This revised page was built from the existing Class 10 Mathematics library chapter (chapter-9-complete-guide-book.html) in the same series. No official book copy was on disk for a fresh page-by-page check, so no book page numbers are claimed and exercise references such as “Exercise 1.6 Q2” are carried over from the master chapter as given, not newly verified. Solved answers follow the master chapter; practice MCQs are SLO-based practice, not book questions.
یہ نظرثانی شدہ صفحہ اسی سلسلے کے موجودہ جماعت دہم ریاضی کے باب سے بنایا گیا ہے۔ کتاب کی کوئی مصدقہ نقل ڈسک پر موجود نہیں تھی، اس لیے کتاب کے صفحہ نمبرز کا دعویٰ نہیں کیا گیا۔
Is page ka mawaad PECTAA Class 10 Mathematics (1st edition, May 2026 — Revised National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27) ke Unit 9 — Tangent and Angles of a Circle پر مبنی ہے. Book میں اسے "Unit" کہا گیا ہے; file کا نام chapter کے مطابق رکھا گیا ہے.
اس صفحے کا مواد پنجاب ایجوکیشن، کریکولم، ٹریننگ اینڈ اسیسمنٹ اتھارٹی (PECTAA) کی جماعت دہم ریاضی (پہلا ایڈیشن، مئی 2026 — نظرثانی شدہ قومی نصاب 2023، سیشن 2026–27) کے یونٹ 9 پر مبنی ہے۔
Book-faithful note: Only selected problems are solved here. The book’s full exercise (including full theorem proofs in Given/To Prove/Proof format and angle-chasing sets) is in the book itself.
A tangent is a line that touches a circle at exactly one point, called the point of contact. A line cutting the circle at two points is a secant; a line missing it entirely touches at no point.
Key theorem: the tangent at a point is perpendicular to the radius through that point. So the radius, the tangent and the line from the centre to any external point always form a right triangle — the workhorse of this unit.
مماس وہ خط ہے جو دائرے کو صرف ایک نقطے پر چھوتا ہے، جسے نقطہ تماس کہتے ہیں۔ دو نقطوں پر کاٹنے والا خط قاطع ہے؛ جو بالکل نہ چھوئے وہ کسی نقطے پر نہیں ملتا۔
اہم مسئلہ: کسی نقطے پر مماس اس نقطے سے گزرنے والے رداس پر عمود ہوتا ہے۔ اس لیے رداس، مماس اور مرکز سے کسی بیرونی نقطے تک کا خط ہمیشہ قائمہ مثلث بناتے ہیں — اس باب کا سب سے کارآمد اوزار۔
From an external point P at distance d from the centre O, with radius r, the tangent length is PT = √(d² − r²) by Pythagoras (triangle OPT is right-angled at T).
Example: r = 5, d = 13 → PT = √(169 − 25) = √144 = 12. The two tangents from the same external point are equal in length — so the other tangent is also 12.
بیرونی نقطہ P سے، جو مرکز O سے d فاصلے پر ہو اور رداس r ہو، مماس کی لمبائی PT = √(d² − r²) ہے، فیثاغورث سے (مثلث OPT، T پر قائمہ ہے)۔
مثال: r = 5، d = 13 → PT = √(169 − 25) = √144 = 12۔ ایک ہی بیرونی نقطے سے دونوں مماس لمبائی میں برابر ہوتے ہیں — اس لیے دوسرا مماس بھی 12 ہے۔
Theorem: the angle in a semicircle is a right angle (90°). If AB is a diameter and P is any point on the circle, then ∠APB = 90°. This is the fastest way to spot a right angle in circle problems.
Also: angles in the same segment are equal (angles standing on the same chord, on the same side). And in a cyclic quadrilateral (all four vertices on the circle), opposite angles sum to 180°.
مسئلہ: نصف دائرے کا زاویہ قائمہ (90°) ہوتا ہے۔ اگر AB قطر ہو اور P دائرے پر کوئی نقطہ ہو تو ∠APB = 90°۔ دائرے کے مسئلوں میں قائمہ زاویہ پہچاننے کا یہ تیز ترین طریقہ ہے۔
نیز: ایک ہی سیگمنٹ کے زاویے برابر ہوتے ہیں (ایک ہی وتر پر، ایک ہی طرف کھڑے زاویے)۔ اور سائیکلک چہار ضلعی (چاروں راس دائرے پر) میں مخالف زاویوں کا مجموعہ 180° ہوتا ہے۔
Alternate segment theorem: the angle between a tangent and a chord through the point of contact equals the angle in the alternate segment (the angle in the opposite segment, on the other side of the chord).
How to use it: if the tangent–chord angle is 50°, then the angle in the alternate segment is also 50° — you can then chase the remaining angles of the triangle with the 180° sum. This theorem is a favourite in board long questions.
متبادل سیگمنٹ کا مسئلہ: مماس اور نقطہ تماس سے گزرنے والی وتر کے درمیان زاویہ متبادل سیگمنٹ کے زاویے کے برابر ہوتا ہے (وتر کی دوسری طرف والے سیگمنٹ کا زاویہ)۔
استعمال: اگر مماس–وتر زاویہ 50° ہو تو متبادل سیگمنٹ کا زاویہ بھی 50° ہے — پھر مثلث کے باقی زاویے 180° کے مجموعے سے نکالیں۔ یہ مسئلہ بورڈ کے طویل سوالات میں بہت پسندیدہ ہے۔
Theorem: the two tangents from an external point are equal in length, and the line from the centre to the point bisects the angle between them (and also bisects the angle between the two radii to the points of contact).
So the figure is symmetric: triangles OPT and OPQ are congruent. If one tangent is 12 and the angle between the tangents is 60°, each half-angle at P is 30° — a quick route to the radius via tan 30° = r/12.
مسئلہ: بیرونی نقطے سے دونوں مماس لمبائی میں برابر ہوتے ہیں، اور مرکز سے اس نقطے تک کا خط ان کے درمیان زاویے کو نصف کرتا ہے (اور نقطہ تماس تک جانے والے دو رداسوں کے درمیان زاویے کو بھی نصف کرتا ہے)۔
اس لیے شکل ہم آہنگ ہے: مثلثیں OPT اور OPQ ہم نہاد ہیں۔ اگر ایک مماس 12 ہو اور مماسوں کے درمیان زاویہ 60° ہو تو P پر ہر نصف زاویہ 30° ہے — رداس نکالنے کے لیے tan 30° = r/12 کا تیز راستہ۔
Note: Neeche sirf muntakhab (selected) سوال step-by-step حل کیے گئے ہیں. مکمل exercise کتاب میں موجود ہے — یہ page اسکا متبادل نہیں, صرف guide ہے.
نوٹ: نیچے صرف منتخب سوالات مرحلہ وار حل کیے گئے ہیں۔ مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔
Answer / جواب: PT = √(d² − r²) = √(169 − 25) = √144 = 12 units.
PT = √(d² − r²) = √(169 − 25) = √144 = 12 اکائی۔
Answer / جواب: 90°. Theorem: the angle in a semicircle is a right angle.
90°۔ مسئلہ: نصف دائرے کا زاویہ قائمہ ہوتا ہے۔
Answer / جواب: By the alternate segment theorem, the angle in the alternate segment is also 50°.
متبادل سیگمنٹ کے مسئلے سے، متبادل سیگمنٹ کا زاویہ بھی 50° ہے۔
Answer / جواب: PB = 12 cm, because the two tangents from the same external point are equal in length.
PB = 12 سینٹی میٹر، کیونکہ ایک ہی بیرونی نقطے سے دونوں مماس لمبائی میں برابر ہوتے ہیں۔
Answer / جواب: Opposite angles of a cyclic quadrilateral sum to 180°, so ∠C = 180° − 70° = 110°.
سائیکلک چہار ضلعی کے مخالف زاویوں کا مجموعہ 180° ہوتا ہے، اس لیے ∠C = 180° − 70° = 110°۔
Answer / جواب: Angles in the same segment are equal (they stand on the same chord PQ, on the same side). So the second angle is also 55°.
ایک ہی سیگمنٹ کے زاویے برابر ہوتے ہیں (وہ ایک ہی وتر PQ پر، ایک ہی طرف کھڑے ہیں)۔ اس لیے دوسرا زاویہ بھی 55° ہے۔
Answer / جواب: Opposite angles of a cyclic quadrilateral sum to 180°, so the opposite angle = 180° − 87° = 93°.
سائیکلک چہار ضلعی کے مخالف زاویوں کا مجموعہ 180° ہوتا ہے، اس لیے مخالف زاویہ = 180° − 87° = 93°۔
Answer / جواب: PT = √(d² − r²) = √(169 − 25) = √144 = 12 units.
PT = √(d² − r²) = √(169 − 25) = √144 = 12 اکائی۔
Answer / جواب: 90°. Theorem: the angle in a semicircle is a right angle.
90°۔ مسئلہ: نصف دائرے کا زاویہ قائمہ ہوتا ہے۔
Answer / جواب: By the alternate segment theorem, the angle in the alternate segment is also 50°.
متبادل سیگمنٹ کے مسئلے سے، متبادل سیگمنٹ کا زاویہ بھی 50° ہے۔
Answer / جواب: PB = 12 cm, because the two tangents from the same external point are equal in length.
PB = 12 سینٹی میٹر، کیونکہ ایک ہی بیرونی نقطے سے دونوں مماس لمبائی میں برابر ہوتے ہیں۔
Answer / جواب: Opposite angles of a cyclic quadrilateral sum to 180°, so ∠C = 180° − 70° = 110°.
سائیکلک چہار ضلعی کے مخالف زاویوں کا مجموعہ 180° ہوتا ہے، اس لیے ∠C = 180° − 70° = 110°۔
Answer / جواب: Angles in the same segment are equal (they stand on the same chord PQ, on the same side). So the second angle is also 55°.
ایک ہی سیگمنٹ کے زاویے برابر ہوتے ہیں (وہ ایک ہی وتر PQ پر، ایک ہی طرف کھڑے ہیں)۔ اس لیے دوسرا زاویہ بھی 55° ہے۔
Answer / جواب: Opposite angles of a cyclic quadrilateral sum to 180°, so the opposite angle = 180° − 87° = 93°.
سائیکلک چہار ضلعی کے مخالف زاویوں کا مجموعہ 180° ہوتا ہے، اس لیے مخالف زاویہ = 180° − 87° = 93°۔
یہ MCQs کتاب کی exercise سے نہیں لیے گئے — یہ SLOs پر مبنی mashq کے لیے ہیں.
(a) 45° (b) 60° (c) 90° (d) 180°
Answer: (c) 90° — Tangent ⊥ radius is the defining property.
(a) 8 (b) 12 (c) 18 (d) 13
Answer: (b) 12 — √(169 − 25) = 12.
(a) 45° (b) 60° (c) 90° (d) 120°
Answer: (c) 90° — The angle in a semicircle is always a right angle.
(a) unequal (b) equal (c) parallel (d) perpendicular
Answer: (b) equal — Tangents from the same point are equal in length.
Answer: (c) 90° — 90° — Tangent ⊥ radius is the defining property.
Answer: (b) 12 — 12 — √(169 − 25) = 12.
Answer: (c) 90° — 90° — The angle in a semicircle is always a right angle.
Answer: (b) equal — equal — Tangents from the same point are equal in length.
اس باب میں کیا ہے؟ اس chapter میں tangent اور circle کے angles ہیں: tangent کی پہچان, باہر کے point سے tangent کی لمبائی, semicircle کا angle, alternate segment theorem, ایک point سے دو tangents, اور cyclic quadrilateral.
Revision guidance: Tangent کے سوال میں پہلے radius اور tangent کا right angle ڈھونڈو — پھر Pythagoras سے لمبائی نکلتی ہے. Cyclic میں opposite angles کا sum 180° ہوتا ہے.
اس باب میں کیا ہے؟ اس باب میں مماس اور دائرے کے زاویے ہیں: مماس کی پہچان، بیرونی نقطے سے مماس کی لمبائی، نصف دائرے کا زاویہ، متبادل سیگمنٹ کا مسئلہ، ایک نقطے سے دو مماس، اور سائیکلک چہار ضلعی۔
نظرثانی کی رہنمائی: مماس کے سوال میں پہلے رداس اور مماس کا قائمہ زاویہ ڈھونڈیں — پھر فیثاغورث سے لمبائی نکلتی ہے۔ سائیکلک میں مخالف زاویوں کا مجموعہ 180° ہوتا ہے۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • Class 10 Mathematics, Chapter 9 (Session 2026–27) • English + Urdu