divide by rationalising with the conjugate: multiply top and bottom by the conjugate of the denominator. Example: (5 + 2i) ÷ (1 + i) = (5 + 2i)(1 − i) ÷ 2 = (7 − 3i) ÷ 2 = 7/2 − (3/2)i.
Additive identity is 0 and multiplicative identity is 1. The additive inverse of z is −z and the multiplicative inverse is 1/z = z̄/|z|². Example: inverse of 8 + 9i is (8 − 9i)/145.
جمع/تفریق: ہم جیسی اجزا کو ملائیں: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i۔ ضرب دو رقمی کی طرح کریں اور i² = −1 استعمال کریں: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i۔
تقسیم کے لیے مخرج کے کنجوگیٹ سے ضرب دیں۔ مثال: (5 + 2i) ÷ (1 + i) = (5 + 2i)(1 − i) ÷ 2 = (7 − 3i) ÷ 2 = 7/2 − (3/2)i۔
جمعی شناخت 0 اور ضربی شناخت 1 ہے۔ z کا جمعی معکوس −z اور ضربی معکوس 1/z = z̄/|z|² ہے۔ مثال: 8 + 9i کا ضربی معکوس (8 − 9i)/145 ہے۔
Powers of i repeat every 4: i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, then it repeats. Trick: divide the power by 4 and keep the remainder. Example: i²⁷ → 27 ÷ 4 gives remainder 3, so i²⁷ = i³ = −i.
Real and imaginary parts of powers: (2 + i)² = 4 + 4i + i² = 3 + 4i, so Re = 3, Im = 4. For quotients, first rationalise, e.g. (1 + i)/(1 − i) = i, so Re = 0, Im = 1. The book also asks for n = ±1 and ±2, e.g. (x + iy)⁻¹ = (x − iy)/(x² + y²).
i کی قوتیں ہر 4 کے بعد دہرائی جاتی ہیں: i¹ = i، i² = −1، i³ = −i، i⁴ = 1، پھر یہی سلسلہ۔ ترکیب: قوت کو 4 پر تقسیم کریں، باقی بچا ہوا استعمال کریں۔ مثال: i²⁷ میں 27 ÷ 4 کا باقی 3 ہے، اس لیے i²⁷ = i³ = −i۔
قوتوں کے حقیقی و خیالی حصے: (2 + i)² = 4 + 4i + i² = 3 + 4i، اس لیے Re = 3، Im = 4۔ کسر کے لیے پہلے کنجوگیٹ سے ضرب دیں، مثلاً (1 + i)/(1 − i) = i، اس لیے Re = 0، Im = 1۔ کتاب میں n = ±1 اور ±2 بھی پوچھا گیا ہے، مثلاً (x + iy)⁻¹ = (x − iy)/(x² + y²)۔
Two linear equations in z and w with complex coefficients are solved exactly like real ones: eliminate one variable (substitution or elimination), then solve for the other. Finally check both equations.
Example (book Exercise style): 3z + (2 + i)w = 11 − i and (2 − i)z − w = −1 + i. From the second, w = (2 − i)z + 1 − i. Substituting gives 8z = 8, so z = 1 and w = 3 − 2i. Check in the first equation: 3 + (2 + i)(3 − 2i) = 3 + 8 − i = 11 − i ✓.
مختلط ضابطوں والی دو خطی مساواتیں حقیقی مساواتوں کی طرح حل ہوتی ہیں: ایک متغیر ختم کریں (تبدیلی یا حذف سے)، پھر دوسرا نکالیں۔ آخر میں دونوں مساواتوں میں جانچ کریں۔
مثال: 3z + (2 + i)w = 11 − i اور (2 − i)z − w = −1 + i۔ دوسری سے w = (2 − i)z + 1 − i۔ رکھنے پر 8z = 8، اس لیے z = 1 اور w = 3 − 2i۔ پہلی مساوات میں جانچ: 3 + (2 + i)(3 − 2i) = 3 + 8 − i = 11 − i ✓۔
Note: Neeche sirf muntakhab (selected) سوال step-by-step حل کیے گئے ہیں. مکمل exercise کتاب میں موجود ہے — یہ page اسکا متبادل نہیں, صرف guide ہے.
نوٹ: نیچے صرف منتخب سوالات مرحلہ وار حل کیے گئے ہیں۔ مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔
Answer / جواب: (2 − 3i)(2 + 3i) = 4 + 6i − 6i − 9i² = 4 + 9 = 13. So Re = 13, Im = 0. (This is the book Review Exercise Q1(ii)–(iii) pattern.)
(2 − 3i)(2 + 3i) = 4 + 6i − 6i − 9i² = 4 + 9 = 13۔ اس لیے Re = 13، Im = 0۔
Answer / جواب: z̄ = 4 + 3i. zz̄ = (4 − 3i)(4 + 3i) = 16 + 9 = 25. |z| = √25 = 5. This verifies zz̄ = |z|².
z̄ = 4 + 3i۔ zz̄ = (4 − 3i)(4 + 3i) = 16 + 9 = 25۔ |z| = √25 = 5۔ اس سے zz̄ = |z|² کی تصدیق ہوتی ہے۔
Answer / جواب: Additive inverse = −z = −8 − 9i. Multiplicative inverse = 1/z = z̄/|z|² = (8 − 9i)/(64 + 81) = (8 − 9i)/145. (Book Review Exercise Q4.)
جمعی معکوس = −z = −8 − 9i۔ ضربی معکوس = 1/z = z̄/|z|² = (8 − 9i)/(64 + 81) = (8 − 9i)/145۔
Answer / جواب: Expand: (3a + 4b) + (3b − 4a)i = 1 + 0i. Compare parts: 3a + 4b = 1 and 3b − 4a = 0, so b = 4a/3. Then 3a + 16a/3 = 1 → 25a/3 = 1 → a = 3/25, b = 4/25. (Book Review Exercise Q9.)
پھیلائیں: (3a + 4b) + (3b − 4a)i = 1 + 0i۔ حصے ملائیں: 3a + 4b = 1 اور 3b − 4a = 0، اس لیے b = 4a/3۔ پھر 3a + 16a/3 = 1 → 25a/3 = 1 → a = 3/25، b = 4/25۔
Answer / جواب: From the second equation w = (2 − i)z + 1 − i. Substitute: 3z + (2 + i)[(2 − i)z + 1 − i] = 11 − i. Since (2 + i)(2 − i) = 5 and (2 + i)(1 − i) = 3 − i, this becomes 8z + 3 − i = 11 − i → 8z = 8 → z = 1. Then w = (2 − i)(1) + 1 − i = 3 − 2i. Check in the first equation: 3 + (2 + i)(3 − 2i) = 3 + 8 − i = 11 − i ✓. (Book Exercise 1.6 Q2(i).)
دوسری مساوات سے w = (2 − i)z + 1 − i۔ رکھنے پر: 8z + 3 − i = 11 − i → 8z = 8 → z = 1۔ پھر w = (2 − i) + 1 − i = 3 − 2i۔
Answer / جواب: (2 − 3i)(2 + 3i) = 4 + 6i − 6i − 9i² = 4 + 9 = 13. So Re = 13, Im = 0. (This is the book Review Exercise Q1(ii)–(iii) pattern.)
(2 − 3i)(2 + 3i) = 4 + 6i − 6i − 9i² = 4 + 9 = 13۔ اس لیے Re = 13، Im = 0۔
Answer / جواب: z̄ = 4 + 3i. zz̄ = (4 − 3i)(4 + 3i) = 16 + 9 = 25. |z| = √25 = 5. This verifies zz̄ = |z|².
z̄ = 4 + 3i۔ zz̄ = (4 − 3i)(4 + 3i) = 16 + 9 = 25۔ |z| = √25 = 5۔ اس سے zz̄ = |z|² کی تصدیق ہوتی ہے۔
Answer / جواب: Additive inverse = −z = −8 − 9i. Multiplicative inverse = 1/z = z̄/|z|² = (8 − 9i)/(64 + 81) = (8 − 9i)/145. (Book Review Exercise Q4.)
جمعی معکوس = −z = −8 − 9i۔ ضربی معکوس = 1/z = z̄/|z|² = (8 − 9i)/(64 + 81) = (8 − 9i)/145۔
Answer / جواب: Expand: (3a + 4b) + (3b − 4a)i = 1 + 0i. Compare parts: 3a + 4b = 1 and 3b − 4a = 0, so b = 4a/3. Then 3a + 16a/3 = 1 → 25a/3 = 1 → a = 3/25, b = 4/25. (Book Review Exercise Q9.)
پھیلائیں: (3a + 4b) + (3b − 4a)i = 1 + 0i۔ حصے ملائیں: 3a + 4b = 1 اور 3b − 4a = 0، اس لیے b = 4a/3۔ پھر 3a + 16a/3 = 1 → 25a/3 = 1 → a = 3/25، b = 4/25۔
Answer / جواب: From the second equation w = (2 − i)z + 1 − i. Substitute: 3z + (2 + i)[(2 − i)z + 1 − i] = 11 − i. Since (2 + i)(2 − i) = 5 and (2 + i)(1 − i) = 3 − i, this becomes 8z + 3 − i = 11 − i → 8z = 8 → z = 1. Then w = (2 − i)(1) + 1 − i = 3 − 2i. Check in the first equation: 3 + (2 + i)(3 − 2i) = 3 + 8 − i = 11 − i ✓. (Book Exercise 1.6 Q2(i).)
دوسری مساوات سے w = (2 − i)z + 1 − i۔ رکھنے پر: 8z + 3 − i = 11 − i → 8z = 8 → z = 1۔ پھر w = (2 − i) + 1 − i = 3 − 2i۔
یہ MCQs کتاب کی exercise سے نہیں لیے گئے — یہ SLOs پر مبنی mashq کے لیے ہیں.
(a) −9 − 4i (b) 9 + 4i (c) 9 + 9i (d) 4 − 9i
Answer: (b) 9 + 4i — Only the sign of the imaginary part changes.
(a) 9 (b) 25 (c) 41 (d) √41
Answer: (d) √41 — |z| = √(25 + 16) = √41.
(a) y = 0 (b) x = 0 (c) i = 0 (d) x = 0, y = 0
Answer: (b) x = 0 — Purely imaginary means the real part x is zero.
(a) i (b) −1 (c) −i (d) 1
Answer: (c) −i — 27 ÷ 4 leaves remainder 3, so i²⁷ = i³ = −i.
Answer: (b) 9 + 4i — 9 + 4i — Only the sign of the imaginary part changes.
Answer: (d) √41 — √41 — |z| = √(25 + 16) = √41.
Answer: (b) x = 0 — x = 0 — Purely imaginary means the real part x is zero.
Answer: (c) −i — −i — 27 ÷ 4 leaves remainder 3, so i²⁷ = i³ = −i.
اس باب میں کیا ہے؟ اس chapter میں complex numbers کی پوری بنیاد ہے: z = a + bi کی شکل, i² = −1, conjugate اور modulus, جمع/تفریق/ضرب/تقسیم, i کی قوتوں کا چکر, اور complex coefficients والی دو equations کا حل.
Revision guidance: پہلے conjugate سے تقسیم اور modulus کا formula پکا کرو, پھر i کی قوتوں کے لیے remainder-والا طریقہ یاد رکھو. Simultaneous equations میں آخر میں دونوں equations میں check ضرور کرو.
اس باب میں کیا ہے؟ اس باب میں مختلط اعداد کی مکمل بنیاد ہے: z = a + bi کی شکل، i² = −1، کنجوگیٹ اور ماڈولس، جمع و تفریق و ضرب و تقسیم، i کی قوتوں کا چکر، اور مختلط ضابطوں والی دو مساواتوں کا حل۔
نظرثانی کی رہنمائی: پہلے کنجوگیٹ سے تقسیم اور ماڈولس کا فارمولا پکا کریں، پھر i کی قوتوں کے لیے باقی والا طریقہ یاد رکھیں۔ ہم وقتی مساواتوں میں آخر میں دونوں مساواتوں میں جانچ ضرور کریں۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • Class 10 Mathematics, Chapter 1 (Session 2026–27) • English + Urdu