Integration is the reverse of differentiation: it recovers a function from its derivative and measures accumulation, area and volume. You will learn antiderivatives, indefinite and definite integrals, the Fundamental Theorem of Calculus, substitution, integration by parts, trigonometric substitution, partial fractions, and applications — area of plane regions, volumes of solids of revolution, consumer's and producer's surplus, and moment of inertia.
تکامل تفریق کا الٹ ہے: یہ مشتق سے اصل فنکشن واپس لاتا ہے اور جمع، رقبہ اور حجم ناپتا ہے۔ آپ اینٹی ڈیریویٹو، غیر معین اور معین تکامل، کیلکولس کا بنیادی قضیہ، متبادل، اجزاء سے تکامل، مثلثی متبادل، جزوی کسور، اور اطلاقات — ہوائی رقبہ، گردشی اجسام کا حجم، صارف و پروڈیوسر سرپلس اور مومنٹ آف انرشیا پڑھیں گے۔
A function F is an antiderivative of f if F′(x) = f(x). The indefinite integral ∫f(x)dx is the whole family F(x) + C. Power rule: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫(1/x)dx = ln|x| + C; ∫eˣdx = eˣ + C. Never forget the constant C — it is the mark students lose most often.
اگر F′(x) = f(x) ہو تو F، f کا اینٹی ڈیریویٹو ہے۔ غیر معین تکامل ∫f(x)dx پورا خاندان F(x) + C ہے۔ پاور رول: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C؛ ∫(1/x)dx = ln|x| + C؛ ∫eˣdx = eˣ + C۔ کانسٹینٹ C کبھی نہ بھولیں۔
If you can spot a function and (almost) its derivative sitting together, try substitution first. Set u = the inner function, replace du = u′dx, integrate in u, then substitute back. It is the chain rule run backwards.
اگر آپ کو کوئی فنکشن اور (تقریباً) اس کا مشتق ایک ساتھ نظر آئیں تو پہلے متبادل آزمائیں۔ u = اندرونی فنکشن رکھیں، du = u′dx بدلیں، u میں تکامل کریں، پھر واپس بدلیں۔ یہ چین رول کا الٹ ہے۔
∫u dv = uv − ∫v du. Choose u by the LIATE order if you can: Logarithmic, Inverse trig, Algebraic, Trigonometric, Exponential — the first kind is usually the best u. Parts is for products where substitution fails, especially products of a polynomial with eˣ, sin x or ln x.
∫u dv = uv − ∫v du۔ u کا انتخاب LIATE ترتیب سے کریں: لوگارتھمک، معکوس مثلثی، الجبرک، مثلثی، ایکسپونینشل۔ اجزاء کا طریقہ ان حاصل ضربوں کے لیے ہے جہاں متبادل ناکام ہو، خاص طور پر پولینومیل کا eˣ، sin x یا ln x سے حاصل ضرب۔
Partial fractions split a rational function into simple pieces you can integrate: distinct linear factors give A/(x−a) terms; repeated factors and quadratics need their own forms. Trigonometric substitution handles √(a²−x²) (put x = a sin θ), √(a²+x²) (x = a tan θ) and √(x²−a²) (x = a sec θ). Exponential and logarithmic integrals use the same substitution and parts ideas.
جزوی کسور ریشنل فنکشن کو سادہ ٹکڑوں میں توڑ دیتے ہیں جن کا تکامل آسان ہو۔ مثلثی متبادل √(a²−x²) کے لیے x = a sin θ، √(a²+x²) کے لیے x = a tan θ اور √(x²−a²) کے لیے x = a sec θ استعمال کرتا ہے۔
The definite integral ∫abf(x)dx is the signed area under the curve. Fundamental Theorem: if F′ = f, then ∫abf(x)dx = F(b) − F(a). Properties: reversing limits changes the sign; splitting the interval adds the pieces; the average value of f on [a, b] is (1/(b−a))∫abf(x)dx.
معین تکامل ∫abf(x)dx وکر کے نیچے کا علامتی رقبہ ہے۔ بنیادی قضیہ: اگر F′ = f ہو تو ∫abf(x)dx = F(b) − F(a)۔ حدود الٹنے سے علامت بدل جاتی ہے۔ [a, b] پر f کی اوسط قدر (1/(b−a))∫abf(x)dx ہے۔
Area between curves: ∫(top − bottom)dx between intersection points. Volume of revolution: about the x-axis, V = π∫y²dx (disk method). Consumer's surplus is the area between the demand curve and the price line; producer's surplus is the mirror image with the supply curve. Moment of inertia and distance travelled, drug dosage (AUC) and population growth all use the same definite-integral idea.
دو وکروں کے درمیان رقبہ: ∫(اوپر − نیچے)dx۔ گردشی حجم: x-axis کے گرد V = π∫y²dx۔ صارف سرپلس ڈیمانڈ وکر اور قیمت کی لائن کے درمیان رقبہ ہے۔ مومنٹ آف انرشیا، طے شدہ فاصلہ اور دوا کی مقدار (AUC) سب اسی خیال پر مبنی ہیں۔
The questions below are taken from this unit's exercise in the official PECTAA Mathematics 12 textbook (National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27). Only selected questions are solved here — the full exercise is in the book itself. Solutions are worked step by step by this guide book; final answers agree with the book's Answers section where it gives them.
نیچے دیے گئے سوالات سرکاری PECTAA ریاضی 12 کی کتاب کی اس یونٹ کی ایکسرسائز سے لیے گئے ہیں (نیشنل کریکولم 2023، سیشن 2026–27)۔ یہاں صرف منتخب سوالات حل کیے گئے ہیں — مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔ حل مرحلہ وار اس گائیڈ بک نے تیار کیے ہیں۔
یہ سوال کتاب کے printed pages 71–123 والی unit کی exercise سے منتخب کیے گئے ہیں — نیچے 3 حل شدہ سوال ہیں. یہ پوری exercise کا ہر سوال نہیں ہے; جو سوال یہاں نہیں ہیں انھیں invent کر کے نہیں لکھا گیا. اس کے بعد SLO-based practice MCQs ہیں, جو کتاب کی exercise سے نہیں, board pattern کی practice کے لیے لکھے گئے ہیں.
ایکسرسائز، سوال 6 — بیکٹیریا کلچر میں بڑھوتری کی شرح موجود بیکٹیریا کے متناسب ہے۔ شروع میں 200 بیکٹیریا ہیں۔ 2 گھنٹوں بعد 1800 ہو جاتے ہیں۔ (a) وقت t پر بیکٹیریا کی تعداد معلوم کریں۔ (b) 4 گھنٹوں بعد کتنے ہوں گے؟
(a) N = 200e^{kt} and 200e^{2k} = 1800, so e^{2k} = 9 and k = (ln 9)/2 ≈ 1.0986. Hence N(t) = 200e^{1.0986t}. (b) N(4) = 200e^{4.3944} = 200 × 81 = 16200 bacteria.
(a) N = 200e^{kt} اور 200e^{2k} = 1800 سے e^{2k} = 9، اس لیے k ≈ 1.0986۔ پس N(t) = 200e^{1.0986t}۔ (b) N(4) = 200 × 81 = 16200 بیکٹیریا۔
ایکسرسائز، سوال 7 — ایک چھوٹے شہر کی آبادی کی بڑھوتری کی شرح P′(t) = 800 + 60t (افراد فی سال) سے ماڈل کی گئی ہے، جہاں t 2025 کے بعد سالوں کی تعداد ہے۔ 2025 میں آبادی 25,000 تھی: (a) P(t) معلوم کریں۔ (b) 2035 کی آبادی کا تخمینہ لگائیں۔ (c) 2028 سے 2033 تک کل بڑھوتری معلوم کریں۔
(a) P(t) = 25000 + 800t + 30t². (b) 2035 means t = 10: P(10) = 25000 + 8000 + 3000 = 36,000 people. (c) Growth from t = 3 (2028) to t = 8 (2033) is P(8) − P(3) = 33320 − 27670 = 5,650 people.
(a) P(t) = 25000 + 800t + 30t²۔ (b) 2035 میں t = 10: P(10) = 36,000 افراد۔ (c) 2028 (t = 3) سے 2033 (t = 8) تک بڑھوتری P(8) − P(3) = 5,650 افراد۔
ایکسرسائز، سوال 12 — مریض کو دوا کی IV خوراک دی گئی۔ خون میں ارتکاز C(t) = 12e^{−0.3t} (mg/L) سے ماڈل کیا گیا ہے۔ کم سے کم مؤثر ارتکاز (MEC) 3 mg/L ہے۔ (a) وہ وقت T معلوم کریں جب ارتکاز MEC تک پہنچے۔ (b) ایک خوراک کے لیے t = 0 سے t = T تک AUC معلوم کریں۔ (c) 24 گھنٹوں میں 150 mg·h/L کی کل AUC ضرورت پوری کرنے کے لیے T گھنٹوں کے وقفے سے کتنی خوراکیں درکار ہیں؟
(a) 12e^{−0.3T} = 3 gives e^{−0.3T} = 1/4, so T = ln 4 / 0.3 ≈ 4.62 hours. (b) AUC = ∫0T12e^{−0.3t}dt = 40(1 − e^{−0.3T}) = 40(1 − 0.25) = 30 mg·h/L. (c) 150/30 = 5 doses.
(a) 12e^{−0.3T} = 3 سے T = ln 4 / 0.3 ≈ 4.62 گھنٹے۔ (b) AUC = 40(1 − 0.25) = 30 mg·h/L۔ (c) 150/30 = 5 خوراکیں۔
These three MCQs are board-pattern practice written for this guide book. Answers are in the accordion below. They are NOT questions from the book exercise — the correct option in each list is also marked (✓).
1. ∫2x cos(x²)dx equals:
Correct answer: (A) sin(x²) + C — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
2. ∫023x²dx equals:
Correct answer: (C) 8 — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
3. The average value of 3x² on [0, 2] is:
Correct answer: (B) 4 — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
Integration — A function F is an antiderivative of f if F′(x) = f(x). If you can spot a function and (almost) its derivative sitting together, try substitution first. ∫u dv = uv − ∫v du. Choose u by the LIATE order if you can: Logarithmic, Inverse trig, Algebraic, Trigonometric, Exponential — the first kind is usually the best u. Parts is for products where substitution fails, especially products of a po Partial fractions split a rational function into simple pieces you can integrate: distinct linear factors give A/(x−a) terms; repeated factors and quadratics need their own forms. The definite integral ∫abf(x)dx is the signed area under the curve. Area between curves: ∫(top − bottom)dx between intersection points.
Revision guidance: پہلے 3 حل شدہ سوال خود حل کرنے کی کوشش کرو, پھر جواب سے ملاؤ; 3 practice MCQs بھی خود حل کرو. جو formula اس chapter میں ہے, اسے لکھ کر یاد کرو — رٹا نہیں, سمجھ کر. پوری exercise کے باقی سوال کتاب سے حل کرو; یہ page منتخب سوالوں کا guide ہے, پوری exercise کا متبادل نہیں.
اگر F′(x) = f(x) ہو تو F، f کا اینٹی ڈیریویٹو ہے۔ غیر معین تکامل ∫f(x)dx پورا خاندان F(x) + C ہے۔ پاور رول: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C؛ ∫(1/x)dx = ln|x| + C؛ ∫eˣdx = eˣ + C۔ کانسٹینٹ C کبھی نہ بھولیں۔حل شدہ مثال: ∫(3x² + 2x)dx = x³ + x² + C۔ تص اگر آپ کو کوئی فنکشن اور (تقریباً) اس کا مشتق ایک ساتھ نظر آئیں تو پہلے متبادل آزمائیں۔ u = اندرونی فنکشن رکھیں، du = u′dx بدلیں، u میں تکامل کریں، پھر واپس بدلیں۔ یہ چین رول کا الٹ ہے۔حل شدہ مثال: ∫2x cos(x²)dx میں u = x² رکھیں تو جواب sin ∫u dv = uv − ∫v du۔ u کا انتخاب LIATE ترتیب سے کریں: لوگارتھمک، معکوس مثلثی، الجبرک، مثلثی، ایکسپونینشل۔ اجزاء کا طریقہ ان حاصل ضربوں کے لیے ہے جہاں متبادل ناکام ہو، خاص طور پر پولینومیل کا eˣ، sin x یا ln x سے حاصل ضرب۔حل شدہ مثال: ∫x eˣ d جزوی کسور ریشنل فنکشن کو سادہ ٹکڑوں میں توڑ دیتے ہیں جن کا تکامل آسان ہو۔ مثلثی متبادل √(a²−x²) کے لیے x = a sin θ، √(a²+x²) کے لیے x = a tan θ اور √(x²−a²) کے لیے x = a sec θ استعمال کرتا ہے۔حل شدہ مثال: ∫dx/(x²−1) = (1/2)ln|(x−1)/(x+1)| + معین تکامل ∫abf(x)dx وکر کے نیچے کا علامتی رقبہ ہے۔ بنیادی قضیہ: اگر F′ = f ہو تو ∫abf(x)dx = F(b) − F(a)۔ حدود الٹنے سے علامت بدل جاتی ہے۔ [a, b] پر f کی اوسط قدر (1/(b−a))∫abf(x)dx ہے۔حل شدہ مثال: ∫023x²dx = 8 اور [0, 2] پر اوسط قدر 4 ہے۔ دو وکروں کے درمیان رقبہ: ∫(اوپر − نیچے)dx۔ گردشی حجم: x-axis کے گرد V = π∫y²dx۔ صارف سرپلس ڈیمانڈ وکر اور قیمت کی لائن کے درمیان رقبہ ہے۔ مومنٹ آف انرشیا، طے شدہ فاصلہ اور دوا کی مقدار (AUC) سب اسی خیال پر مبنی ہیں۔حل شدہ مثال: y = x² کے نی
اس باب کے موضوعات: اینٹی ڈیریویٹو اور غیر معین تکامل · متبادل سے تکامل · اجزاء سے تکامل · جزوی کسور اور مثلثی متبادل · معین تکامل اور بنیادی قضیہ · رقبہ، حجم اور دیگر اطلاقات · مشق
رہنمائی: پہلے حل شدہ سوالات خود حل کرنے کی کوشش کریں، پھر جوابات سے ملائیں؛ پریکٹس MCQs بھی خود حل کریں۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 2 Mathematics, Chapter 3 (PECTAA New Book, Session 2026–27) • English + Urdu