This revised page was built from the existing Class 10 Mathematics library chapter (chapter-7-complete-guide-book.html) in the same series. No official book copy was on disk for a fresh page-by-page check, so no book page numbers are claimed and exercise references such as “Exercise 1.6 Q2” are carried over from the master chapter as given, not newly verified. Solved answers follow the master chapter; practice MCQs are SLO-based practice, not book questions.
یہ نظرثانی شدہ صفحہ اسی سلسلے کے موجودہ جماعت دہم ریاضی کے باب سے بنایا گیا ہے۔ کتاب کی کوئی مصدقہ نقل ڈسک پر موجود نہیں تھی، اس لیے کتاب کے صفحہ نمبرز کا دعویٰ نہیں کیا گیا۔
Is page ka mawaad PECTAA Class 10 Mathematics (1st edition, May 2026 — Revised National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27) ke Unit 7 — Trigonometry پر مبنی ہے. Book میں اسے "Unit" کہا گیا ہے; file کا نام chapter کے مطابق رکھا گیا ہے.
اس صفحے کا مواد پنجاب ایجوکیشن، کریکولم، ٹریننگ اینڈ اسیسمنٹ اتھارٹی (PECTAA) کی جماعت دہم ریاضی (پہلا ایڈیشن، مئی 2026 — نظرثانی شدہ قومی نصاب 2023، سیشن 2026–27) کے یونٹ 7 پر مبنی ہے۔
Book-faithful note: Only selected problems are solved here. The book’s full exercise (including longer identity proofs and more height/distance problems) is in the book itself.
In a right triangle, for an acute angle θ: sin θ = perpendicular/hypotenuse, cos θ = base/hypotenuse, tan θ = perpendicular/base = sin θ/cos θ. The reciprocals are cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ.
Example: a triangle with perpendicular 3, base 4, hypotenuse 5 gives sin θ = 3/5, cos θ = 4/5, tan θ = 3/4.
قائمہ مثلث میں، زاویہ θ کے لیے: sin θ = عمود/وتر، cos θ = قاعدہ/وتر، tan θ = عمود/قاعدہ = sin θ/cos θ۔ معکوس نسبتیں: cosec θ = 1/sin θ، sec θ = 1/cos θ، cot θ = 1/tan θ۔
مثال: عمود 3، قاعدہ 4، وتر 5 والی مثلث میں sin θ = 3/5، cos θ = 4/5، tan θ = 3/4۔
Memorise this table — it is asked in almost every board paper:
sin: 30° → 1/2, 45° → 1/√2, 60° → √3/2. cos: 30° → √3/2, 45° → 1/√2, 60° → 1/2. tan: 30° → 1/√3, 45° → 1, 60° → √3. Notice sin and cos swap between 30° and 60° — a good memory check.
یہ جدول یاد کریں — بورڈ کے تقریباً ہر پرچے میں پوچھا جاتا ہے:
sin: 30° → 1/2، 45° → 1/√2، 60° → √3/2۔ cos: 30° → √3/2، 45° → 1/√2، 60° → 1/2۔ tan: 30° → 1/√3، 45° → 1، 60° → √3۔ غور کریں: sin اور cos، 30° اور 60° کے درمیان بدل جاتے ہیں — یاد رکھنے کی اچھی ترکیب۔
The three identities to prove everything else: sin²θ + cos²θ = 1; 1 + tan²θ = sec²θ; 1 + cot²θ = cosec²θ. Also tan θ = sin θ/cos θ and cot θ = cos θ/sin θ.
Example check at 30°: sin²30° + cos²30° = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 ✓. In proofs, convert everything to sin and cos first — that single trick solves most identity questions.
باقی سب کچھ ثابت کرنے کے لیے تین شناختیں: sin²θ + cos²θ = 1؛ 1 + tan²θ = sec²θ؛ 1 + cot²θ = cosec²θ۔ نیز tan θ = sin θ/cos θ اور cot θ = cos θ/sin θ۔
30° پر جانچ: sin²30° + cos²30° = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 ✓۔ ثبوتوں میں پہلے سب کچھ sin اور cos میں بدلیں — یہ ایک ترکیب زیادہ تر شناختی سوالات حل کر دیتی ہے۔
Angle of elevation is measured upward from the horizontal; angle of depression downward. Draw the right triangle, label the known side, pick the ratio that links known and unknown, and solve.
Example: a pole’s shadow is 10 m when the sun’s elevation is 60°. Height h satisfies tan 60° = h/10, so h = 10√3 ≈ 17.32 m. (Book-style height/distance problem.)
زاویہ ارتفاع افقی سے اوپر کی طرف ماپا جاتا ہے؛ زاویہ انحطاط نیچے کی طرف۔ قائمہ مثلث بنائیں، معلوم ضلع لکھیں، وہ نسبت چنیں جو معلوم اور نامعلوم کو جوڑے، پھر حل کریں۔
مثال: سورج کے ارتفاع 60° پر کھمبے کا سایہ 10 میٹر ہے۔ اونچائی h کے لیے tan 60° = h/10، اس لیے h = 10√3 ≈ 17.32 میٹر۔
A trigonometric equation asks for the angle: e.g. sin θ = 1/2 gives θ = 30° (in the acute range). Use the special-angle table backwards, and remember the range the question asks for.
Example: solve 2cos θ − 1 = 0 for acute θ. Then cos θ = 1/2, so θ = 60°. And tan θ = 1 gives θ = 45°. Always check your answer by putting it back into the equation.
مثلثیاتی مساوات میں زاویہ پوچھا جاتا ہے: مثلاً sin θ = 1/2 سے θ = 30° ملتا ہے (حاد رینج میں)۔ خصوصی زاویوں کی جدول الٹی استعمال کریں، اور سوال میں دی گئی رینج یاد رکھیں۔
مثال: حاد θ کے لیے 2cos θ − 1 = 0 حل کریں۔ پھر cos θ = 1/2، اس لیے θ = 60°۔ اور tan θ = 1 سے θ = 45°۔ ہمیشہ جواب واپس مساوات میں رکھ کر جانچیں۔
A bearing is measured clockwise from North, always with three digits (e.g. 060°, 218°). To find a bearing: draw North at the starting point, find the angle between North and the direction of travel (using tan θ = opposite/adjacent in the right triangle), then add the quadrant offset.
Book worked example: a pilot is at a point 40 km east and 50 km north of the airport. The return angle satisfies tan θ = 40/50 = 0.8 → θ ≈ 38.66°, so the return bearing is 180° + 38.66° = 218.66°, and the shortest distance is √(40² + 50²) ≈ 64.03 km.
بیئرنگ شمال سے گھڑی کی سمت میں ماپی جاتی ہے، ہمیشہ تین ہندسوں میں (مثلاً 060°، 218°)۔ بیئرنگ نکالنے کے لیے: نقطہ آغاز پر شمال بنائیں، شمال اور سفر کی سمت کے درمیان زاویہ نکالیں (قائمہ مثلث میں tan θ = مقابل/مجاور سے)، پھر ربع کا اضافہ کریں۔
کتاب کی حل شدہ مثال: ایک پائلٹ ہوائی اڈے سے 40 کلومیٹر مشرق اور 50 کلومیٹر شمال میں ہے۔ واپسی کا زاویہ: tan θ = 40/50 = 0.8 → θ ≈ 38.66°، اس لیے واپسی کی بیئرنگ (جنوب مغرب) 180° + 38.66° = 218.66° ہے، اور کم ترین فاصلہ √(40² + 50²) ≈ 64.03 کلومیٹر ہے۔
Note: Neeche sirf muntakhab (selected) سوال step-by-step حل کیے گئے ہیں. مکمل exercise کتاب میں موجود ہے — یہ page اسکا متبادل نہیں, صرف guide ہے.
نوٹ: نیچے صرف منتخب سوالات مرحلہ وار حل کیے گئے ہیں۔ مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔
Answer / جواب: sin θ = 3/5, cos θ = 4/5, tan θ = 3/4. Check: tan = sin/cos = (3/5)/(4/5) = 3/4 ✓.
sin θ = 3/5، cos θ = 4/5، tan θ = 3/4۔ جانچ: tan = sin/cos = (3/5)/(4/5) = 3/4 ✓۔
Answer / جواب: = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 (as the identity sin²θ + cos²θ = 1 promises).
= (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 (جیسا کہ شناخت sin²θ + cos²θ = 1 کا وعدہ ہے)۔
Answer / جواب: tan 60° = h/10 → h = 10 × tan 60° = 10√3 ≈ 17.32 m.
tan 60° = h/10 → h = 10 × tan 60° = 10√3 ≈ 17.32 میٹر۔
Answer / جواب: tan θ = 40/50 = 0.8 → θ ≈ 38.66°. The return direction is south-west, so bearing = 180° + 38.66° = 218.66° (clockwise from North). Distance = √(40² + 50²) = √4100 ≈ 64.03 km.
tan θ = 40/50 = 0.8 → θ ≈ 38.66°۔ واپسی کی سمت جنوب مغرب ہے، اس لیے بیئرنگ = 180° + 38.66° = 218.66° (شمال سے گھڑی کی سمت)۔ فاصلہ = √(40² + 50²) = √4100 ≈ 64.03 کلومیٹر۔
Answer / جواب: cos θ = 1/2 → θ = 60° (from the special-angle table).
cos θ = 1/2 → θ = 60° (خصوصی زاویوں کی جدول سے)۔
Answer / جواب: sin θ/cos θ = (perp/hyp)/(base/hyp) = perp/base = tan θ. The hypotenuses cancel.
sin θ/cos θ = (عمود/وتر)/(قاعدہ/وتر) = عمود/قاعدہ = tan θ۔ وتر کٹ جاتے ہیں۔
Answer / جواب: sin θ = 3/5, cos θ = 4/5, tan θ = 3/4. Check: tan = sin/cos = (3/5)/(4/5) = 3/4 ✓.
sin θ = 3/5، cos θ = 4/5، tan θ = 3/4۔ جانچ: tan = sin/cos = (3/5)/(4/5) = 3/4 ✓۔
Answer / جواب: = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 (as the identity sin²θ + cos²θ = 1 promises).
= (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 (جیسا کہ شناخت sin²θ + cos²θ = 1 کا وعدہ ہے)۔
Answer / جواب: tan 60° = h/10 → h = 10 × tan 60° = 10√3 ≈ 17.32 m.
tan 60° = h/10 → h = 10 × tan 60° = 10√3 ≈ 17.32 میٹر۔
Answer / جواب: tan θ = 40/50 = 0.8 → θ ≈ 38.66°. The return direction is south-west, so bearing = 180° + 38.66° = 218.66° (clockwise from North). Distance = √(40² + 50²) = √4100 ≈ 64.03 km.
tan θ = 40/50 = 0.8 → θ ≈ 38.66°۔ واپسی کی سمت جنوب مغرب ہے، اس لیے بیئرنگ = 180° + 38.66° = 218.66° (شمال سے گھڑی کی سمت)۔ فاصلہ = √(40² + 50²) = √4100 ≈ 64.03 کلومیٹر۔
Answer / جواب: cos θ = 1/2 → θ = 60° (from the special-angle table).
cos θ = 1/2 → θ = 60° (خصوصی زاویوں کی جدول سے)۔
Answer / جواب: sin θ/cos θ = (perp/hyp)/(base/hyp) = perp/base = tan θ. The hypotenuses cancel.
sin θ/cos θ = (عمود/وتر)/(قاعدہ/وتر) = عمود/قاعدہ = tan θ۔ وتر کٹ جاتے ہیں۔
یہ MCQs کتاب کی exercise سے نہیں لیے گئے — یہ SLOs پر مبنی mashq کے لیے ہیں.
(a) √3/2 (b) 1/2 (c) 1 (d) 1/√2
Answer: (b) 1/2 — Standard special-angle value.
(a) 0 (b) 1/2 (c) 1 (d) √3
Answer: (c) 1 — In a 45° triangle the two legs are equal.
(a) 0 (b) 2 (c) 1 (d) tan²θ
Answer: (c) 1 — The fundamental identity, true for every θ.
(a) 30° (b) 45° (c) 60° (d) 90°
Answer: (c) 60° — cos 60° = 1/2.
Answer: (b) 1/2 — 1/2 — Standard special-angle value.
Answer: (c) 1 — 1 — In a 45° triangle the two legs are equal.
Answer: (c) 1 — 1 — The fundamental identity, true for every θ.
Answer: (c) 60° — 60° — cos 60° = 1/2.
اس باب میں کیا ہے؟ اس chapter میں trigonometry ہے: ratios, 30°/45°/60° کے special angles, بنیادی identities, heights and distances, trigonometric equations, اور bearings.
Revision guidance: Special angles کی table زبانی یاد کرو — اس سے آدھے سوال فوراً حل ہوتے ہیں. Identity sin²θ + cos²θ = 1 ہر proof کی کنجی ہے.
اس باب میں کیا ہے؟ اس باب میں مثلثیات ہے: نسبتیں، 30°/45°/60° کے خصوصی زاویے، بنیادی شناختیں، اونچائیاں اور فاصلے، مثلثیاتی مساواتیں، اور سمتیں (بیئرنگ)۔
نظرثانی کی رہنمائی: خصوصی زاویوں کی جدول زبانی یاد کریں — اس سے آدھے سوال فوراً حل ہوتے ہیں۔ شناخت sin²θ + cos²θ = 1 ہر ثبوت کی کنجی ہے۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • Class 10 Mathematics, Chapter 7 (Session 2026–27) • English + Urdu