Differentiation measures rate of change. Class 11 gave you the sum, difference, product and quotient rules for polynomials. Here you differentiate trigonometric, inverse trigonometric, exponential and logarithmic functions, use the chain rule, implicit and parametric differentiation, find tangents and normals, higher-order derivatives, increasing and decreasing functions, maxima and minima, and linear approximations.
تفریق تبدیلی کی شرح ناپتی ہے۔ گیارہویں جماعت میں آپ نے پولینومیل کے لیے جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے اصول پڑھے۔ یہاں آپ مثلثی، معکوس مثلثی، ایکسپونینشل اور لوگارتھمک فنکشنز کی تفریق، چین رول، ضمنی اور پیرامیٹرک تفریق، ٹینجنٹ اور نارمل، اعلیٰ درجے کے مشتقات، بڑھتے اور گھٹتے فنکشنز، عظمیٰ و صغریٰ اور خطی تقریب پڑھیں گے۔
The derivative f′(x) = limh→0 [f(x+h) − f(x)] / h is the instantaneous rate of change, and the slope of the tangent. Power rule: d/dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹. Constant rule: d/dx(c) = 0. Constant multiple: d/dx(cu) = c du/dx. Sum and difference rules let you differentiate term by term.
مشتق f′(x) = limh→0 [f(x+h) − f(x)] / h فوری تبدیلی کی شرح اور ٹینجنٹ کی سلوپ ہے۔ پاور رول: d/dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹۔ کانسٹینٹ رول: d/dx(c) = 0۔ جمع اور تفریق کے اصولوں سے ہر ٹرم الگ الگ differentiate کریں۔
d/dx(sin x) = cos x; d/dx(cos x) = −sin x; d/dx(tan x) = sec²x. d/dx(eˣ) = eˣ — the exponential is its own derivative. d/dx(ln x) = 1/x and d/dx(aˣ) = aˣ ln a. Product rule: (uv)′ = u′v + uv′. Quotient rule: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
d/dx(sin x) = cos x؛ d/dx(cos x) = −sin x؛ d/dx(tan x) = sec²x۔ d/dx(eˣ) = eˣ — ایکسپونینشل اپنا ہی مشتق ہے۔ d/dx(ln x) = 1/x۔ پرڈکٹ رول: (uv)′ = u′v + uv′۔ کوشینٹ رول: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²۔
Chain rule: if y = f(u) and u = g(x), then dy/dx = f′(u)·g′(x) — differentiate the outside, then multiply by the derivative of the inside. Implicit: differentiate both sides, remembering that d/dx(yⁿ) = nyⁿ⁻¹·dy/dx. Parametric: if x = x(t), y = y(t), then dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).
چین رول: اگر y = f(u) اور u = g(x) ہو تو dy/dx = f′(u)·g′(x) — پہلے باہر کا مشتق، پھر اندر کے مشتق سے ضرب۔ ضمنی تفریق: دونوں طرف تفریق کریں، یاد رکھیں d/dx(yⁿ) = nyⁿ⁻¹·dy/dx۔ پیرامیٹرک: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)۔
At the point (x₁, y₁) on y = f(x), the tangent has slope m = f′(x₁) and equation y − y₁ = m(x − x₁). The normal is perpendicular to the tangent, so its slope is −1/m (when m ≠ 0) and its equation is y − y₁ = −(1/m)(x − x₁). Always find the point first, then the slope, then the equation.
نقطہ (x₁, y₁) پر ٹینجنٹ کی سلوپ m = f′(x₁) ہوتی ہے اور مساوات y − y₁ = m(x − x₁) ہے۔ نارمل ٹینجنٹ پر عمود ہوتا ہے، اس کی سلوپ −1/m ہوتی ہے۔ پہلے نقطہ، پھر سلوپ، پھر مساوات معلوم کریں۔
Differentiate twice to get f′′(x) = d²y/dx², three times for f′′′(x), and so on. The second derivative measures how the slope itself is changing — it tells you about concavity: f′′ > 0 means concave up, f′′ < 0 means concave down. Points where concavity changes are points of inflection.
دو بار تفریق سے f′′(x) = d²y/dx² ملتا ہے۔ دوسرا مشتق بتاتا ہے کہ سلوپ خود کیسے بدل رہی ہے: f′′ > 0 کا مطلب اوپر کی طرف مقعر اور f′′ < 0 کا مطلب نیچے کی طرف مقعر۔ جہاں مقعریت بدل جائے وہ انفلیکشن پوائنٹ ہے۔
Critical points are where f′(x) = 0 or f′ is undefined. Second-derivative test: if f′(a) = 0 and f′′(a) > 0, local minimum; if f′′(a) < 0, local maximum. A function increases where f′ > 0 and decreases where f′ < 0. Linear approximation: f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a) for x near a; the differential dy = f′(x)dx estimates small changes, and relative error ≈ dy/y.
کریٹیکل پوائنٹس وہ ہیں جہاں f′(x) = 0 ہو یا f′ غیر تعریف شدہ ہو۔ دوسرے مشتق کا ٹیسٹ: اگر f′(a) = 0 اور f′′(a) > 0 ہو تو مقامی صغریٰ؛ اگر f′′(a) < 0 ہو تو مقامی عظمیٰ۔ جہاں f′ > 0 ہو فنکشن بڑھتا ہے اور جہاں f′ < 0 ہو گھٹتا ہے۔ خطی تقریب: f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a)۔
The questions below are taken from this unit's exercise in the official PECTAA Mathematics 12 textbook (National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27). Only selected questions are solved here — the full exercise is in the book itself. Solutions are worked step by step by this guide book; final answers agree with the book's Answers section where it gives them.
نیچے دیے گئے سوالات سرکاری PECTAA ریاضی 12 کی کتاب کی اس یونٹ کی ایکسرسائز سے لیے گئے ہیں (نیشنل کریکولم 2023، سیشن 2026–27)۔ یہاں صرف منتخب سوالات حل کیے گئے ہیں — مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔ حل مرحلہ وار اس گائیڈ بک نے تیار کیے ہیں۔
یہ سوال کتاب کے printed pages 34–70 والی unit کی exercise سے منتخب کیے گئے ہیں — نیچے 4 حل شدہ سوال ہیں. یہ پوری exercise کا ہر سوال نہیں ہے; جو سوال یہاں نہیں ہیں انھیں invent کر کے نہیں لکھا گیا. اس کے بعد SLO-based practice MCQs ہیں, جو کتاب کی exercise سے نہیں, board pattern کی practice کے لیے لکھے گئے ہیں.
ایکسرسائز 2.7، سوال 1 — ایک کھڑکی مستطیل پر مشتمل ہے جس کے اوپر نیم دائرہ ہے۔ اگر کل محیط 21 میٹر ہو تو وہ ابعاد معلوم کریں جن سے رقبہ زیادہ سے زیادہ ہو۔
Let the radius be r and the rectangle height be h. Perimeter: 2h + 2r + πr = 21. Area: A = 2rh + πr²/2. From the perimeter, h = (21 − 2r − πr)/2, so A = 21r − 2r² − πr²/2. Then A′ = 21 − 4r − πr = 0 gives r = 21/(4 + π) ≈ 2.94 m, and h = (21 − 2r − πr)/2 ≈ 2.94 m. (A′′ < 0, so this is a maximum.)
رداس r اور مستطیل کی اونچائی h فرض کریں۔ محیط: 2h + 2r + πr = 21۔ رقبہ: A = 2rh + πr²/2۔ محیط سے h معلوم کر کے A = 21r − 2r² − πr²/2 ملتا ہے۔ A′ = 0 سے r ≈ 2.94 میٹر اور h ≈ 2.94 میٹر۔
ایکسرسائز 2.7، سوال 2 — 40 سینٹی میٹر بائی 25 سینٹی میٹر کی دھاتی شیٹ سے کونوں سے برابر مربع کاٹ کر کھلا ڈبہ بنانا ہے۔ وہ مربع معلوم کریں جس سے حجم زیادہ سے زیادہ ہو۔
Let the cut square have side x. Volume V = x(40 − 2x)(25 − 2x) = 4x³ − 130x² + 1000x. V′ = 12x² − 260x + 1000 = 0 gives x = (260 ± 140)/24, i.e. x = 5 or x = 50/3. Only x = 5 cm fits (x must be less than 12.5). So cut squares of side 5 cm.
کٹے مربع کی سائیڈ x فرض کریں۔ حجم V = x(40 − 2x)(25 − 2x) = 4x³ − 130x² + 1000x۔ V′ = 0 سے x = 5 یا x = 50/3 ملتا ہے۔ صرف x = 5 سینٹی میٹر ممکن ہے، اس لیے مربع کی سائیڈ 5 سینٹی میٹر ہو۔
ایکسرسائز 2.7، سوال 5 — جھیل میں آکسیجن کی سطح O(t) = t³ − 18t² + 81t + 100 سے ماڈل کی گئی ہے، جہاں t دنوں میں ہے۔ وہ وقت معلوم کریں جب آکسیجن کی سطح کم سے کم ہو۔
O′(t) = 3t² − 36t + 81 = 3(t − 3)(t − 9) = 0 gives t = 3 and t = 9. O′′(t) = 6t − 36: O′′(9) = 18 > 0, so the minimum occurs at t = 9 days. (At t = 3 there is a local maximum.)
O′(t) = 3(t − 3)(t − 9) = 0 سے t = 3 اور t = 9 ملتا ہے۔ O′′(9) = 18 > 0 ہے، اس لیے کم سے کم سطح t = 9 دن پر ہوگی۔
ایکسرسائز 2.7، سوال 8 — دو مثبت صحیح اعداد معلوم کریں جن کا مجموعہ 12 ہو اور ایک کا دوسرے کے مربع سے حاصل ضرب زیادہ سے زیادہ ہو۔
Let the numbers be x and 12 − x. Maximize P = x²(12 − x) = 12x² − x³. P′ = 24x − 3x² = 3x(8 − x) = 0 gives x = 8 (x > 0). The numbers are 8 and 4, and the maximum product is 8² × 4 = 256.
اعداد x اور 12 − x فرض کریں۔ P = x²(12 − x) کو زیادہ سے زیادہ کریں۔ P′ = 0 سے x = 8 ملتا ہے۔ اعداد 8 اور 4 ہیں اور زیادہ سے زیادہ حاصل ضرب 256 ہے۔
These three MCQs are board-pattern practice written for this guide book. Answers are in the accordion below. They are NOT questions from the book exercise — the correct option in each list is also marked (✓).
1. d/dx(eˣ) equals:
Correct answer: (A) eˣ — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
2. If f′(a) = 0 and f′′(a) < 0, then f has at a:
Correct answer: (B) local maximum — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
3. d/dx(sin(x²)) equals:
Correct answer: (B) 2x cos(x²) — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
Further Differentiation — The derivative f′(x) = limh→0 [f(x+h) − f(x)] / h is the instantaneous rate of change, and the slope of the tangent. d/dx(sin x) = cos x; d/dx(cos x) = −sin x; d/dx(tan x) = sec²x. d/dx(eˣ) = eˣ — the exponential is its own derivative. d/dx(ln x) = 1/x and d/dx(aˣ) = aˣ ln a. Chain rule: if y = f(u) and u = g(x), then dy/dx = f′(u)·g′(x) — differentiate the outside, then multiply by the derivative of the inside. At the point (x₁, y₁) on y = f(x), the tangent has slope m = f′(x₁) and equation y − y₁ = m(x − x₁). Differentiate twice to get f′′(x) = d²y/dx², three times for f′′′(x), and so on. Critical points are where f′(x) = 0 or f′ is undefined.
Revision guidance: پہلے 4 حل شدہ سوال خود حل کرنے کی کوشش کرو, پھر جواب سے ملاؤ; 3 practice MCQs بھی خود حل کرو. جو formula اس chapter میں ہے, اسے لکھ کر یاد کرو — رٹا نہیں, سمجھ کر. پوری exercise کے باقی سوال کتاب سے حل کرو; یہ page منتخب سوالوں کا guide ہے, پوری exercise کا متبادل نہیں.
مشتق f′(x) = limh→0 [f(x+h) − f(x)] / h فوری تبدیلی کی شرح اور ٹینجنٹ کی سلوپ ہے۔ پاور رول: d/dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹۔ کانسٹینٹ رول: d/dx(c) = 0۔ جمع اور تفریق کے اصولوں سے ہر ٹرم الگ الگ differentiate کریں۔حل شدہ مثال: d/dx(3x⁴ − 2x + 5) = 12x³ − 2 d/dx(sin x) = cos x؛ d/dx(cos x) = −sin x؛ d/dx(tan x) = sec²x۔ d/dx(eˣ) = eˣ — ایکسپونینشل اپنا ہی مشتق ہے۔ d/dx(ln x) = 1/x۔ پرڈکٹ رول: (uv)′ = u′v + uv′۔ کوشینٹ رول: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²۔حل شدہ مثال: y = x² sin x کا مشتق dy/dx = 2x si چین رول: اگر y = f(u) اور u = g(x) ہو تو dy/dx = f′(u)·g′(x) — پہلے باہر کا مشتق، پھر اندر کے مشتق سے ضرب۔ ضمنی تفریق: دونوں طرف تفریق کریں، یاد رکھیں d/dx(yⁿ) = nyⁿ⁻¹·dy/dx۔ پیرامیٹرک: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)۔حل شدہ مثال: y = sin(x²) کا مش نقطہ (x₁, y₁) پر ٹینجنٹ کی سلوپ m = f′(x₁) ہوتی ہے اور مساوات y − y₁ = m(x − x₁) ہے۔ نارمل ٹینجنٹ پر عمود ہوتا ہے، اس کی سلوپ −1/m ہوتی ہے۔ پہلے نقطہ، پھر سلوپ، پھر مساوات معلوم کریں۔حل شدہ مثال: y = x² پر (2, 4) کے لیے ٹینجنٹ y = 4x − 4 او دو بار تفریق سے f′′(x) = d²y/dx² ملتا ہے۔ دوسرا مشتق بتاتا ہے کہ سلوپ خود کیسے بدل رہی ہے: f′′ > 0 کا مطلب اوپر کی طرف مقعر اور f′′ < 0 کا مطلب نیچے کی طرف مقعر۔ جہاں مقعریت بدل جائے وہ انفلیکشن پوائنٹ ہے۔حل شدہ مثال: y = x³ − 3x کے ل کریٹیکل پوائنٹس وہ ہیں جہاں f′(x) = 0 ہو یا f′ غیر تعریف شدہ ہو۔ دوسرے مشتق کا ٹیسٹ: اگر f′(a) = 0 اور f′′(a) > 0 ہو تو مقامی صغریٰ؛ اگر f′′(a) < 0 ہو تو مقامی عظمیٰ۔ جہاں f′ > 0 ہو فنکشن بڑھتا ہے اور جہاں f′ < 0 ہو گھٹتا ہے۔ خط
اس باب کے موضوعات: مشتق — تعریف اور بنیادی اصول · مثلثی، ایکسپونینشل اور لوگارتھمک مشتقات · چین رول، ضمنی اور پیرامیٹرک تفریق · ٹینجنٹ اور نارمل · اعلیٰ درجے کے مشتقات · عظمیٰ، صغریٰ اور خطی تقریب · مشق
رہنمائی: پہلے حل شدہ سوالات خود حل کرنے کی کوشش کریں، پھر جوابات سے ملائیں؛ پریکٹس MCQs بھی خود حل کریں۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 2 Mathematics, Chapter 2 (PECTAA New Book, Session 2026–27) • English + Urdu