This revised page was built from the existing Class 10 Mathematics library chapter (chapter-12-complete-guide-book.html) in the same series. No official book copy was on disk for a fresh page-by-page check, so no book page numbers are claimed and exercise references such as “Exercise 1.6 Q2” are carried over from the master chapter as given, not newly verified. Solved answers follow the master chapter; practice MCQs are SLO-based practice, not book questions.
یہ نظرثانی شدہ صفحہ اسی سلسلے کے موجودہ جماعت دہم ریاضی کے باب سے بنایا گیا ہے۔ کتاب کی کوئی مصدقہ نقل ڈسک پر موجود نہیں تھی، اس لیے کتاب کے صفحہ نمبرز کا دعویٰ نہیں کیا گیا۔
Is page ka mawaad PECTAA Class 10 Mathematics (1st edition, May 2026 — Revised National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27) ke Unit 12 — Probability پر مبنی ہے. Book میں اسے "Unit" کہا گیا ہے; file کا نام chapter کے مطابق رکھا گیا ہے.
اس صفحے کا مواد پنجاب ایجوکیشن، کریکولم، ٹریننگ اینڈ اسیسمنٹ اتھارٹی (PECTAA) کی جماعت دہم ریاضی (پہلا ایڈیشن، مئی 2026 — نظرثانی شدہ قومی نصاب 2023، سیشن 2026–27) کے یونٹ 12 پر مبنی ہے۔
Book-faithful note: Only selected problems are solved here. The book’s full exercise (including two-dice problems, balls-in-a-bag problems and more card problems) is in the book itself. All probabilities here assume fair coins/dice and equally likely outcomes, as the book does.
A random experiment has outcomes you cannot predict exactly (tossing a coin, rolling a die). The sample space S is the set of all possible outcomes. An event is a subset of S — the outcomes you care about.
Examples: tossing a coin → S = {H, T}. Rolling a die → S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Drawing a card → S has 52 outcomes. Always write S first — most probability mistakes come from a wrong sample space.
بے ترتیب تجربہ وہ ہے جس کے نتائج پہلے سے ٹھیک نہیں بتائے جا سکتے (سکہ اچھالنا، پاسہ پھینکنا)۔ نمونہ فضا S تمام ممکنہ نتائج کا مجموعہ ہے۔ واقعہ S کا ذیلی مجموعہ ہے — وہ نتائج جن کی آپ کو پرواہ ہے۔
مثالیں: سکہ اچھالنا → S = {H, T}۔ پاسہ پھینکنا → S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}۔ تاش نکالنا → S میں 52 نتائج ہیں۔ ہمیشہ پہلے S لکھیں — احتمال کی زیادہ تر غلطیاں غلط نمونہ فضا سے آتی ہیں۔
For equally likely outcomes, P(event) = (favourable outcomes) ÷ (total outcomes). Probability is always between 0 and 1: P = 0 means impossible, P = 1 means certain.
Examples: P(6 on a die) = 1/6. P(even on a die) = 3/6 = 1/2 (outcomes 2, 4, 6). P(head on a coin) = 1/2. Always simplify the fraction.
برابر امکانی نتائج کے لیے P(واقعہ) = (موافق نتائج) ÷ (کل نتائج)۔ احتمال ہمیشہ 0 اور 1 کے درمیان ہوتا ہے: P = 0 یعنی ناممکن، P = 1 یعنی یقینی۔
مثالیں: P(پاسے پر 6) = 1/6۔ P(پاسے پر جفت) = 3/6 = 1/2 (نتائج 2، 4، 6)۔ P(سکے پر ہیڈ) = 1/2۔ کسر ہمیشہ سادہ کریں۔
Two coins: S = {HH, HT, TH, TT} (4 outcomes). P(both heads) = 1/4, P(exactly one head) = 2/4 = 1/2, P(at least one head) = 3/4.
Cards (52): 4 suits (13 each), 4 aces, 12 face cards, 26 red, 26 black. P(ace) = 4/52 = 1/13. P(red card) = 26/52 = 1/2. P(face card) = 12/52 = 3/13. Note HT and TH are different outcomes — a classic trap.
دو سکے: S = {HH, HT, TH, TT} (4 نتائج)۔ P(دونوں ہیڈ) = 1/4، P(صرف ایک ہیڈ) = 2/4 = 1/2، P(کم از کم ایک ہیڈ) = 3/4۔
تاش (52): 4 رنگ (ہر ایک میں 13)، 4 اکے، 12 فیس کارڈ، 26 سرخ، 26 سیاہ۔ P(اکا) = 4/52 = 1/13۔ P(سرخ پتا) = 26/52 = 1/2۔ P(فیس کارڈ) = 12/52 = 3/13۔ نوٹ: HT اور TH مختلف نتائج ہیں — یہ عام دھوکہ ہے۔
The complement of event E (written E′ or “not E”) contains everything in S except E. Rule: P(E) + P(not E) = 1, so P(not E) = 1 − P(E).
Example: P(6 on a die) = 1/6, so P(not 6) = 1 − 1/6 = 5/6. This is often the shortcut: “at least one” problems are usually easier via the complement (“none”).
واقعہ E کا تکملہ (E′ یا "not E") S میں E کے سوا سب کچھ رکھتا ہے۔ اصول: P(E) + P(not E) = 1، اس لیے P(not E) = 1 − P(E)۔
مثال: P(پاسے پر 6) = 1/6، اس لیے P(6 نہیں) = 1 − 1/6 = 5/6۔ یہ اکثر شارٹ کٹ ہے: "کم از کم ایک" والے مسائل عام طور پر تکملے ("کوئی نہیں") سے آسان ہوتے ہیں۔
Two events are independent if one does not affect the other — e.g. two coin tosses, or two dice. Then P(both) = P(first) × P(second). Example: P(head then head) = (1/2)(1/2) = 1/4.
Everyday use: weather forecasts (“30% chance of rain” means P = 0.3), games, and quality checks all use the same idea — count what you want, divide by everything possible. Probability never says what will happen once; it describes the long-run pattern.
دو واقعات آزاد ہوتے ہیں اگر ایک دوسرے پر اثر نہ ڈالے — مثلاً دو سکوں کی اچھال، یا دو پاسے۔ پھر P(دونوں) = P(پہلا) × P(دوسرا)۔ مثال: P(ہیڈ پھر ہیڈ) = (1/2)(1/2) = 1/4۔
روزمرہ استعمال: موسم کی پیش گوئی ("بارش کا 30% امکان" یعنی P = 0.3)، کھیل، اور معیار کی جانچ سب ایک ہی خیال استعمال کرتے ہیں — جو چاہیے گنیں، سب ممکن پر تقسیم کریں۔ احتمال کبھی یہ نہیں بتاتا کہ ایک بار کیا ہوگا؛ یہ طویل مدتی نمونہ بیان کرتا ہے۔
Addition law: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). If A and B are mutually exclusive (cannot happen together), P(A ∩ B) = 0, so P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Book examples: (a) If A, B are mutually exclusive with P(not A) = 0.45 and P(A ∪ B) = 0.65, then P(A) = 0.55 and P(B) = 0.65 − 0.55 = 0.10. (b) If P(A) = 2/3, P(B) = 2/5 and P(A ∪ B) = 1/3, then P(A ∩ B) = 2/3 + 2/5 − 1/3 = 11/15.
Multiplication law: if A, B are independent, P(A ∩ B) = P(A) × P(B). If dependent, use conditional probability: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A), where P(B|A) means “probability of B given that A has already happened”.
جمع کا قانون: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)۔ اگر A اور B باہم مخالف ہوں (ایک ساتھ نہیں ہو سکتے)، تو P(A ∩ B) = 0، اس لیے P(A ∪ B) = P(A) + P(B)۔
کتاب کی مثالیں: (a) اگر A، B باہم مخالف ہوں اور P(not A) = 0.45 اور P(A ∪ B) = 0.65 ہو تو P(A) = 0.55 اور P(B) = 0.65 − 0.55 = 0.10۔ (b) اگر P(A) = 2/3، P(B) = 2/5 اور P(A ∪ B) = 1/3 ہو تو P(A ∩ B) = 2/3 + 2/5 − 1/3 = 11/15۔
ضرب کا قانون: اگر A، B آزاد ہوں تو P(A ∩ B) = P(A) × P(B)۔ اگر منحصر ہوں تو مشروط احتمال استعمال کریں: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)، جہاں P(B|A) کا مطلب ہے "B کا احتمال جب A پہلے ہو چکا ہو"۔
Note: Neeche sirf muntakhab (selected) سوال step-by-step حل کیے گئے ہیں. مکمل exercise کتاب میں موجود ہے — یہ page اسکا متبادل نہیں, صرف guide ہے.
نوٹ: نیچے صرف منتخب سوالات مرحلہ وار حل کیے گئے ہیں۔ مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔
Answer / جواب: S has 6 outcomes. P(6) = 1/6. P(not 6) = 1 − 1/6 = 5/6.
S میں 6 نتائج ہیں۔ P(6) = 1/6۔ P(6 نہیں) = 1 − 1/6 = 5/6۔
Answer / جواب: Even outcomes: 2, 4, 6 → 3 favourable out of 6. P = 3/6 = 1/2.
جفت نتائج: 2، 4، 6 → 6 میں سے 3 موافق۔ P = 3/6 = 1/2۔
Answer / جواب: S = {HH, HT, TH, TT} (4 outcomes). P(both heads) = 1/4. Exactly one head: {HT, TH} → P = 2/4 = 1/2.
S = {HH, HT, TH, TT} (4 نتائج)۔ P(دونوں ہیڈ) = 1/4۔ صرف ایک ہیڈ: {HT, TH} → P = 2/4 = 1/2۔
Answer / جواب: P(ace) = 4/52 = 1/13. P(red) = 26/52 = 1/2.
P(اکا) = 4/52 = 1/13۔ P(سرخ) = 26/52 = 1/2۔
Answer / جواب: P(no rain) = 1 − P(rain) = 1 − 0.3 = 0.7 (complement rule).
P(بارش نہیں) = 1 − P(بارش) = 1 − 0.3 = 0.7 (تکملے کا اصول)۔
Answer / جواب: 36 outcomes. Sum 7: 6 ways (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1). Sum 11: 2 ways (5+6, 6+5). The events are mutually exclusive, so P = (6 + 2)/36 = 8/36 = 2/9.
36 نتائج۔ مجموعہ 7: 6 طریقے (1+6، 2+5، 3+4، 4+3، 5+2، 6+1)۔ مجموعہ 11: 2 طریقے (5+6، 6+5)۔ واقعات باہم مخالف ہیں، اس لیے P = (6 + 2)/36 = 8/36 = 2/9۔
Answer / جواب: P(A) = 1 − 0.45 = 0.55. Mutually exclusive: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) → 0.65 = 0.55 + P(B) → P(B) = 0.10.
P(A) = 1 − 0.45 = 0.55۔ باہم مخالف: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) → 0.65 = 0.55 + P(B) → P(B) = 0.10۔
Answer / جواب: (i) P(Ā) = 1 − 0.42 = 0.58. (ii) P(B̄) = 1 − 0.48 = 0.52. (iii) P(A ∪ B) = 0.42 + 0.48 − 0.16 = 0.74.
(i) P(Ā) = 1 − 0.42 = 0.58۔ (ii) P(B̄) = 1 − 0.48 = 0.52۔ (iii) P(A ∪ B) = 0.42 + 0.48 − 0.16 = 0.74۔
Answer / جواب: S has 6 outcomes. P(6) = 1/6. P(not 6) = 1 − 1/6 = 5/6.
S میں 6 نتائج ہیں۔ P(6) = 1/6۔ P(6 نہیں) = 1 − 1/6 = 5/6۔
Answer / جواب: Even outcomes: 2, 4, 6 → 3 favourable out of 6. P = 3/6 = 1/2.
جفت نتائج: 2، 4، 6 → 6 میں سے 3 موافق۔ P = 3/6 = 1/2۔
Answer / جواب: S = {HH, HT, TH, TT} (4 outcomes). P(both heads) = 1/4. Exactly one head: {HT, TH} → P = 2/4 = 1/2.
S = {HH, HT, TH, TT} (4 نتائج)۔ P(دونوں ہیڈ) = 1/4۔ صرف ایک ہیڈ: {HT, TH} → P = 2/4 = 1/2۔
Answer / جواب: P(ace) = 4/52 = 1/13. P(red) = 26/52 = 1/2.
P(اکا) = 4/52 = 1/13۔ P(سرخ) = 26/52 = 1/2۔
Answer / جواب: P(no rain) = 1 − P(rain) = 1 − 0.3 = 0.7 (complement rule).
P(بارش نہیں) = 1 − P(بارش) = 1 − 0.3 = 0.7 (تکملے کا اصول)۔
Answer / جواب: 36 outcomes. Sum 7: 6 ways (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1). Sum 11: 2 ways (5+6, 6+5). The events are mutually exclusive, so P = (6 + 2)/36 = 8/36 = 2/9.
36 نتائج۔ مجموعہ 7: 6 طریقے (1+6، 2+5، 3+4، 4+3، 5+2، 6+1)۔ مجموعہ 11: 2 طریقے (5+6، 6+5)۔ واقعات باہم مخالف ہیں، اس لیے P = (6 + 2)/36 = 8/36 = 2/9۔
Answer / جواب: P(A) = 1 − 0.45 = 0.55. Mutually exclusive: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) → 0.65 = 0.55 + P(B) → P(B) = 0.10.
P(A) = 1 − 0.45 = 0.55۔ باہم مخالف: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) → 0.65 = 0.55 + P(B) → P(B) = 0.10۔
Answer / جواب: (i) P(Ā) = 1 − 0.42 = 0.58. (ii) P(B̄) = 1 − 0.48 = 0.52. (iii) P(A ∪ B) = 0.42 + 0.48 − 0.16 = 0.74.
(i) P(Ā) = 1 − 0.42 = 0.58۔ (ii) P(B̄) = 1 − 0.48 = 0.52۔ (iii) P(A ∪ B) = 0.42 + 0.48 − 0.16 = 0.74۔
یہ MCQs کتاب کی exercise سے نہیں لیے گئے — یہ SLOs پر مبنی mashq کے لیے ہیں.
(a) 1/2 (b) 1/3 (c) 1/6 (d) 1
Answer: (c) 1/6 — One favourable outcome out of six.
(a) 1/6 (b) 5/6 (c) 1/2 (d) 0
Answer: (b) 5/6 — 1 − 1/6 = 5/6.
(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 6
Answer: (c) 4 — S = {HH, HT, TH, TT}.
(a) 1/52 (b) 1/13 (c) 1/4 (d) 1/2
Answer: (b) 1/13 — 4 aces out of 52 cards: 4/52 = 1/13.
Answer: (c) 1/6 — 1/6 — One favourable outcome out of six.
Answer: (b) 5/6 — 5/6 — 1 − 1/6 = 5/6.
Answer: (c) 4 — 4 — S = {HH, HT, TH, TT}.
Answer: (b) 1/13 — 1/13 — 4 aces out of 52 cards: 4/52 = 1/13.
اس باب میں کیا ہے؟ اس chapter میں probability ہے: experiment, sample space اور event, probability کا formula, coins/dice/cards, complementary events, independent events, اور addition law اور conditional probability.
Revision guidance: ہر سوال میں پہلے sample space لکھو — پھر favourable outcomes گننا آسان ہو جاتا ہے. 'Not' والے سوال complement سے حل کرو: P(not A) = 1 − P(A).
اس باب میں کیا ہے؟ اس باب میں احتمال ہے: تجربہ، نمونہ فضا اور واقعہ، احتمال کا فارمولا، سکے و پاسے و تاش، تکمیلی واقعات، آزاد واقعات، اور جمع کا قانون اور مشروط احتمال۔
نظرثانی کی رہنمائی: ہر سوال میں پہلے نمونہ فضا لکھیں — پھر موافق نتائج گننا آسان ہو جاتا ہے۔ 'نہیں' والے سوال تکملے سے حل کریں: P(not A) = 1 − P(A)۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • Class 10 Mathematics, Chapter 12 (Session 2026–27) • English + Urdu