Limits start with a careful reading of a small arrow. “x approaches zero” (12.1.1) does not mean x becomes zero; it means x takes values closer and closer to zero without ever being zero — for example the sequence xₙ = 1/2ⁿ gives 1/2, 1/4, 1/8, …, marching towards 0 forever. “x approaches infinity” (12.1.2) is the opposite march: xₙ = 10ⁿ gives 10, 100, 1000, …, growing without bound. Infinity here is a direction, not a number you arrive at.
“x approaches a” (12.1.3) means x gets arbitrarily close to a from either side, but x − a ≠ 0 throughout — x is near a, never equal to a. 📌 Point to remember (book): x → 0 is different from x = 0. This one distinction is the whole reason limits exist: a function can behave perfectly sensibly near a point where it is not even defined, and limits are the tool that captures that behaviour.
حدود کا آغاز ایک چھوٹے تیر کی درست تفہیم سے ہوتا ہے۔ “x صفر کی طرف بڑھتا ہے” کا مطلب یہ نہیں کہ x صفر بن جاتا ہے، بلکہ یہ کہ x صفر کے قریب تر ہوتا جاتا ہے مگر کبھی صفر نہیں ہوتا — مثلاً xₙ = 1/2ⁿ سے 1/2، 1/4، 1/8، … کی ترتیب صفر کی طرف بڑھتی رہتی ہے۔ “x لامحدود کی طرف بڑھتا ہے” اس کے برعکس ہے: xₙ = 10ⁿ سے 10، 100، 1000، … بغیر حد کے بڑھتا ہے۔
“x کسی a کی طرف بڑھتا ہے” کا مطلب ہے کہ x دونوں طرف سے a کے بے حد قریب ہو جاتا ہے، مگر x − a ≠ 0 رہتا ہے — یعنی x، a کے قریب ہے، a کے برابر نہیں۔ 📌 یاد رکھنے کا نقطہ (کتاب): x → 0 اور x = 0 میں فرق ہے۔ یہی فرق حدود کی ضرورت کی وجہ ہے: کوئی تفاعل کسی ایسے نقطے کے قریب بالکل معقول رویہ رکھ سکتا ہے جہاں وہ تعریف شدہ ہی نہ ہو۔
The book builds the idea with two pictures before giving any definition. (i) Polygons approaching a circle: inscribe a square in a circle and its area is 2; an octagon gives 2√2 ≈ 2.828; a 16-gon gives ≈ 3.061; as the number of sides grows, the area creeps towards the circle's area π ≈ 3.142. The circle's area is the limit of the polygon areas — never reached by any polygon, but approached as closely as you like. (ii) A numerical table: for f(x) = x³ as x → 2, values from below (1.9, 1.99, 1.999 → 6.859, 7.880, 7.994) and from above (2.1, 2.01, 2.001 → 9.261, 8.120, 8.012) both squeeze towards 8. So we write lim(x→2) x³ = 8.
Formal definition (12.1.5). We say lim(x→a) f(x) = L if f is defined in some open interval around a (except possibly at a itself), and f(x) can be made as close to L as we wish by taking x close enough to a (but not equal to a). Two freedoms matter: f need not be defined at a, and even if it is, its value there does not decide the limit — only the nearby values do.
کتاب تعریف دینے سے پہلے دو تصویروں سے تصور بناتی ہے۔ (i) کثیر الاضلاع دائرے کی طرف: دائرے میں مربع کا رقبہ 2، ثمانی کا 2√2 ≈ 2.828، سولہ اضلاع کا ≈ 3.061 — اضلاع بڑھتے جائیں تو رقبہ دائرے کے رقبے π ≈ 3.142 کی طرف بڑھتا ہے۔ دائرے کا رقبہ کثیر الاضلاع کے رقبوں کی حد ہے — کسی کثیر الاضلاع سے حاصل نہیں ہوتا، مگر جتنا چاہیں قریب پہنچا جا سکتا ہے۔ (ii) عددی جدول: f(x) = x³ کے لیے x → 2 پر نیچے سے (1.9، 1.99، 1.999 → 6.859، 7.880، 7.994) اور اوپر سے (2.1، 2.01، 2.001 → 9.261، 8.120، 8.012) دونوں 8 کی طرف دبتے ہیں، اس لیے lim(x→2) x³ = 8۔
رسمی تعریف: lim(x→a) f(x) = L کا مطلب ہے کہ f کسی کھلے وقفے میں a کے گرد تعریف شدہ ہو (سوائے خود a کے، جہاں تعریف ضروری نہیں)، اور x کو a کے کافی قریب لے کر f(x) کو L کے جتنا چاہیں قریب کیا جا سکے۔ دو آزادیاں اہم ہیں: f کا a پر تعریف شدہ ہونا ضروری نہیں، اور اگر ہو بھی تو اس کی وہ قیمت حد کا فیصلہ نہیں کرتی — صرف قریبی قیمتیں کرتی ہیں۔
Theorem 1 gives the two starting points: lim(x→a) xᵖ = aᵖ for p > 0, and lim(x→a) c = c for any constant c. Theorem 2 then says limits respect the operations you already know, provided the individual limits exist: (a) the limit of a sum is the sum of the limits; (b) the same for a difference; (c) a constant multiple comes out front; (d) the limit of a product is the product of the limits; (e) the limit of a quotient is the quotient of the limits, provided the denominator's limit is not zero; (f) the limit of a power is the power of the limit.
The book's worked examples are deliberately boring, and that is the point: lim(x→1)(x + 5) = 6, lim(x→3)(x − 5) = −2, lim(x→2)(3x) = 6, lim(x→1)(2x)(x + 4) = 10, lim(x→2)(3x + 4)/(x + 3) = 2, lim(x→4)(2x − 3)³ = 125. In each case you just put the number in. The conclusion to carry forward: when the theorems apply, limits are evaluated by substitution. All the interesting work in this chapter happens exactly where substitution fails — the 0/0 cases of the next section.
قضیہ ۱ دو ابتدائی نکات دیتا ہے: lim(x→a) xᵖ = aᵖ (جب p > 0) اور lim(x→a) c = c۔ قضیہ ۲ کہتا ہے کہ حدود ان عملیات کا احترام کرتی ہیں جنھیں آپ پہلے سے جانتے ہیں، بشرطیکہ انفرادی حدود موجود ہوں: (a) مجموعے کی حد حدود کا مجموعہ ہے، (b) تفریق کے لیے یہی، (c) مستقل ضرب باہر آ جاتا ہے، (d) حاصل ضرب کی حد حدود کا حاصل ضرب ہے، (e) تقسیم کی حد حدود کی تقسیم ہے بشرطیکہ مخرج کی حد صفر نہ ہو، (f) قوت کی حد حد کی قوت ہے۔
کتاب کی مثالیں جان بوجھ کر سادہ ہیں، اور یہی مقصد ہے: lim(x→1)(x + 5) = 6، lim(x→3)(x − 5) = −2، lim(x→2)(3x) = 6، lim(x→1)(2x)(x + 4) = 10، lim(x→2)(3x + 4)/(x + 3) = 2، lim(x→4)(2x − 3)³ = 125 — ہر جگہ صرف عدد رکھ دیا گیا۔ نتیجہ: جب قضیے لاگو ہوں تو حدود قیمت رکھ کر نکالی جاتی ہیں۔ اس باب کا دلچسپ کام وہیں شروع ہوتا ہے جہاں قیمت رکھنا ناکام ہو — یعنی اگلے حصے کی 0/0 صورتیں۔
Direct substitution fails most famously at 0/0, and the chapter's first weapon is factorisation. 12.2.1: lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n aⁿ⁻¹ for non-zero integer n and a > 0. Case I (positive n) factors xⁿ − aⁿ as (x − a)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²a + … + aⁿ⁻¹); cancel the (x − a) — allowed because x ≠ a as x → a — and put x = a to get n terms of aⁿ⁻¹. Case II (negative n, write n = −m) reduces to the reciprocal of the positive case and lands on the same formula.
12.2.2: lim(x→0) (√(x + a) − √a)/x = 1/(2√a), proved by rationalising: multiply top and bottom by (√(x + a) + √a), so the numerator becomes (x + a) − a = x, which cancels the denominator's x, leaving 1/(√(x + a) + √a) → 1/(2√a). (The book's heading for this result adds the words “where n is an integer”, which belong to the previous result, not this one — it is ignored here, not repeated.) Example 1: (i) lim(x→1) (x² − 1)/(x² − x) = lim (x + 1)/x = 2; (ii) lim(x→3) (x − 3)/(√x − √3) = lim (√x + √3) = 2√3, after rationalising the denominator.
براہ راست قیمت رکھنا سب سے مشہور طور پر 0/0 پر ناکام ہوتا ہے، اور اس باب کا پہلا ہتھیار تجزی ہے۔ ۱۲.۲.۱: lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n aⁿ⁻¹ (غیر صفر صحیح عدد n اور a > 0 کے لیے)۔ مثبت n کے لیے xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + … + aⁿ⁻¹) لکھ کر (x − a) کاٹ دیں — یہ جائز ہے کیونکہ x → a میں x ≠ a رہتا ہے — پھر x = a رکھنے سے n رقمیں aⁿ⁻¹ کی بنتی ہیں۔ منفی n کے لیے معکوس بنا کر وہی فارمولا آتا ہے۔
۱۲.۲.۲: lim(x→0) (√(x + a) − √a)/x = 1/(2√a) — اوپر نیچے (√(x + a) + √a) سے ضرب دیں تو شمار کنندہ x بن جاتا ہے جو مخرج کے x سے کٹ جاتا ہے۔ (کتاب کی سرخی میں اس نتیجے کے ساتھ “جہاں n صحیح عدد ہو” کے الفاظ آ گئے ہیں جو پچھلے نتیجے کے ہیں — یہاں انھیں دہرایا نہیں گیا۔) مثال ۱: (i) lim(x→1) (x² − 1)/(x² − x) = 2، (ii) lim(x→3) (x − 3)/(√x − √3) = 2√3۔
12.2.3: lim(x→±∞) 1/x = 0, and more generally lim(x→±∞) a/xᵖ = 0 for positive rational p (for example 6/x³ → 0 and −5/∛x → 0). Anything fixed, divided by something growing without bound, dies away to zero. 12.2.4 carries the same idea to sequences: lim(n→∞) aₙ = L means the terms settle near L. A sequence is convergent if such an L exists, and divergent otherwise — either by blowing up without bound (aₙ = n²) or by oscillating forever (aₙ = (−1)ⁿ). Example 2: lim (2n + 3)/(n + 1) = 2, by dividing top and bottom by n.
12.2.5 gives the working method for limits at infinity: divide numerator and denominator by the highest power of x in the denominator, then let the 1/x terms die. Example 3: lim(x→+∞) (5x⁴ − 10x² + 1)/(−3x³ + 10x² + 50) = −∞, because after division the x term on top survives and the leading signs make it negative. Example 4: lim(x→−∞) (4x⁴ − 5x³)/(−3x⁵ + 2x² + 1) = 0, because the denominator's degree wins. Example 5 is the trap to watch: lim (2 − 3x)/√(3 + 4x²) equals 3/2 as x → −∞ but −3/2 as x → +∞, because √(x²) = |x|, which is −x on the negative side. Students who forget the absolute value get exactly one of these two wrong.
۱۲.۲.۳: lim(x→±∞) 1/x = 0، اور عام طور پر lim(x→±∞) a/xᵖ = 0 (مثبت ناطق p کے لیے) — کوئی مقررہ عدد جب بغیر حد بڑھتی چیز سے تقسیم ہو تو صفر کی طرف مر جاتا ہے۔ ۱۲.۲.۴: متوالیات کے لیے بھی یہی خیال ہے: lim(n→∞) aₙ = L کا مطلب ہے کہ رقمیں L کے قریب ٹھہر جائیں۔ ایسی متوالیہ متقارب ہے، ورنہ متباعد — یا تو بغیر حد بڑھ کر (aₙ = n²) یا ہمیشہ جھول کر (aₙ = (−1)ⁿ)۔ مثال ۲: lim (2n + 3)/(n + 1) = 2۔
۱۲.۲.۵ لامحدود پر حدود کا عملی طریقہ دیتا ہے: شمار کنندہ و مخرج کو مخرج کی x کی بلند ترین قوت سے تقسیم کریں، پھر 1/x والی رقمیں مر جائیں گی۔ مثال ۳: (5x⁴ − 10x² + 1)/(−3x³ + 10x² + 50) کی حد x → +∞ پر −∞ ہے۔ مثال ۴: (4x⁴ − 5x³)/(−3x⁵ + 2x² + 1) کی حد x → −∞ پر 0 ہے۔ مثال ۵ میں جال ہے: (2 − 3x)/√(3 + 4x²) کی حد x → −∞ پر 3/2 اور x → +∞ پر −3/2 ہے، کیونکہ √(x²) = |x|، جو منفی طرف −x ہوتا ہے۔
12.2.6: lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2.718281. The book earns this from the binomial expansion: expanding (1 + 1/n)ⁿ gives 1 + 1 + (1/2!)(1 − 1/n) + (1/3!)(1 − 1/n)(1 − 2/n) + …, and as n → ∞ the brackets tend to 1, leaving 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + … — the number e. 📌 Book note: the same limit holds as n → −∞, and putting n = 1/x gives the useful form lim(x→0) (1 + x)^(1/x) = e.
12.2.7: lim(x→0) (aˣ − 1)/x = log_e a. The substitution y = aˣ − 1 turns x into log_a(1 + y), and the limit becomes 1/log_a e = log_e a (with the x → 0 form of the e-limit doing the work). The special case a = e gives the beloved result lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1. Two more facts to file: lim(x→∞) eˣ = ∞ and lim(x→−∞) eˣ = 0 — exponentials outgrow everything on the right and vanish on the left. Example 6: (i) lim(n→∞) (1 + 3/n)²ⁿ = e⁶ (write it as [(1 + 3/n)^(n/3)]⁶); (ii) lim(n→0) (1 + 2n)^(1/n) = e².
۱۲.۲.۶: lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2.718281۔ کتاب اسے دو رقمی توسیع سے حاصل کرتی ہے: (1 + 1/n)ⁿ کو پھیلائیں تو 1 + 1 + (1/2!)(1 − 1/n) + (1/3!)(1 − 1/n)(1 − 2/n) + … بنتا ہے، اور n → ∞ پر بریکٹیں 1 کی طرف جاتی ہیں، پیچھے 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + … رہ جاتا ہے — یہی عدد e ہے۔ 📌 کتاب کا نوٹ: یہی حد n → −∞ پر بھی درست ہے، اور n = 1/x رکھنے سے lim(x→0) (1 + x)^(1/x) = e کی مفید صورت ملتی ہے۔
۱۲.۲.۷: lim(x→0) (aˣ − 1)/x = log_e a — y = aˣ − 1 رکھنے سے x = log_a(1 + y) بنتا ہے اور حد 1/log_a e = log_e a بن جاتی ہے۔ خاص صورت a = e سے محبوب نتیجہ lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1 ملتا ہے۔ دو مزید حقائق: lim(x→∞) eˣ = ∞ اور lim(x→−∞) eˣ = 0۔ مثال ۶: (i) lim(n→∞) (1 + 3/n)²ⁿ = e⁶، (ii) lim(n→0) (1 + 2n)^(1/n) = e²۔
12.2.8 Sandwich Theorem: if f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) near a, and both outer functions have limit L at a, then g is squeezed into the same limit L. It is the rigorous version of “stuck between two friends walking to the same place”. 12.2.9 uses it for the most famous trigonometric limit: lim(θ→0) sin θ/θ = 1, for θ in radians. The proof compares areas in a unit-circle sector: (1/2) sin θ < (1/2) θ < (1/2) tan θ, so cos θ < sin θ/θ < 1. As θ → 0, cos θ → 1, so the sandwich closes and sin θ/θ → 1. 📌 Book note: the same holds for −π/2 < θ < 0, by the same area picture mirrored.
Example 7: lim(θ→0) sin 7θ/θ = 7 — write it as 7 × (sin 7θ)/(7θ) and let u = 7θ. Example 8: lim(θ→0) (1 − cos θ)/θ = 0 — multiply top and bottom by (1 + cos θ) to get sin²θ/(θ(1 + cos θ)) = (sin θ/θ) × (sin θ/(1 + cos θ)) → 1 × 0 = 0. Both examples are really the same trick: massage the expression until sin θ/θ appears, then use the limit.
۱۲.۲.۸ سینڈوچ قضیہ: اگر a کے قریب f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ہو اور باہر والے دونوں تفاعل کی حد a پر L ہو، تو درمیانی تفاعل بھی اسی L کی طرف دب جاتا ہے — یہ “دو دوستوں کے درمیان پھنس کر اسی منزل پر پہنچنا” ہے۔ ۱۲.۲.۹ اسے سب سے مشہور مثلثیاتی حد پر لگاتا ہے: lim(θ→0) sin θ/θ = 1، بشرطیکہ θ ریڈین میں ہو۔ ثبوت واحد دائرے کے قطعے کے رقبوں سے ہے: (1/2) sin θ < (1/2) θ < (1/2) tan θ، اس لیے cos θ < sin θ/θ < 1۔ جب θ → 0 تو cos θ → 1، سینڈوچ بند ہو جاتا ہے اور sin θ/θ → 1۔ 📌 کتاب کا نوٹ: یہی نتیجہ −π/2 < θ < 0 کے لیے بھی درست ہے۔
مثال ۷: lim(θ→0) sin 7θ/θ = 7 — اسے 7 × (sin 7θ)/(7θ) لکھیں۔ مثال ۸: lim(θ→0) (1 − cos θ)/θ = 0 — اوپر نیچے (1 + cos θ) سے ضرب دیں تو sin²θ/(θ(1 + cos θ)) بنتا ہے جو (sin θ/θ) × (sin θ/(1 + cos θ)) → 1 × 0 = 0 ہے۔ دونوں مثالوں میں ایک ہی ترکیب ہے: عبارت کو اس شکل میں لائیں کہ sin θ/θ نظر آئے۔
12.3.1 One-sided limits: lim(x→c⁻) f(x) looks only from the left, lim(x→c⁺) f(x) only from the right. 📌 Book note: the same limit rules apply to one-sided limits. 12.3.2 Criterion: the two-sided limit exists and equals L exactly when both one-sided limits exist and both equal L. If the two sides disagree, there is no (two-sided) limit — full stop.
12.3.3 Continuity at a point needs three things, all three: (i) f(c) is defined; (ii) lim(x→c) f(x) exists; (iii) the limit equals f(c). Fail any one and f is discontinuous at c. The book's examples are a perfect catalogue: Example 9 (piecewise 2x + 1 / 7 − x / x): limit at 2 exists (= 5), but at 4 the left limit is 3 and the right is 4, so no limit there. Example 10: (x² − 1)/(x − 1) is discontinuous at 1 because it is not defined there (condition (i) fails) — even though the limit is 2. Example 11: 3x² − 5x + 4 is continuous at 1 (limit = f(1) = 2). Example 12: the same formula (x² − 9)/(x − 3) with f(3) = 6 patched in is continuous at 3, but without the patch it has a hole and is discontinuous. Example 13: x − 1 for x < 3, 2x + 1 for x ≥ 3: f(3) = 7 and the right limit is 7, but the left limit is 2, so the limit does not exist — discontinuous at 3. Remember box: lim(x→0⁻) 1/x = −∞ and lim(x→0⁺) 1/x = +∞ — the two sides of zero disagree violently.
۱۲.۳.۱ یک طرفہ حدود: lim(x→c⁻) f(x) صرف بائیں طرف سے دیکھتی ہے، lim(x→c⁺) f(x) صرف دائیں طرف سے۔ 📌 کتاب کا نوٹ: یک طرفہ حدود پر بھی وہی قواعد لاگو ہوتے ہیں۔ ۱۲.۳.۲ معیار: دو طرفہ حد تبھی موجود ہوتی ہے اور L کے برابر ہوتی ہے جب دونوں یک طرفہ حدود موجود ہوں اور دونوں L ہوں۔ اگر دونوں طرف اختلاف ہو تو (دو طرفہ) حد موجود نہیں — بات ختم۔
۱۲.۳.۳ کسی نقطے پر اتصال کے لیے تینوں شرطیں چاہییں: (i) f(c) تعریف شدہ ہو، (ii) lim(x→c) f(x) موجود ہو، (iii) حد f(c) کے برابر ہو۔ کوئی ایک بھی ناکام ہو تو f اس نقطے پر غیر متصل ہے۔ کتاب کی مثالیں مکمل فہرست ہیں: مثال ۹: x = 2 پر حد موجود ہے (= 5)، مگر x = 4 پر بائیں حد 3 اور دائیں حد 4 ہے، اس لیے حد نہیں۔ مثال ۱۰: (x² − 1)/(x − 1) x = 1 پر غیر متصل ہے کیونکہ وہاں تعریف شدہ نہیں (اگرچہ حد 2 ہے)۔ مثال ۱۱: 3x² − 5x + 4 x = 1 پر متصل ہے۔ مثال ۱۲: وہی فارمولا f(3) = 6 کے ساتھ متصل ہے، بغیر اس کے سوراخ والا اور غیر متصل ہے۔ مثال ۱۳: x = 3 پر بائیں حد 2 اور دائیں حد 7 ہے — حد موجود نہیں، غیر متصل ہے۔ یاد رکھنے کا خانہ: lim(x→0⁻) 1/x = −∞ اور lim(x→0⁺) 1/x = +∞۔
Example 14 (radioactive decay): A(t) = A₀e^(−kt) → 0 as t → ∞. Given infinite time, the substance decays away completely — the limit says what “eventually” means. Example 15 (continuous compounding): A(t) = P₀e^(rt) → ∞ as t → ∞ for positive r — money compounding continuously grows without bound, at least in the model. Example 16 (demand): D(p) = 100/(p + 1) → 0 as p → ∞ — raise the price without limit and demand dies away. Example 17 (brightness): B(d) = L/d² → 0 as d → ∞ — walk far enough from the lamp and the light fades to nothing. Four different stories, one mathematical sentence each: a limit at infinity describing the long run.
مثال ۱۴ (تابکار تنزل): A(t) = A₀e^(−kt) → 0 جب t → ∞ — لامحدود وقت میں مادہ مکمل طور پر ختم ہو جاتا ہے۔ مثال ۱۵ (مسلسل مرکب سود): A(t) = P₀e^(rt) → ∞ جب t → ∞ (مثبت r کے لیے) — مسلسل مرکب ہونے والی رقم بغیر حد بڑھتی ہے۔ مثال ۱۶ (طلب): D(p) = 100/(p + 1) → 0 جب p → ∞ — قیمت بغیر حد بڑھائیں تو طلب ختم ہو جاتی ہے۔ مثال ۱۷ (روشنی): B(d) = L/d² → 0 جب d → ∞ — چراغ سے کافی دور چلے جائیں تو روشنی ختم ہو جاتی ہے۔ چار مختلف کہانیاں، ہر ایک کا ایک ریاضیاتی جملہ: لامحدود پر حد، طویل مدت کی وضاحت۔
Below are all questions of Exercises 12.1, 12.2 and 12.3 from Unit 12 of the official book (printed pages 229–230, 233–234, 235–236), each solved step by step. The book has no multiple-choice section, no review exercise and no inquisitive/numerical section in this unit, so none is invented here. Two wording points are flagged inside the answers: Exercise 12.1 Q4(x) leaves the base of “log” unstated (kept as printed, not silently converted), and Exercise 12.3 Q7(i) asks for “the inflation rate” while the computation it invites is the price index. The unit's running header on printed pages 219 onwards reads “Limit of Sequences and Continuity”, while the unit title page reads “Limit and Continuity” — this page uses the title-page name.
Counting rule used here: one numbered question = one answer block; its parts (i), (ii), … are solved inside that block. That gives 5 + 7 + 8 = 20 blocks, covering 64 parts in total.
Divide top and bottom by the highest power of n in the denominator, then let 1/n terms die. (i) (2 + 3/n)/(1 + 1/n) → 2/1 = 2. (ii) (2/n + 3/n²)/(1 + 1/n²) → 0/1 = 0. (iii) (5n)/(2 + 3/n) → ∞ — the sequence grows without bound, so it diverges (no finite limit). (iv) (1 − 3/n + 1/n²)/(2 + 1/n + 4/n²) → 1/2.
All of these admit direct substitution (Theorem 2, with a non-zero denominator where there is one). (i) 2(3) + 4 = 10. (ii) 3(1) − 2(1) + 4 = 5. (iii) √(9 + 3 + 4) = √16 = 4. (iv) √(4 + 4) = √8 = 2√2. (v) √(8 + 1) − √(4 + 5) = 3 − 3 = 0. (vi) (2(−8) + 5(−2))/(3(−2) − 2) = (−16 − 10)/(−8) = 26/8 = 13/4.
(i) x³ − x = x(x − 1)(x + 1); cancel (x + 1) to get x(x − 1), which at x = −1 is (−1)(−2) = 2. (ii) (x − 2)(x − 3)/((x − 3)(x + 1)) = (x − 2)/(x + 1) → 1/4 at x = 3. (iii) (x − 2)(x² + 2x + 4)/((x − 2)(x − 3)) = (x² + 2x + 4)/(x − 3) → 12/(−1) = −12 at x = 2. (iv) (x − 1)³/(x(x − 1)(x + 1)) = (x − 1)²/(x(x + 1)) → 0 at x = 1. (v) (x − 2)³/(x(x − 2)(x + 2)) = (x − 2)²/(x(x + 2)) → 0 at x = 2. (vi) (x² − 1)(x² + 1)/((x − 1)(x − 2)) = (x + 1)(x² + 1)/(x − 2) → (2)(2)/(−1) = −4 at x = 1. (vii) Rationalise the denominator: multiply by (√(x + 2) + √(6 − x)); the denominator becomes (x + 2) − (6 − x) = 2(x − 2), which cancels the (x − 2) on top, leaving (√(x + 2) + √(6 − x))/2 → (2 + 2)/2 = 2 at x = 2. (viii) Rationalise the numerator: (√(x + h) − √x)(√(x + h) + √x) = h, so the fraction is 1/(√(x + h) + √x) → 1/(2√x). (ix) Divide top and bottom by (x − a) and use section 12.2.1 twice: (n aⁿ⁻¹)/(m aᵐ⁻¹) = (n/m) aⁿ⁻ᵐ.
(i) Write sin 5x/x = 5 × (sin 5x)/(5x) → 5 × 1 = 5. (ii) sin x²/x = x × (sin x²/x²) → 0 × 1 = 0. (iii) (1 − cos θ)/sin θ = sin θ/(1 + cos θ) (multiply top and bottom by 1 + cos θ) → 0/2 = 0. (iv) Put h = x − π/4. Then sin x − cos x = √2 sin h (expand sin(π/4 + h) and cos(π/4 + h)), so the fraction is √2 × (sin h/h) → √2. (v) cos ax − cos bx = −2 sin((a + b)x/2) sin((a − b)x/2). Divide by x²: −2 × ((a + b)/2) × ((a − b)/2) × (sin u/u)(sin v/v) → −2 × (a² − b²)/4 = (b² − a²)/2. (vi) tan x − 1 = (sin x − cos x)/cos x = (√2 sin h)/cos x with h = x − π/4 as in (iv). Divide by h: (√2/cos x)(sin h/h) → √2/(√2/2) = 2. (vii) 1 − cos 2x = 2sin²x, so the fraction is 2(sin x/x)² → 2. (viii) From (v), numerator behaves like ((b² − a²)/2)x² and denominator like ((d² − c²)/2)x²; the x² cancels, giving (b² − a²)/(d² − c²). (ix) (x² + x + 1)/(x + 1) after cancelling (x − 1) → 3/2 at x = 1. (x) ⚠️ Base note: the book prints “log” without stating the base, so the answer is kept as printed, not converted to ln. Factor the numerator: x² − 9 − x log x + 3 log x = (x − 3)(x + 3) − log x (x − 3) = (x − 3)(x + 3 − log x). Cancel (x − 3) and put x = 3: 6 − log 3. (xi) Write the fraction as ((2ˣ − 1)/x) × (x²/(1 − cos x)). The first factor → ln 2 (section 12.2.7); the second is x²/(2sin²(x/2)) = 2 × ((x/2)/sin(x/2))² → 2. Product: 2 ln 2.
The engine everywhere is lim (1 + 1/n)ⁿ = e, reshaped by powers. (i) [(1 + 1/n)ⁿ]² → e². (ii) √[(1 + 1/n)ⁿ] → √e. (iii) Put m = −n: (1 + 1/m)^(−m) → e⁻¹. (iv) [(1 + 1/(3n))^(3n)]^(1/3) → e^(1/3). (v) [(1 + 4/n)^(n/4)]⁴ → e⁴. (vi) [(1 + 3x)^(1/(3x))]⁶ → e⁶. (vii) [(1 + 2x²)^(1/(2x²))]² → e². (viii) (1/(ab))[((e^(ax) − 1)/x) − ((e^(bx) − 1)/x)] → (a − b)/(ab) = 1/b − 1/a. (ix) (x/(1 + x))ˣ = 1/(1 + 1/x)ˣ → e⁻¹. (x) x < 0: 1/x → −∞, so e^(1/x) → 0, and the fraction → (0 − 1)/(0 + 1) = −1. (xi) x > 0: e^(1/x) → ∞; divide top and bottom by e^(1/x) to get (1 − e^(−1/x))/(1 + e^(−1/x)) → 1. The two one-sided limits disagree, so the two-sided limit does not exist. (xii) e²(e^(x−2) − 1)/(x − 2) → e² × 1 = e².
(i) The function is a polynomial, so both sides just substitute: left = right = 2(1) + 1 − 5 = −2; limit −2. (ii) For x ≠ 3, (x² − 9)/(x − 3) = x + 3. As x → −3 from either side, x + 3 → 0. So left limit = right limit = 0, and the limit is 0. (Note: the value −6 would be the denominator x − 3 evaluated at −3, but the numerator is also 0 there, so the fraction tends to 0, not −6.) (iii) |x − 5| → 0 from both sides at x = 5 (left: −(x − 5) → 0; right: (x − 5) → 0). Limit 0.
(i) Left limit: 2(2) + 5 = 9. Right limit: 4(2) + 1 = 9. f(2) = 2(2) + 5 = 9. All three agree, so f is continuous at x = 2. (ii) Left limit: 3(1) − 1 = 2. Right limit: 2(1) = 2. The limit exists and equals 2 — but f(1) = 4, which is not 2. Condition (iii) fails, so f is discontinuous at x = 1 (a removable-type jump in value, not in the limit).
At x = 2: left limit: (2)² − 1 = 3; right limit: 3; f(2) = 3. All agree → continuous at x = 2. At x = −2: left limit: 3(−2) = −6; right limit: (−2)² − 1 = 3. The two sides disagree, so the limit does not exist → discontinuous at x = −2 (a jump).
Left limit: (−1) + 2 = 1. Right limit: c + 2 (constant). For the two-sided limit to exist, the sides must agree: c + 2 = 1, so c = −1. (With c = −1 the limit is 1; note f(−1) = 1 as well, so the function would then also be continuous at −1.)
(i) Left limit: 3m. Right limit: −2(3) + 9 = 3. f(3) = n. Continuity needs all three equal: 3m = 3 and n = 3, so m = 1, n = 3. (ii) Left limit: 3m. Right limit and f(3): 3² = 9. So 3m = 9, giving m = 3.
Rationalise the numerator: multiply by (√(2x + 5) + √(x + 7)); the numerator becomes (2x + 5) − (x + 7) = x − 2, which cancels the denominator, leaving 1/(√(2x + 5) + √(x + 7)). At x = 2 this is 1/(3 + 3) = 1/6. So continuity needs f(2) = limit, i.e. k = 1/6.
Left limit: 2(1) + 3 = 5. Right limit: −(1) + 4 = 3. The sides disagree, so the limit does not exist at x = 1. f(1) = 5, but that cannot rescue a missing limit. Hence f is discontinuous at x = 1 (jump discontinuity).
As t → ∞, e^(−0.1t) → 0 (section 12.2.7: eˣ → 0 as x → −∞). So A(t) → A₀ × 0 = 0. Given unlimited time, the substance decays away completely.
As t → ∞, e^(−0.5t) → 0, so the denominator → 1 + 0 = 1, and P(t) → 100000/1 = 100000. The population levels off at its carrying capacity of 100,000.
Divide top and bottom by t: S(t) = 500/(1 + 10/t) → 500/(1 + 0) = 500 (in thousands), i.e. 500,000. The number represents the saturation or ceiling level of weekly sales: no matter how long the campaign runs, sales approach but never exceed this level in the model.
(i) S(10) = 1000/10² = 1000/100 = 10. (ii) As d → ∞, 1000/d² → 0: far enough away, the sound fades to nothing (the inverse-square fall-off of section 12.4).
(i) As t → ∞, e^(0.05t) → ∞, so P(t) → ∞ — unbounded exponential growth in the model. (ii) P(10) = 50e^(0.05 × 10) = 50e^0.5 ≈ 50 × 1.6487 ≈ 82.44.
Left limit: 10(100) + 500 = 1500. Right limit: 12(100) + 300 = 1500. C(100) = 10(100) + 500 = 1500. All three agree, so C is continuous at x = 100 — there is no jump in cost when production passes 100 units.
⚠️ Wording flag: the book asks for “the inflation rate after 5 years”, but the computation it invites — I₀e^(0.03t) — gives the price index, not a rate. The answers below are the index values. (i) I(5) = 100e^(0.03 × 5) = 100e^0.15 ≈ 100 × 1.1618 ≈ 116.18. (ii) I(10) = 100e^(0.03 × 10) = 100e^0.3 ≈ 100 × 1.3499 ≈ 134.99.
Left limit: 5(10) + 20 = 70. Right limit: 6(10) + 10 = 70. C(10) = 5(10) + 20 = 70. All three agree, so C is continuous at x = 10.
اس باب میں کیا ہے؟ Limit کا پورا سفر: پہلے “approach” کا مطلب, پھر polygon اور table سے تصور, پھر تعریف, پھر theorems جن سے substitution جائز ہوتی ہے, پھر وہ techniques جہاں substitution ناکام ہو (0/0, infinity, e, sin θ/θ), پھر one-sided limits اور continuity کی تین شرطیں, اور آخر میں اصل دنیا کی چار کہانیاں.
Revision guidance: پہلے تین شرطیں اور one-sided criterion پکا کرو — continuity کے ہر سوال کا فیصلہ انہی سے ہوتا ہے. پھر 0/0 کی تین techniques (factor, rationalise, sin θ/θ wali shakal) الگ الگ مشق کرو. Infinity پر صرف “بڑا درجہ” اور |x| والی احتیاط یاد رکھو. Exercise: 📝 Official Exercise Questions — with Answers (20 questions, 64 parts; no MCQs, no review exercise in this unit). Flags: Exercise 12.1 Q4(x) میں “log” کی base book میں نہیں بتائی (جیسا چھپا ویسا رکھا ہے); Exercise 12.3 Q7(i) “inflation rate” کہتا ہے مگر حساب price index کا ہے; section 12.2.2 کی heading کا “where n اس an integer” پچھلے نتجے کا ہے, اس نتجے کا نہیں.
اس باب میں حد اور اتصال کا مکمل سفر ہے: approach کا مطلب، تصور و تعریف، حدود کے قضیے، 0/0 کی تکنیکیں، لامحدود پر حدود، عدد e، سینڈوچ قضیہ، یک طرفہ حدود اور اتصال کی تین شرطیں، اور حقیقی دنیا کے استعمالات۔
امتحان کے لیے تین چیزیں سب سے اہم ہیں: اتصال کی تین شرطیں مع یک طرفہ معیار، 0/0 کی تکنیکیں (تجزی، ناطق سازی، sin θ/θ)، اور لامحدود پر “بڑا درجہ” کا اصول۔ ان تینوں پر عبور حاصل کر لیں تو اس باب کی مشقیں آسان لگیں گی۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 1 Mathematics, Chapter 12 (New Book, Session 2026–27) • English + Urdu