Look around and you will see one kind of motion everywhere: motion that goes back and forth. A swing in a park, a tuning fork humming after it is struck, a rocking chair, the surface of water after a stone drops in, the air vibrating when someone speaks, even the Moon going around the Earth — all of these repeat themselves. Physicists call this oscillatory (or vibratory) motion: motion that repeats around a central mean position, swinging to one side, stopping, and coming back.
But not every back-and-forth motion is the same, and the book draws a sharp line that examiners love to test. The simplest, cleanest kind is simple harmonic motion (S.H.M.). A body executes S.H.M. when two conditions hold together: (1) its acceleration is directly proportional to its displacement from the mean position, and (2) the acceleration is always directed towards the mean position. In symbols, the whole definition is one short equation: a = −ω2x. The minus sign is the whole story — it says the pull is always homeward. Here x is the displacement from the mean position and ω (omega) is the angular frequency, a number that tells you how fast the cycle repeats.
Behind that equation sits a force. Acceleration needs a force, and the force behind S.H.M. is the restoring force, F = −kx, which grows as you pull the body further from the centre and always points back to the centre. Stretch a spring a little and it pulls back a little; stretch it twice as far and it pulls back twice as hard. That proportionality is what makes the motion simple and predictable. Two more conditions keep it clean: the system should be nearly frictionless (otherwise the swings die away, which is the damped motion of the last section), and the restoring force must genuinely obey F = −kx. The book warns explicitly: not all periodic vibrations are S.H.M. A bouncing ball repeats, but its restoring force does not follow −kx, so it is oscillatory but not simple harmonic.
The vocabulary of S.H.M. is small, so learn it exactly. Displacement (x) is the distance from the mean position at any instant. Amplitude (x0) is the maximum displacement — how far the body gets at the extremes before turning back. If the motion starts from the mean position, the displacement follows x = x0 sin(ωt). One full back-and-forth trip is one vibration (or oscillation); the time for one vibration is the time period T = 2π/ω, and the number of vibrations per second is the frequency f = 1/T = ω/2π, measured in hertz (Hz). Keep T and f the right way round — students lose easy marks by swapping them — and remember that amplitude does not appear in T at all for ideal S.H.M.: swing wider and the body moves faster, so each trip still takes the same time.
ارد گرد دیکھیں تو ایک ہی قسم کی حرکت ہر جگہ نظر آتی ہے: آگے پیچھے جانے والی حرکت۔ پارک کا جھولا، چھیڑنے کے بعد گنگناتا ٹیوننگ فورک، جھولنے والی کرسی، پتھر گرنے کے بعد پانی کی سطح، بولتے وقت ہوا کا ارتعاش، حتیٰ کہ زمین کے گرد چاند — یہ سب خود کو دہراتے ہیں۔ طبیعیات دان اسے تذبذبی (وائبریٹری) حرکت کہتے ہیں: وہ حرکت جو مرکزی وسطی مقام کے گرد دہرائی جاتی ہے، ایک طرف جاتی ہے، رکتی ہے اور واپس آتی ہے۔
لیکن ہر آگے پیچھے والی حرکت ایک جیسی نہیں، اور کتاب ایک واضح لکیر کھینچتی ہے جسے ممتحن پوچھنا پسند کرتے ہیں۔ سب سے سادہ، صاف قسم سادہ ہم آہنگ حرکت (S.H.M.) ہے۔ کوئی جسم S.H.M. کرتا ہے جب دو شرطیں اکٹھی پوری ہوں: (1) اس کا اسراع وسطی مقام سے اس کی ہٹاؤ کے براہ راست متناسب ہو، اور (2) اسراع ہمیشہ وسطی مقام کی طرف ہو۔ علامتوں میں پوری تعریف ایک مختصر مساوات ہے: a = −ω2x۔ منفی علامت ہی ساری کہانی ہے — یہ کہتی ہے کہ کھنچاؤ ہمیشہ گھر کی طرف ہے۔ یہاں x وسطی مقام سے ہٹاؤ ہے اور ω (اومیگا) زاویائی تعدد ہے، ایک عدد جو بتاتا ہے کہ چکر کتنی تیزی سے دہرایا جاتا ہے۔
اس مساوات کے پیچھے ایک قوت ہے۔ اسراع کو قوت چاہیے، اور S.H.M. کے پیچھے قوت بحالی قوت ہے، F = −kx، جو جسم کو مرکز سے جتنا دور کھینچیں اتنی ہی بڑھتی ہے اور ہمیشہ مرکز کی طرف ہوتی ہے۔ اسپرنگ کو تھوڑا کھینچیں تو وہ تھوڑا واپس کھینچتی ہے؛ دوگنا دور کھینچیں تو دوگنی قوت سے واپس کھینچتی ہے۔ یہی تناسب حرکت کو سادہ اور قابل پیش گوئی بناتا ہے۔ دو مزید شرطیں اسے صاف رکھتی ہیں: نظام تقریباً رگڑ سے پاک ہو (ورنہ جھولے مر جاتے ہیں، جو آخری حصے کی ڈیمپڈ حرکت ہے)، اور بحالی قوت واقعی F = −kx کی پابند ہو۔ کتاب واضح خبردار کرتی ہے: تمام وقفے دار ارتعاش S.H.M. نہیں ہوتے۔ اچھلتی گیند دہرائی جاتی ہے، لیکن اس کی بحالی قوت −kx کی پابند نہیں، اس لیے وہ تذبذبی تو ہے، سادہ ہم آہنگ نہیں۔
S.H.M. کی اصطلاحات تھوڑی ہیں، اس لیے انہیں ٹھیک سیکھیں۔ ہٹاؤ (x) کسی لمحے وسطی مقام سے فاصلہ ہے۔ ایمپلیٹیوڈ (x0) زیادہ سے زیادہ ہٹاؤ ہے — جسم انتہاؤں پر واپس مڑنے سے پہلے کتنی دور جاتا ہے۔ اگر حرکت وسطی مقام سے شروع ہو تو ہٹاؤ x = x0 sin(ωt) کی پابند ہوتی ہے۔ ایک مکمل آگے پیچھے کا سفر ایک ارتعاش ہے؛ ایک ارتعاش کا وقت وقتی دورانیہ T = 2π/ω ہے، اور فی سیکنڈ ارتعاشوں کی تعداد تعدد f = 1/T = ω/2π ہے، جس کی اکائی ہرٹز (Hz) ہے۔ T اور f کو الٹا نہ سمجھیں — طلبہ اسی سے آسان نمبر گنواتے ہیں — اور یاد رکھیں کہ مثالی S.H.M. میں T میں ایمپلیٹیوڈ آتا ہی نہیں: زیادہ چوڑا جھولیں تو جسم تیز چلتا ہے، اس لیے ہر سفر میں پھر بھی اتنا ہی وقت لگتا ہے۔
The book explains S.H.M. with a trick so good that once you see it, you will never need to memorise the velocity and acceleration formulas again. It is called the reference circle idea, and it goes like this: imagine a particle going around a circle of radius x0 at a steady angular speed ω, like a stone on a string swung in a flat circle. Now shine a light from the side and watch the particle's shadow (projection) on a diameter of the circle — for instance, on the horizontal diameter. The shadow does not go around in circles. It slides back and forth along the diameter, and that sliding is simple harmonic motion.
Why does this work? At any instant the particle makes an angle θ = ωt with the starting line. Its shadow's distance from the centre is the horizontal component of its position: x = x0 cos θ = x0 cos(ωt). Differentiate once (or just take the horizontal component of the particle's velocity) and you get the shadow's velocity: v = −ωx0 sin(ωt). Differentiate again and you get its acceleration: a = −ω2x0 cos(ωt) = −ω2x — exactly the S.H.M. condition from the first section. The circle was not a coincidence: uniform circular motion contains S.H.M. inside it, twice over (once on each diameter).
Now eliminate time between the displacement and velocity formulas and you get the most useful relation in the chapter: v = ω√(x02 − x2). Read it at the two special places. At the mean position (x = 0) the velocity is at its maximum, vmax = ωx0 — the body rushes through the centre. At the extremes (x = ±x0) the velocity is zero — the body pauses for an instant before turning back. Acceleration does exactly the opposite: it is zero at the mean position (no restoring force there, the body is momentarily free) and maximum at the extremes, amax = ω2x0 (the pull home is strongest where the stretch is greatest). If you remember only one picture from this section, remember this: fast at the centre, still at the ends; no push at the centre, hardest push at the ends. That single sentence answers the book's MCQs 14.2 and 14.4 and half the short questions.
One caution: the reference circle is a mathematical helper, not a claim that the oscillating body is actually moving in a circle. A mass on a spring moves in a straight line; its motion merely matches the shadow of circular motion. Students sometimes write in answers that the body “moves in a circle” — do not. Write that the projection of uniform circular motion executes S.H.M., and you will be marked right.
کتاب S.H.M. کی وضاحت ایک ایسی چال سے کرتی ہے کہ ایک بار دیکھ لیں تو رفتار اور اسراع کے فارمولے یاد کرنے کی ضرورت ہی نہیں رہتی۔ اسے ریفرنس سرکل کا خیال کہتے ہیں، اور وہ یوں ہے: ایک ذرہ سوچیں جو x0 رداس والے دائرے پر مستقل زاویائی رفتار ω سے گھوم رہا ہے، جیسے چپٹی دائرے میں گھمائی گئی ڈوری پر پتھر۔ اب ایک طرف سے روشنی ڈالیں اور ذرے کے سائے (پروجیکشن) کو دائرے کے کسی قطر پر دیکھیں — مثلاً افقی قطر پر۔ سایہ دائروں میں نہیں گھومتا۔ وہ قطر پر آگے پیچھے پھسلتا ہے، اور یہ پھسلنا ہی سادہ ہم آہنگ حرکت ہے۔
یہ کیوں کام کرتا ہے؟ کسی لمحے ذرہ شروعاتی لکیر سے θ = ωt زاویہ بناتا ہے۔ اس کے سائے کا مرکز سے فاصلہ اس کی پوزیشن کا افقی جزو ہے: x = x0 cos θ = x0 cos(ωt)۔ ایک بار تفریق کریں (یا ذرے کی رفتار کا افقی جزو لیں) تو سائے کی رفتار ملتی ہے: v = −ωx0 sin(ωt)۔ دوبارہ تفریق کریں تو اسراع ملتا ہے: a = −ω2x0 cos(ωt) = −ω2x — بالکل پہلے حصے کی S.H.M. شرط۔ دائرہ اتفاق نہیں تھا: یکساں دائروی حرکت اپنے اندر S.H.M. رکھتی ہے، دو بار (ہر قطر پر ایک بار)۔
اب ہٹاؤ اور رفتار کے فارمولوں سے وقت ختم کریں تو اس باب کا سب سے کارآمد تعلق ملتا ہے: v = ω√(x02 − x2)۔ اسے دو خاص جگہوں پر پڑھیں۔ وسطی مقام (x = 0) پر رفتار زیادہ سے زیادہ ہے، vmax = ωx0 — جسم مرکز سے تیزی سے گزرتا ہے۔ انتہاؤں (x = ±x0) پر رفتار صفر ہے — جسم واپس مڑنے سے پہلے ایک لمحے کو رکتا ہے۔ اسراع بالکل الٹ کرتا ہے: وسطی مقام پر صفر (وہاں کوئی بحالی قوت نہیں، جسم لمحاتی طور پر آزاد ہے) اور انتہاؤں پر زیادہ سے زیادہ، amax = ω2x0 (گھر کی طرف کھنچاؤ وہاں سب سے زیادہ ہے جہاں کھنچاؤ سب سے زیادہ ہے)۔ اگر اس حصے سے صرف ایک تصویر یاد رکھیں تو یہ رکھیں: مرکز پر تیز، سروں پر ساکت؛ مرکز پر کوئی دھکا نہیں، سروں پر سخت ترین دھکا۔ یہ واحد جملہ کتاب کے ایم سی کیو 14.2 اور 14.4 اور آدھے مختصر سوالات کا جواب ہے۔
ایک احتیاط: ریفرنس سرکل ایک ریاضیاتی مددگار ہے، یہ دعویٰ نہیں کہ ارتعاش کرتا جسم واقعی دائرے میں حرکت کر رہا ہے۔ اسپرنگ پر ماس سیدھی لکیر میں چلتا ہے؛ اس کی حرکت صرف دائروی حرکت کے سائے سے مطابقت رکھتی ہے۔ طلبہ کبھی جوابوں میں لکھ دیتے ہیں کہ جسم “دائرے میں حرکت کرتا ہے” — ایسا نہ لکھیں۔ لکھیں کہ یکساں دائروی حرکت کا پروجیکشن S.H.M. کرتا ہے، تو نمبر ملیں گے۔
If displacement tells you where the body is, phase tells you where it is in its cycle — and that extra piece of information turns out to be essential. The phase is the angle θ = ωt (plus any starting angle, if the motion did not begin at the mean position). It is the same angle the reference particle makes on its circle in the last section, which is why phase is measured in radians or degrees, not in metres.
Walk through one full cycle with phase as your guide. At θ = 0 the body is at the mean position, moving in one direction. At θ = 90° (π/2) it has reached an extreme and momentarily stops. At θ = 180° (π) it is back at the mean position but moving the opposite way. At θ = 270° (3π/2) it is at the other extreme. At θ = 360° (2π) it is home again, exactly where it started, and the next cycle begins. One full cycle is always 360°, or 2π radians — that never changes, whatever the amplitude or the speed.
Phase becomes really useful when two things oscillate together, because then we talk about phase difference: how far ahead or behind one oscillator is in its cycle compared with the other. Two pendulums swinging exactly together have zero phase difference — they are in phase, reaching the extremes at the same instants. Two pendulums moving exactly oppositely have a phase difference of 180° (π radians) — they are in opposite phase, one at the left extreme while the other is at the right. Anything in between is a partial lead or lag, and the book's comprehensive question 14.6 asks exactly this: what phase means physically. The answer is timing and synchronisation: phase is the clock of the oscillation. Two oscillators can have the same amplitude and frequency and still behave completely differently, purely because of their phase — and in the next chapter, that difference decides whether two light waves add up bright or cancel out dark.
A practical tip for problems: if two S.H.M.s are written as x1 = x0 sin(ωt) and x2 = x0 sin(ωt + φ), then φ is their phase difference, straight from the equations. Do not convert to degrees and back unless the question asks; radians are the natural unit here, and ωt already is an angle. Also remember that phase keeps growing past 360° — after two cycles the phase is 4π, not “back to zero” — although the state of motion repeats every 2π.
اگر ہٹاؤ بتاتی ہے کہ جسم کہاں ہے، تو فیز بتاتا ہے کہ وہ اپنے چکر میں کہاں ہے — اور یہ اضافی معلومات بہت ضروری نکلتی ہے۔ فیز وہ زاویہ ہے θ = ωt (اگر حرکت وسطی مقام سے شروع نہ ہوئی ہو تو کوئی شروعاتی زاویہ بھی شامل)۔ یہ وہی زاویہ ہے جو پچھلے حصے میں ریفرنس ذرہ اپنے دائرے پر بناتا ہے، اسی لیے فیز ریڈین یا ڈگری میں ناپا جاتا ہے، میٹر میں نہیں۔
فیز کو رہنما بنا کر ایک مکمل چکر چلیں۔ θ = 0 پر جسم وسطی مقام پر ہے، ایک سمت میں حرکت کر رہا ہے۔ θ = 90° (π/2) پر وہ انتہا پر پہنچ کر لمحاتی طور پر رکتا ہے۔ θ = 180° (π) پر وہ مخالف سمت میں حرکت کرتے ہوئے وسطی مقام پر واپس ہے۔ θ = 270° (3π/2) پر وہ دوسری انتہا پر ہے۔ θ = 360° (2π) پر وہ بالکل وہیں ہے جہاں سے شروع ہوا تھا، اور اگلا چکر شروع ہوتا ہے۔ ایک مکمل چکر ہمیشہ 360°، یا 2π ریڈین ہوتا ہے — چاہے ایمپلیٹیوڈ یا رفتار کچھ بھی ہو، یہ کبھی نہیں بدلتا۔
فیز واقعی اس وقت کارآمد ہوتا ہے جب دو چیزیں اکٹھی ارتعاش کریں، کیونکہ پھر ہم فیز کے فرق کی بات کرتے ہیں: ایک ارتعاش کنندہ اپنے چکر میں دوسرے سے کتنا آگے یا پیچھے ہے۔ بالکل اکٹھے جھولتے دو پینڈولم کا فیز کا فرق صفر ہے — وہ ایک ہی فیز میں ہیں، ایک ہی لمحوں میں انتہاؤں تک پہنچتے ہیں۔ بالکل مخالف حرکت کرتے دو پینڈولم کا فیز کا فرق 180° (π ریڈین) ہے — وہ مخالف فیز میں ہیں، ایک بائیں انتہا پر جبکہ دوسرا دائیں انتہا پر۔ درمیان کی ہر حالت جزوی آگے یا پیچھے ہے، اور کتاب کا جامع سوال 14.6 بالکل یہی پوچھتا ہے: فیز کی طبعی اہمیت کیا ہے۔ جواب وقت اور ہم آہنگی ہے: فیز ارتعاش کی گھڑی ہے۔ دو ارتعاش کنندگان کا ایمپلیٹیوڈ اور تعدد ایک جیسا ہو سکتا ہے اور پھر بھی وہ صرف فیز کی وجہ سے مکمل مختلف سلوک کر سکتے ہیں — اور اگلے باب میں یہی فرق طے کرتا ہے کہ دو روشنی کی لہریں مل کر روشن ہوں گی یا ایک دوسرے کو کاٹ کر تاریک کر دیں گی۔
مسائل کے لیے ایک عملی ٹپ: اگر دو S.H.M. یوں لکھی ہوں x1 = x0 sin(ωt) اور x2 = x0 sin(ωt + φ)، تو φ ان کا فیز کا فرق ہے، سیدھا مساواتوں سے۔ جب تک سوال نہ پوچھے ڈگری میں تبدیل کر کے واپس نہ آئیں؛ ریڈین یہاں قدرتی اکائی ہے، اور ωt پہلے سے ہی ایک زاویہ ہے۔ یہ بھی یاد رکھیں کہ فیز 360° سے آگے بھی بڑھتا رہتا ہے — دو چکروں کے بعد فیز 4π ہوتا ہے، “واپس صفر” نہیں — حالانکہ حرکت کی حالت ہر 2π پر دہرائی جاتی ہے۔
Two systems carry almost every S.H.M. question in the book, so learn them side by side and keep their formulas apart. They look similar, but they depend on different things — and examiners test exactly that difference.
The mass–spring system. Hang a mass m from a spring (or slide it on a frictionless table attached to a spring) with spring constant k. Pull it aside and let go: the spring's restoring force F = −kx drives it in S.H.M. The time period is T = 2π√(m/k) and the frequency is f = (1/2π)√(k/m). Read the dependencies in plain words: a heavier mass makes the period longer (more inertia to turn around), and a stiffer spring makes the period shorter (a harder pull home). Double the mass and the period grows by √2, not by 2 — square roots appear everywhere in this chapter, so always ask “is it √2 or 2?” before writing an answer. The book's constructed-response question 14.5 asks what happens when mass is added: the period increases, for exactly this reason.
The simple pendulum. A small, heavy bob on a light string of length l, swinging through a small angle. For small angles only — this restriction matters, and the book insists on it — the motion is S.H.M. with T = 2π√(l/g). Now the dependencies are completely different: the period depends on the length and on g, but not on the mass of the bob and not (for small angles) on the amplitude. A heavy bob and a light bob on equal strings keep the same time; a wide swing and a narrow swing (both small) also keep the same time. That is why the book recommends measuring with a small amplitude (MCQ 14.1): large swings break the small-angle approximation and the motion stops being simple harmonic.
Three applications from the book are worth memorising as stories. First, doubling the length: T grows by √2 (MCQ 14.9) — same square-root habit as the spring. Second, a pendulum and height: a pendulum keeping correct time at Karachi (sea level) runs slow at Murree or on Mount Everest, because g is smaller up there, so T grows. Third, the centre of the Earth: a pendulum cannot vibrate there at all, because g = 0 at the centre, so there is no restoring force — nothing pulls the bob back. And the special case called the second pendulum: a pendulum whose period is exactly 2 seconds (one second each way), which needs a length of about one metre. Worked example 14.2 in the book finds the length of a second pendulum for a given g — the method is just T = 2π√(l/g) solved for l, but the idea (a pendulum as a clock) is what makes it memorable.
دو نظام کتاب کے تقریباً ہر S.H.M. سوال کو اٹھاتے ہیں، اس لیے انہیں ساتھ ساتھ سیکھیں اور ان کے فارمولوں کو الگ رکھیں۔ وہ ایک جیسے لگتے ہیں، لیکن مختلف چیزوں پر منحصر ہیں — اور ممتحن بالکل اسی فرق کو پرکھتے ہیں۔
ماس–اسپرنگ نظام۔ ایک اسپرنگ (یا رگڑ سے پاک میز پر اسپرنگ سے جڑا ہوا) پر m ماس لٹکائیں جس کا اسپرنگ مستقل k ہو۔ اسے ایک طرف کھینچ کر چھوڑ دیں: اسپرنگ کی بحالی قوت F = −kx اسے S.H.M. میں چلاتی ہے۔ وقتی دورانیہ T = 2π√(m/k) ہے اور تعدد f = (1/2π)√(k/m) ہے۔ انحصار کو سادہ لفظوں میں پڑھیں: بھاری ماس دورانیہ لمبا کرتا ہے (واپس مڑنے کے لیے زیادہ جڑتا)، اور سخت اسپرنگ دورانیہ چھوٹا کرتی ہے (گھر کی طرف سخت کھنچاؤ)۔ ماس دوگنا کریں تو دورانیہ √2 گنا بڑھتا ہے، 2 گنا نہیں — اس باب میں ہر جگہ جزر آتے ہیں، اس لیے جواب لکھنے سے پہلے ہمیشہ پوچھیں “√2 ہے یا 2؟” کتاب کا تفصیلی سوال 14.5 پوچھتا ہے کہ ماس بڑھانے سے کیا ہوتا ہے: دورانیہ بڑھ جاتا ہے، بالکل اسی وجہ سے۔
سادہ پینڈولم۔ l لمبائی والی ہلکی ڈوری پر چھوٹا، بھاری بوب، چھوٹے زاویے سے جھولتا ہوا۔ صرف چھوٹے زاویوں کے لیے — یہ پابندی اہم ہے، اور کتاب اس پر زور دیتی ہے — اس کی حرکت S.H.M. ہے جس کا T = 2π√(l/g) ہے۔ اب انحصار مکمل مختلف ہیں: دورانیہ لمبائی اور g پر منحصر ہے، لیکن بوب کے ماس پر نہیں اور (چھوٹے زاویوں کے لیے) ایمپلیٹیوڈ پر نہیں۔ برابر ڈوریوں پر بھاری بوب اور ہلکا بوب ایک ہی وقت رکھتے ہیں؛ چوڑا جھولا اور تنگ جھولا (دونوں چھوٹے) بھی ایک ہی وقت رکھتے ہیں۔ اسی لیے کتاب چھوٹے ایمپلیٹیوڈ سے ناپنے کی سفارش کرتی ہے (ایم سی کیو 14.1): بڑے جھولے چھوٹے زاویے کی شرط توڑ دیتے ہیں اور حرکت سادہ ہم آہنگ نہیں رہتی۔
کتاب کی تین اطلاقات کہانیوں کی طرح یاد رکھنے کے قابل ہیں۔ پہلی، لمبائی دوگنی کرنا: T √2 گنا بڑھتا ہے (ایم سی کیو 14.9) — اسپرنگ والی وہی جزر والی عادت۔ دوسری، پینڈولم اور بلندی: کراچی (سمندری سطح) پر درست وقت رکھنے والا پینڈولم مری یا ماؤنٹ ایورسٹ پر سست چلتا ہے، کیونکہ وہاں g کم ہے، اس لیے T بڑھ جاتا ہے۔ تیسری، زمین کا مرکز: وہاں پینڈولم بالکل ارتعاش نہیں کر سکتا، کیونکہ مرکز میں g = 0 ہے، اس لیے کوئی بحالی قوت نہیں — بوب کو واپس کھینچنے والی کوئی چیز نہیں۔ اور خاص صورت جسے سیکنڈ پینڈولم کہتے ہیں: وہ پینڈولم جس کا دورانیہ بالکل 2 سیکنڈ ہو (ہر طرف ایک سیکنڈ)، جس کے لیے تقریباً ایک میٹر لمبائی چاہیے۔ کتاب کی حل شدہ مثال 14.2 کسی دیے گئے g کے لیے سیکنڈ پینڈولم کی لمبائی نکالتی ہے — طریقہ صرف T = 2π√(l/g) کو l کے لیے حل کرنا ہے، لیکن خیال (پینڈولم بطور گھڑی) ہی اسے یادگار بناتا ہے۔
Energy is where S.H.M. becomes easy to visualise, because the total never changes — only its form does. For a mass–spring system, at any displacement x the two forms are: kinetic energy K.E. = ½mω2(x02 − x2) and potential energy P.E. = ½kx2. Add them and the x-dependence cancels beautifully, leaving the total energy E = ½kx02 = ½mω2x02 — the same at every point of the motion, from centre to extreme and back.
Now read that result at the three places that matter. At the mean position (x = 0): P.E. = 0 and K.E. is at its maximum — every joule is kinetic, the body is at its fastest, exactly as the last-but-one section promised. At the extremes (x = ±x0): K.E. = 0 and P.E. is at its maximum — every joule is stored in the spring (or, for a pendulum, in height), the body is momentarily still. In between: the energy is shared, part kinetic and part potential, sliding smoothly from one form to the other as the body travels. If you sketch K.E. and P.E. against displacement, you get two curves that mirror each other — one a hill, one a valley — adding up to a flat line. That flat line is conservation of energy, drawn.
Two proportionalities from E = ½mω2x02 are exam favourites, so learn them as sentences. Total energy is proportional to the square of the amplitude (E ∝ x02): double the amplitude and the energy becomes four times (the book's MCQ 14.8). Swing twice as wide and you must put four times the energy in — which is why a big swing on a playground swing takes real effort to build up. Total energy is proportional to the square of the frequency (E ∝ f2): for the same mass and amplitude, doubling the frequency also quadruples the energy. And a quiet warning: all of this assumes no friction. In a real spring, a little energy leaks away as heat on every swing, the amplitude slowly shrinks, and the total mechanical energy is no longer constant — which is the damped motion of the next section. Conservation holds for the ideal system; the real world adds damping.
توانائی وہ جگہ ہے جہاں S.H.M. تصور کرنا آسان ہو جاتا ہے، کیونکہ کل توانائی کبھی نہیں بدلتی — صرف اس کی شکل بدلتی ہے۔ ماس–اسپرنگ نظام کے لیے، کسی ہٹاؤ x پر دونوں صورتیں یہ ہیں: حرکی توانائی K.E. = ½mω2(x02 − x2) اور مخفی توانائی P.E. = ½kx2۔ انہیں جمع کریں تو x کا انحصار خوبصورتی سے ختم ہو جاتا ہے، اور کل توانائی E = ½kx02 = ½mω2x02 رہ جاتی ہے — حرکت کے ہر مقام پر، مرکز سے انتہا تک اور واپس، ایک جیسی۔
اب اس نتیجے کو تین اہم جگہوں پر پڑھیں۔ وسطی مقام (x = 0) پر: P.E. = 0 اور K.E. زیادہ سے زیادہ — ہر جول حرکی ہے، جسم سب سے تیز ہے، بالکل جیسا پچھلے سے پہلے حصے نے وعدہ کیا تھا۔ انتہاؤں (x = ±x0) پر: K.E. = 0 اور P.E. زیادہ سے زیادہ — ہر جول اسپرنگ میں ذخیرہ ہے (یا پینڈولم کے لیے بلندی میں)، جسم لمحاتی طور پر ساکت ہے۔ درمیان میں: توانائی تقسیم ہوتی ہے، کچھ حرکی اور کچھ مخفی، جسم کے سفر کے ساتھ ایک شکل سے دوسری شکل میں آہستہ سے بدلتی ہوئی۔ اگر K.E. اور P.E. کو ہٹاؤ کے مقابلے میں خاکہ کریں تو دو وکر ملتے ہیں جو ایک دوسرے کا عکس ہیں — ایک پہاڑی، ایک وادی — جن کا مجموعہ ایک سیدھی لکیر ہے۔ یہ سیدھی لکیر توانائی کی بقا ہے، خاکے میں۔
E = ½mω2x02 سے دو تناسب امتحانی پسندیدہ ہیں، اس لیے انہیں جملوں کی طرح سیکھیں۔ کل توانائی ایمپلیٹیوڈ کے مربع کے متناسب ہے (E ∝ x02): ایمپلیٹیوڈ دوگنا کریں تو توانائی چار گنا ہو جاتی ہے (کتاب کا ایم سی کیو 14.8)۔ دوگنا چوڑا جھولیں تو چار گنا توانائی ڈالنی پڑتی ہے — اسی لیے کھیل کے میدان کے جھولے پر بڑا جھولا بنانے میں واقعی محنت لگتی ہے۔ کل توانائی تعدد کے مربع کے متناسب ہے (E ∝ f2): ایک جیسے ماس اور ایمپلیٹیوڈ کے لیے تعدد دوگنا کرنے سے بھی توانائی چار گنا ہو جاتی ہے۔ اور ایک خاموش وارننگ: یہ سب رگڑ نہ ہونے کی صورت میں ہے۔ حقیقی اسپرنگ میں ہر جھولے پر تھوڑی توانائی حرارت کی صورت میں نکل جاتی ہے، ایمپلیٹیوڈ آہستہ آہستہ گھٹتا ہے، اور کل میکانیکی توانائی مستقل نہیں رہتی — جو اگلے حصے کی ڈیمپڈ حرکت ہے۔ بقا مثالی نظام کے لیے ہے؛ حقیقی دنیا میں ڈیمپنگ شامل ہو جاتی ہے۔
Real oscillations are rarely left alone, so the book ends the chapter with four words that describe what happens when the world interferes. Learn them as four separate stories, because mixing them up is the commonest error in this section.
Free oscillations happen when a body vibrates with its own natural frequency and no external force keeps pushing it — a plucked guitar string, a swing given one push, a tuning fork struck once. The frequency is decided by the system itself (by m and k, or by l and g), and in the ideal case the motion goes on unchanged. Forced oscillations happen when an external periodic force keeps driving the body. Now the body vibrates with the driving frequency, not its natural one — like a swing that someone keeps pushing at whatever rhythm they choose. The body's own frequency still matters, though, because it decides how strongly the body responds.
Damped oscillations are what friction does to free oscillations: the amplitude gradually decreases because resistive forces (air resistance, internal friction) steal a little energy on every swing. Nothing about the frequency changes much at first — the swings just get smaller and smaller until the body settles. Damping is not always a nuisance; engineers build it in on purpose. The shock absorbers of a car are deliberate dampers (the book's short question 14.8): without them, every bump would set the car bouncing for a long time; with them, the energy of the bump is absorbed and the car settles after one or two swings.
Resonance is the dramatic case of forced oscillation: when the driving frequency equals the natural frequency of the oscillator, the amplitude becomes maximum — each push arrives exactly when the body is already moving that way, so the pushes add up swing after swing. The uses are everywhere: tuning a radio (the circuit resonates only with the chosen station's frequency), musical instruments (a string drives the air in its body at resonance), and the book's striking example of acoustic levitation, where sound waves hold small particles floating at the nodes of a standing wave (Fig. 14.23). The dangers are just as real: soldiers are ordered to break step while crossing a bridge (the book's constructed-response question 14.1), because rhythmic marching at the bridge's natural frequency could build up a resonant amplitude large enough to damage or collapse it. Finally, the sharpness of resonance: with light damping the resonance peak is tall and sharp — the amplitude shoots up only very close to the natural frequency; with heavy damping the peak is low and flat, spread over a wide range (the book's short question 14.5). A sharp resonance is selective (good for a radio tuner); a flat one is forgiving (good for a shock absorber). Which one you want depends entirely on the job.
حقیقی ارتعاش شاذ ہی اکیلے چھوڑے جاتے ہیں، اس لیے کتاب باب کے آخر میں چار الفاظ سے بتاتی ہے کہ دنیا کے مداخلت کرنے پر کیا ہوتا ہے۔ انہیں چار الگ کہانیوں کی طرح سیکھیں، کیونکہ انہیں گڈمڈ کرنا اس حصے کی عام ترین غلطی ہے۔
آزاد ارتعاش اس وقت ہوتا ہے جب جسم اپنی قدرتی تعدد سے ارتعاش کرے اور کوئی بیرونی قوت اسے دھکیلتی نہ رہے — چھیڑی گئی گٹار کی تار، ایک دھکا دیا گیا جھولا، ایک بار بجایا گیا ٹیوننگ فورک۔ تعدد نظام خود طے کرتا ہے (m اور k سے، یا l اور g سے)، اور مثالی صورت میں حرکت بغیر تبدیلی کے جاری رہتی ہے۔ جبری ارتعاش اس وقت ہوتا ہے جب ایک بیرونی وقفے دار قوت جسم کو چلاتی رہے۔ اب جسم چلانے والی تعدد سے ارتعاش کرتا ہے، اپنی قدرتی تعدد سے نہیں — جیسے جھولا جسے کوئی اپنی مرضی کی تال سے دھکیلتا رہے۔ جسم کی اپنی تعدد پھر بھی اہم ہے، کیونکہ وہ طے کرتی ہے کہ جسم کتنی شدت سے جواب دیتا ہے۔
ڈیمپڈ ارتعاش وہ ہے جو رگڑ آزاد ارتعاش کے ساتھ کرتی ہے: ایمپلیٹیوڈ آہستہ آہستہ گھٹتا ہے کیونکہ مزاحمتی قوتیں (ہوا کی مزاحمت، اندرونی رگڑ) ہر جھولے پر تھوڑی توانائی چرا لیتی ہیں۔ تعدد میں پہلے زیادہ تبدیلی نہیں آتی — جھولے بس چھوٹے سے چھوٹے ہوتے جاتے ہیں جب تک جسم ٹھہر نہ جائے۔ ڈیمپنگ ہمیشہ پریشانی نہیں؛ انجینئر اسے جان بوجھ کر بناتے ہیں۔ گاڑی کے شاک ابزار جان بوجھ کر ڈیمپر ہیں (کتاب کا مختصر سوال 14.8): ان کے بغیر ہر ٹکر گاڑی کو دیر تک اچھالتی رہتی؛ ان کے ساتھ ٹکر کی توانائی جذب ہو جاتی ہے اور گاڑی ایک دو جھولوں میں ٹھہر جاتی ہے۔
ریزوننس جبری ارتعاش کی ڈرامائی صورت ہے: جب چلانے والی تعدد ارتعاش کنندہ کی قدرتی تعدد کے برابر ہو جائے تو ایمپلیٹیوڈ زیادہ سے زیادہ ہو جاتا ہے — ہر دھکا بالکل اس وقت آتا ہے جب جسم پہلے سے اسی سمت میں حرکت کر رہا ہوتا ہے، اس لیے دھکے جھولے در جھولے جمع ہوتے جاتے ہیں۔ استعمال ہر جگہ ہیں: ریڈیو ٹیون کرنا (سرکٹ صرف منتخب اسٹیشن کی تعدد پر ریزوننس کرتا ہے)، موسیقی کے آلات (تار اپنے جسم کی ہوا کو ریزوننس پر چلاتی ہے)، اور کتاب کی حیران کن مثال صوتی معلقیت، جہاں آواز کی لہریں چھوٹے ذرات کو ساکن لہر کے نوڈز پر تیرتا رکھتی ہیں (شکل 14.23)۔ خطرات بھی اتنے ہی حقیقی ہیں: فوجیوں کو پل پار کرتے وقت قدم توڑنے کا حکم دیا جاتا ہے (کتاب کا تفصیلی سوال 14.1)، کیونکہ پل کی قدرتی تعدد پر تال سے مارچ کرنے سے ریزوننس ایمپلیٹیوڈ اتنا بڑھ سکتا ہے کہ پل کو نقصان پہنچے یا وہ گر جائے۔ آخر میں ریزوننس کی تیزی: ہلکی ڈیمپنگ سے ریزوننس چوٹی لمبی اور تیز ہوتی ہے — ایمپلیٹیوڈ صرف قدرتی تعدد کے بہت قریب اچھلتا ہے؛ بھاری ڈیمپنگ سے چوٹی نیچی اور چپٹی ہوتی ہے، وسیع حد پر پھیلی ہوئی (کتاب کا مختصر سوال 14.5)۔ تیز ریزوننس انتخابی ہوتی ہے (ریڈیو ٹیونر کے لیے اچھی)؛ چپٹی معاف کرنے والی ہوتی ہے (شاک ابزار کے لیے اچھی)۔ کون سی چاہیے، یہ مکمل طور پر کام پر منحصر ہے۔
The book's exercise (printed pages 38–40) has five parts: Multiple Choice Questions (9), Short Answer Questions (8), Constructed Response Questions (6), Comprehensive Questions (6) and Numerical Problems (5) — 34 questions in total, every one answered below with full working.
14.1 While determining the time period of a simple pendulum, we keep the amplitude:
Answer: (b) — S.H.M. holds for a pendulum only at small angles, so the amplitude must be kept small. 1۔ سادہ پینڈولم کا وقتی دورانیہ معلوم کرتے وقت ہم ایمپلیٹیوڈ رکھتے ہیں:(a) بڑا(b) چھوٹا(c) زیادہ سے زیادہ(d) صفر جواب: (b) پینڈولم کے لیے S.H.M. صرف چھوٹے زاویوں پر درست ہے، اس لیے ایمپلیٹیوڈ چھوٹا رکھنا ضروری ہے۔
14.2 In simple harmonic motion, the acceleration of a body is zero when:
Answer: (b) — a = −ω²x, so acceleration is zero at the mean position where displacement x = 0 (velocity is maximum there). 2۔ سادہ ہم آہنگ حرکت میں جسم کا اسراع صفر ہوتا ہے جب:(a) رفتار صفر ہو(b) ہٹاؤ صفر ہو(c) رفتار اور ہٹاؤ دونوں صفر ہوں(d) رفتار اور ہٹاؤ دونوں زیادہ سے زیادہ ہوں جواب: (b) a = −ω²x، اس لیے اسراع وسطی مقام پر صفر ہوتا ہے جہاں ہٹاؤ x = 0 ہے (وہاں رفتار زیادہ سے زیادہ ہوتی ہے)۔
14.3 If a tunnel is bored through the centre of the Earth and a stone is dropped into it, then:
Answer: (c) — Inside the Earth, gravity on the stone is proportional to its distance from the centre and directed towards the centre — a restoring force F = −kx, so the stone performs S.H.M. about the centre. 3۔ اگر زمین کے مرکز سے سرنگ کھود کر اس میں پتھر گرایا جائے تو:(a) پتھر زمین کے مرکز پر رک جائے گا(b) پتھر سرنگ کے دوسری طرف سے نکل جائے گا(c) پتھر S.H.M. کرے گا(d) ان میں سے کوئی نہیں جواب: (c) زمین کے اندر پتھر پر کشش ثقل مرکز سے اس کے فاصلے کے متناسب اور مرکز کی طرف ہوتی ہے — ایک بحالی قوت F = −kx، اس لیے پتھر مرکز کے گرد S.H.M. کرتا ہے۔
14.4 Which of the following variables has zero value at the extreme position in S.H.M?
Answer: (b) — At the extremes the particle momentarily stops before turning back, so its speed is zero (displacement and acceleration are maximum there). 4۔ S.H.M. میں انتہائی مقام پر درج ذیل میں سے کس متغیر کی قیمت صفر ہوتی ہے؟(a) اسراع(b) رفتار(c) ہٹاؤ(d) زاویائی تعدد جواب: (b) انتہاؤں پر ذرہ واپس مڑنے سے پہلے لمحہ بھر رکتا ہے، اس لیے اس کی رفتار صفر ہوتی ہے (وہاں ہٹاؤ اور اسراع زیادہ سے زیادہ ہوتے ہیں)۔
14.5 Which of the following force is responsible for S.H.M?
Answer: (c) — The restoring force (F = −kx), always directed towards the mean position, is what produces S.H.M. 5۔ درج ذیل میں سے کون سی قوت S.H.M. کی ذمہ دار ہے؟(a) لگائی گئی قوت(b) رگڑ کی قوت(c) بحالی قوت(d) لچکدار قوت جواب: (c) بحالی قوت (F = −kx)، جو ہمیشہ وسطی مقام کی طرف ہوتی ہے، وہی S.H.M. پیدا کرتی ہے۔
14.6 The velocity of a particle moving with S.H.M. at the mean position is:
Answer: (c) — v = ω√(x₀² − x²) is maximum when x = 0, i.e. at the mean position. 6۔ S.H.M. کرتے ذرے کی وسطی مقام پر رفتار ہوتی ہے:(a) صفر(b) کم سے کم(c) زیادہ سے زیادہ(d) ان میں سے کوئی نہیں جواب: (c) v = ω√(x₀² − x²) اس وقت زیادہ سے زیادہ ہوتی ہے جب x = 0، یعنی وسطی مقام پر۔
14.7 A child swinging on a swing in sitting position stands up. Then the time period of the swing will:
Answer: (b) — Standing up raises the centre of mass, shortening the effective length l of the pendulum. Since T = 2π√(l/g), the time period decreases. 7۔ بیٹھ کر جھولا جھولتا بچہ کھڑا ہو جائے تو جھولے کا وقتی دورانیہ:(a) بڑھ جائے گا(b) کم ہو جائے گا(c) وہی رہے گا(d) صفر ہو جائے گا جواب: (b) کھڑے ہونے سے کمیت کا مرکز اوپر اٹھتا ہے، جس سے پینڈولم کی مؤثر لمبائی l کم ہو جاتی ہے۔ چونکہ T = 2π√(l/g)، اس لیے وقتی دورانیہ کم ہو جاتا ہے۔
14.8 The total energy of a particle executing S.H.M. is proportional to:
Answer: (d) — Total energy E = ½kx₀² = ½mω²x₀², so E ∝ x₀² (square of the amplitude). 8۔ S.H.M. کرتے ذرے کی کل توانائی متناسب ہے:(a) ارتعاش کی تعدد سے(b) حرکت کی رفتار سے(c) حرکت کے ایمپلیٹیوڈ سے(d) ایمپلیٹیوڈ کے مربع سے جواب: (d) کل توانائی E = ½kx₀² = ½mω²x₀²، اس لیے E ∝ x₀² (ایمپلیٹیوڈ کے مربع)۔
14.9 The period of a simple pendulum increases how many times if its length is doubled?
Answer: (a) — T = 2π√(l/g), so T ∝ √l. Doubling l multiplies T by √2. 9۔ سادہ پینڈولم کی لمبائی دوگنی کر دی جائے تو اس کا دورانیہ کتنے گنا بڑھ جائے گا؟(a) √2 گنا(b) 2 گنا(c) 4 گنا(d) 8 گنا جواب: (a) T = 2π√(l/g)، اس لیے T ∝ √l۔ l دوگنا کرنے سے T، √2 گنا ہو جاتا ہے۔
S.H.M. is the vibratory motion in which acceleration is directly proportional to displacement from the mean position and always directed towards it: a = −ω²x. Displacement equation: x = x₀ sin(ωt) (from mean position) or x = x₀ cos(ωt) (from extreme). 1۔ سادہ ہم آہنگ حرکت کی تعریف کریں اور اس کی مساوات لکھیں۔ S.H.M. وہ ارتعاشی حرکت ہے جس میں اسراع وسطی مقام سے ہٹاؤ کے براہ راست متناسب اور ہمیشہ اس کی طرف ہوتا ہے: a = −ω²x۔ ہٹاؤ کی مساوات: x = x₀ sin(ωt) (وسطی مقام سے) یا x = x₀ cos(ωt) (انتہا سے)۔
(1) A restoring force must act, proportional to displacement and directed towards the mean position (F = −kx). (2) The system must be frictionless (or nearly so), so energy is conserved and oscillations continue with constant amplitude. (3) The inertia of the body must carry it past the mean position. 2۔ رگڑ سے پاک نظام کے سادہ ہم آہنگ حرکت کرنے کی بنیادی شرائط بیان کریں۔ (1) ایک بحالی قوت ہونی چاہیے جو ہٹاؤ کے متناسب اور وسطی مقام کی طرف ہو (F = −kx)۔ (2) نظام رگڑ سے پاک (یا تقریباً پاک) ہو، تاکہ توانائی محفوظ رہے اور ارتعاش مستقل ایمپلیٹیوڈ سے جاری رہے۔ (3) جسم کی جڑتا اسے وسطی مقام سے آگے لے جائے۔
Free oscillations: the body vibrates at its own natural frequency with no external driving force; amplitude stays constant if frictionless. Forced oscillations: an external periodic force drives the body, which vibrates at the driving frequency; amplitude depends on how close the driving frequency is to the natural frequency. 3۔ آزاد اور جبری ارتعاش میں فرق کریں۔ آزاد ارتعاش: جسم بغیر کسی بیرونی قوت کے اپنی قدرتی تعدد سے ارتعاش کرتا ہے؛ رگڑ نہ ہو تو ایمپلیٹیوڈ مستقل رہتا ہے۔ جبری ارتعاش: ایک بیرونی وقفے دار قوت جسم کو چلاتی ہے، جو چلانے والی تعدد سے ارتعاش کرتا ہے؛ ایمپلیٹیوڈ اس بات پر منحصر ہے کہ چلانے والی تعدد قدرتی تعدد کے کتنی قریب ہے۔
An ideal simple pendulum needs a point mass on a weightless, inextensible string, swinging in vacuum with no friction at the support. In practice the bob has size, the string has mass, air resistance acts, and the support has friction — so a real pendulum is only approximately simple. 4۔ ہم مثالی سادہ پینڈولم کیوں نہیں بنا سکتے؟ مختصر وضاحت کریں۔ مثالی سادہ پینڈولم کے لیے بے وزن، نہ کھنچنے والی ڈوری پر نقطہ ماس چاہیے، جو خلا میں بغیر رگڑ کے جھولے۔ عملی طور پر بوب کا سائز ہوتا ہے، ڈوری کا ماس ہوتا ہے، ہوا کی مزاحمت ہوتی ہے اور سہارے پر رگڑ ہوتی ہے — اس لیے حقیقی پینڈولم صرف تقریباً سادہ ہوتا ہے۔
Sharpness of resonance occurs with light damping: the amplitude rises steeply only when the driving frequency is very close to the natural frequency, giving a tall, narrow resonance peak. With heavy damping the peak is low and flat, so resonance is not sharp. 5۔ ریزوننس کی تیزی کیسے پیدا ہوتی ہے؟ ریزوننس کی تیزی ہلکی ڈیمپنگ سے پیدا ہوتی ہے: ایمپلیٹیوڈ صرف اس وقت تیزی سے بڑھتا ہے جب چلانے والی تعدد قدرتی تعدد کے بہت قریب ہو، جس سے لمبی اور تنگ ریزوننس چوٹی بنتی ہے۔ بھاری ڈیمپنگ سے چوٹی نیچی اور چپٹی ہوتی ہے، اس لیے ریزوننس تیز نہیں ہوتی۔
The effective value of g would increase slightly (rotation currently reduces effective g at most places), so T = 2π√(l/g) would decrease slightly. The effect is small but the period would become slightly shorter. 6۔ اگر زمین اچانک گھومنا بند کر دے تو وقتی دورانیہ پر کیا اثر ہو گا؟ g کی مؤثر قیمت تھوڑی بڑھ جائے گی (گردش فی الحال زیادہ تر مقامات پر مؤثر g کم کرتی ہے)، اس لیے T = 2π√(l/g) تھوڑا کم ہو جائے گا۔ اثر چھوٹا ہے لیکن دورانیہ تھوڑا چھوٹا ہو جائے گا۔
Restoring force is the force that pulls a displaced body back towards its mean position (F = −kx). For a mass–spring system it is provided by the elasticity of the spring. For a simple pendulum it is provided by the component of the bob's weight along the arc (mg sinθ ≈ mgθ for small angles), i.e. gravity. 7۔ بحالی قوت کیا ہے؟ سادہ پینڈولم اور ماس–اسپرنگ نظام میں سادہ ہم آہنگ ارتعاش کنندہ کے لیے بحالی قوت کون فراہم کرتا ہے؟ بحالی قوت وہ قوت ہے جو ہٹے ہوئے جسم کو وسطی مقام کی طرف واپس کھینچتی ہے (F = −kx)۔ ماس–اسپرنگ نظام میں یہ اسپرنگ کی لچک فراہم کرتی ہے۔ سادہ پینڈولم میں یہ بوب کے وزن کا قوس کے ساتھ جزو (mg sinθ ≈ mgθ چھوٹے زاویوں کے لیے)، یعنی کشش ثقل، فراہم کرتا ہے۔
Shock absorbers are dampers: they dissipate the energy of the vehicle's oscillations (as heat) so that after a bump the vehicle returns to equilibrium quickly instead of bouncing for a long time. They convert an otherwise lightly-damped, long-lasting oscillation into a heavily-damped, short one. 8۔ اونچی نیچی سڑک پر گاڑیوں کے ارتعاش میں شاک ابزوربرز کیا کردار ادا کرتے ہیں؟ مختصر وضاحت کریں۔ شاک ابزوربرز ڈیمپر ہیں: وہ گاڑی کے ارتعاش کی توانائی (حرارت کے طور پر) ضائع کرتے ہیں تاکہ جھٹکے کے بعد گاڑی لمبے عرصے تک اچھلنے کے بجائے جلد توازن پر واپس آ جائے۔ وہ ہلکی ڈیمپنگ والے طویل ارتعاش کو بھاری ڈیمپنگ والے مختصر ارتعاش میں بدل دیتے ہیں۔
If troops march in step, they apply a periodic force at a fixed frequency. If that frequency matches the bridge's natural frequency, resonance occurs and the amplitude of the bridge's vibration grows until the bridge may collapse. Breaking step removes the regular periodic force, so resonance cannot build up. 1۔ پل عبور کرتے وقت مارچ کرتے فوجیوں کو قدم توڑنے کے لیے کیوں کہا جاتا ہے؟ وضاحت کریں۔ اگر فوجی قدم ملا کر مارچ کریں تو وہ ایک مقررہ تعدد پر وقفے دار قوت لگاتے ہیں۔ اگر وہ تعدد پل کی قدرتی تعدد سے مل جائے تو ریزوننس ہوتی ہے اور پل کے ارتعاش کا ایمپلیٹیوڈ اس حد تک بڑھ جاتا ہے کہ پل گر سکتا ہے۔ قدم توڑنے سے باقاعدہ وقفے دار قوت ختم ہو جاتی ہے، اس لیے ریزوننس نہیں بن سکتی۔
Standing up raises her centre of mass, which shortens the effective length l of the swing as a pendulum. Since T = 2π√(l/g), the time period decreases — the swing moves faster. (This is also the book's MCQ 14.7.) 2۔ ایک لڑکی بیٹھ کر جھولا جھول رہی ہے۔ بتائیں کہ اگر وہ کھڑی ہو جائے تو جھولے کا دورانیہ کیسے بدلے گا۔ کھڑے ہونے سے اس کے کمیت کا مرکز اوپر اٹھتا ہے، جس سے پینڈولم کے طور پر جھولے کی مؤثر لمبائی l کم ہو جاتی ہے۔ چونکہ T = 2π√(l/g)، اس لیے وقتی دورانیہ کم ہو جاتا ہے — جھولا تیز ہو جاتا ہے۔ (یہ کتاب کا ایم سی کیو 14.7 بھی ہے۔)
No. At Murree and especially on Mount Everest, the height above sea level is greater, so g is smaller. Since T = 2π√(l/g), the period increases and the pendulum runs slow — it will lose time compared to Karachi. 3۔ کیا کراچی میں درست وقت دینے والا پینڈولم مری یا ماؤنٹ ایورسٹ کی چوٹی پر درست رہے گا؟ وضاحت کریں۔ نہیں۔ مری اور خاص طور پر ماؤنٹ ایورسٹ پر سطح سمندر سے بلندی زیادہ ہے، اس لیے g کم ہے۔ چونکہ T = 2π√(l/g)، اس لیے دورانیہ بڑھ جاتا ہے اور پینڈولم سست چلے گا — کراچی کے مقابلے میں وقت پیچھے رہ جائے گا۔
Attach a bob to the lower end to make a simple pendulum and measure its time period T for small oscillations. Then use l = gT²/4π² to find the length of the wire, which equals the height of the tower. 4۔ ایک تار تاریک اونچی مینار سے لٹکی ہے جس کا اوپری سرا نظر نہیں آتا۔ ہم مینار کی لمبائی کیسے معلوم کر سکتے ہیں؟ نچلے سرے پر بوب لگا کر سادہ پینڈولم بنائیں اور چھوٹے ارتعاش کے لیے اس کا وقتی دورانیہ T ناپیں۔ پھر l = gT²/4π² سے تار کی لمبائی معلوم کریں، جو مینار کی بلندی کے برابر ہے۔
It will increase. For a mass–spring system T = 2π√(m/k): the period is proportional to the square root of the mass. Adding mass increases m, so T increases. 5۔ مزید ماس شامل کرنے سے ارتعاش کرتی اسپرنگ کا دورانیہ بڑھے گا، کم ہو گا یا مستقل رہے گا؟ وضاحت کریں۔ یہ بڑھ جائے گا۔ ماس–اسپرنگ نظام کے لیے T = 2π√(m/k): دورانیہ ماس کے مربع جذر کے متناسب ہے۔ ماس بڑھانے سے m بڑھتا ہے، اس لیے T بڑھ جاتا ہے۔
No. At the centre of the Earth, g = 0, so there is no weight component to provide a restoring force (F = −kx needs gravity for a pendulum). Without a restoring force the bob cannot oscillate; it would simply stay wherever placed. 6۔ کیا سادہ پینڈولم زمین کے مرکز پر ارتعاش کر سکتا ہے؟ وضاحت کریں۔ نہیں۔ زمین کے مرکز پر g = 0 ہے، اس لیے بحالی قوت فراہم کرنے کے لیے وزن کا کوئی جزو نہیں (پینڈولم کے لیے F = −kx کو کشش ثقل چاہیے)۔ بحالی قوت کے بغیر بوب ارتعاش نہیں کر سکتا؛ وہ جہاں رکھا جائے وہیں رہے گا۔
A mass m displaced by x from equilibrium feels restoring force F = −kx (Hooke's law). By Newton's second law, ma = −kx, so a = −(k/m)x = −ω²x with ω = √(k/m). This is the S.H.M. condition. Time period T = 2π/ω = 2π√(m/k); frequency f = 1/T = (1/2π)√(k/m). 1۔ ثابت کریں کہ اسپرنگ سے جڑے ماس کی حرکت S.H.M. ہے۔ اس کے وقتی دورانیہ اور تعدد کا اظہار بھی معلوم کریں۔ توازن سے x ہٹے ہوئے m ماس پر بحالی قوت F = −kx (ہک کا قانون) لگتی ہے۔ نیوٹن کے دوسرے قانون سے، ma = −kx، اس لیے a = −(k/m)x = −ω²x جہاں ω = √(k/m)۔ یہ S.H.M. کی شرط ہے۔ وقتی دورانیہ T = 2π/ω = 2π√(m/k)؛ تعدد f = 1/T = (1/2π)√(k/m)۔
A particle on a circle of radius x₀ with angular speed ω has projection x = x₀ cos(ωt) on a diameter. Differentiating: v = dx/dt = −ωx₀ sin(ωt), and a = dv/dt = −ω²x₀ cos(ωt) = −ω²x — the S.H.M. condition. Instantaneous velocity v = −ωx₀ sin(ωt) = ω√(x₀² − x²) in magnitude. 2۔ ثابت کریں کہ مستقل رفتار سے دائرے میں گھومتے ذرے کے پروجیکشن کی حرکت S.H.M. ہے اور اس کی فوری رفتار کا تعلق اخذ کریں۔ x₀ رداس والے دائرے پر ω زاویائی رفتار سے گھومتے ذرے کا قطر پر پروجیکشن x = x₀ cos(ωt) ہے۔ تفریق کرنے سے: v = dx/dt = −ωx₀ sin(ωt)، اور a = dv/dt = −ω²x₀ cos(ωt) = −ω²x — S.H.M. کی شرط۔ فوری رفتار v = −ωx₀ sin(ωt) = ω√(x₀² − x²) (مقدار میں)۔
A simple pendulum is a small heavy bob suspended by a light inextensible string from a fixed support. For small angle θ, the restoring force is F = −mg sinθ ≈ −mgθ = −(mg/l)x, so a = −(g/l)x = −ω²x with ω = √(g/l) — S.H.M. Time period T = 2π√(l/g). It depends on length l and g only — not on the bob's mass or (small) amplitude. 3۔ سادہ پینڈولم کیا ہے؟ ثابت کریں کہ سادہ پینڈولم کی حرکت S.H.M. ہے۔ اس کے وقتی دورانیہ کا اظہار بھی اخذ کریں؛ یہ کن عوامل پر منحصر ہے؟ سادہ پینڈولم ایک چھوٹا بھاری بوب ہے جو ہلکی نہ کھنچنے والی ڈوری سے مقررہ سہارے سے لٹکا ہوتا ہے۔ چھوٹے زاویے θ کے لیے بحالی قوت F = −mg sinθ ≈ −mgθ = −(mg/l)x ہے، اس لیے a = −(g/l)x = −ω²x جہاں ω = √(g/l) — S.H.M.۔ وقتی دورانیہ T = 2π√(l/g)۔ یہ صرف لمبائی l اور g پر منحصر ہے — بوب کے ماس یا (چھوٹے) ایمپلیٹیوڈ پر نہیں۔
With x = x₀ sin(ωt) and v = ωx₀ cos(ωt): K.E. = ½mv² = ½mω²x₀²cos²(ωt) = ½k(x₀² − x²) (using ω² = k/m). P.E. = ½kx². Sum: E = ½k(x₀² − x²) + ½kx² = ½kx₀², a constant — independent of x and t. Hence total energy is conserved. 4۔ S.H.M. کرتے ماس–اسپرنگ نظام کی K.E. اور P.E. کے اظہار اخذ کریں۔ یہ بھی ثابت کریں کہ اس کی کل توانائی ایک جیسی رہتی ہے۔ x = x₀ sin(ωt) اور v = ωx₀ cos(ωt) کے ساتھ: K.E. = ½mv² = ½mω²x₀²cos²(ωt) = ½k(x₀² − x²) (ω² = k/m استعمال کر کے)۔ P.E. = ½kx²۔ مجموعہ: E = ½k(x₀² − x²) + ½kx² = ½kx₀²، ایک مستقل — x اور t سے آزاد۔ اس لیے کل توانائی محفوظ رہتی ہے۔
Resonance is the large-amplitude vibration that occurs when the frequency of an applied periodic force equals the natural frequency of the system. Advantages: tuning radios/TVs to a station, musical instruments sounding loudly at their notes, acoustic levitation, MRI. Disadvantages: bridges and buildings can vibrate violently and collapse under rhythmic forces (troops marching, earthquakes, strong winds); machinery parts can break from resonant vibration. 5۔ ریزوننس کی وضاحت کریں۔ اس کے کچھ فوائد اور نقصانات بتائیں۔ ریزوننس وہ بڑے ایمپلیٹیوڈ والا ارتعاش ہے جو اس وقت ہوتا ہے جب لگائی گئی وقفے دار قوت کی تعدد نظام کی قدرتی تعدد کے برابر ہو جائے۔ فوائد: ریڈیو/ٹی وی کو اسٹیشن پر ٹیون کرنا، موسیقی کے آلات کا اپنے سروں پر زور سے بجنا، صوتی لیویٹیشن، ایم آر آئی۔ نقصانات: پل اور عمارتیں تال والی قوتوں (مارچ کرتے فوجی، زلزلے، تیز ہواؤں) سے شدید ارتعاش کر کے گر سکتے ہیں؛ مشینوں کے پرزے ریزوننس ارتعاش سے ٹوٹ سکتے ہیں۔
Phase (θ = ωt) tells the exact state of an oscillator — its displacement and direction — at any instant. Two oscillators with the same phase move in step (synchronized); with a phase difference they are out of step. This matters for timing (e.g. clocks, AC circuits) and for waves: phase difference decides whether two waves add up (constructive interference) or cancel (destructive interference). 6۔ سادہ ہم آہنگ حرکت میں فیز کی طبعی اہمیت پر بحث کریں، اور وضاحت کریں کہ اس کا تعلق ارتعاش کے وقت اور ہم آہنگی سے کیسے ہے۔ فیز (θ = ωt) کسی بھی لمحے ارتعاش کنندہ کی درست حالت — اس کی ہٹاؤ اور سمت — بتاتا ہے۔ ایک جیسے فیز والے دو ارتعاش کنندگان قدم ملا کر (ہم آہنگ) حرکت کرتے ہیں؛ فیز کے فرق سے وہ بے ترتیب ہوتے ہیں۔ یہ وقت (مثلاً گھڑیاں، AC سرکٹس) اور لہروں کے لیے اہم ہے: فیز کا فرق طے کرتا ہے کہ دو لہریں جمع ہوں گی (تعمیری مداخلت) یا منسوخ (تخریبی مداخلت)۔
ω = 2πf = 2π × 10 = 62.8 rad s⁻¹. (i) a_max = ω²x₀ = (62.8)²(0.05) ≈ 197 m s⁻² = 1.97 × 10² m s⁻². (ii) v_max = ωx₀ = 62.8 × 0.05 = 3.14 m s⁻¹. ✓ matches the book answer. 1۔ ایک جسم 0.05 m ایمپلیٹیوڈ اور 10 Hz تعدد سے S.H.M. کرتا ہے۔ معلوم کریں (i) زیادہ سے زیادہ اسراع (ii) زیادہ سے زیادہ رفتار۔ (کتاب کا جواب: 1.97 × 10² m s⁻²، 3.14 m s⁻¹) ω = 2πf = 2π × 10 = 62.8 rad s⁻¹۔ (i) a_max = ω²x₀ = (62.8)²(0.05) ≈ 197 m s⁻² = 1.97 × 10² m s⁻²۔ (ii) v_max = ωx₀ = 62.8 × 0.05 = 3.14 m s⁻¹۔ ✓ کتاب کے جواب سے مطابقت رکھتا ہے۔
k = mg/x = (0.5 × 9.8)/0.098 = 50 N m⁻¹. (i) T = 2π√(m/k) = 2π√(0.5/50) = 2π(0.1) = 0.628 s. (ii) f = 1/T = 1.59 Hz. ✓ matches the book answer. 2۔ 0.5 kg کا ماس اسپرنگ سے لٹکا ہے۔ اسپرنگ 0.098 m کھنچتی ہے۔ معلوم کریں (i) چھوٹی ہٹاؤ دینے پر ارتعاش کا دورانیہ، (ii) ارتعاش کی تعدد۔ (کتاب کا جواب: 0.628 s، 1.59 Hz) k = mg/x = (0.5 × 9.8)/0.098 = 50 N m⁻¹۔ (i) T = 2π√(m/k) = 2π√(0.5/50) = 2π(0.1) = 0.628 s۔ (ii) f = 1/T = 1.59 Hz۔ ✓ کتاب کے جواب سے مطابقت رکھتا ہے۔
k = F/x = 45/0.10 = 450 N m⁻¹. Energy stored = ½kx² = ½(450)(0.10)² = 2.25 J. On release, all P.E. becomes K.E.: ½mv² = 2.25 → v = √(2 × 2.25/0.5) = 3 m s⁻¹. ✓ matches the book answer. 3۔ 0.5 kg کی گیند لچکدار اسپرنگ سے جڑی ہے۔ اسپرنگ 45 N کی قوت سے 10 cm دبتی ہے۔ اسپرنگ میں ذخیرہ شدہ توانائی معلوم کریں۔ اگر دبانے والی قوت اچانک ہٹا دی جائے تو گیند کی زیادہ سے زیادہ رفتار کیا ہو گی؟ (کتاب کا جواب: 2.25 J، 3 m s⁻¹) k = F/x = 45/0.10 = 450 N m⁻¹۔ ذخیرہ شدہ توانائی = ½kx² = ½(450)(0.10)² = 2.25 J۔ چھوڑنے پر ساری P.E.، K.E. بن جاتی ہے: ½mv² = 2.25 → v = √(2 × 2.25/0.5) = 3 m s⁻¹۔ ✓ کتاب کے جواب سے مطابقت رکھتا ہے۔
k = F/x = 60/0.30 = 200 N m⁻¹. (i) T = 2π√(m/k) = 2π√(8/200) = 2π(0.2) = 1.26 ≈ 1.3 s. (ii) At x = 0.12 m: a = (k/m)x = 25 × 0.12 = 3.0 m s⁻²; v = ω√(x₀² − x²) = 5√(0.09 − 0.0144) = 5(0.275) ≈ 1.4 m s⁻¹; K.E. = ½mv² = ½(8)(1.4)² ≈ 7.6 J; P.E. = ½kx² = ½(200)(0.12)² = 1.44 J. ✓ matches the book answer. 4۔ 8.0 kg کا جسم 30 cm ایمپلیٹیوڈ سے S.H.M. کرتا ہے۔ ہٹاؤ 30 cm ہونے پر بحالی قوت 60 N ہے۔ معلوم کریں (i) وقتی دورانیہ، (ii) ہٹاؤ 12 cm ہونے پر اسراع، رفتار، K.E. اور P.E.۔ (کتاب کا جواب: 1.3 s، 3.0 m s⁻²، 1.4 m s⁻¹، 7.6 J، 1.44 J) k = F/x = 60/0.30 = 200 N m⁻¹۔ (i) T = 2π√(m/k) = 2π√(8/200) = 2π(0.2) = 1.26 ≈ 1.3 s۔ (ii) x = 0.12 m پر: a = (k/m)x = 25 × 0.12 = 3.0 m s⁻²؛ v = ω√(x₀² − x²) = 5√(0.09 − 0.0144) = 5(0.275) ≈ 1.4 m s⁻¹؛ K.E. = ½mv² = ½(8)(1.4)² ≈ 7.6 J؛ P.E. = ½kx² = ½(200)(0.12)² = 1.44 J۔ ✓ کتاب کے جواب سے مطابقت رکھتا ہے۔
Energy conservation: mg(h + x) = ½kx² → 5 × 9.8(0.8 + x) = ½(1960)x² → 49(0.8 + x) = 980x² → 980x² − 49x − 39.2 = 0 → x = 0.2 m (positive root). ✓ matches the book answer. 5۔ 5 kg کا بلاک 0.8 m بلندی سے 1960 N m⁻¹ اسپرنگ مستقل والی اسپرنگ پر گرایا جاتا ہے۔ معلوم کریں کہ اسپرنگ کتنی دبے گی۔ (کتاب کا جواب: 0.2 m) توانائی کی بقاء: mg(h + x) = ½kx² → 5 × 9.8(0.8 + x) = ½(1960)x² → 49(0.8 + x) = 980x² → 980x² − 49x − 39.2 = 0 → x = 0.2 m (مثبت جذر)۔ ✓ کتاب کے جواب سے مطابقت رکھتا ہے۔
Simple harmonic motion is the cleanest back-and-forth motion in physics, and this chapter gave you three ways to recognise it: the definition (a = −ω2x, acceleration always homeward and proportional to displacement), the picture (the shadow of uniform circular motion on a diameter), and the two machines (mass–spring with T = 2π√(m/k), and pendulum with T = 2π√(l/g) for small angles only). Phase (θ = ωt) told you where the body is in its cycle, and phase difference told you whether two oscillators move together or oppositely. Energy tied it together: K.E. and P.E. trade places while the total E = ½kx02 stays fixed, growing with the square of amplitude and of frequency. Finally, the real world added damping (amplitude dying away), forcing (vibrating at someone else's frequency) and resonance (amplitude exploding when the driving frequency matches the natural one) — the idea that tunes radios and, if ignored, breaks bridges.
Topics in this chapter: Oscillatory Motion and S.H.M., S.H.M. and Circular Motion, Phase, Mass–Spring and Pendulum, Energy in S.H.M., Free, Forced, Damped and Resonance, Official Exercise (34 questions).
سادہ ہم آہنگ حرکت طبیعیات کی صاف ترین آگے پیچھے والی حرکت ہے، اور اس باب نے اسے پہچاننے کے تین طریقے دیے: تعریف (a = −ω2x، اسراع ہمیشہ گھر کی طرف اور ہٹاؤ کے متناسب)، تصویر (کسی قطر پر یکساں دائروی حرکت کا سایہ)، اور دو مشینیں (ماس–اسپرنگ جس کا T = 2π√(m/k)، اور پینڈولم جس کا T = 2π√(l/g) صرف چھوٹے زاویوں کے لیے)۔ فیز (θ = ωt) نے بتایا کہ جسم اپنے چکر میں کہاں ہے، اور فیز کے فرق نے بتایا کہ دو ارتعاش کنندگان اکٹھے حرکت کرتے ہیں یا مخالف۔ توانائی نے اسے جوڑ دیا: K.E. اور P.E. جگہ بدلتی ہیں جبکہ کل E = ½kx02 ثابت رہتی ہے، جو ایمپلیٹیوڈ اور تعدد کے مربع کے ساتھ بڑھتی ہے۔ آخر میں حقیقی دنیا نے ڈیمپنگ (ایمپلیٹیوڈ کا مرنا)، جبر (کسی اور کی تعدد پر ارتعاش) اور ریزوننس (چلانے والی تعدد قدرتی تعدد سے ملنے پر ایمپلیٹیوڈ کا پھٹ پڑنا) شامل کیے — وہ خیال جو ریڈیو ٹیون کرتا ہے اور، اگر نظر انداز کیا جائے، پل توڑ دیتا ہے۔
اس باب کے ٹاپکس: تذبذبی حرکت اور S.H.M.، S.H.M. اور دائروی حرکت، فیز، ماس–اسپرنگ اور پینڈولم، S.H.M. میں توانائی، آزاد، جبری، ڈیمپڈ اور ریزوننس، سرکاری ایکسرسائز (34 سوالات)۔
Revision guidance / نظرثانی کی رہنمائی: پہلے a = −ω²x اور اس کے دو حصوں (متناسب + گھر کی طرف) کو پکا کرو — پھر reference circle سے v اور a کے فارمولے خود نکالو, رٹو نہیں. Spring اور pendulum کے T فارمولے الگ الگ لکھ کر ان کے نیچے لکھو کے کون کس پر منحصر ہے (mass? lambai? g?) — یہ فرق ہی MCQs کا مرکز ہے. Energy کے لیے تین جگہیں یاد رکھو: centre (صرف K.E.), extremes (صرف P.E.), درمیان (dono). آخر میں resonance کی مثال (radio = فائدہ, پل = خطرہ) اپنے لفظوں میں لکھ کر دیکھو. Numericals میں √2 والے سوالوں پر خاص توجہ دو: لمبائی یا mass دوگنا ہو تو T √2 گنا ہوتا ہے, 2 گنا نہیں.
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 2 Physics, Chapter 14 (New Book, Session 2026–27) • English + Urdu