Analytical geometry — also called coordinate geometry — combines algebra and geometry: instead of drawing figures, you describe them with equations and points on the xy-plane. It was developed in the 17th century by René Descartes. This unit covers straight lines, angles between coplanar intersecting lines, concurrency of medians, right bisectors and altitudes, area of a triangular region, and applications to real-life problems.
تحلیلی ہندسہ — جسے کوآرڈینیٹ جیومیٹری بھی کہتے ہیں — الجبرا اور جیومیٹری کو ملاتا ہے: شکلیں بنانے کے بجائے آپ انہیں xy-plane پر مساواتوں اور نقطوں سے بیان کرتے ہیں۔ یہ 17ویں صدی میں رینے ڈیکارٹ نے تیار کیا۔ اس یونٹ میں سیدھی لائنیں، ایک ہی پلین میں کاٹتی لائنوں کے درمیان زاویہ، میڈین، رائٹ بائسیکٹر اور اونچائیوں کا ہم آہنگی، مثلثی علاقے کا رقبہ اور عملی مسائل پڑھیں گے۔
General form: ax + by + c = 0 (a and b not both zero). Slope-intercept: y = mx + c, where m is the slope and c the y-intercept. Point-slope: y − y₁ = m(x − x₁) for a line through (x₁, y₁) with slope m. Two-point: slope m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Intercept form: x/a + y/b = 1.
عمومی صورت: ax + by + c = 0۔ سلوپ-انٹرسیپٹ: y = mx + c، جہاں m سلوپ اور c y-انٹرسیپٹ ہے۔ پوائنٹ-سلوپ: y − y₁ = m(x − x₁)۔ دو نقطوں والی: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)۔ انٹرسیپٹ صورت: x/a + y/b = 1۔
Distance between (x₁, y₁) and (x₂, y₂) is √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]. Slope m = rise/run = tan θ, where θ is the inclination (tilt) of the line. For two lines with slopes m₁, m₂, the angle θ between them satisfies tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)|. Lines are parallel if m₁ = m₂, perpendicular if m₁m₂ = −1.
دو نقطوں کے درمیان فاصلہ √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] ہے۔ سلوپ m = tan θ ہے، جہاں θ لائن کا جھکاؤ ہے۔ دو لائنوں کے درمیان زاویہ tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)| سے ملتا ہے۔ متوازی لائنوں کے لیے m₁ = m₂ اور عمود لائنوں کے لیے m₁m₂ = −1۔
The family of lines through the intersection of a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0 is (a₁x + b₁y + c₁) + k(a₂x + b₂y + c₂) = 0 for any real k. Three lines are concurrent if they pass through one common point — test this by finding the intersection of two lines and checking it in the third, or by a determinant condition.
دو لائنوں کے تقاطع سے گزرنے والی لائنوں کا خاندان (a₁x + b₁y + c₁) + k(a₂x + b₂y + c₂) = 0 ہے۔ تین لائنیں ہم آہنگ (concurrent) ہیں اگر وہ ایک ہی مشترک نقطہ سے گزریں — دو لائنوں کا تقاطع معلوم کر کے تیسری میں چیک کریں۔
In a triangle: a median joins a vertex to the midpoint of the opposite side — the three medians are concurrent at the centroid. An altitude is the perpendicular from a vertex to the opposite side — the three altitudes meet at the orthocenter. A right bisector is the perpendicular bisector of a side — the three meet at the circumcenter, the center of the circle through all three vertices.
مثلث میں: میڈین کسی ورٹیکس کو مخالف سائیڈ کے درمیانی نقطہ سے ملاتا ہے — تینوں میڈین سینٹرائڈ پر ملتے ہیں۔ اونچائی (altitude) ورٹیکس سے مخالف سائیڈ پر عمود ہے — تینوں اونچائیاں آرتھو سینٹر پر ملتی ہیں۔ رائٹ بائسیکٹر سائیڈ کا عمودی ناصف ہے — تینوں سرکم سینٹر پر ملتے ہیں۔
For vertices (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), the area is (1/2)|x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|. The absolute value matters — area is never negative. If the value is zero, the three points are collinear (they lie on one line).
ورٹیکس (x₁, y₁)، (x₂, y₂)، (x₃, y₃) کے لیے رقبہ (1/2)|x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)| ہے۔ مطلق قدر ضروری ہے — رقبہ کبھی منفی نہیں ہوتا۔ اگر قدر صفر ہو تو تینوں نقطے ایک ہی لائن پر ہیں۔
A homogeneous second-degree equation ax² + 2hxy + by² = 0 represents a pair of straight lines through the origin. Factorize it (or use the quadratic formula in y/x) to get the two separate lines. The angle θ between them satisfies tan θ = |2√(h² − ab)/(a + b)|. If h² = ab the lines coincide; if a + b = 0 they are perpendicular.
ہم جنس دوسرے درجے کی مساوات ax² + 2hxy + by² = 0 مبداء سے گزرنے والی دو سیدھی لائنوں کو ظاہر کرتی ہے۔ اسے فیکٹرائز کر کے دونوں لائنیں الگ کریں۔ ان کے درمیان زاویہ tan θ = |2√(h² − ab)/(a + b)| سے ملتا ہے۔ اگر h² = ab ہو تو لائنیں ایک ہو جاتی ہیں؛ اگر a + b = 0 ہو تو عمود ہوتی ہیں۔
The questions below are taken from this unit's exercise in the official PECTAA Mathematics 12 textbook (National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27). Only selected questions are solved here — the full exercise is in the book itself. Solutions are worked step by step by this guide book; final answers agree with the book's Answers section where it gives them.
نیچے دیے گئے سوالات سرکاری PECTAA ریاضی 12 کی کتاب کی اس یونٹ کی ایکسرسائز سے لیے گئے ہیں (نیشنل کریکولم 2023، سیشن 2026–27)۔ یہاں صرف منتخب سوالات حل کیے گئے ہیں — مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔ حل مرحلہ وار اس گائیڈ بک نے تیار کیے ہیں۔
یہ سوال کتاب کے printed pages 144–166 والی unit کی exercise سے منتخب کیے گئے ہیں — نیچے 3 حل شدہ سوال ہیں. یہ پوری exercise کا ہر سوال نہیں ہے; جو سوال یہاں نہیں ہیں انھیں invent کر کے نہیں لکھا گیا. اس کے بعد SLO-based practice MCQs ہیں, جو کتاب کی exercise سے نہیں, board pattern کی practice کے لیے لکھے گئے ہیں.
ایکسرسائز 5.3، سوال 1 — 6x² − 5xy − 4y² = 0 سے ظاہر ہونے والی لائنوں کی مساوات معلوم کریں اور ان کے درمیان زاویہ بھی معلوم کریں۔
Factorize: 6x² − 5xy − 4y² = (3x − 4y)(2x + y) = 0, so the lines are 3x − 4y = 0 and 2x + y = 0. Here a = 6, 2h = −5, b = −4, so tan θ = |2√(h² − ab)/(a + b)| = |2√(6.25 + 24)/2| = 5.5, giving θ = tan⁻¹(5.5) ≈ 79.7°.
فیکٹرائز کریں: (3x − 4y)(2x + y) = 0، اس لیے لائنیں 3x − 4y = 0 اور 2x + y = 0 ہیں۔ tan θ = 5.5 سے θ ≈ 79.7°۔
ایکسرسائز 5.3، سوال 9 — A(−2, −1) اور B(3, 4) سولر پینل کی چھت پر دو نقطے ہیں۔ سلوپ اور جھکاؤ کا زاویہ معلوم کریں۔
Slope m = (4 − (−1))/(3 − (−2)) = 5/5 = 1. Tilt angle θ = tan⁻¹(1) = 45°.
سلوپ m = (4 + 1)/(3 + 2) = 1۔ جھکاؤ کا زاویہ θ = tan⁻¹(1) = 45°۔
ایکسرسائز 5.3، سوال 10 — ایک ستارے سے دو شعاعوں کے راستے 2x² + 5xy − 3y² = 0 سے ظاہر ہوتے ہیں۔ دونوں لائنوں کی مساوات معلوم کریں اور شعاعوں کے درمیان زاویہ معلوم کریں۔
Factorize: 2x² + 5xy − 3y² = (2x − y)(x + 3y) = 0, so the lines are y = 2x and x + 3y = 0. With a = 2, h = 5/2, b = −3: tan θ = |2√(6.25 + 6)/(2 − 3)| = 7, so θ = tan⁻¹(7) ≈ 81.87°.
فیکٹرائز کریں: (2x − y)(x + 3y) = 0، اس لیے لائنیں y = 2x اور x + 3y = 0 ہیں۔ tan θ = 7 سے θ ≈ 81.87°۔
These three MCQs are board-pattern practice written for this guide book. Answers are in the accordion below. They are NOT questions from the book exercise — the correct option in each list is also marked (✓).
1. The slope of the line through (2, 3) with equation y − 3 = 4(x − 2) is:
Correct answer: (C) 4 — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
2. Two lines are perpendicular if:
Correct answer: (B) m₁m₂ = −1 — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
3. Area of triangle (0, 0), (4, 0), (0, 3) is:
Correct answer: (B) 6 — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
Analytical Geometry — General form: ax + by + c = 0 (a and b not both zero). Distance between (x₁, y₁) and (x₂, y₂) is √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]. The family of lines through the intersection of a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0 is (a₁x + b₁y + c₁) + k(a₂x + b₂y + c₂) = 0 for any real k. In a triangle: a median joins a vertex to the midpoint of the opposite side — the three medians are concurrent at the centroid. For vertices (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), the area is (1/2)|x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|. A homogeneous second-degree equation ax² + 2hxy + by² = 0 represents a pair of straight lines through the origin.
Revision guidance: پہلے 3 حل شدہ سوال خود حل کرنے کی کوشش کرو, پھر جواب سے ملاؤ; 3 practice MCQs بھی خود حل کرو. جو formula اس chapter میں ہے, اسے لکھ کر یاد کرو — رٹا نہیں, سمجھ کر. پوری exercise کے باقی سوال کتاب سے حل کرو; یہ page منتخب سوالوں کا guide ہے, پوری exercise کا متبادل نہیں.
عمومی صورت: ax + by + c = 0۔ سلوپ-انٹرسیپٹ: y = mx + c، جہاں m سلوپ اور c y-انٹرسیپٹ ہے۔ پوائنٹ-سلوپ: y − y₁ = m(x − x₁)۔ دو نقطوں والی: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)۔ انٹرسیپٹ صورت: x/a + y/b = 1۔حل شدہ مثال (کتاب سے): (2, 3) سے گزرنے والی لائن دو نقطوں کے درمیان فاصلہ √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] ہے۔ سلوپ m = tan θ ہے، جہاں θ لائن کا جھکاؤ ہے۔ دو لائنوں کے درمیان زاویہ tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)| سے ملتا ہے۔ متوازی لائنوں کے لیے m₁ = m₂ اور عمود لائنوں کے لیے m₁m₂ = −1۔حل شدہ مثال ( دو لائنوں کے تقاطع سے گزرنے والی لائنوں کا خاندان (a₁x + b₁y + c₁) + k(a₂x + b₂y + c₂) = 0 ہے۔ تین لائنیں ہم آہنگ (concurrent) ہیں اگر وہ ایک ہی مشترک نقطہ سے گزریں — دو لائنوں کا تقاطع معلوم کر کے تیسری میں چیک کریں۔حل شدہ مثال: x + y = 3 مثلث میں: میڈین کسی ورٹیکس کو مخالف سائیڈ کے درمیانی نقطہ سے ملاتا ہے — تینوں میڈین سینٹرائڈ پر ملتے ہیں۔ اونچائی (altitude) ورٹیکس سے مخالف سائیڈ پر عمود ہے — تینوں اونچائیاں آرتھو سینٹر پر ملتی ہیں۔ رائٹ بائسیکٹر سائیڈ کا عمودی ناصف ہے — ورٹیکس (x₁, y₁)، (x₂, y₂)، (x₃, y₃) کے لیے رقبہ (1/2)|x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)| ہے۔ مطلق قدر ضروری ہے — رقبہ کبھی منفی نہیں ہوتا۔ اگر قدر صفر ہو تو تینوں نقطے ایک ہی لائن پر ہیں۔حل شدہ مثال: ورٹیکس (0, 0)، (4, 0)، (0, 3) کے ل ہم جنس دوسرے درجے کی مساوات ax² + 2hxy + by² = 0 مبداء سے گزرنے والی دو سیدھی لائنوں کو ظاہر کرتی ہے۔ اسے فیکٹرائز کر کے دونوں لائنیں الگ کریں۔ ان کے درمیان زاویہ tan θ = |2√(h² − ab)/(a + b)| سے ملتا ہے۔ اگر h² = ab ہو تو لائنیں ایک ہو جات
اس باب کے موضوعات: سیدھی لائن کی مساوات کی صورتیں · فاصلہ، سلوپ اور لائنوں کے درمیان زاویہ · لائنوں کا خاندان اور ہم آہنگ لائنیں · میڈین، اونچائیاں اور رائٹ بائسیکٹر · مثلثی علاقے کا رقبہ · مبداء سے گزرنے والی سیدھی لائنوں کا جوڑا · مشق
رہنمائی: پہلے حل شدہ سوالات خود حل کرنے کی کوشش کریں، پھر جوابات سے ملائیں؛ پریکٹس MCQs بھی خود حل کریں۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 2 Mathematics, Chapter 5 (PECTAA New Book, Session 2026–27) • English + Urdu