This revised page was built from the existing Class 10 Mathematics library chapter (chapter-10-complete-guide-book.html) in the same series. No official book copy was on disk for a fresh page-by-page check, so no book page numbers are claimed and exercise references such as “Exercise 1.6 Q2” are carried over from the master chapter as given, not newly verified. Solved answers follow the master chapter; practice MCQs are SLO-based practice, not book questions.
یہ نظرثانی شدہ صفحہ اسی سلسلے کے موجودہ جماعت دہم ریاضی کے باب سے بنایا گیا ہے۔ کتاب کی کوئی مصدقہ نقل ڈسک پر موجود نہیں تھی، اس لیے کتاب کے صفحہ نمبرز کا دعویٰ نہیں کیا گیا۔
Is page ka mawaad PECTAA Class 10 Mathematics (1st edition, May 2026 — Revised National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27) ke Unit 10 — Practical Geometry of Circles پر مبنی ہے. Book میں اسے "Unit" کہا گیا ہے; file کا نام chapter کے مطابق رکھا گیا ہے.
اس صفحے کا مواد پنجاب ایجوکیشن، کریکولم، ٹریننگ اینڈ اسیسمنٹ اتھارٹی (PECTAA) کی جماعت دہم ریاضی (پہلا ایڈیشن، مئی 2026 — نظرثانی شدہ قومی نصاب 2023، سیشن 2026–27) کے یونٹ 10 پر مبنی ہے۔
Book-faithful note: This unit is construction-based, so its “solved problems” are step procedures, not numeric answers, following the book’s SLOs (locate centre; circle through three non-collinear points; complete a circle from an arc with/without the centre; tangents to arcs and circles from different positions; two tangents at a given angle). The book’s full construction exercises (including tangent to an arc without using the centre, from the middle/end/outside of the arc) are in the book itself — practice them on paper with a real compass.
You need a compass, ruler, protractor and sharp pencil. Rules for full marks: draw construction arcs (never rub them out — the examiner checks them), keep the compass radius fixed while drawing one arc, and label every point.
Common mark-losers: freehand circles, missing arcs, unlabelled points, and wrong radii. A construction is a proof by drawing — every arc must be visible.
آپ کو پرکار، پیمانہ، زاویہ پیما اور نوکدار پنسل چاہیے۔ پورے نمبروں کے اصول: تعمیری قوسیں بنائیں (انہیں کبھی نہ مٹائیں — ممتحن انہیں دیکھتا ہے)، ایک قوس بناتے وقت پرکار کا رداس قائم رکھیں، اور ہر نقطہ کا نام لکھیں۔
نمبر کٹنے کی عام وجوہات: ہاتھ سے دائرے، غائب قوسیں، بے نام نقطے، غلط رداس۔ تعمیر ڈرائنگ سے ثبوت ہے — ہر قوس نظر آنی چاہیے۔
To locate the centre of a given circle: draw any two chords, construct the perpendicular bisector of each, and mark their intersection — that point is the centre (because the centre lies on every chord’s perpendicular bisector).
To draw a circle through three non-collinear points A, B, C: construct the perpendicular bisectors of AB and BC; their intersection O is equidistant from A, B and C, so the circle with centre O and radius OA passes through all three points. (This is exactly the book’s SLO: circle through three given non-collinear points.)
مرکز معلوم کرنے کے لیے: کوئی دو وتریں بنائیں، ہر ایک کا عمودی ناصف بنائیں، ان کے تقاطع کو نشان زد کریں — وہی مرکز ہے (کیونکہ مرکز ہر وتر کے عمودی ناصف پر ہوتا ہے)۔
تین غیر خطی نقطوں A، B، C سے دائرہ بنانے کے لیے: AB اور BC کے عمودی ناصف بنائیں؛ ان کا تقاطع O، A، B اور C سے برابر فاصلے پر ہے، اس لیے مرکز O اور رداس OA والا دائرہ تینوں نقطوں سے گزرے گا۔
If only part of the circumference (an arc) is given, you can still complete the circle. With the centre: locate the centre as above (two chords of the arc, perpendicular bisectors), then draw the full circle. Without finding the centre: use the arc’s own geometry — e.g. take three points on the arc and draw the circle through them (previous section), which completes the arc without ever marking the centre first.
Book SLO wording: complete the circle “by finding the centre” and “without finding the centre, when a part of its circumference is given”.
اگر محیط کا صرف حصہ (قوس) دیا ہو تو بھی دائرہ مکمل ہو سکتا ہے۔ مرکز کے ساتھ: اوپر والے طریقے سے مرکز نکالیں (قوس کی دو وتریں، عمودی ناصف)، پھر پورا دائرہ بنائیں۔ مرکز نکالے بغیر: قوس کے تین نقطے لیں اور ان سے دائرہ بنائیں (پچھلا حصہ) — مرکز پہلے نشان زد کیے بغیر قوس مکمل ہو جاتی ہے۔
کتاب کے SLO کے الفاظ: دائرہ مکمل کریں "مرکز نکال کر" اور "مرکز نکالے بغیر، جب محیط کا حصہ دیا ہو"۔
Book construction (10.2.2(a)): given a circle with centre D and a point P on it. Steps: (1) Join centre D to P — DP is the radial segment. (2) Draw a perpendicular AB at P to DP. Then AB is the required tangent.
Why it works: the tangent at a point is perpendicular to the radius through that point (Unit 9 theorem), so the perpendicular at P is exactly the tangent.
کتاب کی تعمیر: مرکز D والا دائرہ اور اس پر نقطہ P دیا ہو۔ مراحل: (1) مرکز D کو P سے ملائیں — DP شعاعی قطعہ ہے۔ (2) P پر DP پر عمود AB بنائیں۔ پھر AB ہی مطلوبہ مماس ہے۔
یہ کیوں چلتا ہے: کسی نقطے پر مماس اس نقطے سے گزرنے والے رداس پر عمود ہوتا ہے (باب 9 کا مسئلہ)، اس لیے P پر عمود ہی مماس ہے۔
Book construction (10.2.2(b)): given a circle with centre O and a point P outside it. Steps: (1) Join O to P. (2) Find M, the midpoint of OP. (3) With centre M and radius MO (= MP), draw a semicircle cutting the given circle at T. (4) Join P to T — PT is the required tangent (its length is measured as mPT).
Why it works: ∠OTP is an angle in a semicircle of the new circle (diameter OP), so it is 90° — hence PT ⊥ OT, the tangent property.
کتاب کی تعمیر: مرکز O والا دائرہ اور اس سے باہر نقطہ P دیا ہو۔ مراحل: (1) O کو P سے ملائیں۔ (2) OP کا وسط M نکالیں۔ (3) مرکز M اور رداس MO (= MP) سے نیم دائرہ بنائیں جو دیے گئے دائرے کو T پر کاٹے۔ (4) P کو T سے ملائیں — PT مطلوبہ مماس ہے (اس کی لمبائی mPT ناپی جاتی ہے)۔
یہ کیوں چلتا ہے: ∠OTP نئے دائرے کے نصف دائرے کا زاویہ ہے (قطر OP)، اس لیے یہ 90° ہے — اس لیے PT ⊥ OT، مماس کی خاصیت۔
Book example (10.2.3): draw a circle of radius 1.5 cm and two tangents meeting at 30°. Key idea: the angle between the two radii to the points of contact is 180° − (angle between tangents) = 180° − 30° = 150° (the quadrilateral OPTQ has two right angles).
Steps: (1) Draw a diameter AOB. (2) Draw the perpendicular at B on AOB — this is one tangent. (3) At O, construct 150° from OB to get the second radius OC. (4) Draw the perpendicular at C — the second tangent. The two tangents meet at P at 30°. The book’s figure labels exactly this construction.
کتاب کی مثال: 1.5 سینٹی میٹر رداس کا دائرہ بنائیں اور 30° پر ملنے والے دو مماس بنائیں۔ اہم خیال: نقطہ تماس تک جانے والے دو رداسوں کے درمیان زاویہ 180° − (مماسوں کے درمیان زاویہ) = 180° − 30° = 150° ہوتا ہے (چہار ضلعی OPTQ میں دو قائمہ زاویے ہیں)۔
مراحل: (1) قطر AOB بنائیں۔ (2) AOB پر B پر عمود بنائیں — یہ ایک مماس ہے۔ (3) O پر OB سے 150° بنا کر دوسرا رداس OC نکالیں۔ (4) C پر عمود بنائیں — دوسرا مماس۔ دونوں مماس P پر 30° پر ملیں گے۔
Note: Neeche sirf muntakhab (selected) سوال step-by-step حل کیے گئے ہیں. مکمل exercise کتاب میں موجود ہے — یہ page اسکا متبادل نہیں, صرف guide ہے.
نوٹ: نیچے صرف منتخب سوالات مرحلہ وار حل کیے گئے ہیں۔ مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔
Answer / جواب: Draw any two chords of the circle. Construct the perpendicular bisector of each chord. Their intersection point is the centre — because the centre lies on the perpendicular bisector of every chord.
دائرے کی کوئی دو وتریں بنائیں۔ ہر وتر کا عمودی ناصف بنائیں۔ ان کا تقاطع مرکز ہے — کیونکہ مرکز ہر وتر کے عمودی ناصف پر ہوتا ہے۔
Answer / جواب: Join the points to form two chords. Construct their perpendicular bisectors; their intersection O is equidistant from all three points. Draw the circle with centre O and radius equal to the distance from O to any of the points — it passes through all three.
نقطوں کو ملا کر دو وتریں بنائیں۔ ان کے عمودی ناصف بنائیں؛ ان کا تقاطع O تینوں نقطوں سے برابر فاصلے پر ہے۔ مرکز O اور O سے کسی نقطے تک کے فاصلے کے برابر رداس سے دائرہ بنائیں — یہ تینوں نقطوں سے گزرے گا۔
Answer / جواب: (1) Join D to P — DP is the radial segment. (2) Draw perpendicular AB at P to DP. Then AB is the required tangent. Reason: the tangent at a point is perpendicular to the radius through that point.
(1) D کو P سے ملائیں — DP شعاعی قطعہ ہے۔ (2) P پر DP پر عمود AB بنائیں۔ پھر AB مطلوبہ مماس ہے۔ وجہ: کسی نقطے پر مماس اس نقطے سے گزرنے والے رداس پر عمود ہوتا ہے۔
Answer / جواب: Find midpoint M of OP; draw a semicircle with centre M, radius MO, cutting the given circle at T; join PT. It works because ∠OTP is an angle in a semicircle (diameter OP), so ∠OTP = 90°, i.e. PT ⊥ OT.
OP کا وسط M نکالیں؛ مرکز M، رداس MO سے نیم دائرہ بنائیں جو دیے گئے دائرے کو T پر کاٹے؛ PT ملائیں۔ یہ اس لیے چلتی ہے کہ ∠OTP نصف دائرے کا زاویہ ہے (قطر OP)، اس لیے ∠OTP = 90°، یعنی PT ⊥ OT۔
Answer / جواب: Draw a diameter AOB; draw the perpendicular at B (first tangent). At O, construct 150° from OB to get the second radius OC; draw the perpendicular at C (second tangent). The tangents meet at 30°. The radii make 180° − 30° = 150° (book Example 10.2.3).
قطر AOB بنائیں؛ B پر عمود بنائیں (پہلا مماس)۔ O پر OB سے 150° بنا کر دوسرا رداس OC نکالیں؛ C پر عمود بنائیں (دوسرا مماس)۔ مماس 30° پر ملیں گے۔ رداسوں کے درمیان زاویہ 180° − 30° = 150° ہوگا۔
Answer / جواب: Draw any two chords of the circle. Construct the perpendicular bisector of each chord. Their intersection point is the centre — because the centre lies on the perpendicular bisector of every chord.
دائرے کی کوئی دو وتریں بنائیں۔ ہر وتر کا عمودی ناصف بنائیں۔ ان کا تقاطع مرکز ہے — کیونکہ مرکز ہر وتر کے عمودی ناصف پر ہوتا ہے۔
Answer / جواب: Join the points to form two chords. Construct their perpendicular bisectors; their intersection O is equidistant from all three points. Draw the circle with centre O and radius equal to the distance from O to any of the points — it passes through all three.
نقطوں کو ملا کر دو وتریں بنائیں۔ ان کے عمودی ناصف بنائیں؛ ان کا تقاطع O تینوں نقطوں سے برابر فاصلے پر ہے۔ مرکز O اور O سے کسی نقطے تک کے فاصلے کے برابر رداس سے دائرہ بنائیں — یہ تینوں نقطوں سے گزرے گا۔
Answer / جواب: (1) Join D to P — DP is the radial segment. (2) Draw perpendicular AB at P to DP. Then AB is the required tangent. Reason: the tangent at a point is perpendicular to the radius through that point.
(1) D کو P سے ملائیں — DP شعاعی قطعہ ہے۔ (2) P پر DP پر عمود AB بنائیں۔ پھر AB مطلوبہ مماس ہے۔ وجہ: کسی نقطے پر مماس اس نقطے سے گزرنے والے رداس پر عمود ہوتا ہے۔
Answer / جواب: Find midpoint M of OP; draw a semicircle with centre M, radius MO, cutting the given circle at T; join PT. It works because ∠OTP is an angle in a semicircle (diameter OP), so ∠OTP = 90°, i.e. PT ⊥ OT.
OP کا وسط M نکالیں؛ مرکز M، رداس MO سے نیم دائرہ بنائیں جو دیے گئے دائرے کو T پر کاٹے؛ PT ملائیں۔ یہ اس لیے چلتی ہے کہ ∠OTP نصف دائرے کا زاویہ ہے (قطر OP)، اس لیے ∠OTP = 90°، یعنی PT ⊥ OT۔
Answer / جواب: Draw a diameter AOB; draw the perpendicular at B (first tangent). At O, construct 150° from OB to get the second radius OC; draw the perpendicular at C (second tangent). The tangents meet at 30°. The radii make 180° − 30° = 150° (book Example 10.2.3).
قطر AOB بنائیں؛ B پر عمود بنائیں (پہلا مماس)۔ O پر OB سے 150° بنا کر دوسرا رداس OC نکالیں؛ C پر عمود بنائیں (دوسرا مماس)۔ مماس 30° پر ملیں گے۔ رداسوں کے درمیان زاویہ 180° − 30° = 150° ہوگا۔
یہ MCQs کتاب کی exercise سے نہیں لیے گئے — یہ SLOs پر مبنی mashq کے لیے ہیں.
(a) angle bisectors (b) perpendicular bisectors of two chords (c) tangents (d) diameters only
Answer: (b) perpendicular bisectors of two chords — The centre lies on every chord’s perpendicular bisector.
(a) parallel to the radius (b) perpendicular to the radius DP at P (c) bisector of the diameter (d) chord through P
Answer: (b) perpendicular to the radius DP at P — Tangent ⊥ radius at the point of contact.
(a) label points (b) erase construction arcs (c) use a sharp pencil (d) keep radius fixed
Answer: (b) erase construction arcs — Construction arcs are the evidence of the method.
(a) 30° (b) 60° (c) 150° (d) 180°
Answer: (c) 150° — 180° − 30° = 150° (two right angles in the quadrilateral).
Answer: (b) perpendicular bisectors of two chords — perpendicular bisectors of two chords — The centre lies on every chord’s perpendicular bisector.
Answer: (b) perpendicular to the radius DP at P — perpendicular to the radius DP at P — Tangent ⊥ radius at the point of contact.
Answer: (b) erase construction arcs — erase construction arcs — Construction arcs are the evidence of the method.
Answer: (c) 150° — 150° — 180° − 30° = 150° (two right angles in the quadrilateral).
اس باب میں کیا ہے؟ اس chapter میں circles کی practical geometry ہے: اوزار اور accuracy, centre معلوم کرنا, تین points سے circle, arc سے circle مکمل کرنا, اور دو طرح کے tangents کی تعمیر.
Revision guidance: Construction میں arcs کبھی مت مٹاؤ — وہ طریقے کا ثبوت ہیں. Centre ڈھونڈنے کی کنجی ہمیشہ perpendicular bisector ہے.
اس باب میں کیا ہے؟ اس باب میں دائروں کی عملی جیومیٹری ہے: اوزار اور درستگی، مرکز معلوم کرنا، تین نقطوں سے دائرہ، قوس سے دائرہ مکمل کرنا، اور دو طرح کے مماسوں کی تعمیر۔
نظرثانی کی رہنمائی: تعمیر میں قوسیں کبھی مت مٹائیں — وہ طریقے کا ثبوت ہیں۔ مرکز ڈھونڈنے کی کنجی ہمیشہ عمودی ناصف ہے۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • Class 10 Mathematics, Chapter 10 (Session 2026–27) • English + Urdu