Kinematics is the branch of mechanics that describes the motion of objects without considering the causes of motion. You will explore motion along a straight line through displacement, velocity and acceleration, sketch and interpret displacement–time and velocity–time graphs, use rates of change to analyze how these quantities vary with time, use differentiation and integration with respect to time, apply kinematic formulas for constant acceleration, and apply the ideas to vehicles, free fall, vertical projectile motion, relative motion and animation.
حرکیات میکینکس کی وہ شاخ ہے جو حرکت کی وجوہات پر غور کیے بغیر اجسام کی حرکت بیان کرتی ہے۔ آپ سیدھی لائن میں حرکت کو نقل مکانی، سرعت اور اسراع کے ذریعے پڑھیں گے، نقل مکانی-وقت اور سرعت-وقت گراف بنائیں گے اور ان کی تشریح کریں گے، وقت کے لحاظ سے تفریق اور تکامل استعمال کریں گے، مستقل اسراع کے لیے حرکیاتی فارمولے لگائیں گے، اور ان خیالات کو گاڑیوں، آزاد گراوٹ، عمودی پرتابی حرکت اور اینیمیشن میں استعمال کریں گے۔
Motion of a particle along a straight line is rectilinear motion. Scalars have magnitude only: distance (total length of path travelled, regardless of direction) and speed (rate at which distance is covered). Vectors have magnitude and direction: displacement (change in position, from initial to final point), velocity (rate of change of displacement in a specified direction) and acceleration (rate of change of velocity). Speed is the magnitude of velocity.
کسی ذرے کی سیدھی لائن میں حرکت رییکٹی لینیر حرکت کہلاتی ہے۔ اسکیلر صرف مقدار رکھتے ہیں: فاصلہ (طے شدہ راستے کی کل لمبائی) اور رفتار (speed)۔ ویکٹر مقدار اور سمت دونوں رکھتے ہیں: نقل مکانی (مقام میں تبدیلی)، سرعت (velocity) اور اسراع۔ رفتار سرعت کی مقدار ہے۔
On a displacement–time (s–t) graph, the slope at any point is the velocity, and a horizontal section means the particle is at rest. On a velocity–time (v–t) graph, the slope is the acceleration, and the area under the graph is the displacement. A straight s–t line means constant velocity; a straight v–t line means constant acceleration.
نقل مکانی-وقت (s–t) گراف پر کسی نقطہ کی سلوپ سرعت ہے، اور افقی حصہ کا مطلب ذرہ ساکن ہے۔ سرعت-وقت (v–t) گراف پر سلوپ اسراع ہے اور گراف کے نیچے رقبہ نقل مکانی ہے۔ سیدھی s–t لائن کا مطلب مستقل سرعت اور سیدھی v–t لائن کا مطلب مستقل اسراع ہے۔
If displacement is s(t), then v = ds/dt and a = dv/dt = d²s/dt². Also a = v dv/ds (useful when acceleration is given as a function of position). Going the other way: v = ∫a dt and s = ∫v dt, with initial values fixing the constants of integration.
اگر نقل مکانی s(t) ہو تو v = ds/dt اور a = dv/dt = d²s/dt²۔ نیز a = v dv/ds (جب اسراع مقام کا فنکشن ہو تو مفید ہے)۔ الٹی سمت میں: v = ∫a dt اور s = ∫v dt، ابتدائی اقدار تکامل کے کانسٹینٹس طے کرتی ہیں۔
For constant acceleration a, with initial velocity u and initial displacement 0: v = u + at; s = ut + ½at²; v² = u² + 2as. First convert units — km/h to m/s means dividing by 3.6 (or multiplying by 5/18). Retardation is just negative acceleration; the formulas do not care about the sign, but you must keep it consistent.
مستقل اسراع a کے لیے، ابتدائی سرعت u کے ساتھ: v = u + at؛ s = ut + ½at²؛ v² = u² + 2as۔ پہلے اکائیاں بدلیں — km/h سے m/s کے لیے 3.6 سے تقسیم کریں۔ ریٹارڈیشن منفی اسراع ہی ہے؛ علامت کو مستقل رکھیں۔
Near Earth, a body in free fall has acceleration g ≈ 9.8 m/s² downward (use g = 10 in rough work only if the question says so). Take upward as positive: then a = −g. A body thrown up with speed u reaches maximum height h = u²/(2g) and returns after T = 2u/g. At the top, v = 0 but a is still −g — a common trap.
زمین کے قریب آزاد گرتی چیز کا اسراع g ≈ 9.8 m/s² نیچے کی طرف ہے۔ اوپر کی سمت مثبت لیں تو a = −g۔ سرعت u سے اوپر پھینکی چیز زیادہ سے زیادہ اونچائی h = u²/(2g) تک جاتی ہے اور T = 2u/g بعد واپس آتی ہے۔ سب سے اوپر v = 0 ہوتا ہے لیکن a پھر بھی −g ہے۔
When acceleration depends on t, integrate: v(t) = u + ∫0ta(τ)dτ and s(t) = s₀ + ∫0tv(τ)dτ. Relative motion: if two bodies move on the same line, work with their separation s₁ − s₂ and its rate of change. For a robotic arm or an animated object, the same integrals give the distance actually travelled — watch for direction changes, where distance exceeds displacement.
جب اسراع t پر منحصر ہو تو تکامل کریں: v(t) = u + ∫a dt اور s(t) = s₀ + ∫v dt۔ نسبتی حرکت: اگر دو اجسام ایک ہی لائن پر حرکت کریں تو ان کے درمیانی فاصلے s₁ − s₂ سے کام کریں۔ روبوٹک بازو یا اینیمیٹڈ چیز کے لیے یہی تکامل اصل طے شدہ فاصلہ دیتا ہے — سمت بدلنے پر فاصلہ نقل مکانی سے زیادہ ہو جاتا ہے۔
The questions below are taken from this unit's exercise in the official PECTAA Mathematics 12 textbook (National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27). Only selected questions are solved here — the full exercise is in the book itself. Solutions are worked step by step by this guide book; final answers agree with the book's Answers section where it gives them.
نیچے دیے گئے سوالات سرکاری PECTAA ریاضی 12 کی کتاب کی اس یونٹ کی ایکسرسائز سے لیے گئے ہیں (نیشنل کریکولم 2023، سیشن 2026–27)۔ یہاں صرف منتخب سوالات حل کیے گئے ہیں — مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔ حل مرحلہ وار اس گائیڈ بک نے تیار کیے ہیں۔
یہ سوال کتاب کے printed pages 223–236 والی unit کی exercise سے منتخب کیے گئے ہیں — نیچے 5 حل شدہ سوال ہیں. یہ پوری exercise کا ہر سوال نہیں ہے; جو سوال یہاں نہیں ہیں انھیں invent کر کے نہیں لکھا گیا. اس کے بعد SLO-based practice MCQs ہیں, جو کتاب کی exercise سے نہیں, board pattern کی practice کے لیے لکھے گئے ہیں.
ایکسرسائز، سوال 6 — 36 km/h کی رفتار سے چلتی گاڑی بریک لگانے سے 10 سیکنڈ میں رک جاتی ہے۔ ریٹارڈیشن اور اس دوران طے شدہ فاصلہ معلوم کریں۔
36 km/h = 10 m/s. a = (v − u)/t = (0 − 10)/10 = −1 m/s², so retardation = 1 m/s². Distance: s = ut + ½at² = 100 − 50 = 50 m.
36 km/h = 10 m/s۔ a = (0 − 10)/10 = −1 m/s²، اس لیے ریٹارڈیشن = 1 m/s²۔ فاصلہ: s = 100 − 50 = 50 میٹر۔
ایکسرسائز، سوال 7 — 54 km/h کی رفتار سے چلتی ٹرین 20 سیکنڈ میں یکساں طور پر 90 km/h تک تیز ہو جاتی ہے۔ اسراع اور اس دوران طے شدہ فاصلہ معلوم کریں۔
54 km/h = 15 m/s, 90 km/h = 25 m/s. a = (25 − 15)/20 = 0.5 m/s². Distance: s = 15×20 + ½(0.5)(400) = 300 + 100 = 400 m.
54 km/h = 15 m/s، 90 km/h = 25 m/s۔ a = (25 − 15)/20 = 0.5 m/s²۔ فاصلہ: s = 300 + 100 = 400 میٹر۔
ایکسرسائز، سوال 10 — ایک گیند 20 m/s کی رفتار سے عمودی طور پر اوپر پھینکی گئی۔ زیادہ سے زیادہ اونچائی اور پھینکنے والے کے ہاتھ تک واپس آنے کا وقت معلوم کریں۔
Maximum height h = u²/(2g) = 400/(2×9.8) ≈ 20.41 m. Time to return T = 2u/g = 40/9.8 ≈ 4.08 s.
زیادہ سے زیادہ اونچائی h = 400/(2×9.8) ≈ 20.41 میٹر۔ واپسی کا وقت T = 40/9.8 ≈ 4.08 سیکنڈ۔
ایکسرسائز، سوال 11 — ایک پتھر چٹان سے گرایا گیا۔ ایک سیکنڈ بعد دوسرا پتھر اسی اونچائی سے گرایا گیا۔ (a) پہلا پتھر گرانے کے 2 سیکنڈ بعد دونوں پتھروں کے درمیان فاصلہ کیا ہے؟ (b) کس وقت ان کے درمیان فاصلہ 14.7 میٹر ہوگا؟
Take g = 9.8. s₁ = 4.9t², s₂ = 4.9(t−1)². (a) At t = 2: s₁ = 19.6, s₂ = 4.9, difference = 14.7 m. (b) Difference = 4.9(2t − 1) = 14.7 gives 2t − 1 = 3, so t = 2 s after the first rock is dropped.
g = 9.8 لیں۔ s₁ = 4.9t²، s₂ = 4.9(t−1)²۔ (a) t = 2 پر فرق = 14.7 میٹر۔ (b) فرق = 4.9(2t − 1) = 14.7 سے t = 2 سیکنڈ۔
ایکسرسائز، سوال 12 — ایک ذرے کا اسراع a(t) = 1/(1+t) ہے جبکہ t ≥ 0 ہے۔ اگر s = 0 پر سرعت 0 m/s ہو تو t = 5 سیکنڈ پر سرعت معلوم کریں۔
v(t) = ∫₀ᵗ dτ/(1+τ) = ln(1+t) (using v(0) = 0). At t = 5: v = ln 6 ≈ 1.79 m/s.
v(t) = ln(1+t) (کیونکہ v(0) = 0)۔ t = 5 پر v = ln 6 ≈ 1.79 m/s۔
These three MCQs are board-pattern practice written for this guide book. Answers are in the accordion below. They are NOT questions from the book exercise — the correct option in each list is also marked (✓).
1. 36 km/h in m/s is:
Correct answer: (B) 10 — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
2. On a v–t graph, the area under the graph gives:
Correct answer: (C) displacement — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
3. A ball thrown up at 20 m/s (g = 9.8) reaches about:
Correct answer: (B) 20.4 m — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
Kinematics — Motion of a particle along a straight line is rectilinear motion. On a displacement–time (s–t) graph, the slope at any point is the velocity, and a horizontal section means the particle is at rest. If displacement is s(t), then v = ds/dt and a = dv/dt = d²s/dt². For constant acceleration a, with initial velocity u and initial displacement 0: v = u + at; s = ut + ½at²; v² = u² + 2as. Near Earth, a body in free fall has acceleration g ≈ 9.8 m/s² downward (use g = 10 in rough work only if the question says so). When acceleration depends on t, integrate: v(t) = u + ∫0ta(τ)dτ and s(t) = s₀ + ∫0tv(τ)dτ.
Revision guidance: پہلے 5 حل شدہ سوال خود حل کرنے کی کوشش کرو, پھر جواب سے ملاؤ; 3 practice MCQs بھی خود حل کرو. جو formula اس chapter میں ہے, اسے لکھ کر یاد کرو — رٹا نہیں, سمجھ کر. پوری exercise کے باقی سوال کتاب سے حل کرو; یہ page منتخب سوالوں کا guide ہے, پوری exercise کا متبادل نہیں.
کسی ذرے کی سیدھی لائن میں حرکت رییکٹی لینیر حرکت کہلاتی ہے۔ اسکیلر صرف مقدار رکھتے ہیں: فاصلہ (طے شدہ راستے کی کل لمبائی) اور رفتار (speed)۔ ویکٹر مقدار اور سمت دونوں رکھتے ہیں: نقل مکانی (مقام میں تبدیلی)، سرعت (velocity) اور اسراع۔ رفتار نقل مکانی-وقت (s–t) گراف پر کسی نقطہ کی سلوپ سرعت ہے، اور افقی حصہ کا مطلب ذرہ ساکن ہے۔ سرعت-وقت (v–t) گراف پر سلوپ اسراع ہے اور گراف کے نیچے رقبہ نقل مکانی ہے۔ سیدھی s–t لائن کا مطلب مستقل سرعت اور سیدھی v–t لائن کا مطلب مستقل اسراع ہے۔حل اگر نقل مکانی s(t) ہو تو v = ds/dt اور a = dv/dt = d²s/dt²۔ نیز a = v dv/ds (جب اسراع مقام کا فنکشن ہو تو مفید ہے)۔ الٹی سمت میں: v = ∫a dt اور s = ∫v dt، ابتدائی اقدار تکامل کے کانسٹینٹس طے کرتی ہیں۔حل شدہ مثال: s = t³ − 6t² + 9t ہو تو v = مستقل اسراع a کے لیے، ابتدائی سرعت u کے ساتھ: v = u + at؛ s = ut + ½at²؛ v² = u² + 2as۔ پہلے اکائیاں بدلیں — km/h سے m/s کے لیے 3.6 سے تقسیم کریں۔ ریٹارڈیشن منفی اسراع ہی ہے؛ علامت کو مستقل رکھیں۔حل شدہ مثال: 36 km/h (= 10 m/s) والی گاڑی 10 زمین کے قریب آزاد گرتی چیز کا اسراع g ≈ 9.8 m/s² نیچے کی طرف ہے۔ اوپر کی سمت مثبت لیں تو a = −g۔ سرعت u سے اوپر پھینکی چیز زیادہ سے زیادہ اونچائی h = u²/(2g) تک جاتی ہے اور T = 2u/g بعد واپس آتی ہے۔ سب سے اوپر v = 0 ہوتا ہے لیکن a پھر بھی − جب اسراع t پر منحصر ہو تو تکامل کریں: v(t) = u + ∫a dt اور s(t) = s₀ + ∫v dt۔ نسبتی حرکت: اگر دو اجسام ایک ہی لائن پر حرکت کریں تو ان کے درمیانی فاصلے s₁ − s₂ سے کام کریں۔ روبوٹک بازو یا اینیمیٹڈ چیز کے لیے یہی تکامل اصل طے شدہ فاصلہ دیتا ہ
اس باب کے موضوعات: سیدھی لائن میں حرکت: اسکیلر اور ویکٹر · نقل مکانی-وقت اور سرعت-وقت گراف · حساب سے سرعت اور اسراع · یکساں اسراع والی حرکت کی مساواتیں · کشش ثقل کے تحت عمودی حرکت · تکامل سے حرکت اور نسبتی حرکت · مشق
رہنمائی: پہلے حل شدہ سوالات خود حل کرنے کی کوشش کریں، پھر جوابات سے ملائیں؛ پریکٹس MCQs بھی خود حل کریں۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 2 Mathematics, Chapter 7 (PECTAA New Book, Session 2026–27) • English + Urdu