Thermal physics is the study of the relationship between heat, work, temperature and other forms of energy. Before we touch any formula, keep one picture in mind: a gas, a liquid or even a hot solid is not a smooth, continuous jelly. It is a crowd of unimaginably many tiny particles — atoms or molecules — all moving. When the crowd is huge, we describe it with macroscopic properties that we can measure directly: temperature, pressure, volume. When we talk about one single particle, we use microscopic properties, above all its kinetic energy. Thermal physics is the bridge between these two views: how does the wild dance of single molecules add up to the calm, steady temperature and pressure we measure?
Brownian motion is the first piece of evidence for that dance, and you can picture it easily. In 1827 the botanist Robert Brown looked through a microscope at tiny pollen grains floating in water — and the grains never sat still. They jittered, turned and wandered in a completely random, zig-zag path, even though the water looked perfectly calm. The grains were far too big to move on their own. What was pushing them? The answer, worked out much later, is beautifully simple: the water itself is made of molecules rushing about in every direction. A pollen grain is bombarded from all sides, millions of times a second. Most pushes cancel out, but at any instant the pushes from one side are slightly stronger than from the other, so the grain jumps a little that way. A moment later the balance tips another way, and it jumps again. The result is the zig-zag walk we call Brownian motion.
Three things control how vigorous this dance looks. First, mass: for the same kick (the same impulse), a lighter particle picks up a bigger change in velocity, so small, light grains dance far more wildly than heavy ones. Second, viscosity: viscosity is the internal friction of a fluid — its resistance to flowing, the reason honey pours slowly and water pours fast. The speed of Brownian motion is inversely proportional to viscosity: in a thin, low-viscosity liquid the grains dart about; in a thick, sticky liquid they crawl. Third, temperature: heat the liquid and its molecules move faster and hit harder, so the dance speeds up too.
Why does this matter beyond a microscope slide? Because Brownian motion was the first thing that let physicists see the invisible. In 1905 Albert Einstein explained the pollen's wandering as the effect of molecular bombardment, and in 1908 the French physicist Jean Perrin tested Einstein's numbers experimentally — work that earned Perrin the 1926 Nobel Prize. One more everyday consequence: Brownian motion keeps tiny particles suspended instead of settling. Dust motes hanging in a sunbeam, smoke lingering in still air, milk staying mixed instead of separating at once — all of them are kept afloat by the same random molecular kicks.
تھرمل فزکس حرارت، کام، درجہ حرارت اور توانائی کی دوسری صورتوں کے تعلق کا مطالعہ ہے۔ کوئی فارمولا چھونے سے پہلے ایک تصویر ذہن میں رکھیں: گیس، مائع یا گرم ٹھوس کوئی ہموار جیلی نہیں، بلکہ ایٹمز یا مالیکیولز کا ایک بہت بڑا ہجوم ہے جو سب حرکت میں ہیں۔ جب ہجوم بہت بڑا ہو تو ہم اسے میکروسکوپک خصوصیات سے بیان کرتے ہیں جنہیں براہ راست ناپا جا سکتا ہے: درجہ حرارت، دباؤ، حجم۔ اور جب ایک اکیلے ذرے کی بات ہو تو مائیکروسکوپک خصوصیات کام آتی ہیں، سب سے بڑھ کر اس کی حرکی توانائی۔ تھرمل فزکس ان دو نظاروں کے درمیان پل ہے: اکیلے مالیکیولز کا بے ترتیب رقص مل کر وہ پرسکون درجہ حرارت اور دباؤ کیسے بنا دیتا ہے جسے ہم ناپتے ہیں؟
براؤنین حرکت اس رقص کا پہلا ثبوت ہے۔ 1827 میں ماہر نباتات رابرٹ براؤن نے خوردبین سے پانی میں تیرتے پولن کے ذرات دیکھے — اور وہ کبھی ساکت نہ رہے۔ وہ مسلسل جھٹکے کھاتے، مڑتے اور مکمل بے ترتیب، ٹیڑھی میڑھی راہ پر چلتے رہے، حالانکہ پانی بالکل پرسکون لگتا تھا۔ ذرات اتنے بڑے تھے کہ خود حرکت نہیں کر سکتے تھے۔ پھر انہیں کون دھکا دے رہا تھا؟ جواب بہت سادہ ہے: پانی خود ہر سمت دوڑتے مالیکیولز سے بنا ہے۔ پولن کا ذرہ ہر طرف سے ہر سیکنڈ لاکھوں بار ٹکراؤ کھاتا ہے۔ زیادہ تر دھکے ایک دوسرے کو کاٹ دیتے ہیں، لیکن کسی لمحے ایک طرف کے دھکے تھوڑے زیادہ ہو جاتے ہیں تو ذرہ اس طرف کود جاتا ہے، اگلے لمحے توازن دوسری طرف جھک جاتا ہے۔ یہی ٹیڑھی میڑھی چال براؤنین حرکت کہلاتی ہے۔
اس رقص کی تیزی تین چیزوں پر منحصر ہے۔ پہلی، ماس: ایک جیسے دھکے (امپلس) پر ہلکا ذرہ رفتار میں زیادہ تبدیلی پاتا ہے، اس لیے چھوٹے ہلکے ذرات زیادہ تیز رقص کرتے ہیں۔ دوسری، وسکوسٹی: وسکوسٹی مائع کی اندرونی رگڑ ہے، بہاؤ کے خلاف مزاحمت — اسی لیے شہد آہستہ بہتا ہے اور پانی تیز۔ براؤنین حرکت کی رفتار وسکوسٹی کے الٹ متناسب ہے: پتلے مائع میں ذرات تیزی سے دوڑتے ہیں، گاڑھے میں رینگتے ہیں۔ تیسری، درجہ حرارت: مائع گرم کریں تو مالیکیولز تیز دوڑتے ہیں اور زور سے ٹکراتے ہیں، رقص بھی تیز ہو جاتا ہے۔
یہ خوردبین کے سلائیڈ سے آگے کیوں اہم ہے؟ کیونکہ براؤنین حرکت نے طبیعیات دانوں کو نادیدہ چیز دیکھنے کا پہلا موقع دیا۔ 1905 میں البرٹ آئن سٹائن نے پولن کی بھٹکن کی وضاحت مالیکیولز کی بمباری سے کی، اور 1908 میں فرانسیسی طبیعیات دان ژاں پیراں نے آئن سٹائن کے اعداد تجربے سے پرکھے — اس کام پر انہیں 1926 کا نوبل انعام ملا۔ ایک روزمرہ نتیجہ یہ بھی ہے: براؤنین حرکت چھوٹے ذرات کو بیٹھنے نہیں دیتی۔ دھوپ کی کرن میں تیرتے گرد کے ذرات، ساکت ہوا میں رکا دھواں، دودھ کا فوراً نہ پھٹنا — سب اسی بے ترتیب مالیکیولر دھکوں کی وجہ سے معلق رہتے ہیں۔
The kinetic theory of gases is the idea that everything a gas does — its pressure, its temperature, even how it flows — can be explained by picturing it as a swarm of molecules in constant, random motion. It is one of the most successful simplifications in all of physics, because it starts from a handful of clear assumptions and ends with the exact gas laws you already know. Let us walk through those assumptions slowly, because every formula in this chapter is just one of them, worked out carefully.
Assumption 1 — a huge number of tiny particles, far apart. A gas consists of a very large number of tiny, hard, spherical particles (molecules), and the gaps between them are enormous compared with their own size. In a typical gas at ordinary pressure, a molecule's own size is roughly a thousand times smaller than the average gap to its neighbour. That is why we can usually forget the size of the molecules altogether and treat them as points.
Assumption 2 — constant, random, rapid motion. The molecules never rest. They fly in straight lines in every possible direction, at speeds of hundreds of metres per second at room temperature, until something gets in their way. There is no favourite direction: motion is completely random, so on average as many molecules move left as right, up as down.
Assumption 3 — collisions are elastic and brief. When two molecules collide, or when a molecule hits the wall of the container, the collision is perfectly elastic: total kinetic energy is conserved, no energy is lost as heat or sound. Collisions also last for a negligibly short time compared with the time a molecule spends flying freely between collisions. Between two collisions a molecule feels no force at all — it just coasts.
Assumption 4 — no forces except during collisions. Molecules exert no attraction or repulsion on each other while they are flying apart. They only notice each other in the instant of impact. This is the assumption that makes a gas “ideal”. Real gases break it slightly — molecules do attract each other weakly — and that is exactly why real gases behave a little differently from ideal ones at low temperature and high pressure, when molecules are close together and slow.
From these four assumptions, everything else follows. Pressure turns out to be nothing but molecules hammering on the walls. Temperature turns out to be nothing but the average kinetic energy of the molecules. And the ideal gas law, PV = NkT, drops out as a piece of bookkeeping. Whenever a result in this chapter surprises you, come back to these assumptions and ask which one is doing the work — that habit alone will carry you through most numerical problems.
گیسوں کا حرکی نظریہ یہ خیال ہے کہ گیس جو کچھ بھی کرتی ہے — اس کا دباؤ، اس کا درجہ حرارت، حتیٰ کہ اس کا بہاؤ — اسے مالیکیولز کے مسلسل بے ترتیب حرکت کرتے ہجوم سے سمجھایا جا سکتا ہے۔ یہ طبیعیات کی کامیاب ترین سادہ سازیوں میں سے ایک ہے، کیونکہ یہ چند واضح مفروضوں سے شروع ہوتی ہے اور ان ہی گیس قوانین پر ختم ہوتی ہے جو آپ پہلے سے جانتے ہیں۔ ان مفروضوں کو آہستہ آہستہ سمجھیں، کیونکہ اس باب کا ہر فارمولا انہی میں سے کسی ایک کا احتیاط سے نکالا ہوا نتیجہ ہے۔
مفروضہ 1 — بہت زیادہ تعداد میں چھوٹے ذرات، دور دور۔ گیس بہت بڑی تعداد میں چھوٹے، سخت، کروی ذرات (مالیکیولز) پر مشتمل ہوتی ہے، اور ان کے درمیان فاصلے ان کی اپنی جسامت کے مقابلے میں بہت زیادہ ہوتے ہیں۔ عام دباؤ پر ایک عام گیس میں مالیکیول کی اپنی جسامت پڑوسی تک اوسط فاصلے سے تقریباً ہزار گنا چھوٹی ہوتی ہے۔ اسی لیے عام طور پر ہم مالیکیولز کی جسامت کو بھول کر انہیں نقطے سمجھ سکتے ہیں۔
مفروضہ 2 — مسلسل، بے ترتیب، تیز حرکت۔ مالیکیولز کبھی آرام نہیں کرتے۔ وہ کمرے کے درجہ حرارت پر سینکڑوں میٹر فی سیکنڈ کی رفتار سے ہر ممکن سمت میں سیدھی لکیروں میں اڑتے ہیں، جب تک کوئی چیز راستے میں نہ آ جائے۔ کوئی پسندیدہ سمت نہیں: حرکت مکمل بے ترتیب ہے، اس لیے اوسطاً جتنے مالیکیول بائیں جاتے ہیں اتنے ہی دائیں، جتنے اوپر اتنے ہی نیچے۔
مفروضہ 3 — ٹکراؤ لچکدار اور مختصر۔ جب دو مالیکیول ٹکراتے ہیں، یا کوئی مالیکیول برتن کی دیوار سے ٹکراتا ہے، تو ٹکراؤ مکمل لچکدار ہوتا ہے: کل حرکی توانائی محفوظ رہتی ہے، حرارت یا آواز کی صورت میں کوئی توانائی ضائع نہیں ہوتی۔ ٹکراؤ کا وقت بھی اس وقت کے مقابلے میں نہ ہونے کے برابر ہوتا ہے جو مالیکیول دو ٹکراؤ کے درمیان آزاد اڑان میں گزارتا ہے۔ دو ٹکراؤ کے درمیان مالیکیول پر کوئی قوت نہیں لگتی — وہ بس سیدھا چلتا ہے۔
مفروضہ 4 — ٹکراؤ کے علاوہ کوئی قوت نہیں۔ مالیکیولز اڑتے ہوئے ایک دوسرے پر کوئی کشش یا دفع نہیں لگاتے۔ وہ صرف ٹکراؤ کے لمحے میں ایک دوسرے کو محسوس کرتے ہیں۔ یہی مفروضہ گیس کو “آئیڈیل” بناتا ہے۔ حقیقی گیسیں اسے تھوڑا توڑتی ہیں — مالیکیولز ایک دوسرے کو ہلکی کشش سے کھینچتے ہیں — اور یہی وجہ ہے کہ کم درجہ حرارت اور زیادہ دباؤ پر، جب مالیکیولز قریب اور سست ہوتے ہیں، حقیقی گیسیں آئیڈیل گیس سے تھوڑا مختلف سلوک کرتی ہیں۔
ان چار مفروضوں سے باقی سب کچھ نکلتا ہے۔ دباؤ دیواروں پر مالیکیولز کی مسلسل بمباری کے سوا کچھ نہیں۔ درجہ حرارت مالیکیولز کی اوسط حرکی توانائی کے سوا کچھ نہیں۔ اور آئیڈیل گیس کا قانون PV = NkT ایک حساب کتاب کے طور پر سامنے آ جاتا ہے۔ جب بھی اس باب کا کوئی نتیجہ حیران کرے، ان مفروضوں پر واپس آئیں اور پوچھیں کہ کون سا مفروضہ کام کر رہا ہے — یہ عادت اکیلی ہی زیادہ تر عددی مسائل میں کام آئے گی۔
Here is the most satisfying derivation in the chapter, because it builds a measuring instrument's reading — pressure — out of nothing but bouncing molecules. Follow it one step at a time, and do not rush the step where “one-third” appears: that step is the whole trick.
Step 1 — one molecule, one wall. Picture a cubic box of side L with one molecule of mass m moving with speed v. Watch only the x-direction for a moment: the molecule flies to the right wall with velocity +vx, bounces elastically, and comes back with −vx. Its momentum changes from +mvx to −mvx, so the change in one collision is Δp = 2mvx. By Newton's second law in its impulse form, that change equals the impulse the wall gave the molecule — and by Newton's third law, the molecule gave the wall an equal opposite impulse.
Step 2 — how often does it hit? After bouncing off the right wall, the molecule must cross the box and back — a distance 2L — before it hits the same wall again. At speed vx that takes time 2L/vx. So the number of hits per second on that wall is vx/2L. Multiply hits per second by momentum per hit, and you get the average force that one molecule exerts on the wall: F = (vx/2L) × 2mvx = mvx2/L.
Step 3 — all N molecules, all directions. Real gases have N molecules, all with different velocities. Add up their forces and use the average of vx2 over all molecules, written ⟨vx2⟩. Now the key symmetry: motion is random, so on average the motion is shared equally among the three directions x, y and z. That means ⟨vx2⟩ = ⟨vy2⟩ = ⟨vz2⟩, and since v2 = vx2 + vy2 + vz2, we get ⟨vx2⟩ = ⟨v2⟩/3. This is where the one-third comes from — it is not a fudge, it is just fairness between three equal directions.
Step 4 — pressure. Total force on the wall is F = Nm⟨v2⟩/3L, and pressure is force per unit area, P = F/L2 = Nm⟨v2⟩/3L3. Since L3 is the volume V, we arrive at the famous result P = (1/3)ρ⟨v2⟩, where ρ = Nm/V is the density of the gas, and also PV = (1/3)Nm⟨v2⟩. Read the formula in words and it becomes obvious: squeeze the gas (smaller V), or make the molecules faster (bigger ⟨v2⟩), and the pressure must rise — exactly what you feel when you pump a bicycle tyre or heat a sealed tin.
Two common mistakes to avoid. First, ⟨v2⟩ is the mean of the squares, not the square of the mean speed — a molecule moving at 500 m s−1 and one at rest do not average the same way in this formula. Second, pressure comes only from the component of motion perpendicular to the wall; the other two components keep the molecule moving but do not push on that particular wall. Keep those two points straight and the derivation will never confuse you again.
یہ اس باب کی سب سے تسلی بخش اخذ ہے، کیونکہ یہ پیمائشی آلے کی ریڈنگ — دباؤ — کو صرف اچھلتے مالیکیولز سے بنا دیتی ہے۔ اسے ایک ایک قدم کر کے سمجھیں، اور اس قدم پر جلدی نہ کریں جہاں “ایک تہائی” آتا ہے: وہی قدم ساری چال ہے۔
قدم 1 — ایک مالیکیول، ایک دیوار۔ ایک مکعب ڈبہ سوچیں جس کی لمبائی L ہے اور اس میں ماس m کا ایک مالیکیول رفتار v سے حرکت کر رہا ہے۔ ایک لمحے کے لیے صرف x سمت دیکھیں: مالیکیول +vx رفتار سے دائیں دیوار تک جاتا ہے، لچکدار ٹکراؤ سے واپس −vx رفتار سے پلٹتا ہے۔ اس کا مومنٹم +mvx سے −mvx ہو جاتا ہے، تو ایک ٹکراؤ میں تبدیلی Δp = 2mvx ہے۔ نیوٹن کے دوسرے قانون کی امپلس والی صورت سے یہ تبدیلی دیوار کے دیے گئے امپلس کے برابر ہے — اور تیسرے قانون سے مالیکیول نے دیوار کو برابر اور مخالف امپلس دیا۔
قدم 2 — ٹکراؤ کتنی بار؟ دائیں دیوار سے ٹکرا کر مالیکیول کو ڈبہ پار کر کے واپس آنا ہوتا ہے — فاصلہ 2L — اس سے پہلے کہ وہ اسی دیوار سے دوبارہ ٹکرائے۔ رفتار vx سے اس میں وقت 2L/vx لگتا ہے۔ تو اس دیوار پر فی سیکنڈ ٹکراؤ کی تعداد vx/2L ہے۔ فی سیکنڈ ٹکراؤ کو فی ٹکراؤ مومنٹم سے ضرب دیں تو ایک مالیکیول کی دیوار پر اوسط قوت ملتی ہے: F = (vx/2L) × 2mvx = mvx2/L۔
قدم 3 — تمام N مالیکیولز، تمام سمتیں۔ حقیقی گیس میں N مالیکیولز ہوتے ہیں، سب کی رفتاریں مختلف۔ ان کی قوتیں جمع کریں اور vx2 کی تمام مالیکیولز پر اوسط ⟨vx2⟩ استعمال کریں۔ اب اہم ہم آہنگی: حرکت بے ترتیب ہے، اس لیے اوسطاً حرکت تینوں سمتوں x، y اور z میں برابر بٹی ہوتی ہے۔ یعنی ⟨vx2⟩ = ⟨vy2⟩ = ⟨vz2⟩، اور چونکہ v2 = vx2 + vy2 + vz2 ہے، اس لیے ⟨vx2⟩ = ⟨v2⟩/3۔ یہی ایک تہائی ہے — یہ کوئی جگاڑ نہیں، تین برابر سمتوں کے درمیان انصاف ہے۔
قدم 4 — دباؤ۔ دیوار پر کل قوت F = Nm⟨v2⟩/3L ہے، اور دباؤ فی اکائی رقبہ قوت ہے، P = F/L2 = Nm⟨v2⟩/3L3۔ چونکہ L3 حجم V ہے، اس لیے مشہور نتیجہ ملتا ہے: P = (1/3)ρ⟨v2⟩، جہاں ρ = Nm/V گیس کی کثافت ہے، اور PV = (1/3)Nm⟨v2⟩ بھی۔ فارمولے کو لفظوں میں پڑھیں تو بات واضح ہو جاتی ہے: گیس کو دبائیں (چھوٹا V)، یا مالیکیولز کو تیز کریں (بڑا ⟨v2⟩)، تو دباؤ بڑھنا ہی ہے — بالکل ویسا جیسا سائیکل کے ٹائر میں ہوا بھرتے یا بند ڈبہ گرم کرتے وقت محسوس ہوتا ہے۔
دو عام غلطیوں سے بچیں۔ پہلی، ⟨v2⟩ مربعوں کی اوسط ہے، اوسط رفتار کا مربع نہیں — 500 m s−1 سے چلنے والا مالیکیول اور ساکت مالیکیول اس فارمولے میں ایک جیسے اوسط نہیں بناتے۔ دوسری، دباؤ صرف اس دیوار پر حرکت کے اس جزو سے آتا ہے جو دیوار کے عموداً ہے؛ باقی دو اجزا مالیکیول کو چلاتے تو ہیں لیکن اس خاص دیوار کو نہیں دھکیلتے۔ یہ دو باتیں ذہن میں رکھیں تو یہ اخذ دوبارہ کبھی الجھن نہیں دے گی۔
Now comes the payoff. Combine the pressure result from the last section, PV = (1/3)Nm⟨v2⟩, with the ideal gas law you already know, PV = NkT, where k = 1.38 × 10−23 J K−1 is Boltzmann's constant and T is the absolute temperature in kelvin. Set them equal and the N and V cancel, leaving (1/3)m⟨v2⟩ = kT. Multiply by 3/2 and you get the single most important equation in this chapter:
Average translational kinetic energy per molecule = ½m⟨v2⟩ = (3/2)kT.
Stop and feel what this says. Temperature is not some mysterious fluid that flows into things. Temperature is the average kinetic energy of the molecules. Double the absolute temperature and you double the average molecular kinetic energy — it is a direct proportion, with nothing else in the way. And here is the part students find most surprising: at the same temperature, every gas has the same average kinetic energy per molecule, no matter how heavy its molecules are. Oxygen and hydrogen in the same room at the same temperature have exactly the same average molecular kinetic energy. What differs is their speed: since energy is ½mv2, the heavier oxygen molecules must move more slowly to carry the same energy. That is why hydrogen, the lightest gas, is also the fastest — and the first to leak out of a balloon.
From the same equation we get the speeds. The root-mean-square speed is defined as vrms = √(⟨v2⟩) = √(3kT/m) = √(3RT/M) = √(3P/ρ). The name tells you the recipe: square all the speeds, take their mean, then take the square root. We use it (rather than a plain average speed) because it is the speed that belongs in the pressure and energy formulas. It grows with the square root of temperature — heat a gas from 300 K to 1200 K (four times) and vrms only doubles — and it falls with the square root of molecular mass. The mean speed (the plain average of the speeds) is a little smaller: v̅ = √(8kT/πm), about 92% of vrms. The difference is small, but examiners love asking which is bigger and why: vrms weights fast molecules more heavily because it squares their speeds first.
A worked feel for the numbers: at room temperature (about 300 K), air molecules (oxygen and nitrogen) have vrms of roughly 500 m s−1 — faster than a passenger jet — yet the smell of perfume crosses a room slowly, because each molecule collides billions of times a second and zig-zags its way forward. Speed is high, progress is slow: keep that picture, and the difference between molecular speed and diffusion will never confuse you. Also note the warning hidden in the formula: at absolute zero (0 K), the average translational kinetic energy becomes zero. Real molecules still have a tiny quantum zero-point motion, but the classical thermal motion this chapter describes stops — which is exactly why absolute zero is the coldest temperature that can exist.
اب اصل انعام آتا ہے۔ پچھلے حصے کے دباؤ والے نتیجے PV = (1/3)Nm⟨v2⟩ کو آئیڈیل گیس کے قانون PV = NkT سے ملائیں، جہاں k = 1.38 × 10−23 J K−1 بولٹزمین مستقل ہے اور T کیلون میں مطلق درجہ حرارت ہے۔ دونوں کو برابر رکھیں تو N اور V کٹ جاتے ہیں اور (1/3)m⟨v2⟩ = kT رہ جاتا ہے۔ 3/2 سے ضرب دیں تو اس باب کی سب سے اہم مساوات ملتی ہے:
فی مالیکیول اوسط انتقالی حرکی توانائی = ½m⟨v2⟩ = (3/2)kT۔
رک کر سوچیں کہ یہ کیا کہہ رہی ہے۔ درجہ حرارت کوئی پراسرار سیال نہیں جو چیزوں میں بہتا ہے۔ درجہ حرارت ہی مالیکیولز کی اوسط حرکی توانائی ہے۔ مطلق درجہ حرارت دوگنا کریں تو مالیکیولز کی اوسط حرکی توانائی دوگنی ہو جاتی ہے — براہ راست تناسب ہے، درمیان میں کچھ نہیں۔ اور یہ وہ بات ہے جو طلبہ کو سب سے زیادہ حیران کرتی ہے: ایک جیسے درجہ حرارت پر ہر گیس کی فی مالیکیول اوسط حرکی توانائی برابر ہوتی ہے، چاہے اس کے مالیکیولز کتنے ہی بھاری ہوں۔ ایک ہی کمرے میں ایک ہی درجہ حرارت پر آکسیجن اور ہائیڈروجن کی فی مالیکیول اوسط حرکی توانائی بالکل برابر ہے۔ فرق صرف رفتار میں ہے: چونکہ توانائی ½mv2 ہے، اس لیے بھاری آکسیجن مالیکیولز کو اتنی ہی توانائی کے لیے آہستہ چلنا پڑتا ہے۔ اسی لیے سب سے ہلکی گیس ہائیڈروجن سب سے تیز بھی ہے — اور غبارے سے سب سے پہلے نکلتی ہے۔
اسی مساوات سے رفتاریں ملتی ہیں۔ روٹ مین اسکوائر رفتار کی تعریف vrms = √(⟨v2⟩) = √(3kT/m) = √(3RT/M) = √(3P/ρ) ہے۔ نام ہی ترکیب بتا دیتا ہے: تمام رفتاروں کا مربع لیں، ان کی اوسط نکالیں، پھر جزر لیں۔ ہم اسے (سادہ اوسط رفتار کی بجائے) اس لیے استعمال کرتے ہیں کیونکہ یہی وہ رفتار ہے جو دباؤ اور توانائی کے فارمولوں میں آتی ہے۔ یہ درجہ حرارت کے جزر کے ساتھ بڑھتی ہے — گیس کو 300 K سے 1200 K (چار گنا) گرم کریں تو vrms صرف دوگنی ہوتی ہے — اور مالیکیولر ماس کے جزر کے ساتھ گھٹتی ہے۔ اوسط رفتار (رفتاروں کی سادہ اوسط) تھوڑی کم ہوتی ہے: v̅ = √(8kT/πm)، تقریباً vrms کا 92 فیصد۔ فرق چھوٹا ہے، لیکن ممتحن یہ پوچھنا پسند کرتے ہیں کہ کون سی بڑی ہے اور کیوں: vrms تیز مالیکیولز کو زیادہ وزن دیتی ہے کیونکہ پہلے ان کی رفتاروں کا مربع لیتی ہے۔
اعداد کا ایک عملی اندازہ: کمرے کے درجہ حرارت (تقریباً 300 K) پر ہوا کے مالیکیولز (آکسیجن اور نائٹروجن) کی vrms تقریباً 500 m s−1 ہوتی ہے — مسافر جہاز سے بھی تیز — پھر بھی عطر کی خوشبو کمرے میں آہستہ پھیلتی ہے، کیونکہ ہر مالیکیول ہر سیکنڈ اربوں بار ٹکراتا ہے اور ٹیڑھی میڑھی راہ سے آگے بڑھتا ہے۔ رفتار زیادہ ہے، پیش قدمی سست: یہ تصویر ذہن میں رکھیں تو مالیکیولر رفتار اور پھیلاؤ کا فرق کبھی الجھن نہیں دے گا۔ فارمولے میں چھپی وارننگ بھی نوٹ کریں: مطلق صفر (0 K) پر اوسط انتقالی حرکی توانائی صفر ہو جاتی ہے۔ حقیقی مالیکیولز میں کوانٹم صفر نکاتی حرکت باقی رہتی ہے، لیکن اس باب کی بیان کردہ کلاسیکی حرارتی حرکت رک جاتی ہے — یہی وجہ ہے کہ مطلق صفر سرد ترین ممکنہ درجہ حرارت ہے۔
So far we have followed one molecule at a time. Statistical physics changes the question: instead of asking where one particular molecule is going, it asks how the whole crowd shares out its energy. That change of viewpoint — from tracking individuals to counting distributions — is what turned the kinetic theory of gases into the much bigger subject of statistical mechanics, and it is one of the most powerful ideas in physics.
The key result is the Boltzmann distribution. It says that the number of molecules having energy E is proportional to e−E/kT. Read that slowly, because the whole shape of gas behaviour sits inside it. At any temperature, the most molecules have low energies, and fewer and fewer have high energies — the numbers fall off exponentially as energy rises. There is no sharp cut-off: a few molecules always have energies far above the average, and a few have almost none. If you plot the number of molecules against their speed, you get the famous Maxwell–Boltzmann curve: it rises from zero, peaks near the most probable speed, and trails away in a long tail toward high speeds.
Now watch what temperature does to that curve, because this is where the distribution earns its keep. Raise the temperature and two things happen at once: the peak moves to higher speeds (molecules are faster on average, as (3/2)kT promises) and the curve flattens and spreads out (a bigger fraction of molecules now reaches high energies). That spreading explains things the simple average never could. Why does water evaporate even below boiling point? Because the Boltzmann tail always contains some surface molecules fast enough to escape, and warming the water fattens that tail. Why do chemical reactions speed up so sharply with temperature? Because only molecules above some threshold energy can react, and warming the gas multiplies the number in the tail far faster than it raises the average.
The distribution also explains where the ideal-gas model stops working. The ideal model treats molecules as points that never attract each other. Statistical physics keeps that model as its starting point and then adds corrections: when a gas is cold and dense, molecules spend more time close together, attractions matter, and the Boltzmann counting has to include the energy of those attractions. That corrected counting is what describes non-ideal gases — and, pushed further, liquids, and even the behaviour of stars, where gravity joins the balance. So the Boltzmann distribution is not just a formula to memorise for one question; it is the bridge from this chapter to almost everything that comes after it in thermal physics.
اب تک ہم نے ایک وقت میں ایک مالیکیول کا پیچھا کیا ہے۔ شماریاتی طبیعیات سوال بدل دیتی ہے: یہ پوچھنے کی بجائے کہ کوئی خاص مالیکیول کدھر جا رہا ہے، یہ پوچھتی ہے کہ پورا ہجوم اپنی توانائی کیسے بانٹتا ہے۔ نظریے کی یہ تبدیلی — افراد کا پیچھا کرنے سے تقسیم گننے تک — وہی چیز ہے جس نے گیسوں کے حرکی نظریے کو شماریاتی میکینکس کے بہت بڑے مضمون میں بدل دیا، اور یہ طبیعیات کے طاقتور ترین خیالات میں سے ایک ہے۔
اہم نتیجہ بولٹزمین تقسیم ہے۔ یہ کہتی ہے کہ توانائی E رکھنے والے مالیکیولز کی تعداد e−E/kT کے متناسب ہے۔ اسے آہستہ پڑھیں، کیونکہ گیس کے سلوک کی پوری شکل اسی میں چھپی ہے۔ کسی بھی درجہ حرارت پر سب سے زیادہ مالیکیولز کم توانائی رکھتے ہیں، اور زیادہ توانائی والوں کی تعداد کم سے کم ہوتی جاتی ہے — تعداد توانائی بڑھنے کے ساتھ ایکسپونینشل طور پر گھٹتی ہے۔ کوئی تیز حد نہیں: چند مالیکیولز ہمیشہ اوسط سے کہیں زیادہ توانائی رکھتے ہیں، اور چند تقریباً کچھ نہیں۔ اگر مالیکیولز کی تعداد کو ان کی رفتار کے مقابلے میں پلاٹ کریں تو مشہور میکسویل–بولٹزمین وکر ملتا ہے: یہ صفر سے اٹھتا ہے، سب سے زیادہ ممکنہ رفتار کے قریب عروج پر پہنچتا ہے، اور زیادہ رفتاروں کی طرف ایک لمبی دم میں ختم ہوتا ہے۔
اب دیکھیں کہ درجہ حرارت اس وکر کے ساتھ کیا کرتا ہے، کیونکہ یہیں تقسیم اپنی قیمت ثابت کرتی ہے۔ درجہ حرارت بڑھائیں تو دو کام ایک ساتھ ہوتے ہیں: عروج زیادہ رفتاروں کی طرف کھسک جاتا ہے (مالیکیولز اوسطاً تیز ہوتے ہیں، جیسا کہ (3/2)kT وعدہ کرتا ہے) اور وکر چپٹا ہو کر پھیل جاتا ہے (مالیکیولز کا بڑا حصہ اب زیادہ توانائی تک پہنچ جاتا ہے)۔ یہ پھیلاؤ ان باتوں کی وضاحت کرتا ہے جو سادہ اوسط کبھی نہیں کر سکتی۔ نقطہ جوش سے نیچے بھی پانی کیوں بخارات بنتا ہے؟ کیونکہ بولٹزمین دم میں ہمیشہ کچھ سطحی مالیکیولز اتنے تیز ہوتے ہیں کہ نکل سکیں، اور پانی گرم کرنے سے یہ دم موٹی ہو جاتی ہے۔ کیمیائی تعامل درجہ حرارت کے ساتھ اتنی تیزی سے کیوں تیز ہوتے ہیں؟ کیونکہ صرف کسی حد توانائی سے اوپر والے مالیکیولز ہی تعامل کر سکتے ہیں، اور گیس گرم کرنے سے دم میں تعداد اوسط بڑھنے سے کہیں زیادہ تیزی سے بڑھتی ہے۔
تقسیم یہ بھی بتاتی ہے کہ آئیڈیل گیس کا ماڈل کہاں رک جاتا ہے۔ آئیڈیل ماڈل مالیکیولز کو ایسے نقطے سمجھتا ہے جو کبھی ایک دوسرے کو کھینچتے نہیں۔ شماریاتی طبیعیات اسی ماڈل کو نقطہ آغاز رکھتی ہے اور پھر تصحیحیں شامل کرتی ہے: جب گیس ٹھنڈی اور گھنی ہو تو مالیکیولز زیادہ وقت قریب گزارتے ہیں، کشش اہم ہو جاتی ہے، اور بولٹزمین گنتی میں ان کششوں کی توانائی بھی شامل کرنی پڑتی ہے۔ یہی درست شدہ گنتی غیر آئیڈیل گیسوں کو بیان کرتی ہے — اور آگے بڑھ کر مائعات کو، حتیٰ کہ ستاروں کے سلوک کو بھی، جہاں کشش ثقل توازن میں شامل ہو جاتی ہے۔ تو بولٹزمین تقسیم صرف ایک سوال کے لیے یاد کرنے کا فارمولا نہیں؛ یہ اس باب سے تھرمل فزکس میں آگے آنے والی تقریباً ہر چیز تک کا پل ہے۔
It may seem like a jump from gas in a box to a star, but a star is a gas in a box — the box is just made of gravity. Everything in this chapter now pays off on the largest scale imaginable, and the story is driven by a single tug-of-war.
The balance: hydrostatic equilibrium. A star is a giant ball of hot gas. Its own gravity pulls every part of it inward, trying to crush it. What stops the crush is the internal pressure of the hot gas (and of radiation) pushing outward. When the two are exactly equal at every depth, the star is stable — this state is called hydrostatic equilibrium, and it is the answer to the book's MCQ 13.7, which asks which equation guarantees a star's stability against gravitational collapse. Inside the Sun, for example, the outward pressure at the centre is enormous, but so is the weight of all the gas above it, and the two match.
What tips the balance? A star shines because nuclear fusion in its core turns hydrogen into helium and releases energy, and that energy keeps the gas hot and its pressure high. As the hydrogen fuel runs low, the core cools and contracts a little, and the outer layers respond. If internal pressure wins, the star expands — it can swell into a red giant, hundreds of times wider than before, cool and red at its surface. If gravity wins, the star contracts and its core temperature rises (the book's MCQ 13.8) — compression heats the core, which may ignite the next round of fusion. The star's life is a series of these adjustments, each one a new, temporary balance.
The ending depends on mass — this is the part to memorise. A star like our Sun, after its red-giant phase, sheds its outer layers gently and leaves behind a dense, cooling core: a white dwarf, about the size of the Earth but with the mass of a star. A heavier star ends more violently: its core collapses in a supernova explosion, and what remains is a neutron star — matter crushed so tightly that protons and electrons merge into neutrons, and a teaspoon of it would weigh billions of tonnes. In a neutron star, ordinary gas pressure has failed; what holds up the collapse is the quantum pressure of the neutrons themselves. And for the heaviest stars of all, even that fails: gravity wins completely, and the core collapses into a black hole, where gravity is so strong that not even light escapes.
One worked example from the book ties the numbers to the story. Example 13.3 takes a star of mass 2 × 1030 kg and radius 7 × 108 m and compares its gravitational pressure with an internal pressure of 1.0 × 1014 Pa: the two come out in the same range, which is exactly what hydrostatic equilibrium demands — a star is not an accident, it is a balance, and the whole of stellar evolution is the story of that balance shifting, breaking, and re-forming until the fuel runs out for good.
ڈبے میں گیس سے ستارے تک چھلانگ عجیب لگ سکتی ہے، لیکن ستارہ ہی ڈبے میں گیس ہے — بس ڈبہ کشش ثقل سے بنا ہے۔ اس باب کی ہر چیز اب سب سے بڑے پیمانے پر کام آتی ہے، اور کہانی ایک ہی رسہ کشی سے چلتی ہے۔
توازن: ہائیڈروسٹیٹک توازن۔ ستارہ گرم گیس کا ایک دیوہیکل گولا ہے۔ اس کی اپنی کشش ثقل اس کے ہر حصے کو اندر کی طرف کھینچتی ہے، اسے کچلنے کی کوشش کرتی ہے۔ اس کچلاؤ کو روکنے والی چیز گرم گیس (اور تابکاری) کا اندرونی دباؤ ہے جو باہر کی طرف دھکیلتا ہے۔ جب ہر گہرائی پر دونوں بالکل برابر ہوں تو ستارہ مستحکم ہوتا ہے — یہ حالت ہائیڈروسٹیٹک توازن کہلاتی ہے، اور یہ کتاب کے ایم سی کیو 13.7 کا جواب ہے جو پوچھتا ہے کہ کون سی مساوات ستارے کو کشش ثقل کے انہدام سے مستحکم رکھتی ہے۔ مثلاً سورج کے مرکز میں باہر کی طرف دباؤ بہت زیادہ ہے، لیکن اس کے اوپر گیس کا وزن بھی اتنا ہی ہے، اور دونوں برابر ہیں۔
توازن کس سے بگڑتا ہے؟ ستارہ اس لیے چمکتا ہے کہ اس کے مرکز میں نیوکلیائی فیوژن ہائیڈروجن کو ہیلیم میں بدلتا ہے اور توانائی خارج کرتا ہے، اور یہ توانائی گیس کو گرم اور اس کا دباؤ بلند رکھتی ہے۔ جب ہائیڈروجن ایندھن کم ہونے لگے تو مرکز ٹھنڈا ہو کر تھوڑا سکڑتا ہے، اور بیرونی تہیں جواب دیتی ہیں۔ اگر اندرونی دباؤ جیت جائے تو ستارہ پھیل جاتا ہے — وہ سرخ دیو بن سکتا ہے، پہلے سے سینکڑوں گنا چوڑا، سطح پر ٹھنڈا اور سرخ۔ اگر کشش ثقل جیت جائے تو ستارہ سکڑتا ہے اور اس کے مرکز کا درجہ حرارت بڑھ جاتا ہے (کتاب کا ایم سی کیو 13.8) — سکڑاؤ مرکز کو گرم کرتا ہے، جس سے فیوژن کا اگلا دور شروع ہو سکتا ہے۔ ستارے کی زندگی ان ایڈجسٹمنٹوں کا سلسلہ ہے، ہر ایک نیا عارضی توازن۔
انجام ماس پر منحصر ہے — یہ وہ حصہ ہے جو یاد رکھنا ہے۔ ہمارے سورج جیسا ستارہ، سرخ دیو کے مرحلے کے بعد، اپنی بیرونی تہیں آہستہ سے جھاڑ دیتا ہے اور پیچھے ایک گھنا، ٹھنڈا ہوتا مرکز چھوڑتا ہے: سفید بونا، جسامت میں زمین جتنا لیکن ماس میں ستارے جتنا۔ بھاری ستارہ زیادہ پرتشدد انجام پاتا ہے: اس کا مرکز سپرنووا دھماکے میں منہدم ہوتا ہے، اور جو بچتا ہے وہ نیوٹران ستارہ ہے — مادہ اتنا کچلا ہوا کہ پروٹان اور الیکٹران مل کر نیوٹران بن جاتے ہیں، اور اس کا ایک چمچ اربوں ٹن وزنی ہو گا۔ نیوٹران ستارے میں عام گیس کا دباؤ ناکام ہو چکا ہوتا ہے؛ انہدام کو نیوٹرانز کا کوانٹم دباؤ روکتا ہے۔ اور سب سے بھاری ستاروں کے لیے وہ بھی ناکام ہو جاتا ہے: کشش ثقل مکمل جیت جاتی ہے، اور مرکز بلیک ہول میں منہدم ہو جاتا ہے، جہاں کشش ثقل اتنی طاقتور ہے کہ روشنی بھی نہیں نکل سکتی۔
کتاب کی ایک حل شدہ مثال اعداد کو کہانی سے جوڑتی ہے۔ مثال 13.3 میں 2 × 1030 کلوگرام ماس اور 7 × 108 میٹر رداس والے ستارے کا کشش ثقل والا دباؤ 1.0 × 1014 Pa اندرونی دباؤ سے موازنہ کیا گیا ہے: دونوں ایک ہی حد میں آتے ہیں، جو ہائیڈروسٹیٹک توازن کا تقاضا ہے — ستارہ کوئی اتفاق نہیں، ایک توازن ہے، اور ستاروں کے ارتقاء کی پوری کہانی اس توازن کے کھسکنے، ٹوٹنے اور دوبارہ بننے کی کہانی ہے، جب تک ایندھن ہمیشہ کے لیے ختم نہ ہو جائے۔
The book's exercise (printed pages 12–14) has five parts: Multiple Choice Questions (8), Short Answer Questions (8), Constructed Response Questions (5), Comprehensive Questions (6) and Numerical Problems (6) — 33 questions in total, every one answered below with full working. Where the book's own answer needs a comment, the flag is printed with the answer, not hidden.
13.1 Which condition is necessary for most gases to behave nearly ideally?
Answer: (b) — At high temperature and low pressure molecules are far apart, so intermolecular forces are negligible and the gas follows the ideal gas law. 1۔ زیادہ تر گیسوں کے تقریباً آئیڈیل رویے کے لیے کون سی شرط ضروری ہے؟(a) کم درجہ حرارت اور کم دباؤ(b) زیادہ درجہ حرارت اور کم دباؤ(c) مستقل درجہ حرارت اور کم دباؤ(d) زیادہ درجہ حرارت اور مستقل دباؤ جواب: (b) زیادہ درجہ حرارت اور کم دباؤ پر مالیکیولز دور دور ہوتے ہیں، اس لیے بین مالیکیولر قوتیں نہ ہونے کے برابر ہوتی ہیں اور گیس آئیڈیل گیس قانون کی پیروی کرتی ہے۔
13.2 vrms of a gas molecule is 300 m s−1. If its absolute temperature is reduced to half and molecular weight is doubled, then vrms will become:
Answer: (b) — v_rms ∝ √(T/M). New value = 300 × √(½ ÷ 2) = 300 × ½ = 150 m s⁻¹. 2۔ گیس کے مالیکیول کی vrms برابر 300 m s−1 ہے۔ اگر اس کا مطلق درجہ حرارت آدھا اور مالیکیولر وزن دوگنا کر دیا جائے تو vrms ہو جائے گی:(a) 75 m s−1(b) 150 m s−1(c) 300 m s−1(d) 600 m s−1 جواب: (b) v_rms ∝ √(T/M)۔ نئی قیمت = 300 × √(½ ÷ 2) = 300 × ½ = 150 m s⁻¹۔
13.3 The rms speed of a gas at 27 °C is v. If the temperature is raised to 327 °C, the rms speed becomes:
Answer: (b) — 27 °C = 300 K and 327 °C = 600 K. v_rms ∝ √T, so the new speed = v × √(600/300) = √2 v. 3۔ 27 °C پر گیس کی rms رفتار v ہے۔ اگر درجہ حرارت 327 °C تک بڑھا دیا جائے تو rms رفتار ہو جائے گی:(a) v/√2(b) √2 v(c) 2v(d) 3v جواب: (b) 27 °C = 300 K اور 327 °C = 600 K۔ v_rms ∝ √T، اس لیے نئی رفتار = v × √(600/300) = √2 v۔
13.4 Ratio of the rms velocities of O2 and H2 at equal temperature will be:
Answer: (b) — v_rms ∝ 1/√M. M(O₂)=32, M(H₂)=2, so ratio = √(2/32) = 1/4, i.e. 1:4. 4۔ برابر درجہ حرارت پر O2 اور H2 کی rms رفتاروں کا تناسب ہو گا:(a) 1:1(b) 1:4(c) 2:1(d) 4:1 جواب: (b) v_rms ∝ 1/√M۔ M(O₂)=32، M(H₂)=2، اس لیے تناسب = √(2/32) = 1/4، یعنی 1:4۔
13.5 In a closed room, a gas has pressure 3.2 × 105 N m−2 and density 6 kg m−3. What is the effective (rms) speed of each gas particle?
Answer: (a) — v_rms = √(3P/ρ) = √(3 × 3.2 × 10⁵ / 6) = √(1.6 × 10⁵) = 400 m s⁻¹. 5۔ ایک بند کمرے میں گیس کا دباؤ 3.2 × 105 N m−2 اور کثافت 6 kg m−3 ہے۔ گیس کے ہر ذرے کی مؤثر (rms) رفتار کیا ہے؟(a) 400 m s−1(b) 300 m s−1(c) 250 m s−1(d) 330 m s−1 جواب: (a) v_rms = √(3P/ρ) = √(3 × 3.2 × 10⁵ / 6) = √(1.6 × 10⁵) = 400 m s⁻¹۔
13.6 Which statement is NOT a statement of the kinetic theory of gases?
Answer: (d) — Kinetic theory requires perfectly ELASTIC collisions; "inelastic collisions" contradicts the theory. The other three are true statements. 6۔ کون سا بیان گیسوں کے حرکی نظریے کا بیان نہیں ہے؟(a) مالیکیولز ٹکراؤ کے دوران ایک دوسرے پر اثر انداز ہوتے ہیں(b) مالیکیولز مسلسل بے ترتیب حرکت میں ہوتے ہیں(c) ٹکراؤ بہت کم وقت کے ہوتے ہیں(d) مالیکیولز چھوٹے سخت گولے ہیں جو غیر لچکدار ٹکراؤ کرتے ہیں جواب: (d) حرکی نظریہ مکمل طور پر لچکدار (ایلسٹک) ٹکراؤ کا تقاضا کرتا ہے؛ "غیر لچکدار ٹکراؤ" نظریے کے خلاف ہے۔ باقی تینوں درست بیانات ہیں۔
13.7 Which equation ensures that a star remains stable against gravitational collapse?
Answer: (c) — Hydrostatic equilibrium — inward gravity balanced by outward internal pressure — keeps a star stable. 7۔ کون سی مساوات یقینی بناتی ہے کہ ستارہ کشش ثقل کے انہدام کے خلاف مستحکم رہے؟(a) ماس تسلسل کی مساوات(b) توانائی کشش ثقل کی مساوات(c) ہائیڈروسٹیٹک توازن کی مساوات(d) توانائی ترسیل کی مساوات جواب: (c) ہائیڈروسٹیٹک توازن — اندر کی طرف کشش ثقل اور باہر کی طرف اندرونی دباؤ کا توازن — ستارے کو مستحکم رکھتا ہے۔
13.8 What happens to a star when its gravitational pressure becomes greater than its internal pressure?
Answer: (b) — When gravity wins, the star contracts; compression heats the core, so core temperature rises. 8۔ جب ستارے کا کشش ثقل کا دباؤ اس کے اندرونی دباؤ سے زیادہ ہو جائے تو کیا ہوتا ہے؟(a) ستارہ پھیلتا ہے اور سرخ دیو بن جاتا ہے(b) ستارہ سکڑتا ہے اور اس کے مرکز کا درجہ حرارت بڑھ جاتا ہے(c) ستارہ بغیر کسی تبدیلی کے مستحکم رہتا ہے(d) نیوکلیائی فیوژن فوراً رک جاتا ہے جواب: (b) جب کشش ثقل جیت جاتی ہے تو ستارہ سکڑتا ہے؛ سکڑاؤ مرکز کو گرم کرتا ہے، اس لیے مرکز کا درجہ حرارت بڑھ جاتا ہے۔
Yes. Average translational K.E. per molecule = (3/2)kT depends only on temperature, not on the gas. Example: at room temperature, O₂ and N₂ molecules in air have the same average kinetic energy, though N₂ moves faster because it is lighter. 1۔ کیا ایک جیسے درجہ حرارت پر تمام گیسوں کی حرکی توانائی برابر ہوتی ہے؟ اگر ہاں تو مثال دیں۔ جی ہاں۔ فی مالیکیول اوسط انتقالی حرکی توانائی = (3/2)kT صرف درجہ حرارت پر منحصر ہے، گیس پر نہیں۔ مثال: کمرے کے درجہ حرارت پر ہوا میں O₂ اور N₂ مالیکیولز کی اوسط حرکی توانائی برابر ہے، اگرچہ N₂ ہلکا ہونے کی وجہ سے تیز حرکت کرتا ہے۔
Yes. In thermal equilibrium the mixture has one temperature, and mean K.E. per molecule = (3/2)kT depends only on T. Both gases share the same mean kinetic energy; their rms speeds differ because their masses differ. 2۔ ایک برتن میں دو مختلف گیسوں کا آمیزہ ہے۔ کیا دونوں گیسوں کی فی مالیکیول اوسط حرکی توانائی برابر ہو گی؟ مختصر وضاحت کریں۔ جی ہاں۔ حرارتی توازن میں آمیزے کا ایک ہی درجہ حرارت ہوتا ہے، اور فی مالیکیول اوسط حرکی توانائی = (3/2)kT صرف T پر منحصر ہے۔ دونوں گیسوں کی اوسط حرکی توانائی برابر ہو گی؛ ان کی rms رفتاریں ماس مختلف ہونے کی وجہ سے مختلف ہوں گی۔
Pressure doubles. From P = ⅓ρ⟨v²⟩, at constant ⟨v²⟩ (constant temperature), P ∝ ρ. Doubling the density doubles the number of collisions per second on the walls, so pressure doubles. 3۔ اگر گیس کی کثافت دوگنی کر دی جائے اور باقی تمام عوامل وہی رہیں تو گیس کے دباؤ پر کیا اثر ہو گا؟ دباؤ دوگنا ہو جائے گا۔ P = ⅓ρ⟨v²⟩ سے، مستقل ⟨v²⟩ (مستقل درجہ حرارت) پر P ∝ ρ۔ کثافت دوگنی ہونے سے دیواروں پر فی سیکنڈ ٹکراؤ کی تعداد دوگنی ہو جاتی ہے، اس لیے دباؤ دوگنا ہو جاتا ہے۔
Pressure increases. Heating raises the average kinetic energy and rms speed of the molecules, so they hit the walls harder and more often, increasing the pressure. 4۔ برتن میں بند گیس کو گرم کیا جاتا ہے۔ گیس کے مالیکیولز کے دباؤ پر کیا اثر ہو گا؟ دباؤ بڑھ جائے گا۔ گرم کرنے سے مالیکیولز کی اوسط حرکی توانائی اور rms رفتار بڑھ جاتی ہے، اس لیے وہ دیواروں سے زیادہ زور سے اور زیادہ بار ٹکراتے ہیں، جس سے دباؤ بڑھ جاتا ہے۔
No effect. v_rms = √(3kT/m) depends only on temperature and molecular mass, not on the number of molecules. Doubling N doubles the pressure, but not the rms speed. 5۔ برتن میں گیس کے مالیکیولز کی تعداد دوگنی کر دی جائے تو rms رفتار پر کیا اثر ہو گا؟ کوئی اثر نہیں۔ v_rms = √(3kT/m) صرف درجہ حرارت اور مالیکیولر ماس پر منحصر ہے، مالیکیولز کی تعداد پر نہیں۔ N دوگنا ہونے سے دباؤ دوگنا ہو گا، لیکن rms رفتار نہیں۔
From PV = NkT, if V and P are both constant, T is fixed (T = PV/Nk). Raising T requires changing P or V (or N). Temperature is tied to pressure and volume by the gas law, so it cannot change alone. 6۔ مختصر وضاحت کریں کہ حجم اور دباؤ مستقل رکھتے ہوئے گیس کا درجہ حرارت بڑھانا کیوں ممکن نہیں؟ PV = NkT سے، اگر V اور P دونوں مستقل ہوں تو T بھی مقرر ہے (T = PV/Nk)۔ T بڑھانے کے لیے P یا V (یا N) بدلنا ضروری ہے۔ درجہ حرارت گیس کے قانون سے دباؤ اور حجم سے جڑا ہوا ہے، اس لیے اکیلا نہیں بدل سکتا۔
At constant temperature the molecular speed is unchanged, but a smaller volume means more molecules per unit volume, so molecules hit the walls more often per second. More collisions per second mean greater pressure (Boyle's law). 7۔ مستقل درجہ حرارت پر گیس کا حجم کم کرنے سے اس کا دباؤ بڑھ جاتا ہے۔ حرکی نظریے کی بنیاد پر مختصر وضاحت کریں۔ مستقل درجہ حرارت پر مالیکیولر رفتار وہی رہتی ہے، لیکن چھوٹے حجم کا مطلب ہے فی اکائی حجم میں زیادہ مالیکیولز، اس لیے مالیکیولز فی سیکنڈ دیواروں سے زیادہ بار ٹکراتے ہیں۔ فی سیکنڈ زیادہ ٹکراؤ کا مطلب زیادہ دباؤ ہے (بوائل کا قانون)۔
If internal pressure exceeds gravity, the star expands (e.g. into a red giant). If gravity exceeds internal pressure, the star contracts and heats up. When they are equal (hydrostatic equilibrium), the star is stable. The changing balance drives stellar evolution. 8۔ کشش ثقل کی قوت اور اندرونی دباؤ کا توازن ستارے کے ارتقاء کے دوران اس کے پھیلنے یا سکڑنے کا فیصلہ کیسے کرتا ہے؟ اگر اندرونی دباؤ کشش ثقل سے زیادہ ہو تو ستارہ پھیلتا ہے (مثلاً سرخ دیو بن جاتا ہے)۔ اگر کشش ثقل اندرونی دباؤ سے زیادہ ہو تو ستارہ سکڑتا ہے اور گرم ہوتا ہے۔ جب دونوں برابر ہوں (ہائیڈروسٹیٹک توازن) تو ستارہ مستحکم ہوتا ہے۔ یہ بدلتا ہوا توازن ستاروں کے ارتقاء کو چلاتا ہے۔
Near absolute zero (0 K), the average translational kinetic energy (3/2)kT tends to zero in the classical kinetic model — molecular translational motion effectively stops. In reality, quantum mechanics leaves a small zero-point energy, but classically the kinetic energy is zero at 0 K. 1۔ مطلق صفر کے قریب حرکی توانائی کیا ہو گی؟ وضاحت کریں۔ مطلق صفر (0 K) کے قریب کلاسیکی حرکی ماڈل میں اوسط انتقالی حرکی توانائی (3/2)kT صفر کی طرف جاتی ہے — مالیکیولز کی انتقالی حرکت عملی طور پر رک جاتی ہے۔ حقیقت میں کوانٹم میکانکس ایک چھوٹی زیرو پوائنٹ توانائی چھوڑتا ہے، لیکن کلاسیکی طور پر 0 K پر حرکی توانائی صفر ہوتی ہے۔
Both have the same average translational K.E. because it depends only on temperature: (3/2)kT. At room temperature T ≈ 300 K, K.E. = (3/2)(1.38 × 10⁻²³)(300) ≈ 6.2 × 10⁻²¹ J per molecule, for both O₂ and N₂. 2۔ کمرے کے درجہ حرارت پر کمرے میں آکسیجن اور نائٹروجن مالیکیولز کی اوسط حرکی توانائی کیا ہے؟ دونوں کی اوسط انتقالی حرکی توانائی برابر ہے کیونکہ یہ صرف درجہ حرارت پر منحصر ہے: (3/2)kT۔ کمرے کے درجہ حرارت T ≈ 300 K پر، حرکی توانائی = (3/2)(1.38 × 10⁻²³)(300) ≈ 6.2 × 10⁻²¹ J فی مالیکیول، O₂ اور N₂ دونوں کے لیے۔
(a) From PV = NkT, T ∝ PV. Doubling both P and V gives T × (2 × 2) = 4 times. (b) Halving V and tripling P gives T × (½ × 3) = 1.5 times. 3۔ ایک بند برتن میں گیس پر غور کریں۔ گیس کا درجہ حرارت کس گنا تبدیل ہو گا اگر: (الف) حجم اور دباؤ دونوں دوگنے کر دیے جائیں؟ (ب) حجم آدھا اور دباؤ تین گنا کر دیا جائے؟ (الف) PV = NkT سے، T ∝ PV۔ P اور V دونوں دوگنے کرنے سے T × (2 × 2) = 4 گنا۔ (ب) V آدھا اور P تین گنا کرنے سے T × (½ × 3) = 1.5 گنا۔
Yes. Boiling occurs when the vapour pressure of the liquid equals the external pressure. If the external pressure is reduced enough (e.g. with a vacuum pump), water boils at room temperature because its vapour pressure then equals the lowered surrounding pressure. 4۔ کیا بغیر گرم کیے کمرے کے درجہ حرارت پر پانی کو ابالنا ممکن ہے؟ وضاحت کریں۔ جی ہاں۔ ابلنا اس وقت ہوتا ہے جب مائع کا بخارات کا دباؤ بیرونی دباؤ کے برابر ہو جائے۔ اگر بیرونی دباؤ کافی کم کر دیا جائے (مثلاً ویکیوم پمپ سے) تو پانی کمرے کے درجہ حرارت پر ابلتا ہے کیونکہ اس کے بخارات کا دباؤ کم شدہ ارد گرد کے دباؤ کے برابر ہو جاتا ہے۔
The ink drop spreads slowly through the water by diffusion. Water molecules, in constant random (Brownian) motion, collide with ink particles and push them in all directions, so the ink gradually spreads until it is uniformly distributed. 5۔ وضاحت کریں کہ پانی والے بیکر میں سیاہی کا قطرہ کیسا رویہ اختیار کرے گا۔ سیاہی کا قطرہ ڈیفیوژن سے پانی میں آہستہ آہستہ پھیلتا ہے۔ پانی کے مالیکیولز، جو مسلسل بے ترتیب (براؤنین) حرکت میں ہیں، سیاہی کے ذرات سے ٹکرا کر انہیں ہر سمت میں دھکیلتے ہیں، اس لیے سیاہی آہستہ آہستہ پھیل کر یکساں طور پر تقسیم ہو جاتی ہے۔
One molecule (mass m, speed v) rebounding from a wall changes momentum by 2mv. In time t it makes v·t/2L round trips to a wall of a cube of side L, so the force from one molecule is (2mv)(v/2L) = mv²/L. For N molecules, F = Nm⟨v²⟩/3L (only one-third of the motion is along one axis), and P = F/L² = (1/3)(Nm⟨v²⟩/V) = ⅓ρ⟨v²⟩. 1۔ برتن کی دیواروں پر گیس کے دباؤ کا اظہار اخذ کریں۔ ایک مالیکیول (ماس m، رفتار v) دیوار سے ٹکرا کر واپس آنے پر مومنٹم میں 2mv تبدیلی لاتا ہے۔ t وقت میں وہ L سائیڈ والے مکعب کی دیوار تک v·t/2L چکر لگاتا ہے، اس لیے ایک مالیکیول کی قوت (2mv)(v/2L) = mv²/L ہے۔ N مالیکیولز کے لیے، F = Nm⟨v²⟩/3L (ایک محور کے ساتھ حرکت کا صرف ایک تہائی حصہ)، اور P = F/L² = (1/3)(Nm⟨v²⟩/V) = ⅓ρ⟨v²⟩۔
rms speed: v_rms = √(3kT/m) = √(3RT/M) = √(3P/ρ). Mean speed: ⟨v⟩ = √(8kT/πm) = √(8RT/πM). The mean speed is about 0.92 times the rms speed. 2۔ گیس کے مالیکیول کی rms رفتار اور اوسط رفتار کا اظہار لکھیں۔ rms رفتار: v_rms = √(3kT/m) = √(3RT/M) = √(3P/ρ)۔ اوسط رفتار: ⟨v⟩ = √(8kT/πm) = √(8RT/πM)۔ اوسط رفتار rms رفتار کی تقریباً 0.92 گنا ہوتی ہے۔
Statistical physics counts how a large number of molecules share total energy. The number of molecules with energy E is proportional to e^(−E/kT): high-energy states are exponentially less populated. This explains gas speed distributions, why only a few molecules can escape a liquid (evaporation), and the behaviour of non-ideal gases and stellar gases. 3۔ شماریاتی طبیعیات کی بنیاد پر بولٹزمین تقسیم کے قانون کی وضاحت کریں۔ شماریاتی طبیعیات یہ گنتی ہے کہ بڑی تعداد میں مالیکیولز کل توانائی کو کیسے بانٹتے ہیں۔ توانائی E والے مالیکیولز کی تعداد e^(−E/kT) کے متناسب ہے: زیادہ توانائی والی حالتیں تیزی سے کم آباد ہوتی ہیں۔ یہ گیس کی رفتاروں کی تقسیم، مائع سے صرف چند مالیکیولز کے نکلنے (تبخیر) اور غیر آئیڈیل گیسوں اور ستاروں کی گیسوں کے رویے کی وضاحت کرتا ہے۔
In a neutron star, gravity is enormous and ordinary gas pressure cannot resist it. The star is supported by the degeneracy pressure of neutrons — a quantum-mechanical pressure that arises because neutrons cannot occupy the same state. This pressure balances gravity and stops further collapse, unless the mass is too large, when even neutron pressure fails and a black hole forms. 4۔ نیوٹران ستارے میں دباؤ کا کردار بیان کریں۔ نیوٹران ستارے میں کشش ثقل بہت زیادہ ہوتی ہے اور عام گیس کا دباؤ اس کا مقابلہ نہیں کر سکتا۔ ستارہ نیوٹرانز کے ڈی جنریسی دباؤ سے سہارا لیتا ہے — ایک کوانٹم میکانکی دباؤ جو اس لیے پیدا ہوتا ہے کہ نیوٹرانز ایک ہی حالت میں نہیں رہ سکتے۔ یہ دباؤ کشش ثقل کو متوازن کرتا ہے اور مزید انہدام روکتا ہے، جب تک ماس بہت زیادہ نہ ہو، جب نیوٹران دباؤ بھی ناکام ہو جاتا ہے اور بلیک ہول بن جاتا ہے۔
From kinetic theory, P = ⅓ρ⟨v²⟩ = (1/3)(Nm⟨v²⟩/V), so PV = (1/3)Nm⟨v²⟩. The ideal gas law gives PV = NkT. Equating: (1/3)Nm⟨v²⟩ = NkT, so ½m⟨v²⟩ = (3/2)kT. The left side is the average translational kinetic energy per molecule, and it is directly proportional to T — hence temperature measures average translational K.E. 5۔ ثابت کریں کہ گیس کا درجہ حرارت اس کے مالیکیولز کی اوسط انتقالی حرکی توانائی کی براہ راست پیمائش ہے۔ حرکی نظریے سے، P = ⅓ρ⟨v²⟩ = (1/3)(Nm⟨v²⟩/V)، اس لیے PV = (1/3)Nm⟨v²⟩۔ آئیڈیل گیس کا قانون PV = NkT دیتا ہے۔ برابر رکھنے سے: (1/3)Nm⟨v²⟩ = NkT، اس لیے ½m⟨v²⟩ = (3/2)kT۔ بائیں طرف فی مالیکیول اوسط انتقالی حرکی توانائی ہے، اور یہ T کے براہ راست متناسب ہے — اس لیے درجہ حرارت اوسط انتقالی حرکی توانائی کی پیمائش ہے۔
A star shines while gravity (inward) balances internal pressure from hot gas and radiation (outward) — hydrostatic equilibrium. When nuclear fuel runs out, internal pressure falls and gravity takes over. A low-mass star sheds its outer layers and its core remains as a white dwarf. A more massive star explodes as a supernova and its core collapses to a neutron star, held up by neutron degeneracy pressure. Above a critical mass, no pressure can stop the collapse, and the core becomes a black hole. 6۔ کشش ثقل کے دباؤ اور اندرونی دباؤ کے توازن کے لحاظ سے ستاروں کے ارتقاء کی وضاحت کریں، اور یہ کہ ستارے کا ماس کیسے طے کرتا ہے کہ وہ سفید بونے، نیوٹران ستارے یا بلیک ہول پر ختم ہو گا۔ ستارہ اس وقت تک چمکتا ہے جب تک کشش ثقل (اندر) گرم گیس اور تابکاری کے اندرونی دباؤ (باہر) کو متوازن رکھتی ہے — ہائیڈروسٹیٹک توازن۔ جب نیوکلیائی ایندھن ختم ہو جاتا ہے تو اندرونی دباؤ گر جاتا ہے اور کشش ثقل غالب آ جاتی ہے۔ کم ماس والا ستارہ اپنی بیرونی تہیں پھینک دیتا ہے اور اس کا مرکز سفید بونے کے طور پر رہ جاتا ہے۔ زیادہ ماس والا ستارہ سپرنووا کے طور پر پھٹتا ہے اور اس کا مرکز نیوٹران ستارے میں سکڑ جاتا ہے، جسے نیوٹران ڈی جنریسی دباؤ سہارا دیتا ہے۔ ایک نازک ماس سے زیادہ، کوئی دباؤ انہدام کو نہیں روک سکتا، اور مرکز بلیک ہول بن جاتا ہے۔
v_rms = √(3P/ρ). At STP, P = 1.013 × 10⁵ N m⁻². v_rms = √(3 × 1.013 × 10⁵ / 8.957 × 10⁻²) = √(3.39 × 10⁶) ≈ 1.84 × 10³ m s⁻¹. ✓ matches the book answer. 1۔ STP پر ہائیڈروجن مالیکیولز کی rms رفتار معلوم کریں۔ STP پر ہائیڈروجن کی کثافت: ρ = 8.957 × 10−2 kg m−3۔ (کتاب کا جواب: 1.84 × 103 m s−1) v_rms = √(3P/ρ)۔ STP پر، P = 1.013 × 10⁵ N m⁻²۔ v_rms = √(3 × 1.013 × 10⁵ / 8.957 × 10⁻²) = √(3.39 × 10⁶) ≈ 1.84 × 10³ m s⁻¹۔ ✓ کتاب کے جواب سے مطابقت رکھتا ہے۔
P = ⅓ρv_rms² = (1/3)(1.44)(456.4)² = (1/3)(1.44)(208,301) ≈ 1.0 × 10⁵ N m⁻². ✓ matches the book answer. 2۔ 0 °C پر آکسیجن گیس کا دباؤ معلوم کریں اگر STP پر آکسیجن کی کثافت 1.44 kg m−3 اور rms رفتار 456.4 m s−1 ہے۔ (کتاب کا جواب: 1.0 × 105 N m−2) P = ⅓ρv_rms² = (1/3)(1.44)(456.4)² = (1/3)(1.44)(208,301) ≈ 1.0 × 10⁵ N m⁻²۔ ✓ کتاب کے جواب سے مطابقت رکھتا ہے۔
v_rms ∝ √T, so for 3× speed, T must be 9× the STP temperature: T = 9 × 273 = 2457 K = 2457 − 273 = 2184 °C. ✓ matches the book answer. 3۔ کس درجہ حرارت پر گیس کے مالیکیولز کی rms رفتار STP پر اس کی قیمت سے تین گنا ہو جائے گی؟ (کتاب کا جواب: 2184 °C) v_rms ∝ √T، اس لیے 3 گنا رفتار کے لیے T کو STP درجہ حرارت سے 9 گنا ہونا چاہیے: T = 9 × 273 = 2457 K = 2457 − 273 = 2184 °C۔ ✓ کتاب کے جواب سے مطابقت رکھتا ہے۔
From PV = NkT: N/V = P/kT = (5 × 10⁻¹⁰) / (1.38 × 10⁻²³ × 353) = (5 × 10⁻¹⁰)/(4.87 × 10⁻²¹) ≈ 1.02 × 10¹¹ molecules per m³. ✓ matches the book answer. 4۔ ایک گیس 80 °C درجہ حرارت اور 5 × 10−10 N m−2 دباؤ پر ہے، حجم 1 m3 ہے۔ فی مکعب میٹر مالیکیولز کی تعداد کیا ہے؟ (k = 1.38 × 10−23 J K−1) (کتاب کا جواب: 1.02 × 1011 مالیکیولز) PV = NkT سے: N/V = P/kT = (5 × 10⁻¹⁰) / (1.38 × 10⁻²³ × 353) = (5 × 10⁻¹⁰)/(4.87 × 10⁻²¹) ≈ 1.02 × 10¹¹ مالیکیولز فی m³۔ ✓ کتاب کے جواب سے مطابقت رکھتا ہے۔
v_rms = √(3kT/m) = √(3 × 1.38 × 10⁻²³ × 2.00 × 10⁶ / 9.11 × 10⁻³¹) = √(9.09 × 10¹³) ≈ 9.5 × 10⁶ m s⁻¹. ✓ matches the book answer. 5۔ سورج کی فضا میں درجہ حرارت اور دباؤ بالترتیب 2.00 × 106 K اور 0.0300 Pa ہیں۔ آزاد الیکٹرانز کی rms رفتار معلوم کریں (الیکٹران کا ماس = 9.11 × 10−31 kg)۔ (کتاب کا جواب: 9.5 × 106 m s−1) v_rms = √(3kT/m) = √(3 × 1.38 × 10⁻²³ × 2.00 × 10⁶ / 9.11 × 10⁻³¹) = √(9.09 × 10¹³) ≈ 9.5 × 10⁶ m s⁻¹۔ ✓ کتاب کے جواب سے مطابقت رکھتا ہے۔
The gravitational field strength at the surface is g = GM/r2 = (6.67 × 10−11 × 2.0 × 1030) ÷ (7.0 × 108)2 = 1.334 × 1020 ÷ 4.9 × 1017 = 2.72 × 102 ≈ 2.7 × 102 N kg−1, the book’s answer. The density given in the question is not needed for this formula. ⚠️ Flag: N kg−1 is the unit of field strength (g), not of force (whose unit is newton). A mass m placed there would feel a force F = mg. ایک ستارے کا رداس r کے اندر بند ماس 2.0 × 1030 کلوگرام، کثافت 1500 kg m−3 اور رداس 7.0 × 108 میٹر ہے۔ ستارے کے اندر کشش ثقل کی قوت معلوم کریں۔ (کتاب کا جواب: 2.7 × 102 N kg−1) سطح پر کشش ثقل کی شدت g = GM/r2 سے 2.7 × 102 N kg−1 آتی ہے، جو کتاب کا جواب ہے۔ نوٹ: N kg−1 فیلڈ کی شدت کی اکائی ہے، قوت کی نہیں۔
⚠️ Note on Numerical 13.6: the book asks for “gravitational force” but prints the answer in N kg−1, the unit of gravitational field strength. The working below gives the field strength 2.7 × 102 N kg−1 (the book’s value) and explains the difference. This question was missing from the earlier draft of this chapter and has been added here from the book.
This chapter began with something you can almost see — pollen grains jittering in water — and ended with the life and death of stars. The thread running through it is one idea: big, measurable things (pressure, temperature) are just the summed-up behaviour of countless moving molecules. Brownian motion showed the molecules are real and restless. The kinetic theory's four assumptions (many tiny particles, random rapid motion, elastic brief collisions, no forces between collisions) turned that picture into the pressure formula P = (1/3)ρ⟨v2⟩. Combining it with PV = NkT gave the chapter's central result: average molecular kinetic energy = (3/2)kT, so temperature is average molecular energy, and vrms = √(3kT/m) = √(3P/ρ). The Boltzmann distribution then showed how that energy is shared — most molecules slow, a few fast, the whole curve shifting and spreading as temperature rises. Finally, the same balance of pressure against gravity (hydrostatic equilibrium) explained why stars shine steadily, swell into red giants, and end as white dwarfs, neutron stars or black holes according to their mass.
Topics in this chapter: 13.1 Brownian Motion, 13.2 Kinetic Theory of Gases, 13.3 Pressure of a Gas, 13.4 Average Kinetic Energy and rms Speed, 13.5 Boltzmann Distribution, 13.6 Stellar Evolution, Official Exercise (33 questions).
یہ باب کسی ایسی چیز سے شروع ہوا جو تقریباً دیکھی جا سکتی ہے — پانی میں تھرتھراتے پولن کے ذرات — اور ستاروں کی زندگی اور موت پر ختم ہوا۔ اس میں ایک ہی دھاگہ ہے: بڑی، ناپی جا سکنے والی چیزیں (دباؤ، درجہ حرارت) بے شمار حرکت کرتے مالیکیولز کے مجموعی سلوک کے سوا کچھ نہیں۔ براؤنین حرکت نے دکھایا کہ مالیکیولز حقیقی اور بے چین ہیں۔ حرکی نظریے کے چار مفروضوں (بہت سے چھوٹے ذرات، بے ترتیب تیز حرکت، لچکدار مختصر ٹکراؤ، ٹکراؤ کے درمیان کوئی قوت نہیں) نے اس تصویر کو دباؤ کے فارمولے P = (1/3)ρ⟨v2⟩ میں بدل دیا۔ اسے PV = NkT سے ملانے سے باب کا مرکزی نتیجہ ملا: اوسط مالیکیولر حرکی توانائی = (3/2)kT، تو درجہ حرارت ہی اوسط مالیکیولر توانائی ہے، اور vrms = √(3kT/m) = √(3P/ρ)۔ پھر بولٹزمین تقسیم نے دکھایا کہ یہ توانائی کیسے بٹتی ہے — زیادہ تر مالیکیولز سست، چند تیز، درجہ حرارت بڑھنے سے پورا وکر کھسکتا اور پھیلتا ہے۔ آخر میں دباؤ اور کشش ثقل کا وہی توازن (ہائیڈروسٹیٹک توازن) نے سمجھایا کہ ستارے مستقل کیوں چمکتے ہیں، سرخ دیو کیوں بنتے ہیں، اور ماس کے مطابق سفید بونے، نیوٹران ستارے یا بلیک ہول پر کیوں ختم ہوتے ہیں۔
اس باب کے ٹاپکس: 13.1 براؤنین حرکت، 13.2 گیسوں کا حرکی نظریہ، 13.3 گیس کا دباؤ، 13.4 اوسط حرکی توانائی اور rms رفتار، 13.5 بولٹزمین تقسیم، 13.6 ستاروں کا ارتقاء، سرکاری ایکسرسائز (33 سوالات)۔
Revision guidance / نظرثانی کی رہنمائی: پہلے Brownian motion اور kinetic theory کے 4 assumptions زبانی یاد کرو — پھر pressure کی derivation خود کاغذ پر لکھ کر دیکھو (vx se shuru, 1/3 wale step par ruko). Us ke baad (3/2)kT aur vrms کے تین روپ (kT, RT, P/ρ) ایک ہی line میں لکھ لو; numericals میں اکثر صرف یہ پہچاننا ہوتا ہے کہ کون سا روپ دیا گیا ہے. آخر میں stellar endings کی table بناؤ: Sun جیسا → white dwarf, بھاری → neutron star, سب سے بھاری → black hole. Exercise کے MCQs کو پہلے خود حل کرو, پھر answers سے ملاؤ — خاص توڑ پر 13.2, 13.3 اور 13.5, جو ایک ہی formula کے تین روپ ہیں.
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 2 Physics, Chapter 13 (New Book, Session 2026–27) • English + Urdu