Trigonometric equations involve functions like sin θ, cos θ and tan θ, and are solved to find the angle(s) that satisfy a given condition. In this unit you solve such equations using the periodic, even/odd and translation properties of trigonometric functions. For instance, equations like sin θ = k, cos θ = k or tan θ = k are solved by considering the periodic nature of these functions. Next, you explore graphical methods to solve equations like sin θ = θ/2, cos θ = θ or tan θ = 2θ within specific intervals. The general solution of these equations incorporates the periodic behavior of trigonometric functions to identify all possible values of θ. Finally, you apply inverse trigonometric functions to real-life problems in engineering and architecture, such as determining heights, calculating angles of elevation and depression, and designing accurate scale models.
مثلثی مساواتوں میں sin θ، cos θ اور tan θ جیسے فنکشنز ہوتے ہیں، اور انہیں اس زاویے (زاویوں) کے لیے حل کیا جاتا ہے جو دی گئی شرط پوری کرے۔ اس یونٹ میں آپ ایسی مساواتیں مثلثی فنکشنز کی دوری، جفت/طاق اور منتقلی خصوصیات سے حل کریں گے۔ مثلاً sin θ = k، cos θ = k یا tan θ = k جیسی مساواتیں ان فنکشنز کی دوری فطرت سے حل ہوتی ہیں۔ پھر آپ گرافی طریقوں سے sin θ = θ/2، cos θ = θ یا tan θ = 2θ جیسی مساواتیں مخصوص وقفوں میں حل کریں گے۔ عمومی حل میں مثلثی فنکشنز کا دوری رویہ شامل ہوتا ہے تاکہ θ کی تمام ممکنہ قدریں مل سکیں۔ آخر میں آپ معکوس مثلثی فنکشنز کو انجینئرنگ اور فن تعمیر کے عملی مسائل میں استعمال کریں گے۔
A trigonometric equation is an equation that involves one or more trigonometric functions such as sine, cosine, tangent etc., and their inverses. An unknown value of the angle that satisfies the equation is called a solution. Solutions that lie within the interval [0, 2π) are called principal solutions. Because trigonometric functions are periodic, these equations have infinitely many solutions: once one solution is found within one period, adding or subtracting multiples of the period generates all possible solutions, called the general solution.
مثلثی مساوات وہ مساوات ہے جس میں ایک یا زیادہ مثلثی فنکشنز جیسے سائن، کوسائن، ٹینجنٹ وغیرہ اور ان کے معکوس ہوں۔ زاویے کی وہ نامعلوم قدر جو مساوات پوری کرے حل کہلاتی ہے۔ [0, 2π) میں حل بنیادی حل کہلاتے ہیں۔ چونکہ مثلثی فنکشنز دوری ہیں، ان مساواتوں کے لامحدود حل ہوتے ہیں: ایک مدت میں حل ملنے پر مدت کے اضعاف جمع یا تفریق کرنے سے تمام ممکنہ حل، یعنی عمومی حل، مل جاتا ہے۔
Let α be the reference (principal) solution. sin x = sin α ⟹ x = nπ + (−1)ⁿα. cos x = cos α ⟹ x = 2nπ ± α. tan x = tan α ⟹ x = nπ + α (tangent repeats every π, not 2π). Here n is any integer. To find principal solutions, list the general solutions for n = 0, ±1, … and keep those in [0, 2π).
α بنیادی حل فرض کریں۔ sin x = sin α ⟹ x = nπ + (−1)ⁿα۔ cos x = cos α ⟹ x = 2nπ ± α۔ tan x = tan α ⟹ x = nπ + α (ٹینجنٹ ہر π پر دہراتا ہے، 2π پر نہیں)۔ n کوئی بھی صحیح عدد ہے۔ بنیادی حل کے لیے n = 0، ±1، … رکھیں اور [0, 2π) میں آنے والے رکھیں۔
Many equations become quadratic after a substitution: 2cos²θ − 5cos θ + 2 = 0 becomes 2u² − 5u + 2 = 0 with u = cos θ. Factorize (or use the formula), solve for u, then solve the basic trig equation for each value of u — discarding any value outside the range of that function (for example |cos θ| > 1 is impossible). Never divide both sides by sin x or cos x — that loses the solutions where the factor is zero. Factorize instead.
کئی مساواتیں متبادل سے کوانڈریٹک بن جاتی ہیں: 2cos²θ − 5cos θ + 2 = 0 میں u = cos θ رکھنے سے 2u² − 5u + 2 = 0 ملتا ہے۔ فیکٹرائز کریں، u حل کریں، پھر u کی ہر قدر کے لیے بنیادی مثلثی مساوات حل کریں — اس فنکشن کی رینج سے باہر قدر (مثلاً |cos θ| > 1) رد کر دیں۔ دونوں طرف sin x یا cos x سے تقسیم کبھی نہ کریں — اس سے وہ حل ضائع ہو جاتے ہیں جہاں فیکٹر صفر ہو۔ فیکٹرائز کریں۔
Use identities to simplify before solving: sin²θ + cos²θ = 1, double-angle formulas (sin 2θ = 2 sin θ cos θ; cos 2θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ), and sum formulas. A double angle doubles the number of solutions in [0, 2π): solve for 2θ first over the doubled interval, then halve. Forgetting the doubled interval is the most common lost-marks error in this unit.
حل کرنے سے پہلے شناختوں سے سادہ کریں: sin²θ + cos²θ = 1، ڈبل اینگل فارمولے (sin 2θ = 2 sin θ cos θ؛ cos 2θ = 2cos²θ − 1)، اور جمع فارمولے۔ ڈبل اینگل [0, 2π) میں حلوں کی تعداد دوگنی کر دیتا ہے: پہلے 2θ کو دوگنے وقفے میں حل کریں، پھر آدھا کریں۔ دوگنا وقفہ بھولنا اس یونٹ کی سب سے عام غلطی ہے۔
To solve an equation graphically, plot both sides as separate curves and read off their intersection points. For example, to solve 3 sin x = x/2 + 1 on [−π, π], plot y = 3 sin x and the line y = x/2 + 1: the x-coordinates of the intersections are the solutions. Graphical solutions are approximate — give them to a sensible number of decimal places and say so.
گرافی حل کے لیے دونوں طرف کو الگ وکر کے طور پر پلاٹ کریں اور ان کے تقاطع پڑھیں۔ مثلاً 3 sin x = x/2 + 1 کو [−π, π] میں حل کرنے کے لیے y = 3 sin x اور لائن y = x/2 + 1 پلاٹ کریں: تقاطع کے x-کوآرڈینیٹس حل ہیں۔ گرافی حل تقریبی ہوتے ہیں — انہیں مناسب اعشاریہ تک دیں اور یہ بتا دیں۔
Angles of elevation and depression, heights of towers and trees, and projectile range all lead to trigonometric equations. The book's projectile example: a projectile lands exactly 80 m away when θ = 30.25° or θ = 59.75°, and the range is maximized when sin 2θ = 1, i.e. 2θ = 90°, so θ = 45° — with maximum range R_max = v₀²/g = 900/9.8 ≈ 91.84 m for v₀ = 30 m/s.
بلندی اور نشیب کے زاویے، ٹاوروں اور درختوں کی اونچائیاں اور پرتاب کی رینج سب مثلثی مساواتوں کی طرف لے جاتے ہیں۔ کتاب کی پرتاب مثال: پرتاب بالکل 80 میٹر دور گرتا ہے جب θ = 30.25° یا θ = 59.75° ہو، اور رینج زیادہ سے زیادہ اس وقت ہوتی ہے جب sin 2θ = 1، یعنی θ = 45° — v₀ = 30 m/s کے لیے زیادہ سے زیادہ رینج R_max = 900/9.8 ≈ 91.84 میٹر ہے۔
The questions below are taken from this unit's exercise in the official PECTAA Mathematics 12 textbook (National Curriculum of Pakistan 2023, session 2026–27). Only selected questions are solved here — the full exercise is in the book itself. Solutions are worked step by step by this guide book; final answers agree with the book's Answers section where it gives them.
نیچے دیے گئے سوالات سرکاری PECTAA ریاضی 12 کی کتاب کی اس یونٹ کی ایکسرسائز سے لیے گئے ہیں (نیشنل کریکولم 2023، سیشن 2026–27)۔ یہاں صرف منتخب سوالات حل کیے گئے ہیں — مکمل ایکسرسائز کتاب میں موجود ہے۔ حل مرحلہ وار اس گائیڈ بک نے تیار کیے ہیں۔
یہ سوال کتاب کے printed pages 279–288 والی unit کی exercise سے منتخب کیے گئے ہیں — نیچے 4 حل شدہ سوال ہیں. یہ پوری exercise کا ہر سوال نہیں ہے; جو سوال یہاں نہیں ہیں انھیں invent کر کے نہیں لکھا گیا. اس کے بعد SLO-based practice MCQs ہیں, جو کتاب کی exercise سے نہیں, board pattern کی practice کے لیے لکھے گئے ہیں.
ایکسرسائز 10.2، سوال 1 — گرافی طریقے سے حل کریں: 3 sin x = x/2 + 1، جہاں x ∈ [−π, π]۔
Plot y = 3 sin x and y = x/2 + 1 on the same axes over [−π, π]. The curves intersect at three points. Reading the x-coordinates from the graph (and checking by substitution): x ≈ −3.02, 0.41 and 2.35. For example at x = 0.41: 3 sin(0.41) ≈ 1.20 and 0.41/2 + 1 ≈ 1.21. Graphical answers are approximate.
y = 3 sin x اور y = x/2 + 1 کو [−π, π] پر ایک ہی محوروں پر پلاٹ کریں۔ وکر تین نقطوں پر ملتے ہیں۔ گراف سے x ≈ −3.02، 0.41 اور 2.35 پڑھے جاتے ہیں۔ گرافی جواب تقریبی ہوتے ہیں۔
ایکسرسائز 10.2، سوال 7 — ایک ریڈیو ٹاور ہموار زمین پر کھڑا ہے جس کے اوپر ایک چھوٹا اینٹینا لگا ہے۔ ٹاور کی بنیاد سے 50 میٹر دور نقطہ سے اینٹینا اتنا ہی زاویہ بناتا ہے جتنا ٹاور کی بنیاد پر رکھا 1 میٹر کا عمودی راڈ بناتا ہے۔ ٹاور اور اینٹینا کی کل اونچائی 10 میٹر ہے۔ (a) ٹاور کی اونچائی (اینٹینا کے بغیر) معلوم کریں۔ (b) بننے والا زاویہ معلوم کریں۔
Let the tower height be H meters. The 1 m rod at the base subtends α = tan⁻¹(1/50) from 50 m away. The antenna subtends the difference of the elevation angles to the top (10 m) and to the tower top (H m): tan⁻¹(10/50) − tan⁻¹(H/50) = α. Take tangents: (0.2 − H/50)/(1 + 0.2·H/50) = 1/50 = 0.02. Put h = H/50: 0.2 − h = 0.02(1 + 0.2h) = 0.02 + 0.004h, so 0.18 = 1.004h, h ≈ 0.17928, and H = 50h ≈ 8.96 m. (b) The subtended angle is α = tan⁻¹(0.02) ≈ 1.15°.
ٹاور کی اونچائی H میٹر فرض کریں۔ 50 میٹر دور سے 1 میٹر راڈ کا زاویہ α = tan⁻¹(1/50) ہے۔ اینٹینا کا زاویہ اوپر (10 میٹر) اور ٹاور کی چوٹی (H میٹر) کے بلندی کے زاویوں کا فرق ہے: tan⁻¹(10/50) − tan⁻¹(H/50) = α۔ ٹینجنٹ لینے سے H ≈ 8.96 میٹر ملتا ہے۔ (b) بننے والا زاویہ α = tan⁻¹(0.02) ≈ 1.15° ہے۔
ایکسرسائز 10.2، سوال 6 — ایک پیدل سفر کرنے والا رسی سے سلیڈ کھینچتا ہے جو 25 میٹر کے فاصلے پر 80 نیوٹن کی قوت لگاتی ہے۔ کل کام 1200 جول ہے۔ حرکت کی سمت سے کس زاویے پر قوت لگ رہی ہے؟
Work W = Fd cos θ, so 1200 = 80 × 25 × cos θ, giving cos θ = 1200/2000 = 0.6. Hence θ = cos⁻¹(0.6) ≈ 53.13°.
کام W = Fd cos θ ہے، اس لیے 1200 = 80 × 25 × cos θ سے cos θ = 0.6 ملتا ہے۔ پس θ = cos⁻¹(0.6) ≈ 53.13°۔
ایکسرسائز 10.2، سوال 8 — ایک شخص درخت کی بنیاد سے 20 میٹر دور کھڑا ہو کر درخت کی چوٹی کا بلندی کا زاویہ 30° ناپتا ہے۔ (a) درخت کی اونچائی معلوم کریں۔ (b) اگر شخص درخت کی طرف 10 میٹر قریب چل جائے تو چوٹی کا نیا بلندی کا زاویہ کیا ہوگا؟
(a) Height h = 20 tan 30° = 20/√3 ≈ 11.55 m. (b) New distance = 10 m, so tan θ = 11.55/10 = 1.155, giving θ = tan⁻¹(1.155) ≈ 49.1°.
(a) اونچائی h = 20 tan 30° ≈ 11.55 میٹر۔ (b) نیا فاصلہ 10 میٹر ہے، اس لیے tan θ = 1.155 سے θ ≈ 49.1°۔
These three MCQs are board-pattern practice written for this guide book. Answers are in the accordion below. They are NOT questions from the book exercise — the correct option in each list is also marked (✓).
1. Principal solutions of cos x = 1/2 in [0, 2π) are:
Correct answer: (B) π/3, 5π/3 — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
2. General solution of tan x = tan α is:
Correct answer: (C) nπ + α — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
3. Dividing an equation by sin x is wrong because:
Correct answer: (B) it loses solutions where sin x = 0 — SLO-based practice MCQ (not from the book exercise).
Solution of Trigonometric Equations — A trigonometric equation is an equation that involves one or more trigonometric functions such as sine, cosine, tangent etc., and their inverses. Let α be the reference (principal) solution. sin x = sin α ⟹ x = nπ + (−1)ⁿα. cos x = cos α ⟹ x = 2nπ ± α. tan x = tan α ⟹ x = nπ + α (tangent repeats every π, not 2π). Many equations become quadratic after a substitution: 2cos²θ − 5cos θ + 2 = 0 becomes 2u² − 5u + 2 = 0 with u = cos θ. Use identities to simplify before solving: sin²θ + cos²θ = 1, double-angle formulas (sin 2θ = 2 sin θ cos θ; cos 2θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ), and sum formulas. To solve an equation graphically, plot both sides as separate curves and read off their intersection points. Angles of elevation and depression, heights of towers and trees, and projectile range all lead to trigonometric equations.
Revision guidance: پہلے 4 حل شدہ سوال خود حل کرنے کی کوشش کرو, پھر جواب سے ملاؤ; 3 practice MCQs بھی خود حل کرو. جو formula اس chapter میں ہے, اسے لکھ کر یاد کرو — رٹا نہیں, سمجھ کر. پوری exercise کے باقی سوال کتاب سے حل کرو; یہ page منتخب سوالوں کا guide ہے, پوری exercise کا متبادل نہیں.
مثلثی مساوات وہ مساوات ہے جس میں ایک یا زیادہ مثلثی فنکشنز جیسے سائن، کوسائن، ٹینجنٹ وغیرہ اور ان کے معکوس ہوں۔ زاویے کی وہ نامعلوم قدر جو مساوات پوری کرے حل کہلاتی ہے۔ [0, 2π) میں حل بنیادی حل کہلاتے ہیں۔ چونکہ مثلثی فنکشنز دوری ہیں، ان مس α بنیادی حل فرض کریں۔ sin x = sin α ⟹ x = nπ + (−1)ⁿα۔ cos x = cos α ⟹ x = 2nπ ± α۔ tan x = tan α ⟹ x = nπ + α (ٹینجنٹ ہر π پر دہراتا ہے، 2π پر نہیں)۔ n کوئی بھی صحیح عدد ہے۔ بنیادی حل کے لیے n = 0، ±1، … رکھیں اور [0, 2π) میں آنے والے رکھی کئی مساواتیں متبادل سے کوانڈریٹک بن جاتی ہیں: 2cos²θ − 5cos θ + 2 = 0 میں u = cos θ رکھنے سے 2u² − 5u + 2 = 0 ملتا ہے۔ فیکٹرائز کریں، u حل کریں، پھر u کی ہر قدر کے لیے بنیادی مثلثی مساوات حل کریں — اس فنکشن کی رینج سے باہر قدر (مثلاً |cos θ حل کرنے سے پہلے شناختوں سے سادہ کریں: sin²θ + cos²θ = 1، ڈبل اینگل فارمولے (sin 2θ = 2 sin θ cos θ؛ cos 2θ = 2cos²θ − 1)، اور جمع فارمولے۔ ڈبل اینگل [0, 2π) میں حلوں کی تعداد دوگنی کر دیتا ہے: پہلے 2θ کو دوگنے وقفے میں حل کریں، پھر آدھا کری گرافی حل کے لیے دونوں طرف کو الگ وکر کے طور پر پلاٹ کریں اور ان کے تقاطع پڑھیں۔ مثلاً 3 sin x = x/2 + 1 کو [−π, π] میں حل کرنے کے لیے y = 3 sin x اور لائن y = x/2 + 1 پلاٹ کریں: تقاطع کے x-کوآرڈینیٹس حل ہیں۔ گرافی حل تقریبی ہوتے ہیں — انہیں بلندی اور نشیب کے زاویے، ٹاوروں اور درختوں کی اونچائیاں اور پرتاب کی رینج سب مثلثی مساواتوں کی طرف لے جاتے ہیں۔ کتاب کی پرتاب مثال: پرتاب بالکل 80 میٹر دور گرتا ہے جب θ = 30.25° یا θ = 59.75° ہو، اور رینج زیادہ سے زیادہ اس وقت ہوتی ہے جب si
اس باب کے موضوعات: مثلثی مساوات کیا ہے؟ · sin، cos اور tan مساواتوں کے عمومی حل · کوانڈریٹک صورت میں بدلنے والی مساواتیں · شناختیں اور ڈبل اینگل · گرافی حل · اطلاقات: اونچائیاں، زاویے اور پرتاب · مشق
رہنمائی: پہلے حل شدہ سوالات خود حل کرنے کی کوشش کریں، پھر جوابات سے ملائیں؛ پریکٹس MCQs بھی خود حل کریں۔
Chapter-wise tests, fresh random papers اور instant score کے لیے PunjabTest.com کا میں test section دیکھو:
PunjabTest.com — Complete Guide Book • FSc Part 2 Mathematics, Chapter 10 (PECTAA New Book, Session 2026–27) • English + Urdu