A differential equation contains a derivative of an unknown function. The idea goes back to Newton and Leibniz (the term was introduced by Leibniz in 1676). This unit studies only ordinary differential equations: their definition, order and degree, how to form them, separable and homogeneous equations, initial value problems, and applications to growth and decay, cooling, and RL and RC electric circuits.
تفریقی مساوات میں کسی نامعلوم فنکشن کا مشتق ہوتا ہے۔ یہ خیال نیوٹن اور لائبنتز سے شروع ہوا (اصطلاح لائبنتز نے 1676 میں متعارف کرائی)۔ اس یونٹ میں صرف عام تفریقی مساواتیں پڑھیں گے: تعریف، آرڈر اور ڈگری، ان کی تشکیل، علیحدہ اور ہم جنس مساواتیں، ابتدائی قدر کے مسائل، اور بڑھوتری و زوال، ٹھنڈک اور RL و RC سرکٹس میں اطلاق۔
An equation involving at least one derivative of a dependent variable with respect to an independent variable is a differential equation. The order is the order of the highest derivative present. The degree is the power of the highest-order derivative after the equation is made free of radicals and fractions in the derivatives.
وہ مساوات جس میں کسی منحصر متغیر کا کسی آزاد متغیر کے لحاظ سے کم از کم ایک مشتق ہو، تفریقی مساوات کہلاتی ہے۔ آرڈر سب سے اعلیٰ مشتق کا آرڈر ہے۔ ڈگری سب سے اعلیٰ مشتق کی طاقت ہے، جب مساوات کو مشتقات میں جزر اور کسور سے پاک کر دیا جائے۔
To form a differential equation from a family of curves with n arbitrary constants, differentiate n times and eliminate the constants. One constant needs one differentiation; two constants need two. The result is a differential equation whose general solution is the family you started from.
n صوابدیدی کانسٹینٹس والے منحنی خاندان سے تفریقی مساوات بنانے کے لیے n بار تفریق کریں اور کانسٹینٹس ختم کریں۔ ایک کانسٹینٹ کے لیے ایک بار تفریق، دو کے لیے دو بار۔ نتیجہ وہ تفریقی مساوات ہے جس کا عمومی حل وہی خاندان ہے۔
A first-order equation is separable if it can be written as g(y)dy = f(x)dx. Then integrate both sides: ∫g(y)dy = ∫f(x)dx. Add the constant of integration before taking any logarithm or exponential — adding it afterwards is the classic mistake.
پہلے آرڈر کی مساوات علیحدہ ہے اگر اسے g(y)dy = f(x)dx کی صورت میں لکھا جا سکے۔ پھر دونوں طرف تکامل کریں: ∫g(y)dy = ∫f(x)dx۔ تکامل کا کانسٹینٹ لوگارتھم یا ایکسپونینشل لینے سے پہلے شامل کریں۔
An equation dy/dx = f(x, y) is homogeneous if f(tx, ty) = f(x, y) — every term has the same total degree. Substitute y = vx, so dy/dx = v + x dv/dx. The equation becomes separable in v and x. Solve for v, then replace v = y/x.
مساوات dy/dx = f(x, y) ہم جنس ہے اگر f(tx, ty) = f(x, y) ہو — ہر ٹرم کی کل ڈگری برابر ہو۔ y = vx رکھیں تو dy/dx = v + x dv/dx ہو جاتا ہے اور مساوات v اور x میں علیحدہ ہو جاتی ہے۔ v حل کر کے v = y/x واپس رکھیں۔
A differential equation alone has a family of solutions (general solution). An initial condition like y(0) = 3 picks out one curve — the particular solution. Integrate, then use the condition to find C. For motion: velocity is the integral of acceleration, and displacement is the integral of velocity, with the initial values fixing both constants.
تفریقی مساوات کا عمومی حل منحنیوں کا خاندان ہوتا ہے۔ ابتدائی شرط جیسے y(0) = 3 ایک خاص وکر چنتی ہے — خاص حل۔ تکامل کریں، پھر شرط سے C معلوم کریں۔ حرکت میں: سرعت اسراع کا تکامل ہے اور نقل مکانی سرعت کا تکامل ہے۔
Growth/decay: dN/dt = kN gives N = N₀e^{kt}. Newton's law of cooling: dT/dt = −k(T − T_room). RL circuit: L dI/dt + RI = V gives I(t) = (V/R)(1 − e^{−Rt/L}) from rest. RC circuit: the current decays as I(t) = (V/R)e^{−t/RC}. In every case the same separable-equation method does the work.
بڑھوتری/زوال: dN/dt = kN سے N = N₀e^{kt} ملتا ہے۔ نیوٹن کا ٹھنڈک کا قانون: dT/dt = −k(T − T_room)۔ RL سرکٹ: I(t) = (V/R)(1 − e^{−Rt/L})۔ RC سرکٹ: کرنٹ I(t) = (V/R)e^{−t/RC} کے مطابق گھٹتا ہے۔
The questions below are taken from this unit's exercise in the official PECTAA Mathematics 12 textbook (National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27). Only selected questions are solved here — the full exercise is in the book itself. Solutions are worked step by step by this guide book; final answers agree with the book's Answers section where it gives them.
نیچے دیے گئے سوالات سرکاری PECTAA ریاضی 12 کی کتاب کی اس یونٹ کی ایکسرسائز سے لیے گئے ہیں (نیشنل کریکولم 2023، سیشن 2026–27)۔ یہاں صرف منتخب سوالات حل کیے گئے ہیں — مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔ حل مرحلہ وار اس گائیڈ بک نے تیار کیے ہیں۔
یہ سوال کتاب کے printed pages 124–143 والی unit کی exercise سے منتخب کیے گئے ہیں — نیچے 5 حل شدہ سوال ہیں. یہ پوری exercise کا ہر سوال نہیں ہے; جو سوال یہاں نہیں ہیں انھیں invent کر کے نہیں لکھا گیا. اس کے بعد SLO-based practice MCQs ہیں, جو کتاب کی exercise سے نہیں, board pattern کی practice کے لیے لکھے گئے ہیں.
ایکسرسائز 4.3، سوال 1 — ایک ذرہ سیدھی لائن میں حرکت کر رہا ہے اور اس کا اسراع a = 2t − 7 ہے۔ معلوم کریں (i) v بمقابلہ t جب t = 0 پر v = 10 m/sec ہو۔ (ii) s بمقابلہ t جب t = 0 پر s = 0 m ہو۔
(i) v = ∫(2t − 7)dt = t² − 7t + C; v(0) = 10 gives C = 10, so v = t² − 7t + 10. (ii) s = ∫v dt = t³/3 − 7t²/2 + 10t + D; s(0) = 0 gives D = 0, so s = t³/3 − 7t²/2 + 10t.
(i) v = t² − 7t + C اور v(0) = 10 سے C = 10، اس لیے v = t² − 7t + 10۔ (ii) s = t³/3 − 7t²/2 + 10t + D اور s(0) = 0 سے D = 0، اس لیے s = t³/3 − 7t²/2 + 10t۔
ایکسرسائز 4.3، سوال 2 — ایک کلچر میں شروع میں 1000 بیکٹیریا تھے اور پانچ گھنٹوں بعد 900 پائے گئے۔ تفریقی مساوات استعمال کر کے 7 گھنٹوں بعد بیکٹیریا کی تعداد معلوم کریں۔
N = 1000e^{kt} with 1000e^{5k} = 900, so e^{5k} = 0.9 and k = ln(0.9)/5 ≈ −0.02107. Then N(7) = 1000 × 0.9^{7/5} ≈ 1000 × 0.8627 ≈ 863 bacteria.
N = 1000e^{kt} اور 1000e^{5k} = 900 سے k ≈ −0.02107۔ پھر N(7) = 1000 × 0.9^{7/5} ≈ 863 بیکٹیریا۔
ایکسرسائز 4.3، سوال 4 — ایک تابکار آئسوٹوپ کی ہاف لائف 12 گھنٹے ہے۔ ابتدائی کمیت 160 گرام ہے۔ (a) زوال کانسٹینٹ کیا ہے؟ (b) 36 گھنٹوں بعد کتنی کمیت رہے گی؟ (c) کتنے گھنٹوں بعد صرف 10 گرام رہیں گے؟
(a) k = ln 2 / 12 ≈ 0.0578 per hour. (b) 36 hours = 3 half-lives, so mass = 160 × (1/2)³ = 20 g. (c) 160 × (1/2)^{t/12} = 10 gives (1/2)^{t/12} = 1/16, so t/12 = 4 and t = 48 hours.
(a) k = ln 2 / 12 ≈ 0.0578 فی گھنٹہ۔ (b) 36 گھنٹے = 3 ہاف لائف، اس لیے کمیت = 160 × (1/2)³ = 20 گرام۔ (c) 160 × (1/2)^{t/12} = 10 سے t = 48 گھنٹے۔
ایکسرسائز 4.3، سوال 9 — ایک RL سرکٹ میں 12 وولٹ کی بیٹری، 60 اوہم کا رزسٹر اور 2 ہنری کا انڈکٹر ہے۔ اگر سرکٹ t = 0 پر بند کیا جائے اور ابتدائی کرنٹ صفر ہو تو کسی بھی وقت t پر کرنٹ I(t) معلوم کریں۔
L dI/dt + RI = V gives 2 dI/dt + 60I = 12, i.e. dI/dt + 30I = 6. With I(0) = 0, the solution is I(t) = (12/60)(1 − e^{−30t}) = 0.2(1 − e^{−30t}) amperes.
2 dI/dt + 60I = 12 سے dI/dt + 30I = 6 ملتا ہے۔ I(0) = 0 کے ساتھ حل I(t) = 0.2(1 − e^{−30t}) ایمپیئر ہے۔
ایکسرسائز 4.3، سوال 10 — ایک RC سرکٹ میں 12 وولٹ emf، مزاحمت R = 6 Ω اور کپیسیٹنس C = 3 فیراڈ ہے۔ شروع میں کپیسیٹر چارج نہیں ہے۔ کسی بھی وقت t پر کرنٹ I(t) معلوم کریں۔
For a charging RC circuit, I(t) = (V/R)e^{−t/RC} = (12/6)e^{−t/18} = 2e^{−t/18} amperes.
چارج ہوتے RC سرکٹ کے لیے I(t) = (V/R)e^{−t/RC} = 2e^{−t/18} ایمپیئر ہے۔
These three MCQs are board-pattern practice written for this guide book. Answers are in the accordion below. They are NOT questions from the book exercise — the correct option in each list is also marked (✓).
1. The order of d²y/dx² + xy(dy/dx)² = 0 is:
Correct answer: (B) 2 — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
2. The solution of dy/dx = 2x with y(0) = 3 is:
Correct answer: (A) y = x² + 3 — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
3. Half-life 12 h: 160 g becomes after 36 h:
Correct answer: (C) 20 g — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
Differential Equations — An equation involving at least one derivative of a dependent variable with respect to an independent variable is a differential equation. To form a differential equation from a family of curves with n arbitrary constants, differentiate n times and eliminate the constants. A first-order equation is separable if it can be written as g(y)dy = f(x)dx. An equation dy/dx = f(x, y) is homogeneous if f(tx, ty) = f(x, y) — every term has the same total degree. A differential equation alone has a family of solutions (general solution). Growth/decay: dN/dt = kN gives N = N₀e^{kt}.
Revision guidance: پہلے 5 حل شدہ سوال خود حل کرنے کی کوشش کرو, پھر جواب سے ملاؤ; 3 practice MCQs بھی خود حل کرو. جو formula اس chapter میں ہے, اسے لکھ کر یاد کرو — رٹا نہیں, سمجھ کر. پوری exercise کے باقی سوال کتاب سے حل کرو; یہ page منتخب سوالوں کا guide ہے, پوری exercise کا متبادل نہیں.
وہ مساوات جس میں کسی منحصر متغیر کا کسی آزاد متغیر کے لحاظ سے کم از کم ایک مشتق ہو، تفریقی مساوات کہلاتی ہے۔ آرڈر سب سے اعلیٰ مشتق کا آرڈر ہے۔ ڈگری سب سے اعلیٰ مشتق کی طاقت ہے، جب مساوات کو مشتقات میں جزر اور کسور سے پاک کر دیا جائے۔حل شدہ n صوابدیدی کانسٹینٹس والے منحنی خاندان سے تفریقی مساوات بنانے کے لیے n بار تفریق کریں اور کانسٹینٹس ختم کریں۔ ایک کانسٹینٹ کے لیے ایک بار تفریق، دو کے لیے دو بار۔ نتیجہ وہ تفریقی مساوات ہے جس کا عمومی حل وہی خاندان ہے۔حل شدہ مثال: y = Ae^{2 پہلے آرڈر کی مساوات علیحدہ ہے اگر اسے g(y)dy = f(x)dx کی صورت میں لکھا جا سکے۔ پھر دونوں طرف تکامل کریں: ∫g(y)dy = ∫f(x)dx۔ تکامل کا کانسٹینٹ لوگارتھم یا ایکسپونینشل لینے سے پہلے شامل کریں۔حل شدہ مثال: dy/dx = e^{x−y} سے e^{y} = e^{x} + C، مساوات dy/dx = f(x, y) ہم جنس ہے اگر f(tx, ty) = f(x, y) ہو — ہر ٹرم کی کل ڈگری برابر ہو۔ y = vx رکھیں تو dy/dx = v + x dv/dx ہو جاتا ہے اور مساوات v اور x میں علیحدہ ہو جاتی ہے۔ v حل کر کے v = y/x واپس رکھیں۔حل شدہ مثال: dy/dx = (x + y)/x تفریقی مساوات کا عمومی حل منحنیوں کا خاندان ہوتا ہے۔ ابتدائی شرط جیسے y(0) = 3 ایک خاص وکر چنتی ہے — خاص حل۔ تکامل کریں، پھر شرط سے C معلوم کریں۔ حرکت میں: سرعت اسراع کا تکامل ہے اور نقل مکانی سرعت کا تکامل ہے۔حل شدہ مثال: dy/dx = 2x اور y( بڑھوتری/زوال: dN/dt = kN سے N = N₀e^{kt} ملتا ہے۔ نیوٹن کا ٹھنڈک کا قانون: dT/dt = −k(T − T_room)۔ RL سرکٹ: I(t) = (V/R)(1 − e^{−Rt/L})۔ RC سرکٹ: کرنٹ I(t) = (V/R)e^{−t/RC} کے مطابق گھٹتا ہے۔حل شدہ مثال: ہاف لائف 12 گھنٹے ہو تو 36 گھنٹوں (3
اس باب کے موضوعات: تعریف، آرڈر اور ڈگری · تفریقی مساواتیں بنانا · علیحدہ مساواتیں · ہم جنس مساواتیں · ابتدائی قدر کے مسائل · اطلاقات: بڑھوتری، ٹھنڈک اور سرکٹس · مشق
رہنمائی: پہلے حل شدہ سوالات خود حل کرنے کی کوشش کریں، پھر جوابات سے ملائیں؛ پریکٹس MCQs بھی خود حل کریں۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 2 Mathematics, Chapter 4 (PECTAA New Book, Session 2026–27) • English + Urdu