This revised page was built from the existing Class 10 Mathematics library chapter (chapter-8-complete-guide-book.html) in the same series. No official book copy was on disk for a fresh page-by-page check, so no book page numbers are claimed and exercise references such as “Exercise 1.6 Q2” are carried over from the master chapter as given, not newly verified. Solved answers follow the master chapter; practice MCQs are SLO-based practice, not book questions.
یہ نظرثانی شدہ صفحہ اسی سلسلے کے موجودہ جماعت دہم ریاضی کے باب سے بنایا گیا ہے۔ کتاب کی کوئی مصدقہ نقل ڈسک پر موجود نہیں تھی، اس لیے کتاب کے صفحہ نمبرز کا دعویٰ نہیں کیا گیا۔
Is page ka mawaad PECTAA Class 10 Mathematics (1st edition, May 2026 — Revised National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27) ke Unit 8 — Chords and Arcs of a Circle پر مبنی ہے. Book میں اسے "Unit" کہا گیا ہے; file کا نام chapter کے مطابق رکھا گیا ہے.
اس صفحے کا مواد پنجاب ایجوکیشن، کریکولم، ٹریننگ اینڈ اسیسمنٹ اتھارٹی (PECTAA) کی جماعت دہم ریاضی (پہلا ایڈیشن، مئی 2026 — نظرثانی شدہ قومی نصاب 2023، سیشن 2026–27) کے یونٹ 8 پر مبنی ہے۔
Book-faithful note: Only selected problems are solved here. The book’s full exercise (including theorem proofs with full Given/To Prove/Construction/Proof format) is in the book itself; the proofs here are given in summary form for revision.
A chord joins two points on a circle. A diameter is the longest chord — it passes through the centre. An arc is part of the circumference; a sector is the pie-slice region bounded by two radii and an arc; a segment is the region bounded by a chord and an arc.
The central angle is the angle at the centre standing on an arc. The whole circle is 360° (2π radians).
وتر دائرے کے دو نقطوں کو ملاتی ہے۔ قطر سب سے لمبی وتر ہے — یہ مرکز سے گزرتا ہے۔ قوس محیط کا حصہ ہے؛ سیکٹر دو رداسوں اور قوس سے گھرا پائی کا ٹکڑا ہے؛ سیگمنٹ وتر اور قوس سے گھرا علاقہ ہے۔
مرکزی زاویہ وہ زاویہ ہے جو مرکز پر قوس پر کھڑا ہوتا ہے۔ پورا دائرہ 360° (2π ریڈین) ہوتا ہے۔
Theorem: the perpendicular from the centre to a chord bisects the chord (and conversely, the line from the centre to the midpoint of a chord is perpendicular to it). This turns every chord problem into a right triangle: radius² = (half-chord)² + (distance)².
Example: radius 10, distance from centre 6 → half-chord = √(100 − 36) = 8 → chord = 16.
مسئلہ: مرکز سے وتر پر عمود وتر کو نصف کرتا ہے (اور برعکس، مرکز سے وتر کے وسط تک کا خط اس پر عمود ہوتا ہے)۔ اس سے ہر وتر کا مسئلہ قائمہ مثلث بن جاتا ہے: رداس² = (نصف وتر)² + (فاصلہ)²۔
مثال: رداس 10، مرکز سے فاصلہ 6 → نصف وتر = √(100 − 36) = 8 → وتر = 16۔
Theorem: equal chords of a circle are equidistant from the centre, and conversely, chords equidistant from the centre are equal. So if two chords are both 8 cm from the centre, they have the same length — no calculation needed.
Also: the longer chord is nearer the centre. The diameter (longest chord) has distance 0 from the centre.
مسئلہ: دائرے کی برابر وتریں مرکز سے برابر فاصلے پر ہوتی ہیں، اور برعکس، مرکز سے برابر فاصلے والی وتریں برابر ہوتی ہیں۔ اس لیے اگر دو وتریں دونوں مرکز سے 8 سینٹی میٹر دور ہوں تو ان کی لمبائی ایک جیسی ہے — حساب کی ضرورت نہیں۔
نیز: لمبی وتر مرکز کے قریب ہوتی ہے۔ قطر (سب سے لمبی وتر) کا مرکز سے فاصلہ 0 ہوتا ہے۔
Arc length is a fraction of the circumference: l = (θ/360°) × 2πr for θ in degrees, or simply l = rθ for θ in radians. Example: r = 7, θ = 60° = π/3 radians → l = 7 × π/3 = 7π/3 ≈ 7.33 units.
Check by fraction: 60° is 1/6 of 360°, and the circumference is 2π×7 = 14π, so l = 14π/6 = 7π/3 ✓ — both routes agree.
قوس کی لمبائی محیط کا ایک کسر ہے: ڈگریوں میں l = (θ/360°) × 2πr، یا ریڈین میں سادہ l = rθ۔ مثال: r = 7، θ = 60° = π/3 ریڈین → l = 7 × π/3 = 7π/3 ≈ 7.33 اکائی۔
کسر سے جانچ: 60°، 360° کا 1/6 ہے، اور محیط 2π×7 = 14π ہے، اس لیے l = 14π/6 = 7π/3 ✓ — دونوں راستے متفق ہیں۔
Sector area is the same fraction of the whole circle’s area: A = (θ/360°) × πr², or A = (1/2)r²θ for θ in radians. Example: r = 7, θ = 60° = π/3 → A = (1/2)(49)(π/3) = 49π/6 ≈ 25.66 square units.
Memory aid: arc length uses rθ (like a length), sector area uses (1/2)r²θ (like an area — note the r² and the 1/2).
سیکٹر کا رقبہ پورے دائرے کے رقبے کا وہی کسر ہے: A = (θ/360°) × πr²، یا ریڈین میں A = (1/2)r²θ۔ مثال: r = 7، θ = 60° = π/3 → A = (1/2)(49)(π/3) = 49π/6 ≈ 25.66 مربع اکائی۔
یاد رکھنے کی ترکیب: قوس کی لمبائی میں rθ (لمبائی جیسا)، سیکٹر کے رقبے میں (1/2)r²θ (رقبہ جیسا — r² اور 1/2 پر غور کریں)۔
Note: Neeche sirf muntakhab (selected) سوال step-by-step حل کیے گئے ہیں. مکمل exercise کتاب میں موجود ہے — یہ page اسکا متبادل نہیں, صرف guide ہے.
نوٹ: نیچے صرف منتخب سوالات مرحلہ وار حل کیے گئے ہیں۔ مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔
Answer / جواب: Half-chord = √(r² − d²) = √(100 − 36) = 8. Full chord = 16 units.
نصف وتر = √(r² − d²) = √(100 − 36) = 8۔ پوری وتر = 16 اکائی۔
Answer / جواب: θ = 60° = π/3 radians. l = rθ = 7 × π/3 = 7π/3 ≈ 7.33 units.
θ = 60° = π/3 ریڈین۔ l = rθ = 7 × π/3 = 7π/3 ≈ 7.33 اکائی۔
Answer / جواب: A = (1/2)r²θ = (1/2)(49)(π/3) = 49π/6 ≈ 25.66 square units.
A = (1/2)r²θ = (1/2)(49)(π/3) = 49π/6 ≈ 25.66 مربع اکائی۔
Answer / جواب: They are equal. Theorem: chords equidistant from the centre are equal (converse of: equal chords are equidistant from the centre).
وہ برابر ہیں۔ مسئلہ: مرکز سے برابر فاصلے والی وتریں برابر ہوتی ہیں۔
Answer / جواب: Half-chord = 12. r² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 → r = 13 units.
نصف وتر = 12۔ r² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 → r = 13 اکائی۔
Answer / جواب: Congruent arcs have congruent chords (equal arcs subtend equal angles, giving congruent triangles with the centre). So the other chord is also 10 metres.
ہم نہاد قوسوں کی وتریں ہم نہاد ہوتی ہیں (برابر قوسیں برابر زاویے بناتی ہیں، مرکز کے ساتھ ہم نہاد مثلثیں بنتی ہیں)۔ اس لیے دوسری وتر بھی 10 میٹر ہے۔
Answer / جواب: One slice = 1/8 of the circle: A = (1/8)π(14)² = (196π)/8 = 24.5π ≈ 76.97 cm².
ایک ٹکڑا = دائرے کا 1/8: A = (1/8)π(14)² = (196π)/8 = 24.5π ≈ 76.97 مربع سینٹی میٹر۔
Answer / جواب: θ = l/r = 18/12 = 1.5 radians.
θ = l/r = 18/12 = 1.5 ریڈین۔
Answer / جواب: Half-chord = √(r² − d²) = √(100 − 36) = 8. Full chord = 16 units.
نصف وتر = √(r² − d²) = √(100 − 36) = 8۔ پوری وتر = 16 اکائی۔
Answer / جواب: θ = 60° = π/3 radians. l = rθ = 7 × π/3 = 7π/3 ≈ 7.33 units.
θ = 60° = π/3 ریڈین۔ l = rθ = 7 × π/3 = 7π/3 ≈ 7.33 اکائی۔
Answer / جواب: A = (1/2)r²θ = (1/2)(49)(π/3) = 49π/6 ≈ 25.66 square units.
A = (1/2)r²θ = (1/2)(49)(π/3) = 49π/6 ≈ 25.66 مربع اکائی۔
Answer / جواب: They are equal. Theorem: chords equidistant from the centre are equal (converse of: equal chords are equidistant from the centre).
وہ برابر ہیں۔ مسئلہ: مرکز سے برابر فاصلے والی وتریں برابر ہوتی ہیں۔
Answer / جواب: Half-chord = 12. r² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 → r = 13 units.
نصف وتر = 12۔ r² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 → r = 13 اکائی۔
Answer / جواب: Congruent arcs have congruent chords (equal arcs subtend equal angles, giving congruent triangles with the centre). So the other chord is also 10 metres.
ہم نہاد قوسوں کی وتریں ہم نہاد ہوتی ہیں (برابر قوسیں برابر زاویے بناتی ہیں، مرکز کے ساتھ ہم نہاد مثلثیں بنتی ہیں)۔ اس لیے دوسری وتر بھی 10 میٹر ہے۔
Answer / جواب: One slice = 1/8 of the circle: A = (1/8)π(14)² = (196π)/8 = 24.5π ≈ 76.97 cm².
ایک ٹکڑا = دائرے کا 1/8: A = (1/8)π(14)² = (196π)/8 = 24.5π ≈ 76.97 مربع سینٹی میٹر۔
Answer / جواب: θ = l/r = 18/12 = 1.5 radians.
θ = l/r = 18/12 = 1.5 ریڈین۔
یہ MCQs کتاب کی exercise سے نہیں لیے گئے — یہ SLOs پر مبنی mashq کے لیے ہیں.
(a) radius (b) diameter (c) arc (d) tangent
Answer: (b) diameter — The diameter passes through the centre and is the longest chord.
(a) trisects it (b) bisects it (c) doubles it (d) ignores it
Answer: (b) bisects it — This is the key chord theorem of this unit.
(a) r²θ (b) πrθ (c) rθ (d) 2rθ
Answer: (c) rθ — l = rθ in radians.
(a) parallel (b) equidistant from the centre (c) perpendicular (d) diameters
Answer: (b) equidistant from the centre — Equal chords are equidistant from the centre.
Answer: (b) diameter — diameter — The diameter passes through the centre and is the longest chord.
Answer: (b) bisects it — bisects it — This is the key chord theorem of this unit.
Answer: (c) rθ — rθ — l = rθ in radians.
Answer: (b) equidistant from the centre — equidistant from the centre — Equal chords are equidistant from the centre.
اس باب میں کیا ہے؟ اس chapter میں circle کے chords اور arcs ہیں: chord/arc/sector کی پہچان, centre سے perpendicular کا theorem, equal chords, arc length اور sector کا area.
Revision guidance: Chord کے سوالوں میں ہمیشہ half-chord, distance اور radius کا right triangle بناؤ — r² = (half-chord)² + d². Arc کے لیے angle radians میں لو: l = rθ.
اس باب میں کیا ہے؟ اس باب میں دائرے کی وتریں اور قوسیں ہیں: وتر و قوس و سیکٹر کی پہچان، مرکز سے عمود کا مسئلہ، برابر وتریں، قوس کی لمبائی اور سیکٹر کا رقبہ۔
نظرثانی کی رہنمائی: وتر کے سوالوں میں ہمیشہ نصف وتر، فاصلہ اور رداس کا قائمہ مثلث بنائیں — r² = (نصف وتر)² + d²۔ قوس کے لیے زاویہ ریڈین میں لیں: l = rθ۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • Class 10 Mathematics, Chapter 8 (Session 2026–27) • English + Urdu