After studying this unit, you will identify conics (circle, parabola, ellipse, hyperbola), derive and apply circle equations in standard form, find tangents, normals and tangent lengths for circles, derive parabola, ellipse and hyperbola equations, find their elements and tangency conditions, and apply conics to suspension bridges, satellite systems, electron orbits, radio systems, flashlights and architecture. The Greek mathematicians Apollonius (260–200 B.C.) and Pappus studied conic sections with Euclidean geometry; here you use analytic geometry.
اس یونٹ کے بعد آپ مخروطی تراشوں (دائرہ، پیرابولا، بیضوی، ہائپربولا) کی شناخت کر سکیں گے، دائرے کی معیاری مساواتیں نکال کر استعمال کر سکیں گے، دائروں کے لیے ٹینجنٹ، نارمل اور ٹینجنٹ کی لمبائی معلوم کر سکیں گے، پیرابولا، بیضوی اور ہائپربولا کی مساواتیں اور عناصر معلوم کر سکیں گے، اور مخروطی تراشوں کو معلق پلوں، سیٹلائٹ سسٹمز، الیکٹران مداروں اور فن تعمیر میں استعمال کر سکیں گے۔
Take a right circular cone (two nappes meeting at the vertex). Slice it with a plane: the intersection curve is a conic section. A plane perpendicular to the axis gives a circle; slightly tilted, an ellipse; parallel to a generator, a parabola; steeper, cutting both nappes, a hyperbola. If the plane passes through the vertex you get degenerate conics: a point, a line, or a pair of intersecting lines. Eccentricity e unifies them: e = 0 circle, 0 < e < 1 ellipse, e = 1 parabola, e > 1 hyperbola.
ایک سیدھے دائرہ نما مخروط (دو حصے جو ورٹیکس پر ملتے ہیں) کو کسی پلین سے کاٹیں: تقاطع کا وکر مخروطی تراش ہے۔ محور پر عمود پلین سے دائرہ، تھوڑا جھکا ہوا پلین سے بیضوی، جنریٹر کے متوازی پلین سے پیرابولا، اور دونوں حصوں کو کاٹنے والے پلین سے ہائپربولا بنتا ہے۔ مرکزیت e ان سب کو یکجا کرتی ہے: e = 0 دائرہ، 0 < e < 1 بیضوی، e = 1 پیرابولا، e > 1 ہائپربولا۔
Standard form: (x − h)² + (y − k)² = r², center (h, k), radius r. General form: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, center (−g, −f), radius √(g² + f² − c). Tangent at (x₁, y₁) on the circle: xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0. Length of tangent from (x₁, y₁) outside: √(x₁² + y₁² + 2gx₁ + 2fy₁ + c).
معیاری صورت: (x − h)² + (y − k)² = r²، مرکز (h, k)، رداس r۔ عمومی صورت: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0، مرکز (−g, −f)، رداس √(g² + f² − c)۔ دائرے پر نقطہ (x₁, y₁) پر ٹینجنٹ: xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0۔ باہر کے نقطہ سے ٹینجنٹ کی لمبائی: √(x₁² + y₁² + 2gx₁ + 2fy₁ + c)۔
A parabola is the set of points equidistant from a fixed point (focus) and a fixed line (directrix). Standard forms: y² = 4ax (opens right, focus (a, 0), directrix x = −a); x² = 4ay (opens up). Vertex at the origin; the latus rectum has length 4a. Tangent at (x₁, y₁) on y² = 4ax: yy₁ = 2a(x + x₁).
پیرابولا ان نقطوں کا مجموعہ ہے جو ایک مقررہ نقطہ (فوکس) اور ایک مقررہ لائن (ڈائریکٹرکس) سے برابر فاصلے پر ہوں۔ معیاری صورتیں: y² = 4ax (دائیں طرف کھلتا ہے، فوکس (a, 0))؛ x² = 4ay (اوپر کھلتا ہے)۔ لیٹس ریکٹم کی لمبائی 4a ہے۔
An ellipse is the set of points whose distances from two foci add to a constant 2a. Standard form: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b). Center (0, 0); vertices (±a, 0); foci (±c, 0) with c² = a² − b²; eccentricity e = c/a < 1. Tangent at (x₁, y₁): xx₁/a² + yy₁/b² = 1.
بیضوی ان نقطوں کا مجموعہ ہے جن کے دو فوکس سے فاصلوں کا مجموعہ ایک کانسٹینٹ 2a ہو۔ معیاری صورت: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b)۔ مرکز (0, 0)؛ ورٹیکس (±a, 0)؛ فوکس (±c, 0) جہاں c² = a² − b²؛ مرکزیت e = c/a < 1۔
A hyperbola is the set of points whose distances from two foci differ by a constant 2a. Standard form: x²/a² − y²/b² = 1. Vertices (±a, 0); foci (±c, 0) with c² = a² + b²; eccentricity e = c/a > 1. Asymptotes: y = ±(b/a)x — the curve approaches them but never touches. Tangent at (x₁, y₁): xx₁/a² − yy₁/b² = 1.
ہائپربولا ان نقطوں کا مجموعہ ہے جن کے دو فوکس سے فاصلوں کا فرق ایک کانسٹینٹ 2a ہو۔ معیاری صورت: x²/a² − y²/b² = 1۔ ورٹیکس (±a, 0)؛ فوکس (±c, 0) جہاں c² = a² + b²؛ مرکزیت e = c/a > 1۔ ایسمپٹوٹس: y = ±(b/a)x۔
Parabola: satellite dishes, flashlights and suspension-bridge cables focus signals and light. Ellipse: planetary and satellite orbits (Kepler's laws), whispering galleries. Hyperbola: LORAN navigation — a constant difference in signal arrival times puts a ship on a hyperbola with the two stations as foci. Circle: wheels, radar ranges, and any motion at a fixed distance from a center.
پیرابولا: سیٹلائٹ ڈش، ٹارچ اور معلق پلوں کی کیبلز سگنل اور روشنی کو فوکس کرتی ہیں۔ بیضوی: سیاروں اور سیٹلائٹس کے مدار، وسوسہ گیلریاں۔ ہائپربولا: LORAN نیویگیشن — سگنل کے پہنچنے کے وقت کا مستقل فرق جہاز کو ہائپربولا پر رکھتا ہے جس کے فوکس دونوں اسٹیشن ہیں۔
The questions below are taken from this unit's exercise in the official PECTAA Mathematics 12 textbook (National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27). Only selected questions are solved here — the full exercise is in the book itself. Solutions are worked step by step by this guide book; final answers agree with the book's Answers section where it gives them.
نیچے دیے گئے سوالات سرکاری PECTAA ریاضی 12 کی کتاب کی اس یونٹ کی ایکسرسائز سے لیے گئے ہیں (نیشنل کریکولم 2023، سیشن 2026–27)۔ یہاں صرف منتخب سوالات حل کیے گئے ہیں — مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔ حل مرحلہ وار اس گائیڈ بک نے تیار کیے ہیں۔
یہ سوال کتاب کے printed pages 167–222 والی unit کی exercise سے منتخب کیے گئے ہیں — نیچے 3 حل شدہ سوال ہیں. یہ پوری exercise کا ہر سوال نہیں ہے; جو سوال یہاں نہیں ہیں انھیں invent کر کے نہیں لکھا گیا. اس کے بعد SLO-based practice MCQs ہیں, جو کتاب کی exercise سے نہیں, board pattern کی practice کے لیے لکھے گئے ہیں.
ایکسرسائز، سوال 9 — ایک سیٹلائٹ زمین کے گرد بیضوی راستے پر گردش کرتا ہے۔ اپوجی (زمین سے زیادہ سے زیادہ فاصلہ) A = 42000 کلومیٹر اور پیریجی (کم سے کم فاصلہ) P = 30000 کلومیٹر ہے۔ (a) مدار کا نیم بڑا محور a معلوم کریں۔ (b) مرکز سے ہر فوکس تک فاصلہ c معلوم کریں۔ (c) مدار کی مرکزیت e معلوم کریں۔
(a) a = (A + P)/2 = (42000 + 30000)/2 = 36000 km. (b) Perigee P = a − c, so c = a − P = 36000 − 30000 = 6000 km. (c) e = c/a = 6000/36000 = 1/6 ≈ 0.167.
(a) a = (42000 + 30000)/2 = 36000 کلومیٹر۔ (b) P = a − c سے c = 36000 − 30000 = 6000 کلومیٹر۔ (c) e = c/a = 1/6 ≈ 0.167۔
ایکسرسائز، سوال 10 — ایک معلق پل کے آخری ٹاور 100 میٹر اونچے اور 540 میٹر کے فاصلے پر ہیں۔ معلق کیبل ٹاوروں کے اوپر سے پیرابولا کی صورت میں لٹکتی ہے اور کیبل کا سب سے نچلا نقطہ افقی سڑک سے 25 میٹر اوپر ہے۔ پل کے مرکز سے 81 میٹر افقی فاصلے پر عمودی سپورٹ کیبل کی لمبائی معلوم کریں۔
Put the vertex at (0, 25) and write y = 25 + kx². At the towers, x = ±270 and y = 100: 100 = 25 + k(270²), so k = 75/72900 = 1/972. At x = 81: y = 25 + 81²/972 = 25 + 6.75 = 31.75 meters.
ورٹیکس (0, 25) رکھیں اور y = 25 + kx² لکھیں۔ ٹاوروں پر x = ±270 اور y = 100 سے k = 1/972 ملتا ہے۔ x = 81 پر y = 25 + 6.75 = 31.75 میٹر۔
ایکسرسائز، سوال 11 — ایک تعمیراتی محراب بیضوی کے اوپری نصف کی شکل میں بنائی گئی ہے جس کا نیم بڑا محور 8 میٹر اور نیم چھوٹا محور 5 میٹر ہے۔ محراب پر ایک افقی بیم وہاں لگانی ہے جہاں محراب کی چوڑائی بالکل 10 میٹر ہو۔ زمینی سطح سے وہ صحیح اونچائی معلوم کریں جہاں یہ بیم لگانی چاہیے۔
Ellipse: x²/64 + y²/25 = 1. Width 10 m means x = ±5. Then y²/25 = 1 − 25/64 = 39/64, so y = 5√39/8 ≈ 3.90 meters above ground level (the centre line of the ellipse).
بیضوی: x²/64 + y²/25 = 1۔ چوڑائی 10 میٹر کا مطلب x = ±5 ہے۔ پھر y = 5√39/8 ≈ 3.90 میٹر زمینی سطح سے اوپر۔
These three MCQs are board-pattern practice written for this guide book. Answers are in the accordion below. They are NOT questions from the book exercise — the correct option in each list is also marked (✓).
1. For x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0, the centre is:
Correct answer: (B) (2, −3) — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
2. A conic with eccentricity 1 is a:
Correct answer: (C) parabola — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
3. For x²/25 + y²/9 = 1, the eccentricity is:
Correct answer: (B) 4/5 — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
Conics — Take a right circular cone (two nappes meeting at the vertex). Standard form: (x − h)² + (y − k)² = r², center (h, k), radius r. A parabola is the set of points equidistant from a fixed point (focus) and a fixed line (directrix). An ellipse is the set of points whose distances from two foci add to a constant 2a. A hyperbola is the set of points whose distances from two foci differ by a constant 2a. Parabola: satellite dishes, flashlights and suspension-bridge cables focus signals and light.
Revision guidance: پہلے 3 حل شدہ سوال خود حل کرنے کی کوشش کرو, پھر جواب سے ملاؤ; 3 practice MCQs بھی خود حل کرو. جو formula اس chapter میں ہے, اسے لکھ کر یاد کرو — رٹا نہیں, سمجھ کر. پوری exercise کے باقی سوال کتاب سے حل کرو; یہ page منتخب سوالوں کا guide ہے, پوری exercise کا متبادل نہیں.
ایک سیدھے دائرہ نما مخروط (دو حصے جو ورٹیکس پر ملتے ہیں) کو کسی پلین سے کاٹیں: تقاطع کا وکر مخروطی تراش ہے۔ محور پر عمود پلین سے دائرہ، تھوڑا جھکا ہوا پلین سے بیضوی، جنریٹر کے متوازی پلین سے پیرابولا، اور دونوں حصوں کو کاٹنے والے پلین سے ہا معیاری صورت: (x − h)² + (y − k)² = r²، مرکز (h, k)، رداس r۔ عمومی صورت: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0، مرکز (−g, −f)، رداس √(g² + f² − c)۔ دائرے پر نقطہ (x₁, y₁) پر ٹینجنٹ: xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0۔ باہر کے نقطہ سے ٹینجنٹ کی پیرابولا ان نقطوں کا مجموعہ ہے جو ایک مقررہ نقطہ (فوکس) اور ایک مقررہ لائن (ڈائریکٹرکس) سے برابر فاصلے پر ہوں۔ معیاری صورتیں: y² = 4ax (دائیں طرف کھلتا ہے، فوکس (a, 0))؛ x² = 4ay (اوپر کھلتا ہے)۔ لیٹس ریکٹم کی لمبائی 4a ہے۔حل شدہ مثال: y² = بیضوی ان نقطوں کا مجموعہ ہے جن کے دو فوکس سے فاصلوں کا مجموعہ ایک کانسٹینٹ 2a ہو۔ معیاری صورت: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b)۔ مرکز (0, 0)؛ ورٹیکس (±a, 0)؛ فوکس (±c, 0) جہاں c² = a² − b²؛ مرکزیت e = c/a < 1۔حل شدہ مثال: x²/25 + y²/9 = 1 کے ہائپربولا ان نقطوں کا مجموعہ ہے جن کے دو فوکس سے فاصلوں کا فرق ایک کانسٹینٹ 2a ہو۔ معیاری صورت: x²/a² − y²/b² = 1۔ ورٹیکس (±a, 0)؛ فوکس (±c, 0) جہاں c² = a² + b²؛ مرکزیت e = c/a > 1۔ ایسمپٹوٹس: y = ±(b/a)x۔حل شدہ مثال: x²/16 − y²/9 = 1 ک پیرابولا: سیٹلائٹ ڈش، ٹارچ اور معلق پلوں کی کیبلز سگنل اور روشنی کو فوکس کرتی ہیں۔ بیضوی: سیاروں اور سیٹلائٹس کے مدار، وسوسہ گیلریاں۔ ہائپربولا: LORAN نیویگیشن — سگنل کے پہنچنے کے وقت کا مستقل فرق جہاز کو ہائپربولا پر رکھتا ہے جس کے فوکس دو
اس باب کے موضوعات: مخروطی تراش کیا ہے؟ مخروط اور مرکزیت · دائرہ · پیرابولا · بیضوی · ہائپربولا · مخروطی تراشوں کے اطلاقات · مشق
رہنمائی: پہلے حل شدہ سوالات خود حل کرنے کی کوشش کریں، پھر جوابات سے ملائیں؛ پریکٹس MCQs بھی خود حل کریں۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 2 Mathematics, Chapter 6 (PECTAA New Book, Session 2026–27) • English + Urdu