This revised page was built from the existing Class 10 Mathematics library chapter (chapter-2-complete-guide-book.html) in the same series. No official book copy was on disk for a fresh page-by-page check, so no book page numbers are claimed and exercise references such as “Exercise 1.6 Q2” are carried over from the master chapter as given, not newly verified. Solved answers follow the master chapter; practice MCQs are SLO-based practice, not book questions.
یہ نظرثانی شدہ صفحہ اسی سلسلے کے موجودہ جماعت دہم ریاضی کے باب سے بنایا گیا ہے۔ کتاب کی کوئی مصدقہ نقل ڈسک پر موجود نہیں تھی، اس لیے کتاب کے صفحہ نمبرز کا دعویٰ نہیں کیا گیا۔
Is page ka mawaad PECTAA Class 10 Mathematics (1st edition, May 2026 — Revised National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27) ke Unit 2 — Quadratic Equations and Inequalities پر مبنی ہے. Book میں اسے "Unit" کہا گیا ہے; file کا نام chapter کے مطابق رکھا گیا ہے.
اس صفحے کا مواد پنجاب ایجوکیشن، کریکولم، ٹریننگ اینڈ اسیسمنٹ اتھارٹی (PECTAA) کی جماعت دہم ریاضی (پہلا ایڈیشن، مئی 2026 — نظرثانی شدہ قومی نصاب 2023، سیشن 2026–27) کے یونٹ 2 پر مبنی ہے۔
Book-faithful note: Only selected exercise problems are solved here; the full unit exercise (including graphical intersection problems and fractional equations reducible to quadratics) is in the book. The ball/profit/population problems above are the book’s own real-world exercise questions.
A quadratic equation has the form ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). By factorization, split the middle term into two numbers whose product is ac and whose sum is b, then use the zero-product rule: if AB = 0 then A = 0 or B = 0.
Example: x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 or x = 3. Check: 2² − 10 + 6 = 0 ✓.
دو درجی مساوات کی صورت ax² + bx + c = 0 ہوتی ہے (a ≠ 0)۔ تجزی میں درمیانی رکن کو دو عددوں میں توڑیں جن کا حاصل ضرب ac اور مجموعہ b ہو، پھر صفر حاصل ضرب کا اصول لگائیں: اگر AB = 0 تو A = 0 یا B = 0۔
مثال: x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 یا x = 3۔ جانچ: 2² − 10 + 6 = 0 ✓۔
The quadratic formula solves every quadratic: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Example: 2x² − 3x − 2 = 0 gives x = (3 ± √(9 + 16))/4 = (3 ± 5)/4 → x = 2 or x = −1/2.
Completing the square rewrites x² + 4x + 1 = 0 as (x + 2)² = 3, so x = −2 ± √3. The book also uses graphs: the roots are the x-intercepts of the parabola y = ax² + bx + c.
دو درجی فارمولا ہر دو درجی مساوات حل کرتا ہے: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a۔ مثال: 2x² − 3x − 2 = 0 سے x = (3 ± √(9 + 16))/4 = (3 ± 5)/4 → x = 2 یا x = −1/2۔
مربع مکمل کرنا: x² + 4x + 1 = 0 کو (x + 2)² = 3 لکھیں، اس لیے x = −2 ± √3۔ کتاب گراف بھی استعمال کرتی ہے: جڑیں پیرابولا y = ax² + bx + c کے x-محور سے ٹکراؤ کے نقطے ہیں۔
The discriminant is D = b² − 4ac. If D > 0: two distinct real roots. If D = 0: two equal real roots. If D < 0: no real roots (a pair of complex roots).
Example: x² − 4x + 4 = 0 has D = 16 − 16 = 0, so equal roots x = 2, 2. And x² + x + 1 = 0 has D = 1 − 4 = −3 < 0, so no real roots.
Also from the book: if roots are α and β, then sum α + β = −b/a and product αβ = c/a. So an equation with roots 2 and 3 is x² − 5x + 6 = 0. Conversely, given roots you can form the equation.
ممیز D = b² − 4ac ہے۔ اگر D > 0: دو مختلف حقیقی جڑیں۔ اگر D = 0: دو برابر حقیقی جڑیں۔ اگر D < 0: کوئی حقیقی جڑ نہیں (مختلط جڑوں کا جوڑا)۔
مثال: x² − 4x + 4 = 0 میں D = 16 − 16 = 0، اس لیے برابر جڑیں x = 2، 2۔ اور x² + x + 1 = 0 میں D = 1 − 4 = −3 < 0، اس لیے کوئی حقیقی جڑ نہیں۔
کتاب سے یہ بھی: اگر جڑیں α اور β ہوں تو مجموعہ α + β = −b/a اور حاصل ضرب αβ = c/a۔ اس لیے جڑوں 2 اور 3 والی مساوات x² − 5x + 6 = 0 ہے۔
To solve a quadratic inequality, first solve the matching equation, mark the roots on a number line, then test each region. Example: x² − 3x + 2 > 0 → (x − 1)(x − 2) > 0. The product is positive outside the roots, so x < 1 or x > 2.
Remember: for > 0 take the outside regions; for < 0 take the between region (when a > 0). Always check endpoints: strict inequalities (>, <) exclude the roots; ≤, ≥ include them.
دو درجی غیر مساوات حل کرنے کے لیے پہلے متعلقہ مساوات حل کریں، جڑیں عددی خط پر نشان زد کریں، پھر ہر علاقے کی جانچ کریں۔ مثال: x² − 3x + 2 > 0 → (x − 1)(x − 2) > 0۔ حاصل ضرب جڑوں سے باہر مثبت ہے، اس لیے x < 1 یا x > 2۔
یاد رکھیں: > 0 کے لیے بیرونی علاقے لیں؛ < 0 کے لیے درمیانی علاقہ (جب a > 0)۔ سخت غیر مساواتوں (>، <) میں جڑیں شامل نہیں؛ ≤، ≥ میں شامل ہیں۔
Quadratics model real life in this book: a ball thrown up, a company profit, a population. The vertex of y = ax² + bx + c is at x = −b/2a; if a < 0 it gives the maximum.
Book worked example: a ball thrown up at 20 m/s (g = 10) reaches maximum height 20 m and returns after 4 s. A profit model P(x) = −2x² + 80x − 500 is maximum at x = 20, giving Rs. 300,000.
Changing the subject: to make S the subject of P = S − C, add C both sides: S = P + C. To make h the subject of V = (1/3)πr²h, multiply by 3 and divide by πr²: h = 3V/(πr²).
دو درجی مساواتیں کتاب میں عملی زندگی کی نمائندگی کرتی ہیں: اوپر پھینکی گئی گیند، کمپنی کا منافع، آبادی۔ y = ax² + bx + c کا ورٹیکس x = −b/2a پر ہوتا ہے؛ اگر a < 0 تو یہ زیادہ سے زیادہ قیمت دیتا ہے۔
کتاب کی حل شدہ مثال: 20 m/s سے اوپر پھینکی گئی گیند زیادہ سے زیادہ 20 میٹر اونچائی تک جاتی ہے اور 4 سیکنڈ بعد واپس آتی ہے۔ منافع کا ماڈل P(x) = −2x² + 80x − 500، x = 20 پر زیادہ سے زیادہ 300,000 روپے دیتا ہے۔
موضوع کی تبدیلی: P = S − C میں S کو موضوع بنانے کے لیے دونوں طرف C جمع کریں: S = P + C۔ V = (1/3)πr²h میں h کے لیے: h = 3V/(πr²)۔
Note: Neeche sirf muntakhab (selected) سوال step-by-step حل کیے گئے ہیں. مکمل exercise کتاب میں موجود ہے — یہ page اسکا متبادل نہیں, صرف guide ہے.
نوٹ: نیچے صرف منتخب سوالات مرحلہ وار حل کیے گئے ہیں۔ مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔
Answer / جواب: (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 or x = 3. Check x = 3: 9 − 15 + 6 = 0 ✓.
(x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 یا x = 3۔ جانچ x = 3: 9 − 15 + 6 = 0 ✓۔
Answer / جواب: x = (3 ± √(9 − 4(2)(−2)))/4 = (3 ± √25)/4 = (3 ± 5)/4 → x = 2 or x = −1/2.
x = (3 ± √(9 − 4(2)(−2)))/4 = (3 ± √25)/4 = (3 ± 5)/4 → x = 2 یا x = −1/2۔
Answer / جواب: (x − 1)(x − 2) > 0. Roots 1 and 2. The product is positive outside the roots → x < 1 or x > 2.
(x − 1)(x − 2) > 0۔ جڑیں 1 اور 2۔ حاصل ضرب جڑوں سے باہر مثبت ہے → x < 1 یا x > 2۔
Answer / جواب: −4t² + 24t ≥ 20 → t² − 6t + 5 ≤ 0 → (t − 1)(t − 5) ≤ 0 → 1 ≤ t ≤ 5 seconds.
−4t² + 24t ≥ 20 → t² − 6t + 5 ≤ 0 → (t − 1)(t − 5) ≤ 0 → 1 ≤ t ≤ 5 سیکنڈ۔
Answer / جواب: Vertex at x = −b/2a = −150/(2×−5) = 15. P(15) = −5(225) + 150(15) − 1000 = −1125 + 2250 − 1000 = 125 (thousands) = Rs. 125,000.
ورٹیکس x = −b/2a = −150/(2×−5) = 15 پر ہے۔ P(15) = −1125 + 2250 − 1000 = 125 (ہزار) = 125,000 روپے۔
Answer / جواب: 0.5t² = 12.5 → t² = 25 → t = 5 seconds (time cannot be negative).
0.5t² = 12.5 → t² = 25 → t = 5 سیکنڈ (وقت منفی نہیں ہو سکتا)۔
Answer / جواب: (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 or x = 3. Check x = 3: 9 − 15 + 6 = 0 ✓.
(x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 یا x = 3۔ جانچ x = 3: 9 − 15 + 6 = 0 ✓۔
Answer / جواب: x = (3 ± √(9 − 4(2)(−2)))/4 = (3 ± √25)/4 = (3 ± 5)/4 → x = 2 or x = −1/2.
x = (3 ± √(9 − 4(2)(−2)))/4 = (3 ± √25)/4 = (3 ± 5)/4 → x = 2 یا x = −1/2۔
Answer / جواب: (x − 1)(x − 2) > 0. Roots 1 and 2. The product is positive outside the roots → x < 1 or x > 2.
(x − 1)(x − 2) > 0۔ جڑیں 1 اور 2۔ حاصل ضرب جڑوں سے باہر مثبت ہے → x < 1 یا x > 2۔
Answer / جواب: −4t² + 24t ≥ 20 → t² − 6t + 5 ≤ 0 → (t − 1)(t − 5) ≤ 0 → 1 ≤ t ≤ 5 seconds.
−4t² + 24t ≥ 20 → t² − 6t + 5 ≤ 0 → (t − 1)(t − 5) ≤ 0 → 1 ≤ t ≤ 5 سیکنڈ۔
Answer / جواب: Vertex at x = −b/2a = −150/(2×−5) = 15. P(15) = −5(225) + 150(15) − 1000 = −1125 + 2250 − 1000 = 125 (thousands) = Rs. 125,000.
ورٹیکس x = −b/2a = −150/(2×−5) = 15 پر ہے۔ P(15) = −1125 + 2250 − 1000 = 125 (ہزار) = 125,000 روپے۔
Answer / جواب: 0.5t² = 12.5 → t² = 25 → t = 5 seconds (time cannot be negative).
0.5t² = 12.5 → t² = 25 → t = 5 سیکنڈ (وقت منفی نہیں ہو سکتا)۔
یہ MCQs کتاب کی exercise سے نہیں لیے گئے — یہ SLOs پر مبنی mashq کے لیے ہیں.
(a) 0 (b) 16 (c) −16 (d) 32
Answer: (a) 0 — D = 16 − 16 = 0, so the roots are equal.
(a) 2, 3 (b) −2, −3 (c) 1, 6 (d) −1, −6
Answer: (a) 2, 3 — (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6.
(a) two real roots (b) equal roots (c) no real roots (d) one root
Answer: (c) no real roots — A negative discriminant means the roots are complex, not real.
(a) x < 1 or x > 2 (b) 1 < x < 2 (c) x > 2 only (d) x < 1 only
Answer: (b) 1 < x < 2 — Between the roots the product (x−1)(x−2) is negative.
Answer: (a) 0 — 0 — D = 16 − 16 = 0, so the roots are equal.
Answer: (a) 2, 3 — 2, 3 — (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6.
Answer: (c) no real roots — no real roots — A negative discriminant means the roots are complex, not real.
Answer: (b) 1 < x < 2 — 1 < x < 2 — Between the roots the product (x−1)(x−2) is negative.
اس باب میں کیا ہے؟ اس chapter میں quadratic equations کے تین حل — factorization, quadratic formula اور completing تھے square — پھر discriminant سے roots کی nature, quadratic inequalities, اور maxima جیسے اصل مسائل ہیں.
Revision guidance: Discriminant کی table (D > 0, D = 0, D < 0) زبانی یاد کرو اور inequalities کے لیے sign chart بناؤ — roots کے درمیان یا باہر, یہی فیصلہ کرتا ہے.
اس باب میں کیا ہے؟ اس باب میں دو درجی مساواتوں کے تین حل — تجزی، دو درجی فارمولا اور مربع مکمل کرنا — پھر ممیز سے جڑوں کی نوعیت، دو درجی غیر مساواتیں، اور زیادہ سے زیادہ قیمت جیسے عملی مسائل ہیں۔
نظرثانی کی رہنمائی: ممیز کی جدول (D > 0، D = 0، D < 0) زبانی یاد کریں اور غیر مساواتوں کے لیے علامتی چارٹ بنائیں — جڑوں کے درمیان یا باہر، یہی فیصلہ کرتا ہے۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • Class 10 Mathematics, Chapter 2 (Session 2026–27) • English + Urdu