Nonlinear equations — where variables appear with powers exceeding one, or within trigonometric, exponential or logarithmic functions — are everywhere in mathematics, science and engineering, and most of them resist exact algebraic solution. Numerical techniques are essential for approximating their real roots. The graphical method gives a visual foundation by plotting functions and identifying x-axis intersections. The bisection method, Regula-Falsi method and Newton-Raphson method systematically refine approximations, grounded in function continuity and the intermediate value theorem. This unit also introduces the trapezium rule for estimating definite integrals when analytical integration is impractical.
غیر خطی مساواتیں — جن میں متغیر ایک سے زیادہ طاقت میں ہوں یا مثلثی، ایکسپونینشل یا لوگارتھمک فنکشنز میں ہوں — ریاضی، سائنس اور انجینئرنگ میں ہر جگہ ہیں، اور ان میں سے اکثر کا صحیح الجبری حل ممکن نہیں۔ ان کے حقیقی روٹس کا تخمینہ لگانے کے لیے عددی طریقے ضروری ہیں۔ گرافی طریقہ بصری بنیاد دیتا ہے، بائیسیکشن، ریگولا-فالسی اور نیوٹن-ریفسن طریقے تخمینے کو مرحلہ وار بہتر کرتے ہیں، اور ٹریپیزیئم رول معین تکامل کا تخمینہ دیتا ہے۔
A root (or zero) of a function y = f(x) is a value of x for which y = 0 — the point where the graph cuts the x-axis. The Intermediate Value Theorem says: if f is continuous on [a, b] and f(a) and f(b) have opposite signs, then f has at least one root between a and b. Every bracketing method in this unit starts from this fact.
فنکشن y = f(x) کا روٹ (صفر) وہ x ہے جس کے لیے y = 0 ہو — یعنی گراف x-axis کو جہاں کاٹے۔ انٹرمیڈیٹ ویلیو تھیورم کہتا ہے: اگر f [a, b] پر مسلسل ہو اور f(a) و f(b) کی علامتیں مخالف ہوں تو a اور b کے درمیان کم از کم ایک روٹ ضرور ہے۔ اس یونٹ کے تمام بریکٹنگ طریقے اسی حقیقت سے شروع ہوتے ہیں۔
Plot y = f(x) on a grid and read off where it crosses the x-axis. The crossing gives an approximate root and, just as importantly, a starting interval [a, b] with a sign change for the other methods. The graphical method is rough — its job is to locate roots, not to finish them to three decimal places.
y = f(x) کا گراف بنائیں اور دیکھیں کہ وہ x-axis کو کہاں کاٹتا ہے۔ یہ تقاطع روٹ کا تخمینہ دیتا ہے اور دوسرے طریقوں کے لیے علامت کی تبدیلی والا وقفہ [a, b] بھی دیتا ہے۔ گرافی طریقہ تقریبی ہے — اس کا کام روٹس تلاش کرنا ہے، تین اعشاریہ تک مکمل کرنا نہیں۔
Start with [a, b] where f(a)·f(b) < 0. Take the midpoint c = (a+b)/2. If f(c) = 0, you are done. Otherwise keep the half where the sign changes. Each step halves the interval, so the error halves too — slow but guaranteed to converge for continuous f. Stop when the interval is smaller than your required accuracy.
[a, b] سے شروع کریں جہاں f(a)·f(b) < 0 ہو۔ درمیانی نقطہ c = (a+b)/2 لیں۔ اگر f(c) = 0 ہو تو کام ختم۔ ورنہ وہ آدھا حصہ رکھیں جہاں علامت بدلتی ہو۔ ہر قدم وقفہ آدھا کر دیتا ہے، اس لیے غلطی بھی آدھی ہو جاتی ہے — سست لیکن مسلسل f کے لیے یقینی طریقہ ہے۔
Instead of the midpoint, Regula-Falsi joins (a, f(a)) and (b, f(b)) with a straight line (a secant) and takes its x-intercept: c = a − f(a)(b − a)/(f(b) − f(a)). Like bisection it keeps the bracket, but the secant usually lands much closer to the root, so it converges faster — especially when the curve is nearly straight near the root.
درمیانی نقطہ کے بجائے ریگولا-فالسی (a, f(a)) اور (b, f(b)) کو سیدھی لائن (سیکینٹ) سے جوڑتا ہے اور اس کا x-انٹرسیپٹ لیتا ہے: c = a − f(a)(b − a)/(f(b) − f(a))۔ بائیسیکشن کی طرح بریکٹ برقرار رہتا ہے، لیکن سیکینٹ عام طور پر روٹ کے زیادہ قریب پڑتا ہے، اس لیے یہ تیز ہے۔
Start from a guess x₀ and follow the tangent: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ). Geometrically you replace the curve by its tangent line at each step. It converges very fast (roughly doubling correct digits) when the guess is near the root and f′(x) ≠ 0 — but it can fail if the guess is poor or the tangent goes nearly horizontal. Keep extra decimal places during the steps and round only the final answer.
اندازے x₀ سے شروع کریں اور ٹینجنٹ کی پیروی کریں: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)۔ ہر قدم پر وکر کی جگہ اس کی ٹینجنٹ لائن لے لی جاتی ہے۔ اندازہ روٹ کے قریب ہو اور f′(x) ≠ 0 ہو تو یہ بہت تیز ہے — لیکن خراب اندازے یا تقریباً افقی ٹینجنٹ پر ناکام ہو سکتا ہے۔ درمیانی قدموں میں زیادہ اعشاریہ رکھیں اور صرف آخری جواب راؤنڈ کریں۔
When a definite integral cannot be done analytically, split [a, b] into n equal strips of width h and approximate the area by trapeziums: ∫abf(x)dx ≈ (h/2)[y₀ + yₙ + 2(y₁ + … + yₙ₋₁)]. More strips mean better accuracy. Applications in the book include chemical equilibrium concentrations, cardiac rhythms, nonlinear electronic circuits (diodes, transistors) and cryptographic problems — wherever an equation has no closed-form solution.
جب معین تکامل تجزیاتی طور پر نہ ہو سکے تو [a, b] کو n برابر پٹیوں میں تقسیم کریں اور رقبہ ٹریپیزیئم سے معلوم کریں: ∫abf(x)dx ≈ (h/2)[y₀ + yₙ + 2(y₁ + … + yₙ₋₁)]۔ زیادہ پٹیاں بہتر درستگی دیتی ہیں۔ کتاب کے اطلاقات میں کیمیائی توازن، دل کی دھڑکن، غیر خطی الیکٹرانک سرکٹس اور کرپٹوگرافی شامل ہیں۔
The questions below are taken from this unit's exercise in the official PECTAA Mathematics 12 textbook (National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27). Only selected questions are solved here — the full exercise is in the book itself. Solutions are worked step by step by this guide book; final answers agree with the book's Answers section where it gives them.
نیچے دیے گئے سوالات سرکاری PECTAA ریاضی 12 کی کتاب کی اس یونٹ کی ایکسرسائز سے لیے گئے ہیں (نیشنل کریکولم 2023، سیشن 2026–27)۔ یہاں صرف منتخب سوالات حل کیے گئے ہیں — مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔ حل مرحلہ وار اس گائیڈ بک نے تیار کیے ہیں۔
یہ سوال کتاب کے printed pages 237–258 والی unit کی exercise سے منتخب کیے گئے ہیں — نیچے 4 حل شدہ سوال ہیں. یہ پوری exercise کا ہر سوال نہیں ہے; جو سوال یہاں نہیں ہیں انھیں invent کر کے نہیں لکھا گیا. اس کے بعد SLO-based practice MCQs ہیں, جو کتاب کی exercise سے نہیں, board pattern کی practice کے لیے لکھے گئے ہیں.
ایکسرسائز 8.4، سوال 1 — ایک کیمیائی تعامل میں توازن پر مادے کا ارتکاز x² + 0.2x − 0.04 = 0 سے طے ہوتا ہے، جہاں x توازن ارتکاز (مول فی لیٹر) ہے۔ بائیسیکشن طریقہ استعمال کر کے مثبت توازن ارتکاز دو اعشاریہ تک معلوم کریں۔
f(x) = x² + 0.2x − 0.04. f(0) = −0.04, f(0.2) = 0.04, so a root lies in [0, 0.2]. Midpoint 0.1: f = −0.01 < 0, so the root is in [0.1, 0.2]. Midpoint 0.15: f = 0.0125 > 0, so the root is in [0.1, 0.15]. Midpoint 0.125: f ≈ 0.0006 > 0, so the root is in [0.1, 0.125]. Hence the positive root ≈ 0.12 (exact: (−0.2 + √0.2)/2 ≈ 0.1236).
f(0) = −0.04 اور f(0.2) = 0.04 ہے، اس لیے روٹ [0, 0.2] میں ہے۔ درمیانی نقطے 0.1، 0.15، 0.125 لینے سے روٹ [0.1, 0.125] میں ملتا ہے، اس لیے مثبت روٹ ≈ 0.12 ہے۔
ایکسرسائز 8.4، سوال 3 — ایک غیر خطی LC سرکٹ میں کپیسیٹر پر توازن چارج q² − 4q + 2 = 0 کو پورا کرتا ہے۔ ریگولا-فالسی طریقہ استعمال کر کے [0, 1] میں چارج کی توازن قدر تین اعشاریہ تک معلوم کریں۔
f(q) = q² − 4q + 2, f(0) = 2, f(1) = −1. First false position: c = 0 − 2(1)/(−3) = 0.667, f(0.667) ≈ −0.222, so the new interval is [0, 0.667]. Next: c = 0 − 2(0.667)/(−2.222) ≈ 0.600, f ≈ −0.04. Next: c ≈ 0.586. The root is 2 − √2 ≈ 0.586.
f(0) = 2 اور f(1) = −1 ہے۔ پہلا فالس پوزیشن c ≈ 0.667، پھر 0.600، پھر ≈ 0.586 ملتا ہے۔ روٹ 2 − √2 ≈ 0.586 ہے۔
ایکسرسائز 8.4، سوال 5 — ایک محفوظ مواصلاتی نظام میں خفیہ سگنل کا فیز شفٹ θ (ریڈین میں) f(θ) = sin θ − 0.5 سے ماڈل کیا گیا ہے۔ درست ہم آہنگی کے لیے f(θ) = 0 ہونا چاہیے۔ نیوٹن-ریفسن طریقہ اور ابتدائی اندازہ θ₀ = 0.5 استعمال کر کے θ تین اعشاریہ تک معلوم کریں۔
θₙ₊₁ = θₙ − (sin θₙ − 0.5)/cos θₙ. θ₁ = 0.5 − (0.4794 − 0.5)/0.8776 ≈ 0.5235. θ₂ = 0.5235 − (0.5000 − 0.5)/cos(0.5235) ≈ 0.5236. Hence θ ≈ 0.524 (exact π/6 ≈ 0.5236).
θ₁ ≈ 0.5235 اور θ₂ ≈ 0.5236 ملتا ہے، اس لیے θ ≈ 0.524 ہے (صحیح قدر π/6 ≈ 0.5236)۔
ایکسرسائز 8.4، سوال 6 — ایک غیر خطی الیکٹرانک سرکٹ میں کسی جزو پر وولٹیج x (وولٹ میں) f(x) = −0.1x² + 2x + 1 سے ماڈل کی گئی ہے۔ نیوٹن-ریفسن طریقہ اور ابتدائی اندازہ x₀ = 15 استعمال کر کے وہ آپریٹنگ وولٹیج معلوم کریں جس پر سرکٹ توازن تک پہنچے۔
f′(x) = −0.2x + 2. x₁ = 15 − 8.5/(−1) = 23.5. x₂ = 23.5 − (−7.225)/(−2.7) ≈ 20.824. x₃ = 20.824 − (−0.716)/(−2.165) ≈ 20.493. x₄ ≈ 20.488. The operating voltage is ≈ 20.49 volts (exact root 10 + √110 ≈ 20.488).
f′(x) = −0.2x + 2۔ x₁ = 23.5، x₂ ≈ 20.824، x₃ ≈ 20.493، x₄ ≈ 20.488۔ آپریٹنگ وولٹیج ≈ 20.49 وولٹ ہے۔
These three MCQs are board-pattern practice written for this guide book. Answers are in the accordion below. They are NOT questions from the book exercise — the correct option in each list is also marked (✓).
1. Bisection method needs an interval [a, b] with:
Correct answer: (B) f(a)·f(b) < 0 — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
2. Newton-Raphson iteration is:
Correct answer: (B) xₙ₊₁ = xₙ − f/f′ — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
3. Each bisection step does what to the interval?
Correct answer: (B) halves it — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
Numerical Solutions of Nonlinear Equations — A root (or zero) of a function y = f(x) is a value of x for which y = 0 — the point where the graph cuts the x-axis. Plot y = f(x) on a grid and read off where it crosses the x-axis. Start with [a, b] where f(a)·f(b) < 0. Take the midpoint c = (a+b)/2. If f(c) = 0, you are done. Otherwise keep the half where the sign changes. Each step halves the interval, so the error halves too — slow but guaranteed to converge for Instead of the midpoint, Regula-Falsi joins (a, f(a)) and (b, f(b)) with a straight line (a secant) and takes its x-intercept: c = a − f(a)(b − a)/(f(b) − f(a)). Start from a guess x₀ and follow the tangent: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ). When a definite integral cannot be done analytically, split [a, b] into n equal strips of width h and approximate the area by trapeziums: ∫abf(x)dx ≈ (h/2)[y₀ + yₙ + 2(y₁ + … + yₙ₋₁)].
Revision guidance: پہلے 4 حل شدہ سوال خود حل کرنے کی کوشش کرو, پھر جواب سے ملاؤ; 3 practice MCQs بھی خود حل کرو. جو formula اس chapter میں ہے, اسے لکھ کر یاد کرو — رٹا نہیں, سمجھ کر. پوری exercise کے باقی سوال کتاب سے حل کرو; یہ page منتخب سوالوں کا guide ہے, پوری exercise کا متبادل نہیں.
فنکشن y = f(x) کا روٹ (صفر) وہ x ہے جس کے لیے y = 0 ہو — یعنی گراف x-axis کو جہاں کاٹے۔ انٹرمیڈیٹ ویلیو تھیورم کہتا ہے: اگر f [a, b] پر مسلسل ہو اور f(a) و f(b) کی علامتیں مخالف ہوں تو a اور b کے درمیان کم از کم ایک روٹ ضرور ہے۔ اس یونٹ کے y = f(x) کا گراف بنائیں اور دیکھیں کہ وہ x-axis کو کہاں کاٹتا ہے۔ یہ تقاطع روٹ کا تخمینہ دیتا ہے اور دوسرے طریقوں کے لیے علامت کی تبدیلی والا وقفہ [a, b] بھی دیتا ہے۔ گرافی طریقہ تقریبی ہے — اس کا کام روٹس تلاش کرنا ہے، تین اعشاریہ تک مکمل [a, b] سے شروع کریں جہاں f(a)·f(b) < 0 ہو۔ درمیانی نقطہ c = (a+b)/2 لیں۔ اگر f(c) = 0 ہو تو کام ختم۔ ورنہ وہ آدھا حصہ رکھیں جہاں علامت بدلتی ہو۔ ہر قدم وقفہ آدھا کر دیتا ہے، اس لیے غلطی بھی آدھی ہو جاتی ہے — سست لیکن مسلسل f کے لیے یقینی درمیانی نقطہ کے بجائے ریگولا-فالسی (a, f(a)) اور (b, f(b)) کو سیدھی لائن (سیکینٹ) سے جوڑتا ہے اور اس کا x-انٹرسیپٹ لیتا ہے: c = a − f(a)(b − a)/(f(b) − f(a))۔ بائیسیکشن کی طرح بریکٹ برقرار رہتا ہے، لیکن سیکینٹ عام طور پر روٹ کے زیادہ قریب پ اندازے x₀ سے شروع کریں اور ٹینجنٹ کی پیروی کریں: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)۔ ہر قدم پر وکر کی جگہ اس کی ٹینجنٹ لائن لے لی جاتی ہے۔ اندازہ روٹ کے قریب ہو اور f′(x) ≠ 0 ہو تو یہ بہت تیز ہے — لیکن خراب اندازے یا تقریباً افقی ٹینجنٹ پر ناکام ہو س جب معین تکامل تجزیاتی طور پر نہ ہو سکے تو [a, b] کو n برابر پٹیوں میں تقسیم کریں اور رقبہ ٹریپیزیئم سے معلوم کریں: ∫abf(x)dx ≈ (h/2)[y₀ + yₙ + 2(y₁ + … + yₙ₋₁)]۔ زیادہ پٹیاں بہتر درستگی دیتی ہیں۔ کتاب کے اطلاقات میں کیمیائی توازن، دل کی دھڑ
اس باب کے موضوعات: روٹس اور انٹرمیڈیٹ ویلیو تھیورم · گرافی طریقہ · بائیسیکشن طریقہ · ریگولا-فالسی طریقہ · نیوٹن-ریفسن طریقہ · ٹریپیزیئم رول اور اطلاقات · مشق
رہنمائی: پہلے حل شدہ سوالات خود حل کرنے کی کوشش کریں، پھر جوابات سے ملائیں؛ پریکٹس MCQs بھی خود حل کریں۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 2 Mathematics, Chapter 8 (PECTAA New Book, Session 2026–27) • English + Urdu