This revised page was built from the existing Class 10 Mathematics library chapter (chapter-4-complete-guide-book.html) in the same series. No official book copy was on disk for a fresh page-by-page check, so no book page numbers are claimed and exercise references such as “Exercise 1.6 Q2” are carried over from the master chapter as given, not newly verified. Solved answers follow the master chapter; practice MCQs are SLO-based practice, not book questions.
یہ نظرثانی شدہ صفحہ اسی سلسلے کے موجودہ جماعت دہم ریاضی کے باب سے بنایا گیا ہے۔ کتاب کی کوئی مصدقہ نقل ڈسک پر موجود نہیں تھی، اس لیے کتاب کے صفحہ نمبرز کا دعویٰ نہیں کیا گیا۔
Is page ka mawaad PECTAA Class 10 Mathematics (1st edition, May 2026 — Revised National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27) ke Unit 4 — Functions and Graphs پر مبنی ہے. Book میں اسے "Unit" کہا گیا ہے; file کا نام chapter کے مطابق رکھا گیا ہے.
اس صفحے کا مواد پنجاب ایجوکیشن، کریکولم، ٹریننگ اینڈ اسیسمنٹ اتھارٹی (PECTAA) کی جماعت دہم ریاضی (پہلا ایڈیشن، مئی 2026 — نظرثانی شدہ قومی نصاب 2023، سیشن 2026–27) کے یونٹ 4 پر مبنی ہے۔
Book-faithful note: Only selected problems are solved here. The book’s full unit exercise (including function composition, more domain/range problems and graph-sketching tasks) is in the book itself.
A function is a rule that gives exactly one output for each input. We write f(x) = ... ; for f(x) = 2x + 3, f(4) = 11. The set of allowed inputs is the domain and the set of outputs is the range.
Test: a relation is a function if no input has two different outputs. Example: {(1, 2), (2, 5), (3, 8)} is a function; {(1, 2), (1, 9)} is not, because input 1 gives two outputs.
فنکشن ایک اصول ہے جو ہر ان پٹ کے لیے صرف ایک آؤٹ پٹ دیتا ہے۔ ہم f(x) = ... لکھتے ہیں؛ f(x) = 2x + 3 کے لیے f(4) = 11۔ جائز ان پٹس کا مجموعہ ڈومین اور آؤٹ پٹس کا مجموعہ رینج کہلاتا ہے۔
جانچ: کوئی تعلق فنکشن ہے اگر کسی ان پٹ کے دو مختلف آؤٹ پٹس نہ ہوں۔ مثال: {(1, 2), (2, 5), (3, 8)} فنکشن ہے؛ {(1, 2), (1, 9)} نہیں، کیونکہ ان پٹ 1 کے دو آؤٹ پٹس ہیں۔
Domain: all x-values the function can accept. For f(x) = 1/(x − 2), the denominator cannot be zero, so domain = all real numbers except 2, written x ≠ 2. For f(x) = √x, domain is x ≥ 0.
Range: all possible outputs. For f(x) = x² + 1, x² ≥ 0 always, so range is y ≥ 1. Finding domain/range is mostly about spotting what is forbidden (division by zero, square root of a negative).
ڈومین: وہ تمام x جنہیں فنکشن قبول کر سکتا ہے۔ f(x) = 1/(x − 2) کے لیے مخرج صفر نہیں ہو سکتا، اس لیے ڈومین = 2 کے سوا تمام حقیقی اعداد، یعنی x ≠ 2۔ f(x) = √x کے لیے ڈومین x ≥ 0 ہے۔
رینج: تمام ممکنہ آؤٹ پٹس۔ f(x) = x² + 1 کے لیے x² ≥ 0 ہمیشہ، اس لیے رینج y ≥ 1 ہے۔ ڈومین/رینج نکالنے میں اصل کام ممنوع چیزوں کو پہچاننا ہے (صفر سے تقسیم، منفی کا جذر)۔
One-one (injective): different inputs give different outputs. Onto (surjective): every output value is hit. Bijective: both one-one and onto — these have inverses.
Examples: f(x) = 2x + 3 is one-one and onto (over real numbers). f(x) = x² is not one-one over all reals, because f(2) = f(−2) = 4. A constant function f(x) = 5 is neither one-one nor onto (over the reals).
یک رخی (one-one): مختلف ان پٹس مختلف آؤٹ پٹس دیں۔ سرجیکٹو (onto): ہر آؤٹ پٹ قیمت حاصل ہو۔ بائجیکٹو: دونوں — ان کے معکوس ہوتے ہیں۔
مثالیں: f(x) = 2x + 3 یک رخی اور onto ہے (حقیقی اعداد پر)۔ f(x) = x² تمام حقیقی اعداد پر یک رخی نہیں، کیونکہ f(2) = f(−2) = 4۔ مستقل فنکشن f(x) = 5 نہ یک رخی ہے نہ onto۔
The inverse f⁻¹ undoes f: f⁻¹(f(x)) = x. To find it: set y = f(x), swap x and y, solve for y. Example: f(x) = 3x − 2 → y = 3x − 2 → x = 3y − 2 → y = (x + 2)/3, so f⁻¹(x) = (x + 2)/3. Check: f⁻¹(f(4)) = f⁻¹(10) = 4 ✓.
Only bijective functions have inverses. Graphically, f and f⁻¹ are mirror images across the line y = x.
معکوس f⁻¹، f کو واپس پلٹتا ہے: f⁻¹(f(x)) = x۔ نکالنے کے لیے: y = f(x) رکھیں، x اور y بدلیں، y کے لیے حل کریں۔ مثال: f(x) = 3x − 2 → y = 3x − 2 → x = 3y − 2 → y = (x + 2)/3، اس لیے f⁻¹(x) = (x + 2)/3۔ جانچ: f⁻¹(f(4)) = f⁻¹(10) = 4 ✓۔
صرف بائجیکٹو فنکشنز کے معکوس ہوتے ہیں۔ گراف میں f اور f⁻¹ خط y = x کے آر پار عکس ہوتے ہیں۔
To graph y = f(x), make a table of values and plot the points. Linear functions give straight lines; quadratics give parabolas. Example: y = x² gives points (−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) — a U-shaped parabola with vertex at the origin.
Reading a graph: the domain is the x-shadow of the curve, the range is the y-shadow. Where the curve crosses the x-axis, f(x) = 0 — those are the zeros of the function.
گراف بنانے کے لیے y = f(x) کی قدروں کی جدول بنائیں اور نقطے لگائیں۔ خطی فنکشنز سیدھی لکیریں دیتی ہیں؛ دو درجی پیرابولا دیتی ہیں۔ مثال: y = x² کے نقطے (−2, 4)، (−1, 1)، (0, 0)، (1, 1)، (2, 4) — اصل نقطے پر ورٹیکس والا U نما پیرابولا۔
گراف پڑھنا: ڈومین منحنی کا x-سایہ ہے، رینج y-سایہ ہے۔ جہاں منحنی x-محور کو کاٹے، وہاں f(x) = 0 — یہ فنکشن کے صفر ہیں۔
Note: Neeche sirf muntakhab (selected) سوال step-by-step حل کیے گئے ہیں. مکمل exercise کتاب میں موجود ہے — یہ page اسکا متبادل نہیں, صرف guide ہے.
نوٹ: نیچے صرف منتخب سوالات مرحلہ وار حل کیے گئے ہیں۔ مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔
Answer / جواب: f(4) = 2(4) + 3 = 11. f(−1) = 2(−1) + 3 = 1.
f(4) = 2(4) + 3 = 11۔ f(−1) = 2(−1) + 3 = 1۔
Answer / جواب: The denominator must not be zero: x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2. Domain = all real numbers except 2.
مخرج صفر نہیں ہو سکتا: x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2۔ ڈومین = 2 کے سوا تمام حقیقی اعداد۔
Answer / جواب: x² ≥ 0 for every real x, so x² + 1 ≥ 1. Range = {y : y ≥ 1}.
ہر حقیقی x کے لیے x² ≥ 0، اس لیے x² + 1 ≥ 1۔ رینج = {y : y ≥ 1}۔
Answer / جواب: y = 3x − 2 → swap: x = 3y − 2 → y = (x + 2)/3. So f⁻¹(x) = (x + 2)/3. Check: f(f⁻¹(x)) = 3((x+2)/3) − 2 = x ✓.
y = 3x − 2 → بدلیں: x = 3y − 2 → y = (x + 2)/3۔ اس لیے f⁻¹(x) = (x + 2)/3۔ جانچ: f(f⁻¹(x)) = x ✓۔
Answer / جواب: No. Input 1 is paired with two different outputs, 2 and 9. A function allows only one output per input.
نہیں۔ ان پٹ 1 کے دو مختلف آؤٹ پٹس 2 اور 9 ہیں۔ فنکشن میں ہر ان پٹ کا صرف ایک آؤٹ پٹ ہوتا ہے۔
Answer / جواب: f(4) = 2(4) + 3 = 11. f(−1) = 2(−1) + 3 = 1.
f(4) = 2(4) + 3 = 11۔ f(−1) = 2(−1) + 3 = 1۔
Answer / جواب: The denominator must not be zero: x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2. Domain = all real numbers except 2.
مخرج صفر نہیں ہو سکتا: x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2۔ ڈومین = 2 کے سوا تمام حقیقی اعداد۔
Answer / جواب: x² ≥ 0 for every real x, so x² + 1 ≥ 1. Range = {y : y ≥ 1}.
ہر حقیقی x کے لیے x² ≥ 0، اس لیے x² + 1 ≥ 1۔ رینج = {y : y ≥ 1}۔
Answer / جواب: y = 3x − 2 → swap: x = 3y − 2 → y = (x + 2)/3. So f⁻¹(x) = (x + 2)/3. Check: f(f⁻¹(x)) = 3((x+2)/3) − 2 = x ✓.
y = 3x − 2 → بدلیں: x = 3y − 2 → y = (x + 2)/3۔ اس لیے f⁻¹(x) = (x + 2)/3۔ جانچ: f(f⁻¹(x)) = x ✓۔
Answer / جواب: No. Input 1 is paired with two different outputs, 2 and 9. A function allows only one output per input.
نہیں۔ ان پٹ 1 کے دو مختلف آؤٹ پٹس 2 اور 9 ہیں۔ فنکشن میں ہر ان پٹ کا صرف ایک آؤٹ پٹ ہوتا ہے۔
یہ MCQs کتاب کی exercise سے نہیں لیے گئے — یہ SLOs پر مبنی mashq کے لیے ہیں.
(a) 8 (b) 11 (c) 7 (d) 14
Answer: (b) 11 — 2(4) + 3 = 11.
(a) all reals (b) x ≠ 2 (c) x ≥ 2 (d) x > 0
Answer: (b) x ≠ 2 — The denominator cannot be zero.
(a) y ≥ 0 (b) y ≥ 1 (c) all reals (d) y ≤ 1
Answer: (b) y ≥ 1 — x² ≥ 0, so x² + 1 ≥ 1.
(a) (x − 2)/3 (b) (x + 2)/3 (c) 3x + 2 (d) (2 − x)/3
Answer: (b) (x + 2)/3 — Swap x and y and solve: y = (x + 2)/3.
Answer: (b) 11 — 11 — 2(4) + 3 = 11.
Answer: (b) x ≠ 2 — x ≠ 2 — The denominator cannot be zero.
Answer: (b) y ≥ 1 — y ≥ 1 — x² ≥ 0, so x² + 1 ≥ 1.
Answer: (b) (x + 2)/3 — (x + 2)/3 — Swap x and y and solve: y = (x + 2)/3.
اس باب میں کیا ہے؟ اس chapter میں function کی definition, domain اور range, functions کی types, inverse functions, اور functions کے graphs ہیں — ہر topic ایک ہی اصول پر کھڑا ہے: ہر input کا صرف ایک output.
Revision guidance: Function ہے یا نہیں, یہ check کرو کہ کوئی input دو outputs تو نہیں دے رہا. Inverse کے لیے x اور y بدلو, پھر y کے لیے حل کرو اور check کرو.
اس باب میں کیا ہے؟ اس باب میں فنکشن کی تعریف، ڈومین اور رینج، فنکشنز کی اقسام، معکوس فنکشنز، اور فنکشنز کے گراف ہیں — ہر موضوع ایک ہی اصول پر کھڑا ہے: ہر ان پٹ کا صرف ایک آؤٹ پٹ۔
نظرثانی کی رہنمائی: فنکشن ہے یا نہیں، یہ جانچیں کہ کوئی ان پٹ دو آؤٹ پٹس تو نہیں دے رہا۔ معکوس کے لیے x اور y بدلیں، پھر y کے لیے حل کریں اور جانچ کریں۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • Class 10 Mathematics, Chapter 4 (Session 2026–27) • English + Urdu