This revised page was built from the existing Class 10 Mathematics library chapter (chapter-3-complete-guide-book.html) in the same series. No official book copy was on disk for a fresh page-by-page check, so no book page numbers are claimed and exercise references such as “Exercise 1.6 Q2” are carried over from the master chapter as given, not newly verified. Solved answers follow the master chapter; practice MCQs are SLO-based practice, not book questions.
یہ نظرثانی شدہ صفحہ اسی سلسلے کے موجودہ جماعت دہم ریاضی کے باب سے بنایا گیا ہے۔ کتاب کی کوئی مصدقہ نقل ڈسک پر موجود نہیں تھی، اس لیے کتاب کے صفحہ نمبرز کا دعویٰ نہیں کیا گیا۔
Is page ka mawaad PECTAA Class 10 Mathematics (1st edition, May 2026 — Revised National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27) ke Unit 3 — Matrices and Determinants پر مبنی ہے. Book میں اسے "Unit" کہا گیا ہے; file کا نام chapter کے مطابق رکھا گیا ہے.
اس صفحے کا مواد پنجاب ایجوکیشن، کریکولم، ٹریننگ اینڈ اسیسمنٹ اتھارٹی (PECTAA) کی جماعت دہم ریاضی (پہلا ایڈیشن، مئی 2026 — نظرثانی شدہ قومی نصاب 2023، سیشن 2026–27) کے یونٹ 3 پر مبنی ہے۔
Book-faithful note: Only selected problems are solved here. The book’s full exercises (including 3 × 3 inverse by adjoint, more Cramer’s-rule systems and review questions) are in the book itself; the problems above follow the book’s exercise pattern (Ex. 3.1–3.6 style).
A matrix is a rectangular arrangement of numbers in rows and columns, written in brackets. The order is m × n (m rows, n columns). Example: [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] has order 2 × 3.
Types: row matrix (1 row), column matrix (1 column), square matrix (rows = columns), diagonal matrix (non-zero entries only on the diagonal), identity matrix I (1s on the diagonal, 0s elsewhere), zero/null matrix (all entries 0), symmetric and skew-symmetric matrices.
میٹرکس عددوں کی مستطیلی ترتیب ہے جو قطاروں اور کالموں میں بریکٹ میں لکھی جاتی ہے۔ ترتیب m × n ہوتی ہے (m قطاریں، n کالم)۔ مثال: [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] کی ترتیب 2 × 3 ہے۔
اقسام: قطار میٹرکس (1 قطار)، کالم میٹرکس (1 کالم)، مربع میٹرکس (قطاریں = کالم)، وتر میٹرکس (صرف وتر پر غیر صفر)، شناختی میٹرکس I (وتر پر 1، باقی 0)، صفر میٹرکس (سب 0)، ہم آہنگ اور مخالف ہم آہنگ میٹرکس۔
Add/subtract corresponding entries — but only if the matrices have the same order. Scalar multiplication multiplies every entry by the number: k[[a, b], [c, d]] = [[ka, kb], [kc, kd]].
Example: [[1, 2], [3, 4]] + [[5, 6], [7, 8]] = [[6, 8], [10, 12]]. And 3[[1, 2], [0, −1]] = [[3, 6], [0, −3]]. Matrix addition is commutative and associative, like numbers.
جمع/تفریق میں ہم منصب اجزا ملائیں — لیکن صرف جب دونوں میٹرکس کی ترتیب ایک جیسی ہو۔ اسکیلر ضرب میں ہر جز کو اس عدد سے ضرب دیں: k[[a, b], [c, d]] = [[ka, kb], [kc, kd]]۔
مثال: [[1, 2], [3, 4]] + [[5, 6], [7, 8]] = [[6, 8], [10, 12]]۔ اور 3[[1, 2], [0, −1]] = [[3, 6], [0, −3]]۔ میٹرکس کی جمع عددوں کی طرح مبادلہ پذیر اور تلازمی ہے۔
Multiplication needs matching inner orders: an m × n matrix times an n × p matrix gives an m × p matrix. Each entry is a row × column dot product: multiply pairs across the row and down the column, then add.
Example: [[1, 2], [3, 4]] × [[5, 6], [7, 8]] = [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[19, 22], [43, 50]]. Note: AB ≠ BA in general — matrix multiplication is not commutative.
ضرب کے لیے اندرونی ترتیبیں ملنی چاہئیں: m × n میٹرکس × n × p میٹرکس = m × p میٹرکس۔ ہر جز قطار × کالم ضربِ نقطہ ہے: قطار کے پار اور کالم کے نیچے جوڑوں کو ضرب دے کر جمع کریں۔
مثال: [[1, 2], [3, 4]] × [[5, 6], [7, 8]] = [[19, 22], [43, 50]]۔ نوٹ: عام طور پر AB ≠ BA — میٹرکس کی ضرب مبادلہ پذیر نہیں۔
For a 2 × 2 matrix, det [[a, b], [c, d]] = ad − bc. Example: det [[3, 2], [1, 4]] = 12 − 2 = 10.
For 3 × 3, expand along a row using cofactors with the checkerboard signs (+ − + / − + − / + − +). Example: det [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]] = 1(0 − 24) − 2(0 − 20) + 3(0 − 5) = −24 + 40 − 15 = 1. If det = 0 the matrix is singular (no inverse).
2 × 2 میٹرکس کے لیے det [[a, b], [c, d]] = ad − bc۔ مثال: det [[3, 2], [1, 4]] = 12 − 2 = 10۔
3 × 3 کے لیے کسی قطار کے ساتھ کوفیکٹرز سے پھیلائیں، علامتوں کا شطرنجی نمونہ (+ − + / − + − / + − +) استعمال کریں۔ مثال: det [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]] = 1(0 − 24) − 2(0 − 20) + 3(0 − 5) = 1۔ اگر det = 0 ہو تو میٹرکس سنگولر ہے (کوئی معکوس نہیں)۔
For a 2 × 2 matrix A = [[a, b], [c, d]] with det ≠ 0, the inverse is A⁻¹ = (1/det) [[d, −b], [−c, a]] (swap the diagonal, change the signs of the other two, divide by det). Example: inverse of [[4, 7], [2, 6]] is (1/10)[[6, −7], [−2, 4]].
A system AX = B is solved by X = A⁻¹B (matrix inversion method) or by Cramer’s rule (replace columns by B and divide determinants). Example: x + y = 5, x − y = 1 gives x = 3, y = 2 by either method.
2 × 2 میٹرکس A = [[a, b], [c, d]] کے لیے، جب det ≠ 0 ہو، معکوس A⁻¹ = (1/det) [[d, −b], [−c, a]] ہے (وتر بدل دیں، باقی دو کی علامتیں بدلیں، det سے تقسیم کریں)۔ مثال: [[4, 7], [2, 6]] کا معکوس (1/10)[[6, −7], [−2, 4]] ہے۔
نظام AX = B کو X = A⁻¹B (میٹرکس معکوس طریقہ) یا کریمر کے اصول (کالموں کو B سے بدل کر ڈیٹرمیننٹ تقسیم کریں) سے حل کریں۔ مثال: x + y = 5، x − y = 1 سے x = 3، y = 2 ملتا ہے۔
Note: Neeche sirf muntakhab (selected) سوال step-by-step حل کیے گئے ہیں. مکمل exercise کتاب میں موجود ہے — یہ page اسکا متبادل نہیں, صرف guide ہے.
نوٹ: نیچے صرف منتخب سوالات مرحلہ وار حل کیے گئے ہیں۔ مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔
Answer / جواب: det = 3×4 − 2×1 = 12 − 2 = 10.
det = 3×4 − 2×1 = 12 − 2 = 10۔
Answer / جواب: Row × column: [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[19, 22], [43, 50]].
قطار × کالم: [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[19, 22], [43, 50]]۔
Answer / جواب: det = 24 − 14 = 10. A⁻¹ = (1/10)[[6, −7], [−2, 4]] = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]]. Check: A × A⁻¹ = I ✓.
det = 24 − 14 = 10۔ A⁻¹ = (1/10)[[6, −7], [−2, 4]] = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]]۔ جانچ: A × A⁻¹ = I ✓۔
Answer / جواب: D = |1 1; 1 −1| = −2. Dx = |5 1; 1 −1| = −6, Dy = |1 5; 1 1| = −4. So x = Dx/D = 3, y = Dy/D = 2.
D = −2، Dx = −6، Dy = −4۔ اس لیے x = Dx/D = 3، y = Dy/D = 2۔
Answer / جواب: Expand along row 1: 1(1×0 − 4×6) − 2(0×0 − 4×5) + 3(0×6 − 1×5) = −24 + 40 − 15 = 1. Since det ≠ 0, the matrix is non-singular.
پہلی قطار سے پھیلائیں: 1(0 − 24) − 2(0 − 20) + 3(0 − 5) = −24 + 40 − 15 = 1۔ چونکہ det ≠ 0، میٹرکس نان سنگولر ہے۔
Answer / جواب: det = 3×4 − 2×1 = 12 − 2 = 10.
det = 3×4 − 2×1 = 12 − 2 = 10۔
Answer / جواب: Row × column: [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[19, 22], [43, 50]].
قطار × کالم: [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[19, 22], [43, 50]]۔
Answer / جواب: det = 24 − 14 = 10. A⁻¹ = (1/10)[[6, −7], [−2, 4]] = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]]. Check: A × A⁻¹ = I ✓.
det = 24 − 14 = 10۔ A⁻¹ = (1/10)[[6, −7], [−2, 4]] = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]]۔ جانچ: A × A⁻¹ = I ✓۔
Answer / جواب: D = |1 1; 1 −1| = −2. Dx = |5 1; 1 −1| = −6, Dy = |1 5; 1 1| = −4. So x = Dx/D = 3, y = Dy/D = 2.
D = −2، Dx = −6، Dy = −4۔ اس لیے x = Dx/D = 3، y = Dy/D = 2۔
Answer / جواب: Expand along row 1: 1(1×0 − 4×6) − 2(0×0 − 4×5) + 3(0×6 − 1×5) = −24 + 40 − 15 = 1. Since det ≠ 0, the matrix is non-singular.
پہلی قطار سے پھیلائیں: 1(0 − 24) − 2(0 − 20) + 3(0 − 5) = −24 + 40 − 15 = 1۔ چونکہ det ≠ 0، میٹرکس نان سنگولر ہے۔
یہ MCQs کتاب کی exercise سے نہیں لیے گئے — یہ SLOs پر مبنی mashq کے لیے ہیں.
(a) 3 × 2 (b) 2 × 3 (c) 2 × 2 (d) 3 × 3
Answer: (b) 2 × 3 — 2 rows and 3 columns.
(a) 10 (b) 14 (c) 12 (d) 2
Answer: (a) 10 — 12 − 2 = 10.
(a) 0 (b) 1 (c) non-zero (d) negative
Answer: (c) non-zero — det = 0 means singular — no inverse exists.
(a) commutative (b) not commutative (c) always zero (d) not associative
Answer: (b) not commutative — Usually AB ≠ BA, but it is associative.
Answer: (b) 2 × 3 — 2 × 3 — 2 rows and 3 columns.
Answer: (a) 10 — 10 — 12 − 2 = 10.
Answer: (c) non-zero — non-zero — det = 0 means singular — no inverse exists.
Answer: (b) not commutative — not commutative — Usually AB ≠ BA, but it is associative.
اس باب میں کیا ہے؟ اس chapter میں matrices کی پہچان — order اور types — پھر جمع/تفریق/scalar multiplication, matrix multiplication, 2×2 اور 3×3 determinants, اور inverse, Cramer کا اصول اور systems کا حل ہے.
Revision guidance: Multiplication میں ہمیشہ row × column کرو اور order check کرو. Inverse صرف تب جب det ≠ 0 — یہ شرط بھولنا سب سے بڑا mistake ہے.
اس باب میں کیا ہے؟ اس باب میں میٹرکسز کی پہچان — ترتیب اور اقسام — پھر جمع و تفریق و اسکیلر ضرب، میٹرکس کی ضرب، 2×2 اور 3×3 ڈیٹرمیننٹس، اور معکوس، کریمر کا اصول اور نظاموں کا حل ہے۔
نظرثانی کی رہنمائی: ضرب میں ہمیشہ قطار × کالم کریں اور ترتیب جانچیں۔ معکوس صرف تب جب det ≠ 0 — یہ شرط بھولنا سب سے بڑی غلطی ہے۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • Class 10 Mathematics, Chapter 3 (Session 2026–27) • English + Urdu